ROZDZIAŁ 2 O PEWNYM MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO

Robert Kruszewski
ROZDZIAŁ 2
O PEWNYM MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z
KAPITAŁEM LUDZKIM I ENDOGENICZNYM POSTĘPIE WIEDZY
1. Wstęp
Wzrost gospodarczy jest zjawiskiem ważnym i bardzo złożonym. Od wielu lat skupia
na sobie uwagę ekonomistów chcących je zbadać. Istotnym powodem budowania modeli
objaśniających zjawisko wzrostu gospodarczego jest chęć poznania źródeł wzrostu,
wyjaśnienia jego szybkości oraz wskazanie czynników go warunkujących. W pracy tej
skupiono uwagę na trzech czynnikach warunkujących wzrost gospodarczy kapitale
fizycznym, ludzkim oraz wzroście wiedzy.
W 1992 roku Mankiw, Romer i Weil rozszerzyli model Solowa uwzględniając kapitał
ludzki. Wiedza w tym modelu jest wszystkim, co nie jest kapitałem i nakładem pracy i
przejawia się jako postęp techniczny. Jednakże we wspomnianym modelu postęp techniczny
jest zmienną egzogeniczną. Znane są różne sposoby ‘’endogenizacji’’ postępu technicznego
np. modele działalności Badawczo-Rozwojowej (wiedza jest produktem wytwarzanym w
oddzielnym sektorze gospodarki) oraz modele akumulacji wiedzy. W pracy proponujemy
pewien mechanizm uzależniający stopę postępu technicznego od stóp wzrostu kapitału
ludzkiego i fizycznego (efekty zewnętrzne kapitału ludzkiego i fizycznego).
2. Model Mankiwa-Romera-Weila z endogenicznym wzrostem wiedzy
Rozważamy gospodarkę, której produkt Y( t ) jest wytwarzany przy użyciu czterech
czynników produkcji: kapitału fizycznego K ( t ) , kapitału ludzkiego H( t ) , nakładu pracy
L( t ) oraz wiedzy A( t ) interpretowanej jako postęp techniczny. Wytworzony produkt jest
przeznaczany na konsumpcję oraz na inwestycje, które są równe oszczędnościom, w kapitał
ludzki i fizyczny. Przy założeniu neutralności w sensie Harroda postępu technicznego (postęp
techniczny potęguje wydajność pracy) funkcja produkcji przyjmuje postać
Y( t ) = F(K ( t ), H( t ), A( t )L( t )) .
Zakładamy, że stała część s K ∈ (0,1) produktu jest przeznaczana na inwestycje w kapitał
fizyczny
•
K ( t ) = s K Y( t )
(1)
oraz że ludność (równa liczbie osób pracujących) wzrasta w egzogenicznym tempie n > 0
•
L( t ) = nL( t ) .
(2)
Dodatkowo uwzględniamy stałą stopę δ K > 0 deprecjacji kapitału fizycznego. Równanie
określające akumulację kapitału fizycznego przyjmuje postać:
•
K ( t ) = s K Y( t ) − δ K K ( t ) .
(3)
Akumulacja kapitału ludzkiego jest modelowana w podobny sposób jak kapitału
fizycznego i po uwzględnieniu deprecjacji równanie opisujące akumulację kapitału ludzkiego
O pewnym modelu wzrostu gospodarczego z kapitałem ludzkim i endogenicznym ...
19
przyjmuje postać:
•
H( t ) = s H Y( t ) − δ H H( t ) ,
(4)
gdzie s H ∈ (0, 1) określa część produktu przeznaczana na akumulację kapitału ludzkiego,
δ H > 0 jest stałą stopą deprecjacji kapitału ludzkiego. Oczywiście łączna część produktu
przeznaczana na inwestycje s = s H + s K ∈ (0, 1) . Mankiw, Romer i Weil podobnie jak w Solow
zakładali stały i egzogeniczny wzrost wiedzy według stopy x > 0 :
•
A( t )
=x.
(5)
A( t )
Obecnie rezygnujemy z tego założenia i proponujemy rozważenie alternatywnego
założenia dotyczącego wzrostu wiedzy. Będziemy zakładać, że stopa wzrostu wiedzy oprócz
stałej i egzogenicznej części, zależy także od stóp wzrostu kapitału fizycznego i ludzkiego.
Nowe równanie opisujące endogeniczny mechanizm wzrostu wiedzy przyjmuje postać:
•
•
•
A( t )
K
H
= x+ µ + λ ,
(6)
A( t )
K
H
gdzie µ, λ, (λ + µ) ∈ (0,1) określają jak silny jest wpływ stóp wzrostu obydwu typów kapitału
na akumulację wiedzy. Przyjęcie powyższego sposobu modelowania procesu wzrostu wiedzy
