Zagadnienia i wymagania

AMI, zima 2011/2012
mgr Krzysztof Rykaczewski
Wymagania
Zagadnienia i wymagania
Wymagania z Analizy matematycznej I Niniejsze wymagania mają charakter ogólny, szczegóły zostaną
podane w stosownym czasie. Zakłada się, że Student potrafi samodzielnie zrobić komentarz do ćwiczeń,
potrafi słuchać i wyrażać się kompetentnie, gdy jest proszony o wygłoszenie opinii. Potrafi zrobić czytelną
i estetyczną notatkę z zajęć. Na każdych zajęciach wymagana jest znajomość ostatnich wykładów!
Wymagania ogólne Student potrafi posługiwać się rachunkiem zadań i teorią zbiorów. W szczególności, zna pojęcia iloczynu kartezjańskiego, działania na zbiorach oraz działania uogólnione na zbiorach.
Zakłada się, że potrafi rozwiązywać równania i nierówności liniowe oraz kwadratowe, umie rozwiązywać problemy, w których pojawiają się wartości bezwzględne. Zna symbol Newtona i jego podstawowe
własności. Student zna wzór dwumianowy Newtona oraz wzory skróconego mnożenia. Student zna pojęcie wielomianu oraz jego pierwiastka. Zna algorytm Henona, twierdzenie Bezou oraz twierdzenie o
pierwiastku wymiernym wielomianu o współczynnikach całkowitych. Student zna funkcje elementarne
(log, ln, sin, cos, tan, cot, exp) i ich podstawowe własności.
Indukcja matematyczna Student potrafi dowodzić twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
Potrafi wyjaśnić poszczególne etapy indukcji.
Funkcje i ich własności Student potrafi narysować szkic wykresu funkcji i odczytać z niego podstawowe jej własności, potrafi liczyć obrazy i przeciwobrazy. Student zna funkcje cyklometryczne. Student
potrafi liczyć złożenia funkcji i funkcje do nich odwrotne. Student potrafi posługiwać się notacją f : X → Y.
Student potrafi policzyć dziedzinę funkcji oraz wie czym jest przeciwdziedzina. Zna pojęcia injekcji, surjekcji, bijekcji. Zna relacje między obrazami, przeciwobrazami oraz działaniami na zbiorach. Student
potrafi pokazywać monotoniczność funkcji.
Nierówności i równania Student potrafi zamieniać nierówności na przeciwobrazy i vice versa. Zna
podstawowe nierówności: Cauchy’ego-Schwarza, Minkowskiego, Bernoullego, trójkąta, między średnimi
itd. Student potrafi rozwiązywać nierówności, rozwiązywać równania oraz dowodzić, np. nierówności
z częścią całkowitą i wartością bezwzględną.
Aksjomaty liczb rzeczywistych Student potrafi wykorzystać aksjomaty liczb rzeczywistych do dowodzenia własności liczb rzeczywistych (dowody aksjomatyczne). Student zna zasadę Archimedesa oraz
zasady gęstości wraz z dowodami. Student potrafi dowodzić wymierność lub niewymierność liczb rzeczywistych. Zna pojęcie przeliczalności.
Kresy górne i dolne Student zna pojęcia kresów oraz potrafi znajdować i weryfikować kresy zbiorów.
Student potrafi dowieść ogólnych własności kresów.
Ciągi liczbowe Student rozumie notacje (an ), {an }, zna różnicę między wzorem ogólnym na ciąg,
a wzorem rekurencyjnym. Student zna pojęcia ciągu arytmetycznego i geometrycznego oraz wzór na sumę ich wyrazów. Student potrafi pokazywać monotoniczność ciągu. Student zna definicję ciągu zbieżnego
oraz potrafi podać definicję Cauchy’ego granicy ciągu, zna jej własności. Potrafi weryfikować granicę z definicji. Student zna podstawowe techniki i twierdzenia dotyczące liczenia granic ciągów. Zna twierdzenie
Stolza. Student zna definicję liczby e oraz potrafi liczyć granice wymagające jej znajomości. Student zna
twierdzenie o dwóch oraz trzech ciągach.
Granica górna i dolna Student zna definicję granicy górnej oraz granicy dolnej ciągu. Zna pojęcie
punktu skupienia oraz zbioru punktów skupienia. Potrafi dowodzić podstawowe własności granic dolnych
oraz górnych. Potrafi wyznaczać granicę górną oraz dolną ciągu. Student potrafi wykorzystać podciągi
do liczenia granic.
1
AMI, zima 2011/2012
mgr Krzysztof Rykaczewski
Wymagania
Szeregi liczbowe Student zna wzór na sumę szeregu geometrycznego oraz umie stosować go do ułamków okresowych. Student potrafi wyznaczać sumę prostych szeregów. Zna pojęcie szeregu rozbieżnego.
Zna warunek konieczny zbieżności szeregu oraz warunki dostateczne: kryterium porównawcze, kryterium
Cauchy’ego, kryterium d’Alemberta, kryterium Leibniza, kryterium kondensacyjne. Potrafi poprawnie
stosować podane kryteria. Student zna pojęcie iloczynu Cauchy’ego oraz twierdzenie Mertensa. Zna pojęcia zbieżności bezwzględnej i warunkowej oraz twierdzenia z nimi związane.
