statyka powłoki walcowej zamkniętej pracującej w stanie zgięciowym

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I STOSOWANA 3, 14 (1976) S T A T Y K A P O W Ł O K I W A L C O W E J Z A M K N I Ę T E
J STANISŁAW PRACUJĄ CE
J B I E L A K W S T A N I E ZGIĘ CIOWY
M ( O P O L E ) 1. Wstęp Przedstawione w tym opracowaniu rozwią zanie, ilustrowane przykładem liczbowym, bazuje na pracy autora [5], podają cej całkę równania róż niczkowego czą stkowego rozwią­
zują cego powłoki walcowe. Materiał zawarty w tym artykule nawią zuje do pracy [5] od strony zastosowań do pewnych przykładów obliczeń inż ynierskich. Rozpatrzono powłokę walcową zamknię tą, obcią ż on
ą powierzchniowo, dla której siły wewnę trzne i przemieszczenia opisano wyraż eniami ogólnymi zależ nymi od sposobu obcią ż eni
a i warunków podparcia. Wyraż enia opisują ce pracę powłoki są sumami złoż o­
nymi z całek szczególnych, odpowiadają cych pracy błonowej, i całek ogólnych dają cych pracę zgię ciową. Całki szczególne uzyskuje się w bezpoś rednim procesie całkowania funkcji obcią ż ńe powierzchniowych, natomiast całki ogólne posiadają kształt szeregów hipertrygonome­
trycznych. ' 2. Ogólny układ równań powłok walcowych Wszystkie wzory i zależ noś i cpodane w tym rozdziale bę dą napisane na podstawie prac autora [1, 2, 3, 4]. Również całka równania róż niczkowego rozwią zują ceg
o bę dzie podana w gotowej postaci wzię tej z pracy [5]. 2.1. Opis i zwią zki geometryczne powłoki. Współczynniki pierwszej i drugiej formy róż­
niczkowej, ich wyróż niki oraz krzywizny — gaussowska i ś rednia wynoszą: g u = l , • b = 0, tl
£12 = £21 = 0, b = b = 0, 12
22
b = a, 2i
к = о ,
2
g = g = a , 22
6 = 0, H = ­ L . 2a Symbole Christoffela drugiego rodzaju dla powierzchni walcowej są równe zeru. Zwią zki składowych przemieszczenia z tensorem odkształcenia błonowego mają postać: (2.2) wjt = у ц , 2
2
a w i+wl 2
= 2y, , 2
2
2
3
a w —aw = y . 2
22
Przecinek uż yty w wyraż eniach (2.2) oznacza odpowiednią pochodną wzię ą t wzglę dem zmiennej w lub u . 1
2
S. B I ELAK 384 2.2. Zwią zki fizyczne. Siły i momenty / у У = N'J +6HM , iJ
tJ
iJ
2
M = M + u
ih HN , (2.3) J
Q = 2
­
3
(
gdzie f jest parametrem stałym oraz (2.4) E
l
*
v
2
)
g
,
J
2
W , t + &
№
% ,
jest sumą ^ = g ' V y ­
Zwią zki odkształceń z siłami dla parametryzacji naturalnej 7
У м =2^­[Л
(2.5) "­ш
У 12 = У г у = 4 ё Г
2
2 2
У У
а
2
1
^
] , 2
' Zwią zki momentów z przemieszczeniami dla parametryzacji naturalnej M (2.6) м
£/;a
2a
= 2 4 » = М
1 2
Л ­ = ­ ^
2 1
M = Л / = ­ " „ T" 1
2
"' ~ "2а *" Wystę pują y c w (2.6) parametr а jest równy " "
