Sieć kątowa

Sieć kątowa – metoda spostrzeżeń
pośredniczących
Układ równań obserwacyjnych
Przyrosty współrzędnych
X
XL = XL – XC
XP = XP – XC
L
XL
YL = YL – YC
YP = YP – YC

XP
Długość odcinka
P
' LC '  xL2  yL2
XC
C
YL
Y
' PC '  xP2  yP2
YP
YC
Współczynniki kierunkowe
A
x
*
x 2  y 2
gdzie
B
y
*
x 2  y 2
 - odpowiedni przelicznik na miarę kątową
czyli dla lewego boku kata:
AL 
X L
*
X L2  YL2
BL 
YL
*
X L2  YL2
i dla prawego boku
AP 
X P
*
2
2
X P  YP
Obliczenie kata ze współrzędnych
tg ( )  f 0 
X L
X P
YL
f
 1
YP
f2
BP 
YP
*
2
2
X P  YP
Zakładamy
Lwi  Li  vi
Lwi  L0i  dLi
Lwi  Lwi
ponieważ
otrzymujemy równanie obserwacyjne typu:
Li  vi  L0i  dLi
Naszymi spostrzeżeniami są kąty α, czyli podstawiamy i porządkujemy
vi = dαi + αprzybliżone - αpomierzone
X
XL'
XL
L'
dxL
L
d

