ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 5

ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA
Lista 5 - Własności topologiczne w przestrzeniach unormowanych
1. Korzystając z twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym, pokazać, że jeżeli X jest
przestrzenią Banacha z każdą z norm k . k1 oraz k . k2 i istnieje liczba M > 0,
taka że
k x k1 ≤ M k x k2
to obie normy są równoważne.
2. Pokazać, że operator liniowy T : L1 [0, 1] → C zadany wzorem T (f ) = f (0) na
dziedzinie DT = C[0, 1] nie jest domknięty, rozważając odpowiedni ciąg funkcji
ciągłych.
3. Mówimy, że ciąg operatorów ograniczonych (Tn ) w przestrzeni Hilberta H jest
słabo zbieżny (lub zbieżny w słabej operatorowej topologii) do operatora ograniczonego T , co zapisujemy w − limn→∞ Tn = T , wtedy i tylko wtedy gdy
lim hTn (x), yi = hT (x), yi
n→∞
dla dowolnych x, y ∈ H. Pokazać, że zachodzą następujące zależności między
zbieżnościami ciągu operatorów (Tn ):
(a) jeżeli limn→∞ Tn = T , to s − limn→∞ Tn = T ,
(b) jeżeli s − limn→∞ Tn = T , to w − limn→∞ Tn = T ,
gdzie limn→∞ Tn = T oznacza zbieżność w normie operatorowej (lub zbieżność
jednostajną), natomiast s − limn→∞ Tn = T oznacza zbieżność silną (lub zbieżność
punktową, mówimy także o zbieżności w silnej operatorowej topologii).
4. Niech (en ) będzie bazą ortonormalną w ośrodkowej przestrzeni Hilberta H i niech
Pn będzie rzutem ortogonalnym na Lin(e1 , . . . , en ). Pokazać, że s−limn→∞ Pn = I,
natomiast limn→∞ Pn 6= I, gdzie I jest operatorem identycznościowym.
5. W przestrzeni Hilberta `2 definiujemy operator przesunięcia
T (x1 , x2 , x3 , . . .) = (x2 , x3 , . . .)
i oznaczamy S = T ∗ (operator sprzężony). Rozważamy ciągi Tn := T n oraz
Sn := S n dla n ∈ N. Wyznaczyć (jeżeli istnieją) lub wykazać nieistnienie granic
(a) limn→∞ Tn , s − limn→∞ Tn oraz w − limn→∞ Tn ,
(b) limn→∞ Sn , s − limn→∞ Sn oraz w − limn→∞ Sn .
6. Korzystając z zadania poprzedniego, pokazać, że istnieje ciąg operatorów ograniczonych na `2 , który jest słabo zbieżny, ale nie jest silnie zbieżny.
7. Pokazać, że istnieje ciąg operatorów ograniczonych na `2 , który jest silnie zbieżny,
ale nie jest zbieżny w normie operatorowej.
1
8. Pokazać, że jeżeli w−limn→∞ Un = U dla ciągu (Un ) operatorów ograniczonych na
przestrzeni Hilberta H, to w − limn→∞ Un∗ = U ∗ (mówimy, że operacja sprzężenia
jest ciągła w słabej operatorowej topologii).
9. Korzystając z zadania 5, pokazać, że ciąg operatorów ograniczonych (Un ) na
przestrzeni Hilberta może być silnie zbieżny do pewnego U , natomiast ciąg operatorów sprzężonych (Un∗ ) nie będzie silnie zbieżny do U ∗ (mówimy, że operacja
sprzężenia nie jest ciągła w silnej operatorowej topologii).
10. Czy operacja sprzężenia w B(H), gdzie H-przestrzeń Hilberta, jest ciągła w
topologii normowej, tzn. czy limn→∞ Un = U implikuje limn→∞ Un∗ = U ∗ ?
11. Pokazać, że norma operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta
(a) jest ciągła względem topologii normowej, tzn. limn→∞ Tn = T implikuje
limn→∞ k Tn k=k T k
(b) nie musi być ciągła względem silnej operatorowej topologii, tzn. istnieje ciąg
(Tn ) taki, że s − limn→∞ Tn = T , ale limn→∞ k Tn k6=k T k (wybrać ciąg
projektorów na odpowiedni malejący ciąg podprzestrzeni w nieskończenie
wymiarowej przestrzeni Hilberta),
(c) nie musi być ciągła względem słabej operatorowej topologii, tzn. istnieje
ciąg (Tn ) taki, że w − limn→∞ Tn = T , ale limn→∞ k Tn k6=k T k.
12. Pokazać, że jeżeli ciąg (xn ) w unormowanej przestrzeni liniowej X jest zbieżny w
sensie słabym do x oraz do y, to x = y.
13. Sprawdzić czy dany ciąg (xn ) jest słabo zbieżny w przestrzeni X i, jeżeli tak jest,
wyznaczyć jego słabą granicę, gdzie
(a) X = `p , gdzie p ∈ [1, ∞), xn = (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .), przy czym 1 występuje
na n- tym miejscu,
(b) X = c0 , gdzie xn = (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .), przy czym 1 występuje na n-tym
miejscu,
(c) X = c, gdzie xn = (1, . . . , 1, 0, 0, . . .), przy czym 1 wystepuje na n pierwszych
miejscach.
√
√
(d) X = `2 , gdzie xn = (0, . . . , 0, n, 0, 0, . . .), przy czym n występuje na
n-tym miejscu.
14. Załóżmy, że ciąg funkcjonałów (ϕn ) na UPL X jest gęsty w X ∗ oraz ciąg (xk ) jest
ograniczony w X. Pokazać, że jeżeli istnieje granica limk→∞ ϕn (xk ), to istnieje
granica limk→∞ ϕ(xk ) dla każdego ϕ ∈ X ∗ .
R. Lenczewski
2