Praca semestralna nr 3

Błażej Wróbel
Uniwersytet Wrocławski
Układy falkowe w wagowych i bezwagowych przestrzeniach
funkcji całkowalnych
Praca semestralna nr 3
(semestr letni 2011/12)
Opiekun pracy: prof. dr hab. Leszek Skrzypczak
Układy falkowe w wagowych i bezwagowych
przestrzeniach funkcji całkowalnych
Błażej Wróbel
19 czerwca 2012
Streszczenie
W niniejszej pracy semestralnej zajmiemy się zbadaniem rozwinięć falkowych w
kontekście wagowych przestrzeni Lp . Podamy warunki przy których baza falkowa
jest równocześnie bazą (bezwarunkową lub nie) w tych przestrzeniach. Praca jest
opracowaniem wyników zawartych w [1].
1
Wstęp
Na początek zdefiniujmy obiekty naszych badań. Dla 1 < p < ∞ i miary µ symbolem
Lp (µ) będziemy oznaczać przestrzeń Lp (Rn , dµ). W przypadku, gdy µ jest miarą z
gęstością w(x) wzg. miary Lebesgue’a będziemy pisać Lp (w), zaś gdy w = 1 skrótowo
Lp . Przez k · kp,µ będziemy oznaczać zwykłą normę w przestrzeni Lp (Rn , µ) (gdy
dµ = wdx, będziemy zamiennie pisali k · kLp (w) , zaś gdy w = 1, po prostu k · kp ).
Dla operatora liniowego T : Lp (µ) → Lq (ν) symbol kT kLp (µ)→Lq (ν) będzie oznaczał
jego normę. Gdy w1 = w2 = 1, będziemy pisać w skrócie kT kp→q . Głównym celem
pracy jest zaprezentowanie (z dość szczegółowym dowodem) pewnej charakteryzacji
specjalnych baz falkowych udowodnionej w [1]. Mówimy, że waga (funkcja) w ≥ 0
jest w klasie Muckenhoupta Ap , p ∈ (1, ∞), gdy dla wszystkich kostek Q,
Z
w
Q
1/p Z
w
1
− p−1
Q
1/p0
≤ C|Q|,
gdzie 1/p + 1/p0 = 1, zaś |Q| oznacza miarę Lebesgue’a kostki Q. Definicje poniżej
wyjaśniają, co rozumiemy przez pojęcie bazy (Schaudera bądź bezwarunkowej) w
przestrzeniach Lp .
Definicja 1.1. Mówimy, że układ funkcji fn jest bazą (Schaudera) w przestrzeni
Lp (µ), jeśli
X
∀f ∈ Lp (µ)∃! αn
f=
αn fn ,
n
gdzie szereg jest zbieżny w
Lp (µ).
1
Definicja 1.2. Mówimy, że układ funkcji fn jest
P bazą bezwarunkową w przestrzeni
p
L (µ), jeśli jest P
bazą Schaudera oraz dla f = n αn fn , i każdego wyboru znaków
εn = ±1, szereg n εn αn fn jest zbieżny w Lp (µ) i zachodzi oszacowanie
X
εn αn fn ≤ Ckf kp,µ .
n
p,µ
Uwaga. Zwykle podawanym jako definicyjny, warunkiem równoważnym temu z Definicji 1.2 jest m.in. następujący. Mówimy, że układ funkcji fn jest bazą bezwarunkową w przestrzeni Lp (µ), jeśli jest bazą Schaudera i dla każdej permutacji σ : N → N
X
X
ασ(n) fσ(n) ,
αn fn =
f=
n
n
gdzie szeregi powyżej są zbieżne w Lp (µ). Dla dowodu równoważności odsyłamy
czytelnika do [2, Tw. 6.4]. Warto przypomnieć, że przestrzeń L1 nie posiada bazy
bezwarunkowej, vide np. [3, II.D.10].
W całej pracy j oznacza liczbę całkowitą, zaś k - wektor z Zn . Przez |·| oznaczamy
zarówno moduł liczby, jak i długość wektora. Zawsze jednak z kontekstu będzie
jasne, co mamy na myśli.
2
2.1
Wprowadzenie
Układ trygonometryczny vs falka Haara
Zanim przejdziemy do rozważania układów falkowych zajmijmy się na moment klasycznym układem trygonometrycznym {e2πinx }n∈Z . Jak wiadomo jest to baza ortonormalna w L2 ([0, 1], dx). Jest to oczywiście baza bezwarunkowa, jak każda baza
przestrzeni Hilberta. W ogólnych przestrzeniach Lp , 1 < p < ∞ zachodzi natomiast
następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.1. Układ {e2πinx }n∈Z w przestrzeni Lp ([0, 1], dx) jest
(i) bazą Schaudera (przy ustawieniu elementów układu w porządku {0, −1, 1, −2, 2, . . .})
wtedy i tylko wtedy, gdy 1 < p < ∞
(ii) bazą bezwarunkową wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2.
Mimo prostoty sformułowania dowód powyższego twierdzenia jest daleki od elementarnego. Punkt (i) jest konsewkencją m.in. faktu, że operatory sum częsciowych
SN f (x) =
N
X
fˆ(n)e2πinx ,
n=−N
mają wspólnie ograniczone normy dokładnie wtedy gdy 1 < p < ∞. Dowód punktu
(ii) może być natomiast oparty na Twierdzeniu Orlicza o bezwarunkowej zbieżności
szeregów w Lp (vide [2, Theorem 2.37]), które z kolei jest konsekwencją nierówności Chińczyna. Czytelnika zainteresowanego pełnym dowodem Twierdzenia 2.1
odsyłamy do [2, Theorem 4.25].
W przeciwieństwie do układu trygonometrycznego najprostszy układ falkowy , tj.
układ Haara jest bazą bezwarunkową we wszystkich przestrzeniach Lp , 1 < p < ∞.
2
Twierdzenie 2.2. Niech ψ(x) = χ[0,1/2) − χ[1/2,1) będzie falką Haara. Wówczas
układ falkowy {ψj,k (x)}j,k∈Z = {2j/2 ψ(2j x − k)}j,k∈Z jest bazą bezwarunkową przestrzeni Lp (R) dla 1 < p < ∞.