К , 2 2 |/^3( Г =й ) \ (2.7)
а =
2.3. Całka równania rozwią zują cego
. Całka równania rozwią zują ceg
o jest sumą złoż oną z całki ogólnej i v i całki szczególnej w , (patrz praca [5]) 3
3
3
3
(2.8) 3
w = »v + vv . 3
Całka szczególna i v bę dzie rozwią zaniem stanu bezmomentowego, a całka ogólna może być przedstawiona jako suma szeregu hipertrygonometrycznego. Wielkoś ci pomocnicze Argumenty funkcji trygonometrycznych Z * = а а * — , a (2­9) г , Z = a i m ' — Н ­ и м
l
K
2
. 385 STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TE
J 1
Parametr a jest okreś lony przez (2.7), natomiast wielkoś ci a* i m są równe (2.10) nr
Wprowadzając oznaczenia: /
1
&=»y­}v/>+4­ . napiszemy k
a = e a„ k
(2.10') l
m = d,p . n
Tensory trygonometryczne (2.11) l
l
j
Bi = K Z' , Bi = KJZ' . K
K
Wielkoś ci # ' i Л У są symbolami funkcji trygonometrycznych, hiperbolicznych i kołowych, a H' oraz K symbolami odpowiednich pochodnych, J
(2.12) Całka ogólna sh dla i ­ 1, ch , sin dla i = 2 , dla J = 1, cos dla j = 2 , H; _ . 1 H 4 ch dla i = 1, i = 2 , sh dla cos dla j = 1, — sin dla J = 2 . (rozwią zanie podano w pracy [5]) (2.13) &—2с Ь ц А *В *. n
Przejś cie do współrzę dnych fizycznych, sprowadzonych do bazy jednostkowej, umoż li­
wiają wzory: N
N>J
«=]/f ' (2.14) M
/
7 = ­ ­ | / ^ ^ , a
1 M^ = w? = ^iC­M\ 3
wjl = iv , l
P? = \/gUP ,
Uwaga: po ij nie sumować. Symbol „ ~ 1 " oznacza współrzę dną fizyczną. 3
= P­
386 S. BIELAK 3. Wyraż enia opisują ce pracę powłoki 3.1. Stan błonowy. Stan ten jest całką szczególną rozwią zania ogólnego powłok pra­
cują cych w stanie zgię ciowym. Wyraż enia opisują ce wielkoś ci sił, momentów i przemiesz­
czeń bę dą napisane na podstawie pracy [1]. Siły błonowe 1 22
N
N
(3.1) 12 3
2
du' + C^u ), 2 P 2­P
1
du'~u C U2
2
+ C (u ). 2
2
Wystę pują e c w (3.1) funkcje d i C zależ ą tylko od zmiennej u i bę dą wyznaczone z warunków brzegowych, a wielkoś ci P , P , P są danymi funkcjami obcią ż eń
. Składowe przemieszczenia wyznaczymy z wyraż eń (2.2) po podstawieniu składowych odkształcenia ze zwią zków (2.5) przy równoczesnym wykorzystaniu sił błonowych opisa­
nych w (3.1): 2
1
U' ? 2
l
2
= fy du + C (u ), lt
(3.2) 3
3
2
Yl2­W,2
2
l
2
du + C (u ), 4
2
[y 2­a w ]. 2
2
Uż yte w (3.2) kreski iv' deklarują przynależ ność do stanu błonowego, a funkcje C , C
zmiennej u zależą tylko od warunków brzegowych. 3
4 2
3.2. Stan zgieciowy. Całka równania rozwią zują ceg
o jednorodnego podana w pracy [5] umoż liwia rozwią zanie ogólnego układu równań powłok walcowych opisują cych wszystkie wielkoś ci charakteryzują ce pracę zgię ciową powłoki. Przeprowadzając odpowiednie ope­
