Kodowanie i kompresja

Kodowanie i kompresja
Studia dzienne (2005)
Lista zadań nr 6
1. Mówimy, że kod K poprawia “bł˛edy seryjne” o długości l, jeśli dla każdego cyklicznego wzorca
bł˛edów o długości l, K umożliwia poprawienie go.
Niech K1 b˛edzie cyklicznym (n, k)-kodem, który poprawia bł˛edy seryjne o długości l. Niech Kj
b˛edzie kodem, którego każde słowo kodowe powstaje jako “przemieszanie” j słów kodowych kodu
K1 (na poczatku
˛ wyst˛epuja˛ pierwsze symbole z każdego słowa, potem drugie itd.). Na przykład
przemieszanie słów abc, def i ghi jest równe adgbehcf i.
Pokaż, że Kj poprawia bł˛edy seryjne o długości jl.
2. Niech K b˛edzie cyklicznym (n, k)-kodem spełniajacym
˛
warunek n ≥ 2k. Pokaż, że w tym przypadku algorytm “error-trapping” umożliwia poprawienie każdych 2 bł˛edów. Czy możliwe jest to
również w przypadu, gdy n < 2k?
3. Dla binarnego kodu cyklicznego o długości 7 z wielomianem generujacym
˛
g(x) = (1 + x2 +
3
x )(x +1) porównaj działanie dekodowania standardowa˛ metoda˛ dla kodów cyklicznych i dekodowania Megitta (w szczególności, podaj list˛e L wzorców bł˛edów i odpowiadajacych
˛
im syndromów
i omów sposób działania algorytmu).
4. Podaj najmniejsza˛ długość słowa kodowego n dla binarnego kodu cyklicznego z wielomianem
generujacym
˛
g(x) = x4 + x3 + x2 + 1. Ile bł˛edów poprawia ten kod dla minimalnego n? Czy do
poprawiania tej liczby bł˛edów można użyć dekodowania “error-trapping”?
5. Zmodyfikuj algorytm “error-trapping” tak, aby korygował 2 bł˛edy binarnego kodu cyklicznego o
długości 31, generowanego przez wielomian g(x) = x10 + x9 + x8 + x6 + x5 + x3 + 1.
6. Niech β = α b˛edzie generatorem GF (16) (inaczej Z2 [x]/ mod (1 + x + x4 )zdefiniowanego przez
poniższa˛ tabelk˛e:
0
α7
1 + α + α3
1
α0
α8
1 + α2
α
α1
α9
α + α3
α2
α2
α10
1 + α + α2
α3
α3
α11
α4
1+α
α12
α5
α + α2
α13
α6
α + α3
α14
2
Wyznacz wielomian generujacy
˛ dla binarnego kodu BCH korygujacego
˛
2 bł˛edy o długości słowa
kodowego 15. Wcześniej, uzupełnij tabelk˛e.
7. Wyznacz wielomian generujacy
˛ dla binarnego kodu BCH korygujacego
˛
3 bł˛edy o długości słowa
kodowego 15.
8. Jaka jest zawartość informacyjna binarnego kodu BCH korygujacego
˛
2 bł˛edy o długości słowa
kodowego 31.
Wskazówka: skorzystaj z faktu, że jeśli w(β) = 0, to w(β 2 ) = 0.
˛ z faktu, że w(β) = 0 ⇒ w(β 2 ) = 0 w GF (2m ), oszacuj zawartość informacyjna˛ kodu
9. Korzytajac
BCH korygujacego
˛
t bł˛edów, zdefiniowanego przez generator ciała GF (2m ).
10. Uzasadnij, że wśród binarnych kodów BCH korygujacych
˛
t bł˛edów, utworzonych w oparciu o
element β ciała GF (2m ), najwi˛eksza˛ zawartość informacyjna˛ uzyskujemy (zazwyczaj), gdy β jest
generatorem ciała GF (2m ).
11. Powtórz podany na wykładzie dowód faktu, że “kod BCH korygujacy
˛ t bł˛edów” rzeczywiście
umożliwia korygowanie t bł˛edów.
Uwaga: nie wymagam formalnego dowodu.
Tomasz Jurdziński