uwzględnia pozytywne efekty zewnętrzne związane ze wzrostem zasobu kapitału fizycznego i
ludzkiego.
Równania (2), (3), (4), (6) stanowią kompletny model będący rozszerzeniem modelu
Mankiwa-Romera-Weila o endogeniczny mechanizm wzrostu wiedzy. W dalszych
rozważaniach przyjmiemy funkcję produkcji Cobba-Douglasa, zatem
F(K, H, AL) = K α H β (AL)1−α −β , α, β, α + β ∈ (0,1) .
Niech
K(t)
H( t )
k≡
oraz h ≡
A ( t ) L( t )
A ( t ) L( t )
oznaczają zasób kapitału fizycznego i ludzkiego na jednostkę efektywnej pracy. Równanie
opisujące akumulację kapitału fizycznego przypadającego na jednostkę efektywnej pracy
przyjmuje postać:
•
k = (1 − µ)s K k α h β − λs H k α +1h β−1 − [(1 − µ)δ K − λδ H + x + n ]k .
(7)
Równanie opisujące akumulację kapitału ludzkiego przypadającego na jednostkę efektywnej
pracy dane jest wzorem:
•
h = (1 − λ)s H k α h β − µs K k α −1h β+1 − [(1 − λ )δ H − µδ K + x + n ]h .
(8)
Układ równań (7) i (8) stanowi kompletny model Mankiwa-Romera-Weila poszerzony o
endogeniczny mechanizm wzrostu wiedzy naukowo-technicznej.
Układ równań (7) i (8) jest nieliniowym układem dwóch równań różniczkowych
zwyczajnych. Jego analizę rozpoczynamy od wyznaczenia punktów równowagi tzn. takich
wartości zmiennych h i k , dla których omawiany układ równań osiągnął stan równowagi.
Punkty równowagi zwane także rozwiązaniami osobliwymi lub punktami krytycznymi
odpowiadają zerowaniu się prawych stron układu równań (7) i (8), czyli są rozwiązaniami
układu równań:
(1 − µ)s K k α h β − λs H k α +1h β−1 − [(1 − µ)δ K − λδ H + x + n ]k = 0 ,
(9)
(1 − λ )s H k α h β − µs K k α −1h β+1 − [(1 − λ )δ H − µδ K + x + n ]h = 0 .
Twierdzenie
(10)
20
Robert Kruszewski
Przy poczynionych założeniach układ równań (9), (10) posiada dokładnie jedno rozwiązania
(h* , k* ) .■
Uzasadnienie powyższego twierdzenia oraz własności dynamiczne jedynego stanu
zrównoważonego wzrostu ilustruje rysunek 1 zawierający uproszczony diagram fazowy
•
•
analizowanej gospodarki. Krzywa podziału k = 0 oraz h = 0 przecinają się w jednym
punkcie E reprezentującym położenie równowagi analizowanej gospodarki. Strzałki określają
ruch zmiennych k, h w każdym z obszarów płaszczyzny fazowej wyznaczonych przez krzywe
podziału.
Rysunek 1. Diagram fazowy.
Źródło: opracowanie własne.
Początkowe wartości K, H, i L określają początkowe wartości zmiennych h i k .
Rysunek 1 przedstawia dynamikę obu wielkości: kapitału ludzkiego i fizycznego na jednostkę
efektywnej pracy. Punkt E jest punktem, w którym gospodarka osiąga równowagi. Położenie
to jest stabilne globalnie tzn. niezależnie od wartości początkowych zmiennych h oraz k
gospodarka ewoluuje w kierunku punktu E i gdy go osiągnie pozostaje w nim.
Kiedy gospodarka osiągnie punkt E znajdzie się wtedy na zrównoważonej ścieżce
wzrostu. Wzdłuż zrównoważonej ścieżki wzrostu wielkości k , h i y są stałe. W modelu z
egzogenicznym postępem wiedzy całkowity kapitał ludzki, fizyczny i całkowita produkcja
wzrastają w tempie n + x a kapitał fizyczny, ludzki i produkcja przypadające na głowę
efektywnego pracownika wzrastają w tempie egzogenicznego postępu technologicznego x .
W analizowanym modelu stopy wzrostu zasobu kapitału ludzkiego i fizycznego
przypadającego na jednostkę efektywnej pracy wyrażają się wzorami:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
k K A L K
K
H
R k = = − − = − x − µ − λ − n,
H
k K A L K
K
h H A L H
K
H
R h = = − − = − x− µ − λ − n .
h H A L H
H
K
W stanie zrównoważonego wzrostu powyższe stopy są równe zero, zatem wyznaczenie stóp
wzrostu całkowitego zasobu kapitału ludzkiego i fizycznego sprowadza się do rozwiązania
następującego układu równań:
O pewnym modelu wzrostu gospodarczego z kapitałem ludzkim i endogenicznym ...
21
•
•

