Jak rozciąć graniastosłup i zło yć z niego sześcian

Nauczanie matematyki
Jak rozciąć graniastosłup
i złożyć z niego sześcian
n
CZES£AWA PAW£OWSKA
Do czego prowadzi rozcinanie i sk³adanie?
Do Trzeciego Problemu Hilberta.
Celem tej pracy jest pokazanie, jak
mając dany dowolny graniastosłup prosty
można rozciąć go na skończenie wiele kawałków, będących wielościanami, z których,
– wykorzystując oczywiście wszystkie kawałki – następnie uda się złożyć sześcian (oczywiście o takiej samej objętości).
Rozwiązanie zadania przebiega według
następującego planu:
w Najpierw rozwiążemy wariant płaski
zadania: przedstawienie sposobu rozcięcia
dowolnego wielokąta i złożenia zeń kwadratu.
w Przekształcenie danego graniastosłupa prostego na równoległościan.
w „Zamiana” równoległościanu na prostopadłościan o podstawie będącej kwadratem o boku 1.
w Podsumowanie.
I. Jak rozciąć dowolny wielokąt
i złożyć z niego kwadrat
1. Ustalamy jednostkę długości (dowolny odcinek).
jednego z wierzchołków (A) powstałych na
linii cięcia. W ten sposób powstanie nam
równoległobok.
b) równoległobok ten przerabiamy na
równoległobok o takiej samej podstawie
i wysokości, lecz nieco inaczej „pochylony”,
a mianowicie tak, aby boki sąsiednie do
podstawy miały długość całkowitą. W tym
celu rysujemy okrąg o środku w np. prawym górnym wierzchołku i promieniu będącym liczbą całkowitą nie mniejszą od
długości prawej krawędzi. Jeśli mamy wyjątkowe szczęście, to okaże się, że owa prawa krawędź ma długość całkowitą i kłopot
z głowy.
Jeśli okrąg przeciął dolną podstawę, to
odcięty trójkąt przykładamy do pozostałej
części z drugiej strony.
2. Z trójkąta zrobimy równoległobok,
który „przerobimy” następnie na prostokąt
o boku 1.
a) z trójkąta odcinamy górny trójkącik
linią równoległą do podstawy poprowadzoną w połowie wysokości trójkąta, a następnie obracamy ten trójkącik o 180° wokół
2/2003
MATEMATYKA
85
Jeśli okrąg nie przeciął podstawy, to
szczęściu trzeba pomagać – nie bez powodu zatoczyliśmy okrąg, którego promień
jest większy od prawej krawędzi.
d) prostokąt o całkowitej podstawie,
otrzymany w poprzednim kroku rozcinamy
(pionowymi cięciami) na kilka innych prostokątów o podstawie 1, a następnie ukła-
Zagwarantowaliśmy sobie w ten sposób,
że przeciął on prostą zawierającą „dolną”
podstawę z dwóch stron – na lewo od lewego-dolnego wierzchołka i na prawo od
prawego-dolnego.
Będziemy zatem podążać w lewą stronę (proszę mi wierzyć, że nie jest to wynik
poglądów politycznych, ale po prostu w tym
wypadku bliżej jest na lewo). Odcinamy
trójkąt o wierzchołkach w prawym-górnym
i dolnych wierzchołkach. Trójkąt ten następnie przekładamy na lewą stronę. Znów
otrzymujemy równoległobok. Teraz wszystko zależy od tego jak bardzo szczęście nam
sprzyja: im mniej, tym więcej razy należy
tę operację powtórzyć. Za którymś razem
otrzymamy wreszcie równoległobok, którego podstawę przetnie narysowany okrąg
– szczęśliwie bowiem dla każdych dwóch
liczb dodatnich a i b, gdzie a < b istnieje
taka liczba naturalna n, że zachodzi na £ b
i (n + 1)a > b. Jest nią część całkowita ilorazu b/a.
damy je jeden na drugim tworząc nowy „wysoki” prostokąt o podstawie 1. W ten oto
nieskomplikowany sposób z wyjściowego
trójkąta otrzymaliśmy prostokąt.
c) mając równoległobok, w którym jeden z boków ma długość całkowitą, ustawiamy go na tym boku i przekształcamy go
na prostokąt o tej samej podstawie (całkowitej).
86
MATEMATYKA
e) Ponieważ każdy wielokąt rozkłada się
na trójkąty, to każdy z tych trójkątów „zamieniamy” na prostokąt o jednym z boków
długości 1 (kroki a–d), a następnie łączymy
te wszystkie prostokąty w jeden duży, też
mający bok długości 1.
3. Z prostokąta o bokach 1 i a „zrobimy” kwadrat.
a) pole tego kwadratu jest równe a, czyli
długość boku jest równa a . Mając dany
odcinek o długości a, bez kłopotów skonstruujemy odcinek o długości a .
2/2003
b) mając dany kwadrat, do którego chcemy „doprowadzić” nasz wielokąt, tworzymy z niego prostokąt o boku 1 (wg kroków
2.b–d), zapamiętując kolejne operacje. Dostajemy w ten sposób prostokąt identyczny
z tym z punktu 2.e. Aby „zrobić” z niego
kwadrat, trzeba zapamiętane operacje wykonać w odwrotnej kolejności zachowując
linie cięcia.
