16 Wykorzystanie metod komputerowych w

KONSTRUKCJE–ELEMENTY–MATERIA ŁY
Wykorzystanie metod komputerowych
w przewidywaniu ryzyka zarysowania
konstrukcji masywnych
A R T Y K U ŁY P R O B L E M O W E
Dr inż. Barbara Klemczak, Politechnika Śląska
16
Streszczenie
W artykule przedstawiono autorski model numeryczny i związany
z nim pakiet programów do symulacji temperatur twardnienia, skurczu oraz stanu naprężenia i wytężenia w betonowych konstrukcjach
masywnych. Możliwości wykorzystania opracowanego modelu
do analiz masywnych konstrukcji betonowych zaprezentowano
na przykładzie bloku o wymiarach
4 x 4 x 4 m. Przedstawiono wybrane wyniki obliczeń temperatur
twardnienia oraz wytężenia bloku.
1. Wprowadzenie
Zasadniczym obciążeniem betonowych konstrukcji masywnych
w okresie ich wznoszenia są
zmiany temperatury i skurczu
twardniejącego betonu, określane jako oddziaływania pośrednie.
Zmiany temperatury w masywach
betonowych są związane z egzotermicznym charakterem procesu hydratacji cementu. Wskutek
wydzielanego w tym procesie
ciepła, następuje wzrost temperatury betonu. Chłodzenie warstw
powierzchniowych konstrukcji
oraz stosunkowo niska wartość
współczynnika przewodnictwa
cieplnego powodują zróżnicowanie temperatur pomiędzy warstwami powierzchniowymi a wnętrzem
konstrukcji. Powstające nieliniowe i niestacjonarne pola temperatur generują w konstrukcji naprężenia własne (związane z więzami
wewnętrznymi konstrukcji, które
wynikają z nierównomiernego rozgrzania) i naprężenia wymuszone
(związane z ograniczeniem swobody odkształceń konstrukcji).
Naprężenia te, często o znacznych wartościach mogą być przyczyną powstawania zarysowań
warstw przypowierzchniowych
konstrukcji w fazie wzrostu temperatur twardnienia oraz – znacznie rzadziej – zarysowań we wnętrzu konstrukcji w fazie studzenia.
Powstające w tym samym czasie
odkształcenia skurczowe dodatkowo zwiększają ryzyko zarysowania.
Naprężenia wywołane niestacjonarnymi polami temperatury i wilgotności w elementach betonowych i żelbetowych są jakościowo
rozpoznane, jednak ich ilościowe określenie przysparza sporo
trudności. Wiąże się to z silną
nieliniowością oraz ze złożonym
charakterem zagadnienia. Należy
pamiętać, że wspomniane pola
termiczno-wilgotnościowe generują powstanie naprężeń w materiale o nie w pełni ukształtowanej
strukturze, który doznaje szybkich
zmian własności mechanicznych.
Dodatkowo, zadanie komplikuje
się dla elementów pracujących
w przestrzennym stanie naprężenia, gdy stosowany jest bardziej
złożony model materiałowy niż
model liniowo-sprężysty.
Do niedawna, przy ograniczonym
dostępie do komputerów poszukiwano przede wszystkim uproszczonych rozwiązań analitycz-
nych tego zagadnienia. Ostatnie
lata, związane z dynamicznym
rozwojem metod numerycznych
oraz powszechnym dostępem
do dobrej klasy komputerów PC
stwarzają nowe możliwości rozwiązań.
2. Opis modelu numerycznego
Masywy betonowe są szczególnym rodzajem konstrukcji – w fazie
ich wznoszenia źródłem obciążeń
jest materiał, z którego wykonana jest konstrukcja. Ocena ryzyka
powstania rys nie sprowadza się
więc tylko do określenia stanu
naprężenia i wytężenia, konieczne jest też ustalenie obciążeń.
Jak wspomniano w poprzednim
rozdziale, zasadniczymi obciążeniami konstrukcji masywnych są
obciążenia termiczno-skurczowe.
Wartość i rozkład tych obciążeń
w czasie twardnienia betonu zależą od wymiarów elementu oraz
licznych czynników technologiczno-materiałowych [1], dlatego muszą być one ustalane indywidualnie dla każdej analizowanej konstrukcji.