Dowód Twierdzenia 2.2 (a dokładniej jego ogólniejszej wersji) jest zawarty np. w [4,
Rozdział 8].
2.2
Falki i analiza wieloskalowa
Ponieważ chcemy zajmować się badaniem bezwarunkowości baz falkowych podamy
teraz definicję falki (na L2 (R, dx)).
Definicja 2.1. Funkcję ψ ∈ L2 (R, dx) nazywamy falką, gdy
{ψj,k (x)}j,k∈Z = {2j/2 Ψ(2j x − k)(x)}j,k∈Z
stanowi bazę ortonormalną w przestrzeni L2 (R, dx). Układ {ψj,k }j,k∈Z nazywamy
wówczas układem falkowym dla falki ψ.
Gdy rozważamy wymiary n > 1 falki zostają zastąpione przez tzw. zbiory falkowe.
Definicja 2.2. Zbiór funkcji {ψ s : s = 1, . . . 2n − 1} ⊂ L2 (Rn , dx), nazywamy
zbiorem falkowym, gdy
s
(x)}j∈Z,k∈Zn ,s=1,...,2n −1 = {2nj/2 Ψs (2j x − k)(x)}j∈Z,k∈Zn ,s=1,...,2n −1
{ψj,k
stanowi bazę ortonormalną w przestrzeni L2 (Rn , dx). Układ {ψj,k }j,k∈Z nazywamy
wówczas układem falkowym dla zbioru falkowego {ψ s }s=1,...,2n −1 .
Do tworzenia ogólnych układów falkowych na L2 (Rn , dx) będziemy stosować tzw.
Analizę Wieloskalową (Multiresulotion Analsysi - MRA). Idea ta powstała w końcu
lat 80-tych, a pochodzi od Stephane’a Mallata i Yves Meyer’a.
Definicja 2.3. Analizą wieloskalową na Rn nazywamy ciąg domkniętych podprzestrzeni {Vj }j∈Z przestrzeni L2 (Rn , dx) spełniający następujące warunki
(a) · · · ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ · · ·
S
(b) j∈Z jest gęste w L2 (Rn , dx)
T
(c) j∈Z = {0}
(d) f ∈ Vj ⇐⇒ f (2x) ∈ Vj+1
(e) Istnieje funkcja Φ ∈ V0 , zwana funkcją skalującą, taka, że układ {Φ(t−γ)}γ∈Zn
jest bazą ortonormalną w V0
Wówczas rodzina {φm,k = 2nm/2 φ(2m x − k) : k ∈ Zn } stanowi bazę ortonormalną na Vm , i możemy rozpatrywać rzuty ortogonalne na Vm , dane przez
X
Pm f =
hf, φm,k i.
k∈Zn
Dla udowdonienia głównego twierdzenia musimy ograniczyć się do funkcji skalujących z klasy RB, zdefiniowanych poniżej.
3
Definicja 2.4. Mówimy, że funkcja Ψ ∈ RB, jeśli istnieje radialnie malejąca funkcja
η ∈ L1 , taka, że |Φ(x)| ≤ η(x) oraz η(0) < ∞.
Przy założeniu, że Φ ∈ RB, operatory Pm mogą być zapisane jako
Z
Pm f (x) =
Pm (x, y)f (y) dy,
Rn
gdzie
Pm (x, y) = 2nm
X
k∈Zn
(2.1)
Φ(2m x − k)Φ(2m y − k).
Co więcej, operatory Pm f mogą być również zapisane w terminach falek, mianowicie
X
s
s
Pm f (x) =
hf, ψj,k
iψj,k
,
(2.2)
j≤m,k,s
w sensie L2 .
W Definicji 2.3 o funkcji Φ nie zakłada się nic ponad (e). W pracy jednak
będziemy się ograniczać do pewnej specjalnej klasy analiz wieloskalowych.
Definicja 2.5. Mówimy, że analiza wieloskalowa jest r-regularna, jeśli dla wszysktich multiindeksów |α| ≤ r funkcja skalująca Φ spełnia
|∂ α Φ(x)| ≤ Cm (1 + |x|)−m ,
m ∈ N.
Uwaga. Istnienie r-regularnych funkcji skalujących nie jest oczywiste. Przykłady to
funkcje skalujące dla pewnej podklasy falek Meyera, a także funkcje skalujące dla
falek Daubechies. Zainteresowanego czytelnika odsylamy do [4, Rozdział 4].
Analiza wieloskalowa jest ściśle związana ze zbiorami falkowymi. Zachodzi mianowicie następujące twierdzenie, którego dowód można znaleźć w [4][Twierdzenie
6.10].
Twierdzenie 2.3. Dla każdej analizy wieloskalowej na Rn istnieje zbiór falkowy
n
związany z tą analizą wieloskalową, składający się z 2n − 1 funkcji ψ 1 , . . . , ψ 2 −1 .
Co więcej, jeśli analiza wieloskalowa jest r-regularna, to zbiór falkowy można wybrać
tak, aby
|∂ α Ψs (x)| ≤ Cm,s (1 + |x|)−m ,
m ∈ N,
s = 1, . . . , 2n − 1.
Czytelnika zainteresowanego sposobem wyboru zbioru falkowego dla zadanej analizy
wieloskalowej odsyłamy do [4][Rozdział 6].
3
Główne wyniki i pomocnicze lematy
W poniższej pracy skupimy się na dowodzie następującego twierdzenia z [1] (Tw. 4).
Twierdzenie 3.1. Niech {Vj }j∈Z będzie 1-regularną analizą wieloskalową z funkcją
skalującą Φ ∈ RB. Niech {ψ s : s = 1, . . . 2n − 1} będzie zbiorem falkowym związanym z analizą wieloskalową {Vj }j∈Z . Niech µ będzie dodatnią, skończoną na zbiorach
zwartych, miarą Borelowską na Rn . Ustalmy p ∈ (1, ∞). Wówczas następujące warunki są równoważne
4
s (x) : j ∈ Z, k ∈ Zn , λ = 1, . . . , 2n − 1} stanowi bazę bezwarunkową w
a) ciąg {ψj,k
s )∗ (f ) = hf, ψ s i są ograniczone na Lp (µ),
przestrzeni Lp (µ) i funkcjonały (ψj,k
j,k
b) µ jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a z gęstością w ∈ Ap .
s k p
c) dla wszystkich j ∈ Z, k ∈ Zn , λ = 1, . . . , 2n − 1, kψj,k
L (µ) > 0 oraz istnieją
stałe C1 > 0 i C2 > 0 takie, że