racje matematyczne zwią zane z całkowaniem i róż niczkowaniem wyraż eń szeregu hiper­
trygonometrycznego znajdziemy poszukiwane wielkoś ci sił, momentów i przemieszczeń. Siły 22
N
n
$12
(3.3) fili
n
A Q
2
Eh aa
2
V Z­i
l
ne d,CtujABl . k
STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TE
J 387 Momenty M = _ IL_
11
V <­,.[(!­v)n A*Bi + 2s 6,A B{ ], 2
1
ik
2
1
k
2oe Z­i i
(3.4) (l­v)Eh M = 2aa
12
22
M = Eh 2a a 2
2
п
]?п С
2 k
[о ф l
l
AJ, Bt ­ e <x„A*Bi ], п
к Щ
k
2
1
У с 1щ [{\­г )п А *В »­2г е д ,А *В 1 }. AJ к
Przemieszczenia ­ У (3.5) i,2 = (2 + v) aa = ­ ' ..Chij[b *nA*Bi! k
у
­ < 5 , M M , 3 n
ZJ 4 + n*
k
A ^ + 2e4­Ai Bi,
Ł 1 n ZcZuj Af Bi . 1
Dla wersji uproszczonej moż na przyjąć 2
(3.6) w = 0, 11
N = 0, ponieważ wielkoś ci te są małymi wyż szego rzę du w porównaniu z wielkoś ciami wywo­
łanymi stanem błonowym. 4. Przykład Dana jest powłoka walcowa zamknię at o promieniu a i wysokoś ci /, rys. 1, zamoco­
wana tylko u swej podstawy i obcią ż on
a parciem wiatru W. Rys. l Obcią ż eni
e przyję o t nastę pują ce
: (4.1) 1
P = 0, 2
P = 0, 3
2
P = Wsmu . S. B I ELAK 388 4.1. Stan błonowy. Wyraż enia (3.1) i (3.2) po podstawieniu (4.1) i uwzglę dnieniu warunków podparcia (zamocowany dolny brzeg), dadzą: 2 11
N = Wl
2a 2
s i n w , Wl a 12
N = 2
COSH , W sin w , a 22
N = (4.2) l l ­ ­ y ­ l 2
1
2
w = sin и , 3Eh Wa Wa
COS и
2
, 2 2
Fsinu , Eh
­ ш
gdzie F = ­
4.2. Stan zgię ciowy. Wyraż enia (3.3)­(3.5) dla, rozpatrywanego przykładu znacznie się uproszczą, a sumowanie tensorowo­nieskoń czone przejdzie w sumowanie tensorowe i to tylko ze wzglę du na wskaź niki /', / AEh •(A"­A )C jd,Bi , д г и 21
l
ul
Eh
(Л »­Л ")С
aa" 2Ј/г TV
Л Л |В "­Я
ш
у
1 , 2 2 a­
Е й ­ — ­ 1 1
(Л
aa (aa)
Eh (4.3) м
1 2 М
2 2
21
А ) С
Ш
, ­ [ В " + 2 (Л ­v) Eh (^ ­^ )С
2aa
П
2 1
3 1 1
= ^ т ­ М
2a 2 _ w = 1
д , В ' ], Л
Ш
<5 / ^ ' +^ ' ] , , ( Л
» ­ Л
2
1
) С
2+v 2
2 a a 21
(А "­А )С
Ш
]
В *. Ш
Д
^ + С .,У З Ч , STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TE
J 389 Wystę pują e c w wyraż eniach (4.3) stałe C wyznaczymy z odpowiednich warunków brzegowych, np. dla u = 0 jest Uij
1
3
3
3
w = w + w = 0. 4.3. Zestawienie wyników. 4.3.1. Wielkoś ci tensorowe 'j iJ
iJ
N = iJ
iJ
N +Ń +—M , a e' = e', (4.4) iJ
iJ
M = iJ
M +Ą —N
r , 2a 0 l
l
w' — w +w . 4.3.2. Wielkoś ci fizyczne. Znając wielkoś ci tensorowe (4.4) moż emy wzorami (2.14) przetransformować je do współrzę dnych fizycznych zwią zanych z bazą jednostkową = J V
1 1
1 2
a / Y , e? = es = (4.5) = Л
/
2
21
aM , , = w\ w^l 22
a N , 2
12
­aM , 1 1
2
/ У Н = л д = ep = ae
, ­ a M , и Л = 2
aw , 3
R^l =
W.
