Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 1
0. Literatura:
1. Myjak „Funkcje rzeczywiste. Miara. Całka Lebesgue’a”
2. Billingsley „Prawdopodobieństwo i miara”
3. Filipczak „Teoria miary i całki”
4. Schreiber, Karłowska-Pik, Bartkiewicz, Jańczak „Teoria miary i całki Lebesgue’a.
Zbiór zadań z rozwiązaniami”,
http://www-users.mat.uni.torun.pl/˜joanka/zajecia/miara i calka/index.php
5. Royden „Real Analysis”
6. Halmos „Measure Theory”
1. NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów.
Pierwsze przymiarki:
- liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych, np. podstawowe
znane nam zbiory liczbowe N, Z, Q, R są nieskończone, ale wydaje się, że nie są tej
samej wielkości, bo N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R i są to ścisłe zawierania. Tymczasem zgodnie
z teorią mnogości N, Z i Q są równoliczne (przeliczalne), a R jest istotnie większy
(nieprzeliczalny),
- to może choć porównywać zbiory za pomocą relacji zawierania (czyli zaniechać bezwzględnych pomiarów na rzecz względnych porównań) - podobny kłopot jak powyżej,
poza tym jak porównać rozłączne zbiory? A przecież ewidentnie zbiór {0} jest mniejszy niż R \ {0}.
Chcemy umieć mierzyć zbiory tak jak np. ważymy worki kartofli. Stawiając na wagę
dwa wory mamy dostać tyle co suma dwóch pojedynczych wag worów (czyli miara sumy
zbiorów ma się sensownie zachowywać). Jeśli odyspiemy trochę kartofli z większego wora
do mniejszego wora, to waga uszczuplonego wora = waga początkowa - waga tego co
odsypaliśmy (czyli miara różnicy ma się sensownie zachowywać). Jeśli na całej przyczepie
są 3 tony kartofli i zabraliśmy z tego wór, który waży 20kg, to na przyczepie zostało
2980kg (czyli zadbamy o miarę dopełnienia). Zero kartofli waży 0kg (czyli miara zbioru
pustego będzie równa zero). Nasze zadanie: skonstruować taką wagę (miarę) dla bardziej
abstrakcyjnych przestrzeni niż przyczepa kartofli.
2. Podstawy i konwencje.
2.1 Prosta rozszerzona
Uzupełniamy zbiór liczb rzeczywistych przez dodanie liczb +∞ i −∞.
R̄ = R ∪ {−∞, +∞} = [−∞, +∞]
Działania i porządek zgodne z intuicją: −∞ jest liczbą najmniejszą, a +∞ największą.
a + ∞ = ∞ + a = ∞ dla a 6= −∞, ∞ − a = ∞ dla a =
6 ∞, a − ∞ = −∞ dla a 6= ∞,
1
zaś suma a + b jest nieokreślona, gdy a i b są nieskończonościami o przeciwnych znakach
(podobnie a − b, gdy a i b są nieskończonościami o jednakowych znakach).
UWAGA: Mnożenie i dzielenie również zachowuje się zgodnie z intuicją, ale przyjmujemy
dodatkowo konwencję 0 · ∞ = 0. To inaczej niż w badaniu granic w analizie rzeczywistej.
2.2 Operacje na zbiorach
Zwykle rozważamy podzbiory pewnej ustalonej przestrzeni („dużego zbioru”) X:
Suma: A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}
Różnica: A \ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Przekrój (iloczyn, część wspólna): A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Dopełnienie: Ac = {x ∈ X : x 6∈ A} = X \ A
S
Uogólniona suma: t∈T At = {x ∈ X : ∃t ∈ T x ∈ At }
T
Uogólniony przekrój: t∈T At = {x ∈ X : ∀t ∈ T x ∈ At }
Uwaga: Zazwyczaj będą nas interesować sumy i przekroje skończone lub co najwyżej przeS∞
T∞
S
TN
liczalne: N
n=1 An , n=1 An .
n=1 An , n=1 An
Różnica symetryczna: A4B = (A \ B) ∪ (B \ A). Różnica symetryczna jest łączna i przemienna, A4A = ∅ oraz A4B = A \ B, gdy B ⊂ A.