1/2 X
hf, ψ s iψ s 2  C1 kf kp,µ ≤ 
≤ C2 kf kp,µ .
j,k
j,k
n
n
j∈Z,k∈Z ,s=1,...,2 −1
p,µ
R
Uwaga. Symbol hf, gi będzie dla nas zawsze oznaczał f (x)g(x) dx. Jesteśmy przede
wszystkim zainteresowani pokazaniem równoważności a) z b), jednak warunek c) będzie nam potrzebny w dowodzie implikacji b) ⇒ a). Warunek c) to właściwie nierówność typu Paleya-Litlewooda dla układu falkowego. Dowód Twierdzenia 3.1 opieramy na wynikach zawartych w [1]. Potrzebujemy jeszcze pewnego pomocniczego
twierdzenia, wyrażonego w języku słabo dodatnich jąder całkowych zdefiniowanych
poniżej.
Definicja 3.1. Niech lj będzie nierosnącym ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych
takich, że lj → 0, gdy j → ∞, oraz lj → ∞, gdy j → −∞. Mówimy, że rodzina jąder
Kj : Rn × Rn → R jest słabo dodatnia, gdy istnieje ciąg lj jak powyżej i dodatnia
stała C, taka, że
{(x, y) ∈ Rn × Rn : |x − y| < lj } ⊂ {(x, y) ∈ Rn × Rn : Kj (x, y) > C(lj+1 )−n }.
Uwaga. Tak naprawdę będziemy używać tylko lj = δ2jM , dla pewych δ > 0 i M ∈ N.
Twierdzenie , które jest kluczowe dla dowodu Twierdzenia 3.1 brzmi następująco.
Twierdzenie 3.2. Niech p ∈ (1, ∞). Niech L∞
c będzie zbiorem ograniczonych funkcji
o nośniku zwartym i niech µ będzie dodatnią, skończoną na zbiorach zwartych, miarą
Borelowską na Rn . Zdefiniujmy Tj jako operatory całkowe ze słabo dodatnimi jądrami
całkowymi Kj , tj.
Z
Tj f (x) = Kj (x, y)f (y) dy,
f ∈ L∞
c .
Załóżmy, że rodzina Tj jest jednostajnie słabego typu (p, p) względem miary µ, tzn.
istnieje stała C > 0, niezależna od j i taka, że
Z
1/p
−1
(µ({x : |Tj f (x)| > λ})) ≤ Cλ
|f |p dµ = Cλ−1 kf kp,µ ,
λ > 0, f ∈ L∞
c .
(3.1)
Wówczas miara µ jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a z gęstością w ∈
Ap .
Dowód. Postępujemy jak w [1, Theorem 1]. Pokażemy najpierw, że µ jest absolutnie
ciągła względem miary Lebesgue’a. Wykorzystamy w tym celu (3.1) oraz fakt, że
słaba dodatniość jąder Kj implikuje, że jeśli x i y są odpowiednio (proporcjonalnie do
lj ) blisko, to Kj (x, y) musi być duże (proporcjonalnie do C(lj+1 )−n ). Niech |E| = 0 i
5
ustalmy ε > 0. Ponieważ µ jest regularna (bo jest skończona na zbiorach zwartych),
to istnieje zbiór otwarty E ⊂ U taki, że µ(U \ E) < ε. Zbiór U można zapisać jako
przeliczalną sumę rozłącznych kostek diadycznych Qi o średnicach diam(Qi ) = di .
Niech lj będzie odpowiednim ciągiem z Definicji 3.1 stowarzyszonym z jądrami Kj .
Z założeń o ciągu lj , dla każdego i istnieje ji takie, że lji +1 ≤ di ≤ lji . Wówczas,
jeśli x, y ∈ Qi , to |x − y| ≤ lji , a stąd Kji (x, y) ≥ C(lji +1 )−n . Zatem, korzystając