Kompleksowa analiza masywnych
konstrukcji betonowych powinna
obejmować wyznaczenie temperatur twardnienia, odkształceń
skurczowych oraz stanu naprężenia i wytężenia. Poniżej przedstawiono krótki opis modelu numerycznego oraz pakietu programów
do numerycznej symulacji opisywanych zjawisk. Szczegółowy
opis modelu jest dostępny w pra-
PRZEGLĄD BUDOWLANY 9/2006
KO N S T R U KC JE–ELEMENTY–MATERIAŁY
cach [2, 3, 4]. Analiza konstrukcji masywnej prowadzona jest
w następujących krokach:
1. Blok danych wejściowych
Generacja modelu numerycznego, utworzenie tablicy parametrów materiałowych do obliczeń
pól temperatury, pól wilgotności
oraz stanu naprężenia – program
MAFEM3D
3. Wyznaczenie pól wilgotności
Obliczenie rozkładu wilgotności
w całym okresie twardnienia betonu programem POLWIL, określenie odkształceń skurczowych
4. Wyznaczenie stanu naprężenia i wytężenia
Odczytanie odkształceń termicznych i skurczowych w poszczególnych krokach czasowych, obliczenie stanu naprężenia i wytężenia w całym okresie twardnienia
betonu zmodyfikowanym programem MAFEM
5. Prezentacja wyników obliczeń
– program MAFEM3D
Program do generacji modelu
numerycznego określa współrzędne węzłów analizowanego
elementu w globalnym układzie
współrzędnych oraz tworzy tablicę parametrów materiałowych
do obliczeń pól temperatury, pól
wilgotności oraz stanu naprężenia. Weryfikacją programu jest
graficzna prezentacja węzłów siatki elementu.
Przy wyznaczaniu pól termiczno-wilgotnościowych przyjęto założenie upraszczające o rozprzężeniu równań przewodnictwa cieplnego i dyfuzji wilgoci. Uzależnienie
tych pól wynika jedynie z przyjęcia
w równaniu dyfuzji wilgoci funkcji
gęstości ciepła hydratacji cementu
jako funkcji temperatury. W pierwszej kolejności wyznaczane są
PRZEG L Ą D B U D O W L A N Y 9/2006
nych programach możliwa jest
pełna swoboda kształtowania
danych wejściowych do obliczeń
a więc przyjmowania parametrów
cieplno-wilgotnościowych i własności mechanicznych betonu.
Programy umożliwiają również
wprowadzenie współpracy podłoża gruntowego czy też obciążenia
zmiennego. Analizy tego typu były
wcześniej prezentowane [5, 6].
3. Przykład analizy konstrukcji
masywnej
W celu prezentacji możliwości
wykorzystania opracowanego modelu numerycznego w analizie
konstrukcji masywnych wykonano
obliczenia temperatur twardnienia
oraz stanu naprężenia w masywnym bloku betonowym o wymiarach 4 x 4 x 4m. Pola wilgotności,
mające mniejsze znaczenie w elementach masywnych [7, 8] nie były
w tym przypadku analizowane.
Założono, że blok został wykonany
z betonu o następującym składzie:
cement CEM II BS 32,5R w ilości
350 kg/m3, kruszywo 2–16 mm
– 953 kg/m3, piasek 812 kg/m3,
woda 175 l/m3. W pierwszej kolejności, wykorzystując program
POLTEM porównano rozkład i wartości temperatur w analizowanym
bloku, w zależności od:
• zastosowanej izolacji termicznej
oraz czasu usunięcia tej izolacji,
• warunków prowadzenia robót
betonowych, a więc temperatury
początkowej mieszanki betonowej
i temperatury otoczenia.
W obliczeniach temperatur twardnienia betonu przyjęto średnie
wartości współczynników termofizycznych [7]: współczynnik przewodzenia ciepła λ=1,75 W/(m·K),
ciepło właściwe cb=1,0 J/(kg·K).
Ciepło uwodnienia cementu przyjęto równe Q∞ =300 J/g, a funkcję
gęstości ciepła hydratacji przyjęto
zgodnie z pracą [8].