K
H
 (1 − µ) − λ − x − n = 0

K
H

•
•
 K
H
− µ K + (1 − λ ) H − x − n = 0.

Stopy wzrostu całkowitych zasobów kapitału fizycznego i ludzkiego są sobie równe i
wynoszą:
•
•
K H
n+x
.
R K ,H = = =
K H 1− µ − λ
Na ścieżce zrównoważonego wzrostu produkt na jednostkę efektywnej pracy wyraża się
zależnością
•
•
•
•
•
•
•
y Y A L Y
K
H
R y = = − − = − x− µ − λ − n = 0 .
y Y A L Y
K
H
•
•
K H
stopa wzrostu całkowitej
,
Po podstawieniu wcześniej otrzymanych zależności na
K H
produkcji w stanie zrównoważonego wzrostu jest równa
•
Y
n+x
.
RY = =
Y 1− µ − λ
Stopy wzrostu całkowitej produkcji, zasobu kapitału ludzkiego i fizycznego w modelu z
endogenicznym wzrostem wiedzy technicznej są wyższe od analogicznych stóp wzrostu w
modelu z egzogeniczną stopą postępu technicznego ( λ, µ, (λ + µ) ∈ (0,1) ).
Podobnie stopy wzrostu per capita kapitału fizycznego, ludzkiego i produktu są sobie równe i
wynoszą
x + n (λ + µ)
R k ,h , y =
.
1− µ − λ
Porównamy teraz stopy wzrostu w modelu z endogenicznym i egzogenicznym wzrostem
wiedzy. Stosunek stóp całkowitego zasobu kapitału ludzkiego, fizycznego i produktu jest
równy:
n+x
1
1− µ − λ
RX =
,
=
n+x
1− µ − λ
gdzie X oznacza całkowity zasób kapitału ludzkiego i fizycznego oraz całkowitą produkcję.
Powyższy iloraz stóp zależy jedynie od parametrów λ, µ określających siłę efektów
zewnętrznych obydwu typów kapitału na proces wzrostu wiedzy.
22
Robert Kruszewski
Rysunek 2. Stosunek stóp wzrostu całkowitego zasobu kapitału ludzkiego, fizycznego oraz
całkowitej konsumpcji w modelach z endogenicznym i egzogenicznym wzrostem wiedzy w
zależności od wartości parametrów λ, µ .
Źródło: opracowanie własne.
Stosunek stóp wzrostu wielkości per capita w modelu z endogeniczną i egzogeniczną
stopą wzrostu wiedzy jest równy:
x + n (λ + µ)
x + n (λ + µ )
1− µ − λ
RX/L =
.
=
x
x (1 − µ − λ )
Dla wielkości per capita iloraz stóp wzrostu zależy dodatkowo także od od stóp wzrostu