5. Przykład liczbowy W przykładach szczegółowych przyję o t nastę pują e c dane wyjś ciowe dla stali i ż elbetu: h = 1,0 cm, a = 1,0 m , l = 10,0 m , V = 0,3, E = 2,1 • 10 k G / c m , 6
2
W = 100 k G / m . 2
h = 10,0 cm, a = 1,0 m , / = 10,0 m , V = 0,2, E = 2,0 • 10 k G / c m , 5
2
2
W = 100 k G / m . Wyniki obliczeń niektórych wielkoś ci charakterystycznych przedstawiono na rys. 2a, b, c, d, przy czym linie przerywane obrazują powłokę stalową, a linie cią głe odpowia­
dają powłoce ż elbetowej. Wykresy М П , Q~\ A Q , N ~], wj, w~} sporzą dzono dla u = n/2, natomiast i (3P dla u = 0. 2
t
2
2
[390] mm mm Rys. 2d [391] S. B I ELAK 392 Literatura cytowana w tekś cie 1. St. BIELAK, Ogólna
teoria powłok prostokreś lnych pracują cych
w stanie zgię ciowym, Politechnika Ś lą ska
, Budownictwo, 33, (1973) 1 ­ 109. 2. St. B I ELAK, A general scheme of equations covering rectilinearly drawn shell structures, Zastosowania Matematyki 2, 14, (1974) 313­326. 3. St. B I ELAK, Solution of a general system of equations of rectilinear evolvable shells in the bending state, Bull. A c . Pol. Sci., Ser., Sci. techn., 2, 22, (1974) 63 ­69. 4. St. BIELAK, Kształt równania róż niczkowego czą stkowego
rozwią zują cego
klasę powłok prostokreś lnych rozwijalnych, Mech. Teoret. i Stos. 3, 12, (1974), 265­278. 5. St. B I ELAK, Całka równania róż niczkowego czą stkowego
rozwią zują cego
powłoki walcowe, Mech. Teoret. i Stos., 2, 14, (1976) (w druku). Р
С Т А Т И Ч Е С К И Й Р А С Ч Е Т З А М
К Н
е з ю
У Т О
м
е Й Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К О Й О Б О Л О Ч К И П Р И Р А Б О Т Е Н
А И З Г И Б В р а б о т е п р е д с т а в л е н р а с ч е т з а м к н у т о й ц и л и н д р и ч е с к о й о б о л о ч к и , р а б о т а ю щ е й н а и з г и б . В н у т р е н н и е с и л ы и п е р е м е щ е н и я о п и с а н ы о б щ и м и в ы р а ж е н и я м и , к о т о р ы е п р е д с т а в л я ю т с о б о й с у м м ы ч а с т н ы х и н т е г р а л о в , о т в е ч а ю щ и х б е з м о м е ц т н о м у с о с т о я н и ю , и о б щ и х и н т е г р а л о в , о п р е ­
д е л я ю щ и х р а б о т у о б о л о ч к и п р и и з г и б е . О б щ и е и н т е г р а л ы п р е д с т а в л я ю т с о б о й г и п е р т р и г о н о м е т р и ­
ч е с к и е р я д ы . В к о н ц е р а б о т ы п р и в е д е н ч и с л е н н ы й п р и м е р , п о я с н я е м ы й г р а ф и к а м и н е к о т о р ы х х а р а к т е р н ы х в е л и ч и н . S u m m a r y STATICS O F A C L O S E D C Y L I N D R I C A L S H E L L I N T H E M O M E N T S T A T E The paper presents the solution of closed cylindrical shell structures working in the moment state. Internal forces and deformations were described by general expressions which are sums composed of partic­
ular integrals representing the momentless state and of a general integral representing the moment state. The general integrals have a form of hypertrigonometric series. A n example given in the latter part of the paper is illustrated by diagrams of some characteristic quantities. WYŻ SZ
A S Z K O Ł A I N Ż Y N I E R S K
A W O P O L U I Praca została złoż ona w Redakcji dnia 22 paź dziernika 1975 r.