Jako podstawę założono, że na powierzchniach zewnętrznych bloku
ułożone jest deskowanie drewniane grubości 2,5 cm przez
cały analizowany okres, to jest
A R T Y K U ŁY P R O B L E M O W E
2. Wyznaczenie pól termicznych
Obliczenie rozkładu temperatur
w całym okresie twardnienia betonu programem POLTEM, określenie odkształceń termicznych
pola temperatur, a następnie pola
wilgotności. Do rozwiązania równania przewodnictwa cieplnego
i równania dyfuzji wilgoci wykorzystano metodę elementów skończonych. Układ równań algebraicznych określających temperaturę i wilgotność w poszczególnych
węzłach elementu (przestrzennego lub płaskiego) sformułowano stosując zasadę residualną
Galerkina. Do rozwiązania nieliniowego zadania MES wykorzystano
algorytm przyrostowo-iteracyjny.
Program POLTEM (pola temperatur) i POLWIL (pola wilgotności)
został opracowany w kompilatorze
FORTRAN POWER STATION v.5.
Weryfikację programu przeprowadzono poprzez porównanie wyników obliczeń z wynikami badań
doświadczalnych [3] oraz dostępnymi w literaturze wynikami obliczeń i pomiarów pól temperatury
i wilgotności [2].
W celu określenia stanu naprężenia i odkształcenia opracowano
lepko-sprężysto-plastyczny model
materiałowy betonu twardniejącego. Przyjęto, że beton jest ośrodkiem ciągłym o właściwościach
zależnych od czasu lub od czasu
i temperatury, a określenie naprężenie odnosi się do naprężeń
typu makro. W proponowanym
modelu uwzględniono zmienność
parametrów mechanicznych oraz
odkształcenia pełzania twardniejącego betonu. Wprowadzono
również kinematyczne prawo osłabienia oraz anizotropię odkształceniową. Jako powierzchnię graniczną przyjęto zmodyfikowaną
3-parametrową powierzchnię Willama-Warnke. Do prowadzenia
analiz numerycznych z wykorzystaniem opracowanego modelu
przystosowano program MAFEM,
którego autorem jest prof. dr inż.
S. Majewski [4]. Do prezentacji
wyników obliczeń wykorzystano
program MAFEM3D autorstwa
dr. inż. Wandzika.
Przedstawiony pakiet programów
może być stosowany do prowadzenia analiz elementów płaskich
i przestrzennych. W opracowa-
17
KONSTRUKCJE–ELEMENTY–MATERIA ŁY
65
60
50
o
T emperatura, C
55
45
40
35
30
25
20
15
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
wnętrze – deskowanie
wnętrze – styropian 5 cm
wnętrze – styropian 10 cm
powierzchnia – deskowanie
powierzchnia – styropian 5 cm
powierzchnia – styropian 10 cm
Rys. 1. Rozkład temperatur twardnienia betonu w bloku 4 x 4 x 4 m przy zastosowaniu różnej izolacji termicznej
60
55
50
45
T emperatura, oC
A R T Y K U ŁY P R O B L E M O W E
Czas, dni
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
współczynnik a p, W/m 2K
maks. ró żnica temperatur wnętrze – powierzchnia
maks. temperatura wnętrza
maks. temperatura powierzchni
Rys. 2. Wpływ wartości współczynnika odpływu ciepła z powierzchni betonu
na temperatury twardnienia betonu w bloku 4 x 4 x 4 m
65
60
55
T emperatura, oC
50
45
40
35
30
25
20
15
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Czas, dni
wnętrze – deskowanie – 5 dni
wnętrze – deskowanie – 7 dni
wnętrze – styropian 5 cm – 5 dni
wnętrze – styropian 5 cm – 7 dni
powierzchnia – deskowanie – 5 dni
powierzchnia – styropian 5 cm – 5 dni
powierzchnia – deskowanie – 7 dni
powierzchnia – styropian 5 cm – 7 dni
Rys. 3. Rozkład temperatur twardnienia betonu w bloku 4 x 4 x 4 m w zależności od czasu rozdeskowania (lub usunięcia izolacji termicznej)
18
20 dni od chwili zabetonowania.
