10. Własność Darboux. - Agnieszka Natorska
Transkrypt
10. Własność Darboux. - Agnieszka Natorska
§ 10. Własność Darboux. W analizie matematycznej dużą rolę odgrywa własność Darboux. Jest ona stosowana w dowodach twierdzeń i przy rozwiązywaniu zadań dlatego teraz ją przypomnimy i przeprowadzimy dowód (zob. [7], str. 82). Twierdzenie 2.11 ( Własność Darboux). Funkcja ciągła w przedziale domkniętym a Λ xΛ b przechodzi od jednej wartości do drugiej przez wszystkie wartości pośrednie. Znaczy to, że jeśli y jest liczbą pośrednią pomiędzy f (a ) i f (b) (tj. bądź f (a) < y< f (b), bądź f (b) < y< f (a)), to istnieje takie c w przedziale [a, b], że ƒ(c)=y. Dowód tego twierdzenia przeprowadzimy w oparciu o regułę (1.12). Przyjmijmy więc następujące oznaczenia. Niech α będzie zdaniem: Y jest liczbą pośrednią pomiędzy f (a ) i f (b ) (tj. bądź f (a ) < y< f (b ) , bądź f ( b) < y< f (a) ). β niech będzie zdaniem: Istnieje c w przedziale [a, b] , że f (c ) = y. Dowód: Twierdzenie udowodnimy przez sprowadzenie do niedorzeczności. Przypuśćmy, że zachodzi α i nie zachodzi β. Z założenia mamy, że f (a ) < y< f (b) (dla f (b) < y< f (a ) rozumowanie jest podobne). Zaprzeczając tezę otrzymujemy, że y − f ( x) 1 0 dla każdego x ∈ [a , b]. Z twierdzenia 2.10 (Weierstrassa) mamy, że funkcji h(x) określona wzorem: 1 h( x ) = y− f ( x) jest ograniczona. 1 Niech M > h(x), a więc M > , stąd y− f (x ) 1 y− f ( x) = . M (2.10) 1 Weźmy teraz ε = . Z twierdzenia 2.8 wynika, że istnieje takie δ>0, że jeżeli x, x ' M należą do przedziału, którego długość jest mniejsza od δ, to: 1 f (x ) − f ( x ') < . M b− a Oznaczmy przez n liczbę naturalną taką, że < δ. Podzielmy przedział [a , b ] n na n równych odcinków tak jak w dowodzie twierdzenia 2.10. Niech a0 , a1 ,..., a n oznaczają kolejne końce tych przedziałów. Wówczas dochodzimy do wniosku, że: 1 f (a k ) − f (a k − dla k = 1, 2,..., n. (2.11) 1) < M Ponieważ f (a0 ) < y< f (a n ), wiec wśród liczb 1,2,...,n znajdziemy taką mniejszą liczbę m > 0, że y < f (a m ). Oprócz tego mamy: 1 f ( a m− y< f (am ), skąd 0 < y− f ( a m− f (a m ) − f ( a m− 1) < 1) < 1) < M ze wzoru (2.11), a to jest jednak sprzeczne z (2.10). Przypuszczając, że twierdzenie jest fałszywe doszliśmy do sprzeczności, a więc twierdzenie 2.11 jest prawdziwe. Twierdzenie zostało w ten sposób udowodnione. -