XP
P
XC
C
YL
' dy
YC
dxL
dαi 
AL
dyL dxP
BL  AP
L
YL
Y
YP
dyP
dx C
dyC
 BP  (AL  AP )  (BL  BP ) 1
Zmiana wartości kąta, wynikająca ze zmian (małych) położenia
punktów, tworzących kąt (po obliczeniu pierwszej pochodnej i
uporządkowaniu i wykorzystaniu wzorów na współczynniki
kierunkowe)
Po rozpisaniu mamy ogólna postać równania poprawki:
vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP +AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i
Gdzie
Poprawka kąta
αi
vi
Kąt przybliżony
 i0
Współczynniki kierunkowe
AL, BL, AP, BP
Spostrzeżenie pomierzone
Przyrosty do współrzędnych punktów
dxL, dxC, dxp, dyL, dyC, dyP
Pomiar daje następujące przypadki:
Punkt stały
punkt wyznaczany
XL, YL
XC, YC
αi
XP, YP
1)
Trzy punkty wyznaczane, czyli dxL, dxC, dxP, dyL, dyC, dyP są
wyznaczane, co daje równanie:
vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP +AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i
XL, YL
XC, YC
2)
αi
XP, YP
Dwa punkty wyznaczane i jeden stały (w takim jak na rysunku lub
innym układzie), czyli dxp=0, dyp=0, a wyznaczane są dxL, dyL, dxC i
dyC, co daje równanie:
vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*0 +AP*0-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i
czyli
vi=BL*dxL-AL*dyL-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i
XL, YL
XC, YC
αi
XP, YP
3)
Dwa punkty stałe i jeden wyznaczany (w takim jak na rysunku lub
innym układzie), czyli dxp=0 i dyp=0 oraz dxC=0 i dyC=0, a dxL, dyL są
wyznaczane, co daje równanie:
vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*0 +AP*0-(BL-BP)*0+(AL-AP)*0+0i-i
czyli
vi=BL*dxL-AL*dyL+0i-i
XL, YL
XC, YC
αi
XP, YP
4)
Trzy punkty stałe, czyli dxP=0, dyP=0 i dxL=0, dyL=0 oraz dxC=0 i
dyC=0, co daje równanie:
vi=BL*0-AL*0-BP*0 +AP*0-(BL-BP)*0+(AL-AP)*0+0i-i
czyli
vi=0i-i
Równanie takie nie wnosi nic do wyrównywanej sieci
Sieć kątowa
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
Mierzymy
α1, α2, α3 . . . . . . αn
(jako kąty płaskie - pomiędzy trzema punktami)
Niewiadome (współrzędne płaskie punktów)
X1=X10+dx1
Y1=Y10+dy1
X2=X20+dx2
Y2=Y20+dy2
itd.
Ilość niewiadomych U = 2*P („p” ilość punktów wyznaczanych)
vi = di + przybliżone - pomierzone
dαi 
dxL
dyL dxP
dyP
dx C
dyC
AL
BL  AP
 BP  (AL  AP )  (BL  BP ) 1
vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP +AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i
Do równań podstawiamy symboliczne oznaczenie współczynników ai,
bi, ci itd, i otrzymamy
vi = ai dx1 + bi dy1 +ci dx2 + di dy2 . . . . ui dyp.+ li
Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości odpowiedniego
współczynnika kierunkowego, lewego lub prawego z odpowiednim
znakiem (lub różnicę współczynników), lub 0.
W każdym równaniu wystąpią 2 lub 4 lub 6 wartości różnych od zera.
Wyrazy wolne li to różnica pomiędzy wartością przybliżoną kata, a
pomierzonym katem.
Układ równań poprawek (URP)
Po obliczeniu współczynników kierunkowych i podstawieniu do
odpowiednich równań i uporządkowaniu otrzymamy układ równań
poprawek (w postaci algebraicznej – n równań z u niewiadomymi i n
nieznanych poprawek):
v1 = a1*dx1 + b1*dy1 +c1*dx2 + d1*dy2. . . . . .u1*dyp+ l1
v2 = a2*dx1 + b2*dy1 +c2*dx2 + d2*dy2. . . . . .u2*dyp + l2
v3 = a3*dx1 + b3*dy1 +c3*dx2 + d3*dy2. . . . . .u3*dyp + l3
.............................................................................................................................
vn = an*dx1 + bn*dy1 +cn*dx2 + dn*dy2. . . . . .un*dyp + ln
Musimy pamiętać o zachowaniu porządku w numeracji niewiadomych(
x a potem y w kolejności rosnącej numerów) i równań poprawek
Uwzględniamy (MNK):
F = [vv]
=>
minimum funkcji (F’=0 i F’’>0)
[vv]=v1*v1 + v2*v2 + v3*v3 + . . .+ vn*vn
Wstawiamy równania poprawek (vi) i liczymy F’, przyrównujemy do
zera, porządkujemy i otrzymujemy układ równań normalnych URN.
zawierający „u=2*p” niewiadomych w „u” równaniach
[aa]*dx1+[ab]*dy1+[ac]*dx2+ ... [au]*dyp +[al]=0
[ab]*dx1+[bb]*dy1+[bc]*dx2+ ... [bu]*dyp +[bl]=0
[ac]*dx1+[bc]*dy1+[cc]*dx2+ ... [cu]*dyp +[cl]=0
........................................ .
[au]*dx1+[bu]*dy1+[cu]*dx2+ ... [uu]*dyp +[ul]=0
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
Mierzymy
α1, α2, α3 . . . . . . αn
z wagami p1, p2, p3 ...
wagi – najczęściej obliczamy
pi 
c
mi2
Tworzymy równania obserwacyjne i przekształcamy równania w układ
równań poprawek (URP), analogicznie jak dla spostrzeżeń jednakowo
dokładnych
Uwzględniamy MNK:
F = [pvv]
=>
minimum funkcji (F’=0 i F’’>0)
[pvv] = p1*v1*v1 + p2*v2*v2 + p3*v3*v3+ . . .+ pn*vn*vn
Wstawiamy równania poprawek (vi) i liczymy F’, przyrównujemy do
zera, porządkujemy i otrzymujemy układ równań normalnych URN
zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach
[paa]*dx1+[pab]*dy1+[pac]*dx2+ ... [pau]*dyp +[pal]=0
[pab]*dx1+[pbb]*dy1+[pbc]*dx2+ ... [pbu]*dyp +[pbl]=0
[pac]*dx1+[pbc]*dy1+[pcc]*dx2+ ... [pcu]*dyp +[pcl]=0
.
[pau]*dx1+[pbu]*dy1+[pcu]*dx2+ ... [puu]*dyp +[pul]=0
Dalszy tok obliczeń jest wspólny:
Rozwiązanie układu (dla spostrzeżeń jednakowo lub różno dokładnych)
daje nam niewiadome, (a właściwie przyrosty do niewiadomych)
dx1, dy1, dx2, dy2, dx3, dy3 . . . . . .
a z równań
X1=X10+dx1
Y1=Y10+dy1
X2=X20+dx2
Y2=Y20+dy2
. . . . itd.. . . . . .
.
wyliczamy właściwe niewiadome, co było naszym celem.
Rozwiązanie układu równań normalnych przeprowadzamy w dowolny
sposób, np. metodą macierzową.
Zapis macierzowy
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
 a1

a2
 a3

a
A 4
a
 5
...
...

an
 v1 
v 
 2
v3 
v 
4
v 
v 5 
... 
 