II. Jak rozciąć graniastosłup prosty
i złożyć z niego sześcian
Zacznijmy od przypomnienia, co to jest graniastosłup prosty: jest to taki graniastosłup,
którego krawędzie boczne są prostopadłe
do podstaw.
Dany jest więc graniastosłup prosty, którego podstawa jest dowolnym wielokątem.
Najmniej kłopotliwym, a jednocześnie najbardziej ogólnym przykładem, jest graniastosłup prosty trójkątny. Przecież każdy inny
graniastosłup, to sklejenie kilku trójkątnych
(np. czworokątny to sklejone dwa trójkątne, itd.)
Rysunek przedstawia taki graniastosłup
położony na jednej ze ścian bocznych.
1. Przekształcimy go na prostopadłościan.
a) przetnijmy go płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzny podstawy, przechodzącą przez środek wysokości podstawy;
powstały „graniastosłupek” obróćmy o 180°
wokół jednego z zaznaczonych odcinków
powstałych na linii cięcia. Otrzymamy w ten
sposób graniastosłup o podstawie równoległoboku, czyli równoległościan (ta podstawa, to „frontowa” ściana na rysunku).
2/2003
b) z naszego równoległościanu zrobimy
równoległościan, którego jedna krawędź
będzie miała długość całkowitą, czyli będzie
on inaczej pochylony. Odcinać będziemy
„graniastosłupki” o podstawie trójkąta, podobnie jak odcinaliśmy trójkąty od równoległoboku (punkt I.1.b).
c) ustawiając nowy równoległościan na
ścianie, której jedna krawędź ma długość
całkowitą i postępując z nim analogicznie
otrzymamy prostopadłościan o wymiarach
a, b, c, gdzie a jest liczbą całkowitą.
d) pionowymi płaszczyznami potniemy
go na prostopadłościany, których jedna krawędź ma długość 1 i ułożymy je jeden na
drugim.
MATEMATYKA
87
e) teraz znów zrobimy z prostopadłościanu równoległościan, nie zmieniając
otrzymanej krawędzi o długości 1, tak, aby
drugi wymiar był liczbą całkowitą (punkt II.
1.b).
f) dalej postępując podobnie jak w II.1.c
i d otrzymamy prostopadłościan, którego
podstawą jest kwadrat o boku 1.
Zadanie wykonane! Z graniastosłupa zrobiliśmy prostopadłościan. Objętość tego
prostopadłościanu jest równa m. Ale... mieliśmy poskładać sześcian. Na szczęście
mamy w zanadrzu nasz sześcian o objętości właśnie m. Szczerze mówiąc trochę się
zagapiliśmy, bo na „dzień dobry” trzeba
było przyjąć, że bok tego sześcianu jest jednostką i już wyżej opisane operacje doprowadziłyby do sześcianu (m byłoby wówczas
równe 1).
2. Z sześcianu o objętości m złożymy
prostopadłościan o wymiarach 1, 1, m.
a) odcinamy graniastosłup trójkątny
o jednej krawędzi podstawy będącej liczbą
całkowitą i przykładamy do przeciwległej
ściany
b) ustawiamy otrzymany równoległościan na ścianie, której jedna krawędź ma
długość całkowitą
c) „prostujemy” (w znany już sposób) w
prostopadłościan
d) tniemy go na prostopadłościany, w
których jedna krawędź ma długość 1
88
MATEMATYKA
e) itd. (punkty II. 1.e, f)
I wreszcie uzyskujemy prostopadłościan
(z sześcianu). Za pomocą operacji odwrotnych można z prostopadłościanu złożyć sześcian.
III. Podsumowanie
Przedstawiony został sposób rozcięcia graniastosłupa prostego trójkątnego i złożenia
z niego sześcianu. Problem dotyczył dowolnego graniastosłupa prostego. Jednak, jak
zostało stwierdzone, każdy graniastosłup,
to „sklejone” ze sobą graniastosłupy trójkątne. Stosując opisane postępowanie do
każdego z nich z osobna, otrzymamy kilka
prostopadłościanów o podstawie kwadratu o boku 1, które to złożymy w jeden bardzo „wysoki”.
Wobec tego każdy graniastosłup prosty,
nawet o najbardziej skomplikowanej podstawie, można rozciąć i złożyć z niego sześcian. n
Czes³awa Paw³owska jest nauczycielk¹ w Zespole
Szkó³ nr 7 we Wroc³awiu.
Od Redakcji. Naturalne pytanie czy można
powyższy wynik uogólnić na przypadek dowolnych wielościanów, jest treścią III Problemu Hilberta, jednego ze słynnych 23 zadań postawionych przez niego na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w roku 1900.
Hilbert spodziewał się odpowiedzi negatywnej
na to pytanie i rzeczywiście, jeszcze w tym samym roku Max Dehn wykazał, że istnieją dwa
czworościany o tej samej wysokości i polu podstawy, z których jednego nie można przekształcić na drugi. Co więcej nawet tak regularnej bryły
jaką jest czworościan foremny nie można poprzez pocięcie i złożenie kawałków przekształcić na sześcian o tej samej objętości. Co ciekawe, to metoda dowodu była czysto algebraiczna. Rozumowanie Dehna w przystępny sposób
opisane jest w książce Dowody z Księgi autorstwa M. Aignera i G.M. Zieglera, wydanej przez
PWN w roku 2002 (patrz Matematyka 6/2002,
s. 366–367).
2/2003