t - Wrzuta

1. Pojęcia podstawowe: sterowanie, układ otwarty i układ zamknięty sterowania, regulacja
automatyczna, kompensacja automatyczna, sygnał zadany, uchyb regulacji.
Sterownie – celowe oddziaływanie na różnorodne procesy fizyczne,
techniczne, ekonomiczne, społeczne, biologiczne i inne
Otwarty układ sterowania (układ bez sprzężenia zwrotnego)
Wady :
- Duża wrażliwość na zakłócenia (układ bez sprzężenia zwrotnego)
- Konieczność znajomości dokładnego modelu matematycznego obiektu w celu wyznaczenia
przebiegów sygnałów sterujących
Zamknięty układ sterowania (układ regulacji automatycznej, układ ze sprzężeniem zwrotnym)
Zalety :
-Mniejsza wrażliwość na zakłócenia (układ ze sprzężeniem zwrotnym)
-Wyznaczenie przebiegów sygnałów sterujących nie wymaga znajomości dokładnego modelu
matematycznego obiektu
Regulacja automatyczna – sterowanie w układzie ze sprzężeniem zwrotnym (zamkniętym)
Uchyb regulacji jest suma składowej ustalonej (uchybu statycznego) eu i składowej przejściowej ep(t)
e(t) = eu + ep(t)
2. Klasyfikacja układów regulacji ze względu na podstawowe właściwości
i rodzaj sygnału zadanego.
Klasyfikacja układów sterowania ze względu na ich podstawowe właściwości:
1) układy ciągłe i dyskretne (sygnały mają charakter ciągły / charakter dyskretny są określone w dyskretnych
momentach czasu)
2) układy liniowe i nieliniowe (spełniają zasadę superpozycji / nie spełniają)
Zasada superpozycji:
Odpowiedz y(u) układu na kombinacje liniową wymuszeń u1, u2, …, un
n
u = å ai u i
i =1
jest równa kombinacji liniowej odpowiedzi y1(u1), y2(u2), . . . , yn(un)
na te wymuszenia
n
y (u ) = å a i y i (u i )
i =1
3) układy stacjonarne i niestacjonarne (układy, dla których zależności wiążące sygnały wyjściowe,
stany i sygnały wejściowe nie zależą od czasu )
4) układy jednowymiarowe i wielowymiarowe (układy opisywane operatorami jednej zmiennej niezależnej,
która zwykle jest czas / układy opisywane operatorami zależnymi od co najmniej dwóch zmiennych niezależnych,
np. linia długa)
5) układy o jednym wejściu i jednym wyjściu, układy o wielu wejściach i wielu wyjściach
6) układy o stałych skupionych i parametrach rozłożonych (układy złożone z elementów idealnych
skupiających określone właściwości, np. masa, pojemność elektryczna, rezystancja, itp. /
układy, w których uwzględnia się zmiany zachodzące zarówno w czasie jak i w przestrzeni, opisywane
za pomocą równań różniczkowych cząstkowych
7) układy statyczne i dynamiczne (układy, w których nie zachodzą / zachodzą zmiany w czasie na skutek
wewnętrznych zewnętrznych oddziaływań. Opisywane za pomocą równań algebraicznych /
równań różniczkowych i różnicowych)
3. Opis układów dynamicznych za pomocą równań różniczkowych.
Warunek realizowalności fizycznej.
Równanie różniczkowe
(1)
4. Przekształcenie Laplace’a. Definicja transmitancji operatorowej. Związek między
transmitancją operatorową a równaniem różniczkowym układu.
Transformata Laplace’a
¥
Y ( s ) = L[ y (t )] = ò y (t )e - st dt
0
Transformata Laplace’a równania (1)
ansnY (s) + an−1sn−1Y (s) + ··· + a1sY (s) + a0Y (s)= bmsmU(s) + bm−1sm−1U(s) + ··· + b1sU(s) + b0U(s)
Transmitancja operatorowa – stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego y(t) do transformaty Laplace’a
sygnału wejściowego u(t), przy założeniu zerowych warunków początkowych.
G( s) =
Y ( s)
U ( s)
zer .war . pocz.