... 
 
v n 
b1
b2
b3
b4
b5
...
...
c1
c2
c3
c4
c5
...
...
d1
d2
d3
d4
d5
...
...
bn
cn
dn
u1 
u 2 
u3 

u4 
u5 

..... ... 
..... ... 

..... u n 
......
......
......
......
......
 dx1 
 dy 
 1
 dx 
x   2
dy
 2
.... 
dy 
 p
 L1 
L 
 2
 L3 
L 
4
L 
 L5 
... 
 
... 
 
 Ln 
V=A*x+L
{URP}
( AT * A ) * x + AT * L = 0
{URN}
- x = ( AT * A )-1 * AT * L
rozwiązanie układu
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
( AT * p * A ) * x + ( AT * p* L ) = 0
- x = ( AT * p *A )-1 * ( AT * p * L )
gdzie
 p1
0

p0

 ...
 0
0
p2
0
...
0
0
0 
p3 ... 0 

... ... ... 
0 ... p n 
0
0
...
...
{URN}
rozwiązanie układu
Następne kroki są jednakowe dla spostrzeżeń jednakowo i
różnodokładnych:
Sprawdzenie obliczonych niewiadomych.
Obliczenie wyrównanych współrzędnych:
Xi=Xi0+dxi
Yi=Yi0+dyi
Obliczenie poprawek: z URP:
V=A*x+L
Obliczenie wyrównanych spostrzeżeń:
αwi = αi + vi
UWAGA - KONTROLA
Wyliczone wyrównane wartości spostrzeżeń pozwalają na kontrolę
wyrównania.
Obliczamy ze współrzędnych wyrównanych i współrzędnych
nawiązania wartości odpowiadające kolejnym katom.
Powinniśmy dostać takie same wartości (z dokładnością liczenia), jak
kąty wyrównane.
Odstępstwa oznaczają błędne wyrównanie, najprawdopodobniej
błędnie sporządzony układ równań poprawek (URP).
Analiza dokładności
Przy rozwiązaniu macierzowym
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
[vv]
nu
Błąd średni jednostkowy m0  
(estymator wariancji resztowej)
lub dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych
m0  
[ pvv ]
nu
Następne błędy są liczone analogicznie dla spostrzeżeń jednakowo i
różnodokładnych:
Błędy średnie niewiadomych
mdxi   Cov(x) i,i
Macierz kowariancji niewiadomych
1
Cov(x) (u, u)  m 02 * (A T * A) (u,
u)
lub
1
Cov(x) (u, u)  m 02 * (A T * p* A) (u,
u)
2
Cov(x)(u,u) na przekątnej zawiera odpowiednio m x i
Cov( x) ( u ,u )
2
mdx
1

 ..
  ..

 ...
 ..

..
2
mdy
1
..
..
..
2
mdx
2
...
..
...
..





... ... 
2 
... mdy
p 
...
...
...
..
..
..
Błędy średnie funkcji niewiadomych
m Li  mfi   Cov(L)i,i
Macierz kowariancji wyrównanych spostrzeżeń
Cov (L)(n,n) = A(n,u) * Cov (x)(u,u) * AT(u,n)
Cov(L)(n,n)
Cov( L) ( n ,n )
mL21

 ..
  ..

 ...
 ..

na przekątnej zawiera odpowiednio
..
mL21
..
..
..
...
mL22
...
..
..
.. 

.. 
... .. 

... ... 
... mL2n 
...
...
mL2i
Ostatnią czynnością jest sporządzenie zestawień wyrównanych wartości,
obejmujące:
Wyrównane współrzędne
Lp
X [m]
Y [m]
mx [m]
my [m]
Wyrównane spostrzeżenia
Lp
αi
[g]
mα
[g]
Podpis