tego, że |E| = 0 (ostatnia nierówność poniżej), dla x ∈ Qi ,
Z
|Tji χQi \E (x)| =
Kji (x, y)χQi \E (y) dy ≥ C(lji +1 )−n |Qi \ E| ≥ Cd−n
i |Qi | = cn ,
Qi
gdzie cn jest stałą zależną tylko od wymiaru. Nierówność powyżej wraz z założeniem
(3.1) implikuje, że
p
−p
µ(Qi ) ≤ µ({x : |Tji χQi \E (x)| ≥ cn }) ≤ Cc−p
n kχQi \E kp,µ = Ccn µ(Qi \ E).
Stąd już łatwo otrzymujemy
X
X
µ(U ) =
µ(Qi ) ≤ Cc−p
µ(Qi \ E) < Cc−p
n
n ε.
i
i
Z dowolności ε > 0 dostajemy stąd, że µ(E) = 0. Z twierdzenia Radona-Nikodyma
wnosimy istnienie lokalnie całkowalnej fukcji w takiej, że dµ(x) = w(x) dx.
Pokażemy teraz, że w ∈ Ap . Niech Q będzie dowolną kostką diadyczną i niech j0
−
1
będzie takie, że lj0 +1 ≤ diam(Q) ≤ lj0 . Niech dla δ > 0, w̃δ = (w + δ) p−1 . Wówczas
ponieważ x, y ∈ Q, to |x − y| ≤ lj0 , mamy
Z
Z
− 1
−n
−1
|Tj0 (w̃δ χQ )(x)| = Kj0 (x, y)w̃δ (y) dy > C(lj0 +1 ) ≥ cn |Q|
(w + δ) p−1 ≡ λ.
Q
Q
Z nierówności (3.1) wynika teraz, że
Z
w = µ(Q) ≤ µ({x : |Tj0 (w̃δ χQ )(x)| > λ})
Q
−p
≤ Cλ
Z
(w + δ)
p
− p−1
Q
p
w ≤ Ccn |Q|
Z
Q
(w + δ)
1
− p−1
1−p
.
Z dowolności δ > 0 i twierdzenia Lebsegue’a o zbieżności monotonicznej dostajemy
stąd, że
Z
p−1
Z
1
− p−1
w
(w + δ)
≤ Ccn |Q|p .
Q
Q
Zatem w ∈ Ap .
4
Dowód Twierdzenia 3.1
I. Dowód a) ⇒ b). Ponieważ układ falkowy jest ortogonalny, z a) wynika, że
X
s
s
f=
hf, ψj,k
iψj,k
,
f ∈ Lp (µ)
j,k,s
6
gdzie szereg powyżej jest zbieżny w Lp (µ). Istotnie, z a) wiemy, że
X
s
f=
αj,k,l ψj,k
.
j,k,s
s , ·i i ortonormalności układu falkowego, α
Korzystając teraz z ciągłości hψj,k
j0 ,k0 ,l0 =
s0
hf, ψj0 ,k0 i.
Pokażemy teraz, że z a) wynika, że µ(E) = 0 ⇐⇒ |E| = 0, tzn. µ jest
równoważna mierze Lebesgue’a. Istotnie, jeśli µ(E) = 0, to
X
s
s
0 = χE =
hχE , ψj,k
iψj,k
,
µ − p. w. .
j,k,s
s i = 0, dla wszystZ jednoznaczości przedstawienia w bazie bezwarunkowej hχE , ψj,k
kich j, k, s. To oznacza, że χE jest ortogonalna w L2 (dx) do całego układu falkowego,
zatem χE = 0 w L2 (dx) i stąd |E| = 0. Odwrotnie, załóżmy teraz, że |E| = 0. Wówczas
X
s
s
iψj,k
= 0,
µ − p. w. .
χE =
hχE , ψj,k
j,k,s
Zatem µ(E) = 0.
Z a) i Tw. 6.4 z [2] wynika teraz, że operatory sum częściowych
X
s
s
iψj,k
Sm f =
hf, ψj,k
j≤m,k,s
mają wspólnie ograniczone normy na Lp (µ). Istotnie, operator Sm można zapisać
jako
X
s
s
.
iψj,k
Sm f =
χ{(j,k,s) : j≤m} hf, ψj,k
j,k,s
Przy założeniu a), Sm f = Pm f, dla f ∈ L∞
c , gdzie Sm jest zdefiniowane wyżej
na Lp (µ), zaś Pm jest zdefiniowane na L2 przez (2.2). Istotnie, jeśli f ∈ L∞
c , to
2
p
f ∈ L ∩ L (µ), a stąd ponieważ µ jest równoważne mierze Lebesgue’a, Sm f (x) =
Pm f (x), p.w.. A zatem