Związek miedzy transmitancją operatorową a równaniem różniczkowym układu
G( s) =
bm s m + bm-1 s m-1 + × × × + b1 s + b0
a n s n + a n-1 s n -1 + × × × + a1 s + a 0
;m £ n
Transmitancja operatorowa jest wielkością zespolona zależną od parametrów układu i zmiennej zespolonej s.
5. Funkcje skoku jednostkowego i impulsu Dirac’a.
6. Odpowiedzi czasowe: skokowa i impulsowa.
Związek między odpowiedzią impulsową a transmitancją operatorową.
Odpowiedz skokowa h(t) jest równa odwrotnej transformacie Laplace’a G(s)/s
é G (s) ù
h(t ) = L-1 ê
ë s úû
Odpowiedź impulsowa g(t) jest równa odwrotnej transformacie Laplace’a transmitancji operatorowej G(s).
Oryginał transmitancji operatorowej jest równy odpowiedzi impulsowej.
g (t ) = L-1 [G ( s )]
Związek między odpowiedzią impulsową g(t) a odpowiedzią skokową h(t)
g (t ) =
dh(t )
dt
t
h(t ) = ò g (t )dt
0
7. Transmitancja widmowa.
Wymuszenie sinusoidalne: u(t) = Umax sin wt
Transmitancja widmowa – stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi Y (jw), wywołanej
wymuszeniem sinusoidalnym, do wartości zespolonej tego wymuszenia U(jw)
Transmitancja widmowa – stosunek transformaty Fouriera Y (jw) sygnału wyjściowego y(t) do transformaty Fouriera
U(jw) sygnału wejściowego u(t) przy założeniu zerowych warunków początkowych
G ( jw ) = G ( s) s = jw
G ( jw ) =
Y ( jw )
U ( jw )
zer . wart . pocz.
8. Charakterystyki częstotliwościowe.
1) Charakterystyka amplitudowo-fazowa
2) Charakterystyka amplitudowa
3) Charakterystyka fazowa
4) Charakterystyka składowej
rzeczywistej transmitancji
5) Charakterystyka składowej
urojonej transmitancji
6) Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
7) Logarytmiczna charakterystyka fazowa
8) Logarytmiczna charakterystyka
amplitudowo-fazowa
9. Stan układu dynamicznego. Opis układu liniowego ciągłego w przestrzeni stanów.
Stan układu dynamicznego x(t) – zbiór najmniejszej liczby wielkości wystarczających do opisu układu
w każdej chwili czasu t.
u(t) – wektor sygnałów wejściowych (wymuszenia, sterowania)
y(t) – wektor sygnałów wyjściowych
x(t) – wektor stanu (stan);
x1(t), x2(t), ... , xn(t) – zmienne stanu
Równanie stanu – układ n liniowych równań różniczkowych I-ego rzędu
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
Równanie wyjscia – układ p liniowych równań algebraicznych
y(t) = Cx(t) + Du(t)
A – macierz układu (n × n)
B – macierz sterowania (n × r)
C – macierz wyjscia (p × n)
Stan układu x(t) w dowolnej chwili t zależy od wektora stanu
D – macierz transmisyjna (p × r)
x(t0) w chwili początkowej t0 i wektora wymuszenia u(t);
t0 < t £ t
15. Połączenia układów dynamicznych: szeregowe, równoległe, ze sprzężeniem zwrotnym.
a) Połączenie łańcuchowe (szeregowe, kaskadowe)
b) Połączenie równoległe
n
G ( s ) = Õ Gi ( s )
i =1
n
G ( s ) = å Gi ( s )
i =1
c) Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym
UJEMNYM
G (s) =
G (s) =
DODATNIM
G0 ( s )
1 + G0 ( s )
G (s) =
G0 ( s )
1 + H ( s )G0 ( s )
G (s) =
G0 ( s )
1 - G0 ( s)
G0 ( s )
1 - H ( s )G0 ( s )
16. Układ regulacji: transmitancje otwartego i układu zamkniętego,
transmitancja uchybowa i zakłóceniowa.