W obliczeniach deskowanie zostało uwzględnione poprzez redukcję współczynnika odpływu ciepła
z powierzchni betonu z pierwotnej wartości αp=10,7 W/(m2·K)
do wartości αpz=4,57 W/(m2·K)
[1, 8]. W przypadku dodatkowego uwzględnienia izolacji termicznej (styropian o grubości 5 cm
oraz 10 cm) współczynnik odpływu ciepła z powierzchni betonu
wynosił odpowiednio αpz=0,68
W/(m2·K) i αpz=0,37 W/(m2·K).
Założono, że temperatura początkowa Tp mieszanki jest równa
temperaturze otoczenia Tz i wynosi 20°C. Rozkład temperatury
we wnętrzu bloku oraz na jego
bocznej powierzchni, obliczony
przy powyższych założeniach
przedstawiono na rysunku 1.
Korzystny wpływ zastosowania
izolacji termicznej na bocznych
powierzchniach bloku, polegający
na znacznym zmniejszeniu różnicy
temperatur wnętrze – powierzchnia widoczny jest również na rysunku 2.
Rysunki 3 i 4 przedstawiają rozkłady temperatur twardnienia betonu przy założeniu rozdeskowania
(lub usunięcia izolacji termicznej) bloku po 3, 5 lub 7 dniach
od momentu zabetonowania.
Przy analizie warunków prowadzenia robót betonowych, wyznaczono temperatury twardnienia
bloku 4 x 4 x 4 m dla temperatury
otoczenia wynoszącej odpowiednio: 0, 5, 10, 15, 20, 25 i 30°C.
Temperaturę początkową mieszanki przyjmowano równą temperaturze otoczenia, jak również
zakładano obniżenie temperatury
początkowej betonu o 5°C oraz
10°C w stosunku do temperatury
otoczenia. Dla niskich temperatur
zewnętrznych (0°C, 5°C) zbadano
również rozkład temperatur twardnienia w przypadku, gdy temperatura początkowa mieszanki jest
wyższa od temperatury zewnętrznej. Prezentację wyników obliczeń
ograniczono do przedstawienia
PRZEGLĄD BUDOWLANY 9/2006
KO N S T R U KC JE–ELEMENTY–MATERIAŁY
28
wartości maksymalnych różnic
temperatury wnętrze–powierzchnia (rys. 5).
27,5
T emperatura, oC
27
26,5
26
25,5
25
24,5
24
2
3
4
5
6
7
8
Czas rozdeskowania (usunięcia izolacji), dni
maks. różnica temperatur wnętrze–powierzchnia (styropian 10 cm)
Rys. 4. Wpływ czasu rozdeskowania bloku 4 x 4 x 4 m na maksymalną różnicę
temperatur wnętrze–powierzchnia
28
26
Maksymalna róznica temperatur
wnętrza i powierzchni, oC
BLOK 4 x 4 x 4 m
Tz -Tp= -10oC
24
22
Tz -Tp= -5oC
Tz=Tp
20
18
Tz-Tp=5oC
16
14
Tz-Tp=10oC
12
10
8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Temperatura zewnętrzna, oC
Rys. 5. Wpływ temperatury początkowej mieszanki betonowej i temperatury
otoczenia na maksymalną różnicę temperatur wnętrze–powierzchnia
Rys. 6. Rozkład temperatury [°C] w 6 dniu dojrzewania betonu w bloku 4 x 4 x 4 m
(przekrój w osi symetrii bloku)
PRZEG L Ą D B U D O W L A N Y 9/2006
A R T Y K U ŁY P R O B L E M O W E
maks. różnica temperatur wnętrze–powierzchnia (deskowanie)
maks. różnica temperatur wnętrze–powierzchnia (styropian 5 cm)
Przedstawiany pakiet programów
umożliwia również analizę zmian
temperatury w dowolnym przekroju konstrukcji. Przykładowy,
przekrojowy rozkład temperatur
twardnienia w 6 dniu dojrzewania
bloku 4 x 4 x 4 m jest widoczny
na rysunku 6.
Wyznaczone pola termiczne
w konstrukcji masywnej są podstawą do określenia generowanego w wyniku działania tych
pól stanu naprężenia i wytężenia
oraz ewentualnego zarysowania.