kPm f kp,µ ≤ Ckf kp,µ ,
f ∈ L∞
c
ze stałą C > 0, niezależną od m.
Z nierówności powyżej i faktu, że słaby typ implikuje mocny widzimy, że Pm
spełniają (3.1) z Twierdzenia 3.2. Jeśli więc pokażemy, że ich jądra całkowe Pm (x, y)
zdefinowane przez (2.1) są słabo dodatnie, to dowód implikacji a) ⇒ b) będzie
zakończony. W tym celu wystarczy pokazać, że dla pewnych ε, δ > 0, rodzina
P0 (x, y) spełnia
{(x, y) ∈ R2n : |x − y| < δ} ⊂ {(x, y) ∈ R2n : P0 (x, y) > ε}.
(4.1)
Istotnie, jeśli (4.1) zachodzi, to po przeskalowaniu widzimy, że {Pm (x, y)} jest rodziną słabo dodatnich jąder z lm = δ2−m , C = 2−n δ n ε.
Skupimy się teraz na pokazaniu (4.1). Ponieważ Φ ∈ RB i Φ jest 1-regularna,
to szereg P0 (x, y) jest zbieżny jednostajnie na kostce K2 = [−2, 2]n i określa na niej
7
funkcje ciągłą. Funkcja Φ jest 1-regularna, zatem Φ ∈ L1 ∩L2 . ZPprostego uogólnienia
[4][Stwierdzenie 3.17] na Rn i z ciągłości Φ wynika teraz, że | k∈Zn Φ(x − k)| = 1,
dla wszystkich x ∈ Rn . Stąd wnosimy, że P0 (x, x) ≥ α0 > 0 dla x ∈ K2 . Istotnie,
jeśli x ∈ K2 , to dla pewnego k0 = k0 (x), |Φ(x − k0 )|P
> 0, zatem P0 (x, x) > 0, dla
x ∈ K2 . Z ciągłości P0 wynika stąd, że P0 (x, x) = k∈Zn |Φ(x − k)|2 ≥ α0 > 0
dla x ∈ K2 . Co więcej, P0 (x + k, x + k) = P0 (x, x), dla wszystkich k ∈ Zn , a
stąd P0 (x, x) ≥ α0 > 0 dla x ∈ Rn . Weżmy teraz 0 < δ < α0 i niech Eδ =
{(x, y) ∈ R2n : P0 (x, y) > δ}. Ponieważ P0 jest ciągła oraz P0 (x, x) > α0 , to Eδ jest
zbiorem otwartym zawierającym przekątną ∆ = {(x, x) : x ∈ Rn }. Zachodzi także
(x, y) ∈ Eδ ⇐⇒ (x + k, y + k) ∈ Eδ . Stąd, po krótkim zastanowieniu wnosimy,
że odległość ε zbioru ∆ od dopełnienia Eδc jest większa od zera, co implikuje (4.1).
Dowód I. jest więc zakończony.
I. Dowód b) ⇒ c). Aby pokazać te implikacje skorzystamy w standardowy sposób z
teorii operatorów Calderóna-Zygmunda oraz nierówności Chińczyna. Udowodnimy
mianowicie, że dla każdego ciągu εsj,k = ±1, i dla każdego N > 0, operatory
Tε,N f (x) =
X
|j|+|k|≤N,s=1,...,2n −1
s
s
(x)
iψj,k
εsj,k hf, ψj,k
(4.2)
są operatorami Calderóna-Zygmunda stowarzyszonymi z jądrami
X
s
s (y),
(x)ψj,k
Kε,N (x, y) =
εsj,k ψj,k
|j|+|k|≤N,s
takimi, że
|∇Kε,N (x, y)| ≤ C|x − y|−d−1 ,
(4.3)
tzn. stała w oszacowaniach standardowych Calderóna-Zygmunda jąder Kε,N nie
zależy od ε, N. Załózmy na moment, że Tε,N są operatorami Calderóna-Zygmunda,
z jądrami spełniającymi (4.3). Wówczas z ograniczoności operatorów CalderónaZygmunda na przestrzeniach Ap dostaniemy, że
kTε,N f kLp (w) ≤ Ckf kLp (w) .
Z ostatniej nierówności, stosując standardową metodę bazującą na nierówności Chińczyna,