Transmitancja układu otwartego
K(s) = Gr(s)G0(s)
Gr(s) – transmitancja regulatora
Go(s) – transmitancja obiektu
Transmitancja uchybowa Gu(s) – stosunek transformaty Laplace’a uchybu regulacji do transformaty Laplace’a
wielkości zadanej przy braku zakłóceń i zerowych warunkach początkowych.
Gu ( s ) =
1
1 + K ( s)
Transmitancja zakłóceniowa Gzi (s) – stosunek transformaty Laplace’a uchybu regulacji do transformaty Laplace’a i-tego
zakłócenia przy pozostałych zakłóceniach równych zero, y0(t) = 0 i zerowych warunkach początkowych.
G zi ( s) =
H i ( s)
1 + K ( s)
17. Uchyb statyczny. Układ statyczny i astatyczny. Stopień astatyzmu.
Warunek astatyzmu dla układu z obiektem inercyjnym i skokowym sygnałem zadanym.
Uchyb statyczny eu charakteryzuje dokładność statyczna układu regulacji:
eu = lim e(t ) = lim sE (s )
t ®¥
s ®0
Układy statyczne – układy, których transmitancja układu otwartego K(s) nie ma biegunów zerowych
Układy astatyczne – układy, których transmitancja układu otwartego K(s) ma przynajmniej jeden biegun zerowy
Stopień astatyzmu – krotność bieguna zerowego K(s)
Układy statyczne maja niezerowy uchyb statyczny dla
Układ zamknięty jest układem astatycznym l-tego
wymuszenia skokowego y01(t), określony wzorem:
stopnia, jeżeli układ otwarty zawiera l członów
y0
całkujących połączonych łańcuchowo
K ( s) =
L( s )
l
s M (S )
eu =
1+ k
18. Składowa przejściowa i składowa ustalona uchybu regulacji.
Przeregulowanie. Czas regulacji.
Uchyb regulacji jest suma składowej ustalonej (uchybu statycznego) eu i składowej przejściowej ep(t)
e(t) = eu + ep(t)
Przeregulowanie h – miara jakości układu regulacji określona wzorem:
h=
e p1
e p0
ep0 - wartość początkowa lub maksymalna ep(t)
ep1 - najmniejsza wartość ep(t) o znaku przeciwnym niż ep0
100%
Czas regulacji tr (podstawowa miara jakości układu regulacji) – czas od chwili pobudzenia układu do chwili, gdy wartość
bezwzględna składowej przejściowej uchybu |ep(t)| zmaleje trwale poniżej pewnej założonej wartości D (zwykle 2 do 5%
wartości początkowej lub maksymalnej)
19. Regulatory liniowe ciągłe PID. Regulator idealny i rzeczywisty.
Tranmitancja operatorowa i równanie różniczkowo-całkowe.
Idealny regulator PID
G r ( s) = k p (1 +
Gr ( s) = k p +
é
1
u (t ) = k p êe(t ) +
Ti
ë
1
+ Td s)
Ti s
ki
+ kd s
s
0
kp
– wsp. wzmocnienia działania całkującego
Ti
k d = k pTd – wsp. wzmocnienia działania różniczkującego
t
ò e(t )dt + T
ki =
d
de(t ) ù
ú
dt û Parametry regulatora:
kp – wsp. wzmocnienia proporcjonalnego
Ti – czas całkowania (czas zdwojenia)
Td – czas różniczkowania (czas wyprzedzenia)
Rzeczywisty regulator PID
æ
T s ö
1
G r ( s ) = k p çç1 +
+ d ÷÷
è Ti s Ts + 1 ø
T– stała czasowa
20. Regulatory liniowe ciągłe PID. Odpowiedzi skokowe. Parametry regulatora.
Odpowiedź idealnego PID
Odpowiedź rzeczywistego PID
t
21. Regulatory liniowe ciągłe PID. Wpływ działań proporcjonalnego, całkującego
i różniczkującego na właściwości układu regulacji: szybkość regulacji, zapas stabilności,
uchyb statyczny, kompensację zakłóceń.