Do obliczeń przyjęto następujące
wartości wytrzymałości dla betonu 28-dniowego: fcm=28 MPa,
fctm=2,21 MPa. Moduł sprężystosci betonu 28-dniowego przyjęto
równy 29 GPa. Funkcję opisującą
rozwój własności mechanicznych
przyjęto zgodnie z zaleceniami
CEB FIP MC 90 [9]. Wpływ podwyższonych temperatur twardnienia na rozwój parametrów mechanicznych uwzględniono poprzez
wprowadzenie ekwiwalentnego
czasu dojrzewania do funkcji
określających zmiany własności
mechanicznych w czasie twardnienia.
Wyniki uzyskane w trakcie obliczeń programem MAFEM pozwalają na dokładną analizę stanu
naprężenia w czasie twardnienia
betonu dla poszczególnych obszarów bloków. Program do graficznej prezentacji wyników obliczeń
MAFEM3D umożliwia przeglądanie w każdym kroku obliczeniowym rozkładów 6 składowych
stanu naprężenia w poszczególnych płaszczyznach bloku, rozkładów i kierunków naprężeń głównych oraz rozkładu wytężenia.
Można również tworzyć wykresy
przekrojowe oraz wykresy obrazujące zmiany w czasie poszczególnych naprężeń.
Analiza konstrukcji w proponowanym modelu materiałowym odbywa się w przestrzeni naprężeń
wyznaczonej przez trzy zmienne:
19
KONSTRUKCJE–ELEMENTY–MATERIA ŁY
σm (naprężenie średnie), σ (pierwiastek z drugiego niezmiennika dewiatora stanu naprężenia),
Θ (kąt Lode’go). Poziom wytężenia, który w jednoosiowym stanie naprężenia można zdefiniować jako stosunek naprężenia
do wytrzymałości, jest definiowany jako:
POŁUDNIKI ROZCIĄGANIA
lim
ści e
żka
nap
ręż
eni
a
f ccc
f ttt
m
gdzie σ lim jest wartością na powierzchni granicznej (rys. 7).
Rys. 7. Graficzna ilustracja poziomu
wytężenia
Przykładowe wykresy obrazujące zmiany wytężenia powierzchni
1
deskowanie
0,9
styropian 5 cm
0,8
styropian 10 cm
0,7
W ytężenie
A R T Y K U ŁY P R O B L E M O W E
POŁUDNIKI ŚCISKANIA
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Czas, dni
Rys. 8. Wytężenie powierzchni bloku 4 x 4 x 4 m w zależności od zastosowanej
izolacji termicznej
1,2
1
W ytężenie
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Czas, dni
deskowanie – 3 dni
deskowanie – 7 dni
styropian – 3 dni
styropian – 7 dni
Rys. 9. Wytężenie powierzchni bloku 4 x 4 x 4 m w zależności od czasu rozdeskowania (lub usunięcia izolacji termicznej)
20
analizowanego bloku w zależności od zastosowanej izolacji termicznej oraz czasu usunięcia tej
izolacji pokazano na rysunkach
8 i 9. Rysunek 10 przedstawia
porównanie wytężenia powierzchni bloku bez zbrojenia oraz
ze zbrojeniem w postaci siatki
powierzchniowej ∅ 8 mm lub ∅
16 mm (stal A-II, rozstaw prętów
30 cm).
Przyjęty w modelu materiałowym rozmyty obraz zarysowania nie pozwala na ścisłą lokalizację rys i obserwację procesu
ich propagacji. Umożliwia natomiast wskazanie obszarów konstrukcji, w których zarysowanie
może wystąpić oraz czasu wystąpienia zarysowania. Przybliżony
kierunek rysy można określić
na podstawie kierunku naprężeń
głównych, przyjmując, że rysa
powstaje prostopadle do kierunku naprężeń głównych rozciągających. Przykładowy rozkład
naprężeń głównych rozciągających oraz ich kierunki przedstawiono na rysunku 11, a wytężenie powierzchni bloku na rysunku
12. Kolorem czarnym zaznaczono
obszary o wytężeniu równym 1,
które oznacza zarysowane obszary.