populacji i egzogenicznej części stopy wzrostu wiedzy i są również wyższe dla modelu z
endogeniczną stopą wzrostu wiedzy. Rysunek 3 przedstawia stosunek stóp per capita,
dodatkowo przyjęliśmy, że populacja (nakład pracy) wzrasta w tempie 0.01 oraz
egzogeniczna część stopy wzrostu wiedzy jest równa x=0.02.
Rysunek 3. Stosunek stóp wzrostu zasobu kapitału ludzkiego, fizycznego, konsumpcji oraz
produkcji per capita w modelach z endogenicznym i egzogenicznym wzrostem wiedzy w
O pewnym modelu wzrostu gospodarczego z kapitałem ludzkim i endogenicznym ...
23
zależności od wartości parametrów λ, µ .
Źródło: opracowanie własne.
3. Implikacje ilościowe
Długookresowe stopy wzrostu w badanym modelu są stałe i określone przez wielkości
egzogeniczne. Dodatkowo założona stałość przychodów względem skali powodują, że model
ten nie jest w stanie wskazać źródeł oraz wyjaśnić wszechświatowego wzrostu. Wykażemy,
że badany model może potencjalnie tłumaczyć duże różnice w dochodu między krajami. W
tym celu rozwiążemy układ (9), (10) dla poziomu produktu na jednostkę efektywnej pracy na
ścieżce zrównoważonego wzrostu y * . Niech k * , h * oznaczają wartości obydwu typów
•
•
kapitału w położeniu równowagi. Ponieważ w stanie równowagi k = h = 0 , to z (9) oraz (10)
wynika:
α
β
α +1
β−1
(1 − µ)s K k * h * − λs H k * h * = [(1 − µ)δ K − λδ H + x + n ]k *
(1 − λ )s H k * h * − µs K k * h * = [(1 − λ )δ H − µδ K + x + n ]h *
A po przekształceniach :
n + x + (1 − λ − µ)δ H 
α
β
 = [(1 − µ)δ K − λδ H + x + n ]k *
k * h *  s K (1 − µ − λ
n + x + (1 − λ − µ)δ K 

n + x + (1 − λ − µ)δ K 
α
β
 = [(1 − λ )δ H − µδ K + x + n ]h *
k * h *  s K (1 − λ − µ
n + x + (1 − λ − µ)δ H 

Logarytmując stronami otrzymujemy:
α
β
α −1
β +1

n + x + (1 − λ − µ)δ H 
 = ln[(1 − µ)δ K − λδ H + x + n ] + ln k *
α ln k * + β ln h * + ln s K + ln1 − µ − λ
n + x + (1 − λ − µ)δ K 


n + x + (1 − λ − µ)δ K 
 = ln[(1 − λ )δ H − µδ K + x + n ] + ln h *
α ln k * + β ln h * + ln s K + ln (1 − λ − µ
n + x + (1 − λ − µ)δ H 