Regulator proporcjonalny (P)
a) Sygnał sterujący proporcjonalny do uchybu regulacji
b) Dość szybka regulacja
c) Nie zapewnia astatyzmu w przypadku obiektu inercyjnego
i wymuszenia skokowego
Regulator proporcjonalno-całkowy (PI)
a) Sygnał sterujący jest suma dwóch składowych
proporcjonalnych do uchybu regulacji i całki uchybu regulacji
b) Mniejsza szybkość regulacji w porównaniu z regulatorem P
c) Zapewnia astatyzm w przypadku obiektu inercyjnego
i wymuszenia skokowego
d) Mniejszy zapas stabilności w porównaniu z regulatorem P
Gr ( s ) = k p
æ
1 ö
÷÷
G r ( s ) = k p çç 1 +
T
s
i ø
è
Regulator proporcjonalno-rózniczkowy (PD)
a) Sygnał sterujący jest suma dwóch składowych proporcjonalnych
do uchybu regulacji i pochodnej uchybu regulacji
G r ( s ) = k p (1 + T d s )
b) Większa szybkość regulacji w porównaniu z regulatorem P
c) Brak astatyzmu w przypadku obiektu inercyjnego i wymuszenia skokowego
d) Większy zapas stabilności w porównaniu z regulatorem P
22. Regulatory liniowe ciągłe PID. Metody doboru nastaw.
Metoda Zieglera-Nicholsa
1. Nastawiamy regulator na działanie proporcjonalne, tj. Ti = ¥, Td = 0,
2. Zwiększamy kp, aż do wystąpienia drgań okresowych o stałej amplitudzie.
3. Odczytujemy wzmocnienie krytyczne kp = kkr i okres drgań nietłumionych Tn.
4. obliczamy nastawy korzystając z tabeli:
kp
Ti
Td
P
0,5 kkr
PI 0,45 kkr 0,93 Tn
PID 0,6 kkr
0,5 Tn 0,125 Tn
(obiekty statyczne, h = 50%)
Metoda testu odpowiedzi skokowej
1. Rejestrujemy odpowiedz skokowa h(t) = L-1 (G0(s)/s) obiektu.
2. Zaznaczamy punkt przegięcia odpowiedzi
skokowej h(t) i rysujemy styczną
3. Z wykresu odpowiedzi skokowej h(t) obiektu
inercyjnego G0 ( s ) =
k0
n
ÕT s + 1
odczytujemy
i
i =1
parametry k0 = h(¥), T0 i T uproszczonego modelu
obiektu (inercyjny I-ego rzędu z opóźnieniem)
Gm ( s ) =
k 0 e - sT0
Ts + 1
4. Obliczamy nastawy korzystając z tabel.
23. Definicja stabilności układu. Stabilność lokalna i globalna, stabilność zwykła i asymptotyczna.
Definicja stabilnosci wg Lapunowa
Niech x = 0 bedzie punktem równowagi układu opisanego równaniem stanu x = F(x). Załóżmy, że układ ten
został wytracony z punktu równowagi i w chwili t = 0 znalazł się w stanie początkowym x(0) =x0.
Punkt równowagi układu – punkt w przestrzeni zmiennych stanu, w którym spełniona jest zależność
·
x=
dx
=0
dt
Punkt równowagi x = 0 nazywa się stabilnym, jeżeli dla każdej
dodatniej liczby ε można dobrać taka dodatnia liczbie h, że
trajektoria rozpoczynająca się w punkcie x0 leżącym wewnątrz kuli o
promieniu h pozostanie wewnątrz kuli o promieniu ε dla dowolnego t > 0
Jeżeli ponadto układ powraca do stanu równowagi dla t →∞, to punkt równowagi nazywa się stabilnym asymptotycznie.
Stabilność lokalna – stabilność w małym otoczeniu punktu równowagi
Stabilność globalna – stabilność przy dowolnie dużych warunkach początkowych (odchyleniach od punktu równowagi)
24. Równanie charakterystyczne układu. Warunek konieczny i dostateczny globalnej stabilności
asymptotycznej układu liniowego ciągłego.