Ciągłość i granice funkcji Student zna definicje ciągłości według Heinego oraz Cauchy’ego oraz
potrafi na ich podstawie stwierdzić ciągłość w konkretnych przypadkach. Potrafi wyznaczać zbiór punktów
ciągłości. Student zna podstawowe granice funkcji. Zna twierdzenia o granicach funkcji. Student potrafi
za pomocą powyższych twierdzeń, granic podstawowych oraz twierdzeń arytmetycznych policzyć granicę
funkcji w punkcie. Potrafi stwierdzić brak granicy w punkcie. Student potrafi zbadać ciągłość funkcji. Zna
pojęcie lipschitzowości oraz jej relacje z jednostajną ciągłością oraz ciągłością. Student potrafi policzyć
granice jednostronne w punkcie.
Pochodne Student potrafi podać definicję ilorazu różnicowego oraz pochodnej. Zna pochodne funkcji
elementarnych oraz podstawowe twierdzenia dotyczące liczenia pochodnej (reguła łańcucha, pochodna
iloczynu, ...). Potrafi policzyć pochodną n-tego rzędu. Student potrafi wyznaczać ekstrema funkcji, oraz
przedziały monotoniczności, wypukłości, wklęsłości. Umie liczyć punkty przegięcia funkcji. Umie sporządzić przebieg zmienności funkcji. Student potrafi udowodnić nierówności oraz pokazać tożsamości
wykorzystujące w dowodzie metody różniczkowe. Potrafi wykorzystać twierdzenie de l’Hospitala. Potrafi
sprawdzić, czy dana funkcja jest różniczkowalna. Student potrafi policzyć zadania geometryczne dotyczące wyliczenia kąta przecięcia prostych, wyznaczenia stycznej. Potrafi rozwiązać geometryczne zadania
optymalizacyjne i ekstremalne. Student zna i umie liczyć pochodne jednostronne w punkcie. Zna i umie
wykorzystać do rozwiązań twierdzenie Darboux. Student zna twierdzenie Taylora i umie wyprowadzić
szeregi potęgowe dla funkcji elementarnych. Zna wzory Maclaurina z resztą w postaci Lagrange’a. Potrafi
oszacować resztę we wzorze Taylora. Student zna nierówność Jensena oraz nierówność Höldera.
Całki Student zna definicje funkcji pierwotnej, całki nieoznaczonej. Zna całki z funkcji elementarnych.
Potrafi liczyć całki nieoznaczone za pomocą twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie i całkowaniu
przez części. Student zna podstawienia Eulera i umie liczyć całki z funkcji trygonometrycznych. Student
umie twierdzenie Newtona-Leibniza oraz zna podstawowe własności całek oznaczonych. Student zna definicję całki niewłaściwej i umie ją policzyć. Student potrafi liczyć długości krzywych, pola powierzchni
oraz objętości za pomocą całek. Student zna definicję całki Riemanna.
Ciągi i szeregi funkcyjne Student zna kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych (Weierstrassa, Diniego, Dirichleta). Zna twierdzenia o całkowaniu i różniczkowaniu szeregów. Student zna definicję promienia
zbieżności oraz twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda.
Przestrzenie metryczne Student zna definicję przestrzeni metrycznej, metryki, itd. Zna podstawowe
przykłady przestrzeni metrycznych. Zna własności metryk. Zna pojęcia zbioru otwartego, domkniętego, domknięcia zbioru, wnętrza, brzegu, kuli otwartej i domkniętej. Student zna właściwości topologii
podprzestrzeni, produktu przestrzeni. Zna pojęcia ciągu Cauchy’ego, warunku Cauchy’ego. Potrafi podać własności zbiorów domkniętych i otwartych. Wie kiedy metryki są równoważne. Student zna pojęcia
zupełności, zwartości, spójności. Zna podstawowe przykłady przestrzeni funkcyjnych. Zna twierdzenie
Arzeli i twierdzenie Cantora. Student zna twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Uwagi końcowe Prowadzący będzie komunikować się z uczestnikami zajęć za pomocą poczty elektronicznej. Zakłada się, że każdy Student ma konto na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK. Biorąc
udział w zajęciach Uczestnik wyraża zgodę na przetwarzanie przez Prowadzącego jego danych osobowych
dla wypełnienia usprawiedliwionych celów związanych z wykonaniem zobowiązań wynikających z prowadzeniem zajęć oraz wobec ich uczestników, polegających w szczególności na komunikowania się za pomocą
poczty e-mail. Prowadzący nie ponosi odpowiedzialności za nieprawidłowości związane z działaniem poczty na wydziale WMiI.
2
AMI, zima 2011/2012
mgr Krzysztof Rykaczewski
Wymagania
Prowadzący zastrzega sobie prawo do modyfikacji niektórych szczegółów dotyczących konkretnych wymagań z przyczyn niezależnych (np. postęp studentów w opanowywaniu niezbędnych umiejętności matematycznych, korelacja czasowa z wykładem).
Zakłada się, że Student jest obeznany z notacją podaną na wykładzie lub na ćwiczeniach. Student potrafi
podać przykłady i kontrprzykłady, które pojawią się na zajęciach. Zna funkcje specjalne, które podane
zostały na ćwiczeniach.
Przykład literatury Niesposób podać literaturę wyczerpującą temat. Do zajęć wykorzystuję zbiór zadań, który jest dostępny w Internecie pod adresem http://www.mat.umk.pl/˜mozgun/, natomiast przygotowuję się z następujących podręczników:
• Włodzimierz Krysicki oraz Lech Włodarski, Analiza Matematyczna w Zadaniach, Tom 1-2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006
• Józef Banaś oraz Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 2006
• Wiesława J. Kaczor oraz Maria T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Cz. 1-3, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 2006
• Wojciech Kryszewski, Wykład analizy matematycznej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009
• Marian Gewert oraz Zbigniew Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, Wydawnictwo
Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2005
• Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1978
• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1966
• Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1947
Aktualizacja: 19 grudnia 2012
3