Rozwiązując powyższe równania liniowe względem ln k * oraz ln h * uzyskujemy:
1− β
1
β
ln ϑs K +
ln ωs H −
ln[(1 − µ)δ K − λδ H + x + n ],
1− α − β
1− α − β
1− α − β
1− α
1
α
ln h * =
ln ϑs K +
ln ωs H −
ln[(1 − λ )δ H − µδ K + x + n ] ,
1− α − β
1− α − β
1− α − β
ln k * =
gdzie
n + x + (1 − λ − µ)δ H
,
n + x + (1 − λ − µ)δ K
n + x + (1 − λ − µ)δ K
ω = 1− λ − µ
.
n + x + (1 − λ − µ)δ H
Następnie logarytmując funkcję produkcji na ścieżce zrównoważonego wzrostu
otrzymujemy:
ln y * = α ln k * + β ln h * .
(11)
Do oceny ilościowych implikacji modelu niezbędne jest oszacowanie parametru β ,
określającego udział kapitału ludzkiego w produkcie rozpatrywanej gospodarki. Skorzystamy
ϑ = 1− µ − λ
24
Robert Kruszewski
1
4
<β< .
3
9
Weźmy pod uwagę dwa kraje z tą samą funkcją produkcji i ta samą technologią. Zakładamy,
że α = 0.35 , β = 0.4 . W pierwszym kraju s K = 0.15 , s H = 0.1 , λ = 0.1 , µ = 0.2 , n = 0.01 ,
x = 0.02 . W drugim kraju s K = 0.3 , s H = 0.2 , λ = 0.13 , µ = 0.26 , n = 0.008 , x = 0.016 .
Stopy deprecjacji w obydwu krajach są takie same i równe δ K = 0.04 , δ H = 0.03 . Z równania
(11) wynika, że rozpiętości te prowadzą do następującej różnicy logarytmów produktu
przypadającego na jednostkę efektywnej pracy na ścieżce zrównoważonego wzrostu:
ln y *2 − ln y1* ≈ 3.56 − 1.34 = 2.22 .
Ponieważ e 2, 22 ≈ 9.2 , to produkt na jednostkę efektywnej pracy w drugiej gospodarce jest
ponad dziewięciokrotnie większy niż w pierwszej gospodarce. Zatem różnice stóp
oszczędności, wzrostu ludności i siły efektów zewnętrznych, które nie są nadzwyczajnie duże,
skutkują występowaniem dużych różnic dochodów.
z oszacowań J.W. Kendricka dla Stanów Zjednoczonych, który wykazuje, że
4. Wnioski
W niniejszym artykule zaprezentowaliśmy zmodyfikowany model wzrostu
gospodarczego Mankiwa-Romera-Weila. Zmieniony został sposób akumulacji wiedzy. W
oryginalnym modelu wzrost wiedzy odbywał się w stałym egzogenicznym tempie.
Zmodyfikowana reguła opisująca proces wzrostu wiedzy została zmieniona tak, aby
uwzględnić pozytywne efekty zewnętrzne wzrostu zasobów kapitału ludzkiego i fizycznego.
Modyfikacja ta spowodowała, że stopa wzrostu wiedzy stała się wielkością zmienną w czasie,
zależną od pozostały zmiennych endogenicznych, a tym samym nowy model stał się
modelem wzrostu gospodarczego z kapitałem ludzkim i endogenicznym wzroście wiedzy.
Zbadany model charakteryzuje się jednym położeniem równowagi, które jest globalnie
asymptotycznie stabilne. Stopy wzrostu całkowitego produktu, całkowitego zasobu kapitału
ludzkiego i fizycznego są wyższe od stóp wzrostu w modelu z egzogenicznym wzrostem
wiedzy. Podobnie zachowują się stopy wzrostu per capita. Długookresowe stopy wzrostu
wielkości całkowitych jak i per capita zależą od zmiennych egzogenicznych, zatem model ten
nie jest w stanie wyjaśnić zjawiska ogólnoświatowego wzrostu. Zbadany model dobrze
tłumaczy duże różnice w dochodzie między krajami. Niewielkie zmiany stóp inwestycji i siły
efektów zewnętrznych kapitału powodują duże rozpiętości w dochodzie per capita.
SPIS LITERATURY:
1. J.W. Kendrick, The Formation and Stocks of Total Capital, Columbia University Press,
New York 1976
2. N.G. Mankiw, D. Romer, N. Weil, A Contribution to the Empirics of Economic Growth,
Quarterly Journal of Economics, May 1992, s. 407-437
3. T. Tokarski, Determinanty wzrostu gospodarczego w warunkach stałych efektów skali,
Katedra Ekonomii Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2001