Równanie stanu liniowego układu autonomicznego
x = Ax
x − n × 1, A − n × n
Równanie charakterystyczne układu
I – macierz jednostkowa (n × n)
det[sI - A] = 0
det[sI − A] = ansn + . . . + a1s + a0 – wielomian charakterystyczny macierzy układu A
Równanie charakterystyczne układu o transmitancji operatorowej G ( s ) =
M ( s) = 0
Warunek konieczny i dostateczny globalnej stabilności asymptotycznej:
Punkt równowagi x = 0 jest punktem stabilnym asymptotycznie dla
dowolnych warunków początkowych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej zespolonej.
L( s )
M ( s)
25. Kryteria stabilności: Hurwitza, Nyquista, Michajłowa
Kryteria algebraiczne – twierdzenia umożliwiające zbadanie położenia pierwiastków równania charakterystycznego
na płaszczyźnie zespolonej na podstawie współczynników równania charakterystycznego [Hurwitza i Routha].
Kryteria częstotliwościowe – twierdzenia umożliwiające zbadanie stabilności układu na podstawie charakterystyki
amplitudowo-fazowej układu otwartego [Michajłowa i Nyquista].
Twierdzenie Hurwitza:
Równanie ansn + ... + a1s + a0 = 0 ma wszystkie pierwiastki
w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. Wszystkie współczynniki ai > 0 i ai ≠ 0
2. Wyznacznik macierzy Hurwitza Δ i wszystkie podwyznaczniki główne Δ2, Δ3, ..., Δn−1 są większe od zera.
Kryterium Nyquista:
Umożliwia badania stabilności układu zamkniętego na podstawie
charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego.
Twierdzenie 1. Układ zamknięty jest stabilny (jeżeli układ otwarty jest
stabilny), jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego
przy zmianie pulsacji od 0 do ¥ nie obejmuje punktu (−1, j0)
Twierdzenie 2. Układ zamknięty jest stabilny przy założeniu, że układ
otwarty jest niestabilny i jego charakterystyka ma k pierwiastków w
prawej półpłaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego przy zmianie pulsacji od 0 do ¥
obejmuje punkt (−1, j0) w kierunku dodatnim k/2 razy.
Kryterium Michajłowa:
L( jw )
Umożliwia zbadanie stabilność układu o transmitancji widmowej G ( jw ) = M ( jw )
Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności
asymptotycznej układu liniowego o wielomianie n-tego stopnia jest to,
aby przy zmianie pulsacji w od 0 do ¥ zmiana argumentu
(kata fazowego) M(jw) była równa n p .
na podstawie wykresu M(jw).
D arg M ( jw )
p
=n
0£w £¥
2
2
Jeżeli l pierwiastków leży w prawej półpłaszczyźnie, to:
D arg M ( jw )
p
= ( n - 2l )
0£w £¥
2
26. Zapas stabilności. Zapas fazy i zapas modułu. Pulsacja graniczna fazy,
pulsacja graniczna modułu, pulsacja rezonansowa, moduł rezonansowy.
27. Układy dyskretne liniowe. Cyfrowy układ regulacji automatycznej.
Układy dyskretne – układy, w których informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów dyskretnych.
Sygnały dyskretne – sygnał przyjmujący wartości dyskretne lub określony w dyskretnych momentach czasu.
Cyfrowy układ regulacji automatycznej
28. Równania różnicowe. Przekształcenie Z. Transmitancja dyskretna. Dyskretne
charakterystyki czasowe. Dyskretna transmitancja widmowa. Twierdzenie o próbkowaniu.
Równanie różnicowe – związek miedzy funkcja dyskretna i jej różnicami do k-tego rzędu włącznie
(miedzy k + 1 kolejnymi wartościami funkcji dyskretnej)
Przekształcenie Z - przyporządkowuje funkcji dyskretnej f(n) funkcje F(z) zmiennej zespolonej z
¥
F ( z ) = å f (n) z -1
(f(n) = 0, n < 0)
n=0
Transmitancja dyskretna G(z) – stosunek transformaty Ζ odpowiedzi Y(z) do transformaty Ζ wymuszenia U(z)
przy założeniu, że warunki początkowe są zerowe.
a) układu otwartego
b) układu zamkniętego
G( z) =
Y ( z)
U ( z)
Gz ( z) =
zer . war . pocz.