1/2 X
2

hf, ψ s iψ s  ≤ C2 kf kLp (w) .
j,k
j,k
|j|+|k|≤N,s=1,...,2n −1
p
L (w)
Z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej wnosimy stąd lewą nierówność
w c), tj. pokazaliśmy, że, jeśli w ∈ Ap , to

1/2 X
2

hf, ψ s i |ψ s |2  ≤ Ckf kp .
(4.4)
j,k
j,k
j,k,s
p
L (w)
8
Prawą nierówność w c) możemy otrzymać przez dualność. Istotnie, ponieważ
jest bazą ortonormalną w L2 , to
s
ψj,k

1/2 2
X

hf, ψ s i2  = kf k22 .
j,k
j,k,s
2
Zatem wyrażenia
BΨ (f, g) =
Z
Rn


X
j,k,s

s
s 
hf, ψj,k
iψj,k
X
j,k,s

s
s 
hg, ψj,k
iψj,k
dx
oraz hf, gi
(4.5)
zadają iloczyny skalarne na L2 indukujące te same normy. Z tożsamości polaryzacyjnej BΨ (f, g) = hf, gi. Teraz dopisując w1/p przy pierwszym, i w−1/p przy drugim
czynniku pod całką w (4.5), a następnie korzystając z nierówności Höldera z p i p0 ,
0
otrzymujemy dla f ∈ L2 ∩ Lp (w), g ∈ L2 ∩ Lp (w),