Produkt (kartezjański):
X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y },
Q
X1 × ... × Xn = ni=1 Xi = {(x1 , ..., xn ) : ∀i = 1, ..., n xi ∈ Xi }
Q∞
X1 × X2 × ... = i=1 Xi = {(x1 , x2 , ...) : ∀i = N xi ∈ Xi }.
Uwaga: Nieprzeliczalnych produktów kartezjańskich będziemy unikać.
2.3 Granica dolna i górna ciągu zbiorów (etiuda na temat operacji mnogościowych)
Rozpatrujemy ciąg zbiorów (An )n∈N .
Definicja 1 Granica dolna ciągu (An )n∈N to zbiór limn→∞ An =
S∞
T
górna to limn→∞ An = ∞
n=1 k=n Ak .
S∞ T∞
n=1
k=n Ak ,
a granica
Rozpisując tę definicję przy użyciu kwantyfikatorów otrzymujemy:
- x ∈ limn→∞ An ⇐⇒ x należy do prawie wszystkich wyrazów ciągu An
- x ∈ limn→∞ An ⇐⇒ x należy do nieskończenie wielu wyrazów ciągu An
Stąd, oczywiście, limn→∞ An ⊂ limn→∞ An . Jeśli zachodzi równość, to mówimy, że ciąg
zbiorów An jest zbieżny.
Przykład:
1. Dla An = [0, 1 + (−1)n ] ⊂ R mamy limn→∞ An = {0}, a limn→∞ An = [0, 2].
2. Dla An = {1, ..., n} ⊂ N mamy limn→∞ An = limn→∞ An = N.
2.4 Funkcja charakterystyczna
Funkcja charakterystyczna (indykator) zbioru A:
1A (x) =
(
1,
0,
gdy x ∈ A
gdy x ∈
6 A
2.5 Funkcje zbioru
Musimy przywyknąć do sytuacji, w której argumentem funkcji nie jest punkt, lecz
zbiór!
2
Definicja 2 Funkcją zbioru określoną na rodzinie zbiorów R nazywamy każdą funkcję
postaci ϕ : R → [−∞, +∞].
Funkcja charakterystyczna przy ustalonym x jest funkcją zbioru.
Definicja 3 Powiemy, że funkcja zbioru ϕ : R → [−∞, +∞] jest addytywna, gdy dla dowolnej pary rozłącznych zbiorów A, B ∈ R spełniających A ∪ B ∈ R zachodzi
ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) + ϕ(B).
Funkcja ϕ jest σ-addytywna (lub przeliczalnie addytywna), gdy dla dowolnego ciągu zbioS
rów (An )n∈N ⊂ R parami rozłącznych spełniającego n∈N An ∈ R zachodzi
ϕ(
[
An ) =
∞
X
ϕ(An ).
n=1
n∈N
Przykład: liczność zbioru jest funkcją addytywną na rodzinie wszystkich skończonych
podzbiorów N. Jest też σ-addytywna na rodzinie wszystkich podzbiorów.
Nie będziemy badać na razie konsekwencji tych definicji. Ale zadbamy o wygodne definicje odpowiednich rodzin zbiorów.
3. Definicja ciała i σ-ciała
Definicja 4 Ciało zbiorów (algebra zbiorów) to niepusta rodzina F zbiorów zawartych w
ustalonej przestrzeni X spełniająca warunki:
1. jeśli A, B ∈ F, to A ∪ B ∈ F
2. jeśli A ∈ F, to Ac ∈ F.
Wtedy także A ∩ B = (Ac ∪ B c )c , A \ B = A ∩ B c oraz A4B ∈ F
Definicja 5 σ-ciało zbiorów (σ-algebra zbiorów) to ciało zbiorów spełniające warunek
jeśli An ∈ F dla n = 1, 2, ..., to
∞
[
n=1
Wtedy także
T∞
n=1 An
= A1 \
S∞
n=2 (A1
\ An ) ∈ F.
3
An ∈ F.