Dyskretna transmitancja widmowa G(jwi)
jest funkcją okresową:
G[j(wi +2kp)]=G(jwi )
G ( jw i ) = G ( z ) z=
e jw i
G ( jwi ) = U (w i ) + jV (w i )
G(z)
1 + G( z)
Twierdzenie Shannona:
Sygnał ciągły przetworzony w ciąg impulsów o częstotliwości wp
co najmniej dwukrotnie większej od częstotliwości granicznej swego
widma może być ponownie odtworzony z tego ciągu impulsów.
Jeżeli sygnał spełnia warunek wp > 2wgr, to sygnał ciągły można
otrzymać stosując idealny filtr dolnoprzepustowy o paśmie
przepuszczania - p < w < p
Tp
i
Tp
Dyskretne charakterystyki czasowe:
Ø Dyskretna charakterystyka amplitudowo-fazowa – wykres dyskretnej transmitancji widmowej G(jwi)
na płaszczyźnie zespolonej U(jwi), jV(jwi)
Ø Dyskretna charakterystyka amplitudowa – wykres modułu dyskretnej transmitancji widmowej |G(jwi)| w funkcji wi
Ø Dyskretna charakterystyka fazowa – wykres argumentu dyskretnej transmitancji widmowej arg G(jwi) w funkcji wi
Ø Dyskretna logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i dyskretna logarytmiczna charakterystyka fazowa
29. Stabilność liniowych układów dyskretnych.
Układ impulsowy regulacji automatycznej jest stabilny asymptotycznie, jeżeli dyskretna wartość uchybu ep(n)
maleje do 0 dla n dążącego do nieskończoności:
lim e p (n) = 0
n®¥
Warunek konieczny i dostateczny stabilności asymptotycznej:
Liniowy stacjonarny układ impulsowy jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy
pierwiastki zi równania charakterystycznego M(z)=0 tego układu spełniają
warunek:
zi <1
;i =1,2,...,k
tzn., gdy leżą na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z wewnątrz okręgu o promieniu
równym jedności i o środku w początku układu współrzędnych.
30. Algorytmy regulacji cyfrowej PID. Dobór nastaw regulatorów cyfrowych.
Metoda próby skokowej (Takahashi):
Na podstawie przebiegu odpowiedzi skokowej obiektu
wyznacza się parametry modelu inercyjnego I-ego
rzędu z opóźnieniem
Gm ( s ) =
k 0 e - sT0
Ts + 1
Metoda testu granicy stabilności (Ziegler-Nichols):
1. Nastawiamy regulator na działanie proporcjonalne,
tj. Ti = ¥, Td = 0.
2. Zwiększamy kp, aż do wystąpienia drgań
okresowych o stałej amplitudzie.
3. Odczytujemy wzmocnienie krytyczne kp = kkr
i okres drgań nietłumionych Tn.
4. Obliczamy nastawy korzystając z tabeli/
31. Układy nieliniowe. Definicje. Typowe elementy nieliniowe.
Linearyzacja charakterystyki układu nieliowego.
Układy nieliniowe – układy niespełniajace zasady superpozycji
Zasada superpozycji: odpowiedz układu na sumę kilku wymuszeń u = u1+u2+...+un jest równa
sumie odpowiedzi na poszczególne wymuszenia y(u) = y(u1)+y(u2)+...+y(un)
Charakterystyka statyczna y = f(u) – zależność sygnału wyjściowego y od sygnału wejściowego dynamicznych
(dla układów dynamicznych – w stanie ustalonym)
Typowe elementy nieliniowe:
Linearyzacja charakterystyki statycznej układu nieliniowego:
§
§
Właściwości układów nieliniowych nie można w ogólnym przypadku analizować za pomocą znanych metod
analizy układów liniowych
Przy pewnych dodatkowych założeniach można jednak stosować te metody do przybliżonej analizy układów:
- odchylenie od punktu pracy u0 dostatecznie małe;
- istnienie pochodnej
df (u )
w punkcie u0.
du
32. Szereg Fouriera. Funkcja opisująca.
¥
u (t ) = B0 + å ( Bi sin iu + C i cos iu )
Szereg Fouriera:
i =1
Współczynniki:
1
B0 =
2p
2p
ò f ( A sin u )du
0
1
Bi =
p
2p
1
Ci =
p
ò f ( A sin u ) sin iudu
0
Funkcja opisująca J(A) – stosunek wartości zespolonej pierwszej
harmonicznej odpowiedzi wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym
w stanie ustalonym, do amplitudy tego wymuszenia.