1/2 1/2 X
X
2
2

hg, ψ s i  hf, ψ s i  .
|hf, gi| ≤ |BΨ (f, g)| ≤ 
j,k
j,k
p0 −p0 /p
p j,k,s
j,k,s
L (w
L (w)
0
Zauważmy teraz, że w ∈ Ap ⇐⇒ w−p /p ∈ Ap0 , zatem z udowodnionej wcześniej
nierówności (4.4) wynika, że

1/2 X
2

s
hf, ψ i  kgkLp0 (w−p0 /p ) .
|hf, gi| ≤ C j,k
p
j,k,s
L (w)
Z powyższego, biorąc gw w miejsce g łatwo już otrzymać, że

1/2 Z
X
2
f g w ≤ C 
hf, ψ s i  kgkLp0 (w) .
j,k
p
j,k,s
L (w)
0
Jeśli teraz weźmiemy supremum po wszystkich g ∈ L2 ∩Lp (w), to otrzymamy prawą
nierówność w c).
Pozostaje pokazać (4.3). Ponieważ Ψs jest 1-regularna możemy różniczkować
szereg w (4.3) wyraz po wyrazie. Pokażemy, że
X
s
s
|∂x1 Kε,N (x, y)| =
|∂x1 ψj,k
(x)ψj,k
(y)| ≤ C|x − y|−n−1 . (4.6)
|j|+|k|≤N,s=1,...,2n −1
Dowód oszacowania pochodnych
po innych współrzędnych jest analogiczny. ZbaP
damy najpierw Is (x, y) = k∈Zn |∂x1 Ψs (x − k)Ψs (y − k)|. Mamy
|Is (x, y)| ≤
X
X
··· +
X
Y
··· +
9
X
R
· · · = IX + IY + IR ,
)
gdzie X = {k ∈ Zn : 2|x − k| ≤ |x − y|}, Y = {k ∈ Zn : 2|y − k| ≥ |x − y|},
Z = X c ∩ Y c ∩ Zn . Zauwazmy, że jeśli k ∈ X, to |y − k| ≥ |x − y| − |x − k| ≥ |x − y|/2.
Zatem z 1-regularności Ψ wynika, że dla dowolnego l ∈ N, l ≥ n + 2,
X
IX ≤ Cl (1 + |x − y|)−l
(1 + |x − k|)−l ≤ Cl (1 + |x − y|)−l .
k∈Zn
i analogicznie IY ≤ Cl (1 + |x − y|)−l . Dla oszacowania IZ stosujemy nierówność
Schwarza
X
IZ ≤
(1 + |x − k|)−l (1 + |y − k|)−l

≤
≤C
Z
X
k : 2|x−k|>|x−y|
X
|k|≥|x−y|
1/2
(1 + |x − k|)−2l 
−2l
(1 + |k|)