4. Podsumowanie
Proces wznoszenia konstrukcji masywnych wiąże się z ryzykiem powstawania rys w okresie
twardnienia betonu. Powodem
powstawania rys i spękań tych
konstrukcji są przede wszystkim
oddziaływania pośrednie, związane ze zmianami temperatury i wilgotności twardniejącego betonu.
Przedstawiany problem nabiera
szczególnego znaczenia wobec
wzrastających w ostatnich latach
wymagań dotyczących trwałości i jakości konstrukcji, a także
wymagań inwestorów, niejednokrotnie narzucających konieczność betonowania dużych elementów w krótkim terminie i przy
niekorzystnych warunkach pogodowych [10].
Ocena ryzyka wystąpienia rys ter-
PRZEGLĄD BUDOWLANY 9/2006
KO N S T R U KC JE–ELEMENTY–MATERIAŁY
1
0,9
0,8
Wytężenie
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Czas, dni
Rys. 10. Wytężenie powierzchni bloku 4 x 4 x 4 m, w zależności od zastosowanego zbrojenia powierzchniowego
Rys. 11. Rozkład i kierunki naprężeń głównych rozciągających po 3 dniach
od zabetonowania bloku 4 x 4 x 4 m (powierzchnia bloku)
Rys. 12. Obszar zarysowanej powierzchni bloku 4 x 4 x 4 m (kolor czarny)
PRZEG L Ą D B U D O W L A N Y 9/2006
BIBLIOGRAFIA
[1] Kiernożycki W., Betonowe konstrukcje
masywne. Polski Cement, Kraków 2003
[2] Klemczak B., Lepko-sprężystoplastyczny model materiałowy
do numerycznej symulacji zjawisk
zachodzących we wczesnym okresie
dojrzewania betonu. Praca doktorska,
Gliwice 1999
[3] Klemczak B., Krause P., Badania
i symulacje komputerowe procesu
twardnienia betonu w niskich
temperaturach. Inżynieria i Budownictwo,
Nr 2, 2005, s. 65–68
[4] S. Majewski, Mechanika betonu
konstrukcyjnego w ujęciu sprężystoplastycznym, Wydawnictwo Politechniki
Śląskiej, Gliwice 2003
[5] Majewski S., Matuszkiewicz T., Wanecki
P., Klemczak B., Analiza numeryczna
naprężeń termicznych w betonowym
przekroju skrzynkowym. XLII Konferencja
Naukowa KILiW PAN i KN PZITB, KrakówKrynica, t.5, 1996, s. 117–124
[6] Majewski S., Klemczak B., Analiza
numeryczna poziomu wytężenia żelbetowej
ściany kondygnacji piwnicznej. Zeszyty
Naukowe Politechniki Śląskiej. Seria:
Budownictwo z.81/95, s. 495–505.
[7] Witakowski P., Termodynamiczna teoria
dojrzewania. Zastosowanie do konstrukcji
masywnych z betonu. Politechnika
Krakowska, Inżynieria Lądowa z. 70,
Kraków 1998
[8] Andreasik M., Naprężenia termicznoskurczowe w masywach betonowych. Praca
doktorska, Kraków 1982
[9] CEB-FIP, CEB-FIP Model Code 1990,
Thomas Telford, 1991
[10] Ajdukiewicz A., Kliszczewicz
A., Węglorz M., Wielkowymiarowe
konstrukcje żelbetowe wznoszone w zimie
– doświadczenia realizacyjne.
XLVIII Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN
PZITB Krynica 2002, t. 2, s. 281–288
A R T Y K U ŁY P R O B L E M O W E
0
miczno-skurczowych w konstrukcjach masywnych jest zadaniem
trudnym. Istotne znaczenie mają
doświadczenia zebrane w trakcie realizacji konstrukcji masywnych [1, 7, 8, 10], które pozwoliły
na wypracowanie praktycznych
środków zaradczych zmniejszających ryzyko zarysowania.
Przedstawiony w artykule model
numeryczny może być również
pomocny. Umożliwia on kompleksową analizę konstrukcji masywnych, obejmującą wyznaczenie pól
termiczno-wilgotnościowych oraz
naprężeń i wytężenia konstrukcji
z uwzględnieniem uwarunkowań
technologiczno-materiałowych.
21