J ( A) =
2p
ò f ( A sin u ) cos iudu
0
Be jj B1 + jC1
=
A
A
·
·
Funkcja opisująca charakteryzuje w przybliżony sposób właściwości dynamiczne elementu nieliniowego.
Dla członów dynamicznych nieliniowych funkcja opisująca jest zależna od A i w.
·
j
Funkcje opisującą można również wyrazić wzorem: J ( A) =
pA
·
2p
ò f ( A sin u )e
- ju
du
0
Dla członów o charakterystykach jednoznacznych C1 = 0 : J ( A) =
1
pA
2p
ò f ( A sin u ) sin udu
0
33. Analiza układów nieliniowych z zastosowaniem funkcji opisującej.
Wyznaczanie amplitudy i pulsacji drgań okresowych.
Sposób wykreślny:
1
1.
Rysujemy charakterystykę amplitudowo-fazowa części liniowej G(jw) oraz krzywą - J ( A)
2.
Punkt przecięcia krzywych określa na krzywej - J ( A) amplitudę A, a na charakterystyce amplitudowo-fazowej
G(jw) pulsacje drgań okresowych w.
1
1
a) Jeżeli układ otwarty jest stabilny, a krzywe G(jω) i J ( A)
nie przecinają się oraz charakterystyka G( jω) nie obejmuje krzywej
1
układ zamknięty jest stabilny dla dowolnych amplitud A.
J ( A)
1
b) Jeżeli G(jω) obejmuje całkowicie - J ( A) , układ zamknięty niestabilny,
przy dowolnych amplitudach A.
c) Jeżeli krzywe się przecinają, w układzie wystąpią oscylacje o stałej amplitudzie.
Sposób analityczny:
G ( jw ) =
L ( jw )
M ( jw )
Warunek powstania drgań niegasnących:
L(jw)J(A) +M(jw)= 0
można zapisać w postaci układu dwóch równań:
ìRe[ L( jw ) A + M ( jw )] = 0
í
îIm[ L( jw ) A + M ( jw )] = 0
Rozwiązując układ równań otrzymuje się A i w.
Jeżeli są one dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to w układzie zamkniętym wystąpią drgania okresowe
34. Zmienne fazowe stanu, przestrzeń fazowa, trajektoria fazowa, portret fazowy,
punkty osobliwe, cykle graniczne. Portrety fazowe układu liniowego II-ego rzędu.
Wykreślanie portretów fazowych metodą izoklin.
Przestrzeń fazowa – n-wymiarowa przestrzeń stanów, której elementami są wektory o składowych będących kolejnymi
pochodnymi względem czasu pierwszej składowej.