×
X
k : 2|y−k|>|x−y|
−2l+n
≤ C(1 + |x − y|)
1/2
(1 + |y − k|)−2l 
≤ C(1 + |x − y|)−l .
pokazaliśmy więc, że dla dowolnego l ≥ n + 2, Is (x, y) ≤ C(1 + |x − y|)−l . Stąd,
s (x) = 2nj/2+j (∂ Ψs )(2j x − k), możemy oszacować
poniewaz ∂x1 ψj,k
x1
X
X
X
|∂x1 Kε,N (x, y)| ≤
2nj+1
|(∂x1 Ψs )(2j x − k)Ψs (2j y − k)|
≤
X
X
s=1,...,2n −1 j∈Z
s=1,...,2n −1 j∈Z
k∈Zn
2(n+1)j |Is (2j x, 2j y)| ≤ C
X
j∈Z
2(n+1)j (1 + 2j |x − y|)−l .
Niech j0 będzie takie, że 2j0 ≤ |x − y|−1 ≤ 2j0 +1 . Wówczas
X
|∂x1 Kε,N (x, y)| ≤ C
2(n+1)j (1 + 2j |x − y|)−l
=C
X
j∈Z
2
(n+1)j
j≤j0
≤C
X
2(n+1)j + C
j≤j0
= C2
(1 + 2j |x − y|)−l + C
(n+1)j0
X
j>j0
X
j>j0
2(n+1)j (1 + 2j |x − y|)−l
2(n+1)j 2(−j+j0 +1)l ≤ C(2(n+1)j0 + 2l 2j0 l 2(n+1−l)j0 )
≤ C|x − y|−n−1 ,
gdzie dla zsumowania drugiego szeregu w pierwszej równości wykorzystaliśmy fakt,
że l ≥ n + 2. Podsumowując, udowodniliśmy (4.3), zatem dowód implikacji b) ⇒ c)
jest zakończony.
s ∈ Lp (dµ). Istotnie, ponieważ {ψ s } jest
I. Dowód c) ⇒ a). Łatwo zauważyc, że ψj,k
j,k
R
s (x)| dx > 0. Połóżmy
bazą ortonormalną w L2 , to istnieje N, że CN = |x|≤N |ψj,k
s )χ
teraz f = sgn(ψj,k
B(0,N ) , gdzie sgn funkcję znaku. Stosując prawą stronę warunku
s k
1/p , a
c) dla pojedynczego składnika sumy, otrzymujemy CN kψj,k
p,µ ≤ Cµ(B(0, N ))
s k
0 −1
1/p . Z c) wynika również, że dla każdego j, k, s
zatem kψj,k
p,µ ≤ (CN ) µ(B(0, N ))
s
funkcjonały f → hf, ψj,k i są ograniczone na Lp (µ). Istotnie, stosując znów prawą
s i| ≤
stronę warunku c) dla pojedynczego składnika sumy, otrzymujemy |hf, ψj,k
s k−1 kf k
kψj,k
p,µ .
p,µ
10
Stosując nierówność Chińczyna, możemy wywnioskować z c), że operatory Tε,N
zdefiniowane przez (4.2) spełniają
X
s
2 s 2
kTε,N f kp,µ ≤ C |hf, ψj,k i| |ψj,k | ≤ Ckf kp,µ ,
(4.7)
|j|+|k|≤N,s=1,...,2n −1
p,µ
oraz
kTε,N − Tε,M f kp,µ
X
s
s
2
s
2
≤C
|εj,k hf, ψj,k i| |ψj,k | M ≤|j|+|k|≤N,s=1,...,2n −1
.
(4.8)
p,µ
Nierówność (4.7) oznacza, że dla każdego wyboru znaków εsj,k operatory sum częściowych Tε,N mają wspólnie ograniczone normy. Z nierówności
twierdzeP (4.8), stosując
s i|2 |ψ s |2 )
nie Lebesgue’a o zbiezności zmajoryzowanej (z majorantą j,k,s |εsj,k |hf, ψj,k
j,k
widzimy, że dla każdego wyboru znaków εsj,k szereg definiujący Tε,N jest zbieżny.
s } jest bazą bezwarunkową pozostaje nam
Dla pokazania, że układ falkowy {ψj,k
P
s iψ s , gdzie szereg zbiega
więc pokazać, że jest bazą Schaudera, tj. f = j,k,s hf, ψj,k
j,k
w Lp (µ). Niech TN = T1,N , tj. ε jest tu ciągiem stale równym 1. Korzystając z c)
(pierwsza nierówność poniżej), ortogonalności układu falkowego i ciągłości w Lp (µ)
s i (równość poniżej), oraz twierdzenia Lebsegue’a o zbiezności
funkcjonałów h·, ψj,k
zmajoryzowanej (druga nierówność poniżej) otrzymujemy,
X
s
2 s 2
lim kTN f − f kp,µ ≤ lim |hTN f − f, ψj,k i| |ψj,k | N →∞
N →∞ j,k,s
p,µ
X
X
s
2
s
2
s
2
s
2
= lim |hf, ψj,k i| |ψj,k | ≤
lim
|hf, ψj,k i| |ψj,k | =0
N →∞ N →∞
|j|+|k|>N,s
|j|+|k|>N,s
p,µ
p,µ
Podziękowania. Dziękuję prof. dr. hab. Leszkowi Skrzypczakowi za zasugerowania tematu pracy semestralnej i życzliwość okazaną mi podczas odbywania stażu
na Uniwersytecie Adama Mickiewicza w Poznaniu.
Literatura
[1] H. A. Aimar, A. L. Bernardis, and F. J. Martín-Reyes, Multiresolution approximations and wavelet bases of weighted Lp spaces, Jour. Four. Anal. App. 9
(2003) 5, 497-510.
[2] C. Heil, Basis theory primer, Springer Basel Ag, 2010.
[3] P. Wojtaszczyk, Banach Spaces for Analysts, Cambridge studies in Advanced
Math. 25, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
[4] P. Wojtaszczyk, Teoria Falek, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2000.
11