Portret fazowy – rodzina trajektorii fazowych dla różnych warunków początkowych
Punkty osobliwe – reprezentują stany równowagi na płaszczyźnie fazowej
(W punktach osobliwych prędkość i przyspieszenie wektora stanu = 0)
· Punkt równowagi trwałej – układ po wytraceniu z punktu równowagi powraca do punktu równowagi
· Punkt równowagi nietrwałej – układ po wytraceniu z punktu równowagi nie powraca do punktu równowagi
Cykl graniczny – stan, w którym w układzie występują drgania o stałej amplitudzie i o stałej częstotliwości
· Cykl graniczny stabilny odpowiada stanowi równowagi trwałej
· Cykl graniczny niestabilny odpowiada stanowi równowagi nietrwałej
Portrety fazowe liniowego układu dynamicznego II-ego rzędu:
Ognisko stabilne:
Ognisko niestabilne:
Węzeł stabilny:
Węzeł niestabilny:
Środek:
Siodło:
Wykreślanie portretów fazowych metodą izoklin:
Izoklina – miejsce geometryczne punktów trajektorii fazowych o stałym nachyleniu trajektorii fazowych
Nachylenie trajektorii fazowych:
dx2 f 2 ( x1 , x2 , u ) f 2 ( x1 , x2 )
=
=
;
dx1
f1 ( x1 , x 2 , u ) f1 ( x1 , x 2 ) u = cons
Po scałkowaniu równania otrzymuje się rozwiązanie:
W metodzie izoklin przyjmuje się S =
Równanie izokliny:
x1 (t ) = f1[ x1 (t ), x2 (t ), u (t )]
x 2 (t ) = f 2 [ x1 (t ), x2 (t ), u (t )]
F[x1,x2]=0
dx 2
= const
dx1
S = f ( x1 , x2 , u ) Þ x2 = j (S i , x1 ) u =const ;
Si – nachylenie i-tej izokliny
Wykreślanie portretu fazowego:
1) Dla różnych wartości nachylenia Si wyznaczyć równania izoklin
2) Wykreślić na płaszczyźnie fazowej izokliny, zaznaczając ich nachylenie
3) Zakładając stany początkowe narysować przebiegi trajektorii fazowych
35. Pierwsza metoda Lapunowa.
Równanie stanu nieliniowego układu autonomicznego:
·
x = F (x)
x – n wymiarowy wektor stanu
F – funkcja wektorowa nieliniowa, różniczkowalna względem x
Niech x=0 będzie punktem równowagi układu, wtedy F(0) = 0
Przybliżenie liniowe równania (rozwinięte w szereg Taylora w otoczeniu punktu x = 0):
·
x = Ax
¶F
A=
¶x x= 0
·
·
·
A – macierz kwadratowa (n × n)
Pierwsza metoda Lapunowa formułuje warunek stabilności lokalnej w punkcie równowagi układu nieliniowego:
Układ nieliniowy jest lokalnie stabilny asymptotycznie w punkcie równowagi x = 0, jeżeli przybliżenie liniowe
jest stabilne asymptotycznie, tzn. pierwiastki równania charakterystycznego det( sI - A) = s n + a n -1 s n-1 + ... + a1 s + a0 = 0
leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Jeżeli przybliżenie liniowe jest niestabilne, to układ nieliniowy jest niestabilny.
Jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne, ale nie asymptotycznie, to na podstawie przybliżenia liniowego nie można
wyciągać wniosków o zachowaniu układu nieliniowego. O stabilności układu decyduje wtedy część nieliniowa
rozwinięcia w szereg Taylora.
36. Druga metoda Lapunowa
· Metoda formułuje warunki dostateczne stabilności zwykłej i asymptotycznej
w obszarze ograniczonym i nieograniczonym D.
· Funkcję V(x) jednoznaczną, ciągłą, o ciągłych pierwszych pochodnych względem wektora stanu x
nazywa się funkcja Lapunowa w obszarze D, jeżeli:
1. V (x) jest dodatnio określona w obszarze D, tzn. V(x)>0 dla x ³ 0 i V(0) 0
2. Pochodna względem czasu funkcji V (x) jest ujemnie określona w obszarze D, tzn. V’(x)<0 dla x≠0 i V(0)=0
3. V(x)® ¥ dla |x|2 = (x12+x22+…+xn2)® ¥
Twierdzenie:
Układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie w obszarze D zawierającym początek układu współrzędnych, jeżeli
można dobrać funkcję Lapunowa V(x) dodatnio określoną w obszarze D, której pochodna względem czasu V’(x)
wzdłuż trajektorii fazowej jest funkcją ujemną określoną w tym obszarze.
· Jeżeli pochodna V" (x) jest funkcją ujemnie półokreśloną (niedodatnio określoną) w obszarze D,
to układ nieliniowy jest stabilny w tym obszarze, ale niekoniecznie asymptotycznie.
· Jako funkcję Lapunowa wybiera się najczęściej formę kwadratową dodatnio określoną lub sumę
formy kwadratowej dodatnio określonej i całki charakterystyki statycznej członu nieliniowego.
V ( x) =
n
åp
i , j =1
x x j = x T Px
ij i