Asymptoty wykresu funkcji. Ciągłość funkcji Izolda Gorgol wyciąg z

Asymptoty wykresu funkcji. Ciągłość funkcji
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Asymptoty pionowe wykresu funkcji
DEFINICJA Prostą o równaniu x = c nazywamy asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f
wtedy i tylko wtedy, gdy
lim− f (x) = ±∞
x→c
lim f (x) = ±∞
x→c+
Jeżeli prosta jest asymptotą pionową lewo- i prawostronną, to nazywamy ją asymptotą pionową obustronną.
Asymptoty poziome wykresu funkcji
DEFINICJA Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f
wtedy i tylko wtedy, gdy
lim f (x) = b
x→−∞
lim f (x) = b
x→+∞
Jeżeli prosta jest asymptotą poziomą lewo- i prawostronną, to nazywamy ją asymptotą poziomą obustronną.
Asymptoty ukośne wykresu funkcji
DEFINICJA Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji
f wtedy i tylko wtedy, gdy
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→−∞
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→+∞
Jeżeli prosta jest asymptotą ukośną lewo- i prawostronna, to nazywamy ją asymptotą ukośną obustronną.
Asymptoty ukośne wykresu funkcji - twierdzenia
TWIERDZENIE Prosta o równaniu y = al x + bl jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji f wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieją skończone granice
f (x)
lim
= al oraz lim (f (x) − al x) = bl
x→−∞ x
x→−∞
TWIERDZENIE Prosta o równaniu y = ap x + bp jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji f wtedy
i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice
f (x)
lim
= ap oraz lim (f (x) − ap x) = bp
x→+∞ x
x→+∞
Definicja ciągłości funkcji w punkcie (H)
Niech Df ⊂ R oraz f : Df → R i niech x0 ∈ Df .
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów (xn ) takiego,
że
1. xn ∈ A,
2. xn → x0 ,
ciąg liczbowy f (xn ) jest zbieżny do liczby f (x0 ).
Definicja ciągłości funkcji w punkcie (C)
Niech Df ⊂ R oraz f : Df → R i niech x0 ∈ Df .
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
^ _ ^
|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
ε>0 δ>0 x∈Df
1
Jeżeli punkt x0 jest punktem skupienia zbioru Df , to funkcja f jest ciągła w tym punkcie wtedy i tylko wtedy,
gdy ma granicę w punkcie x0 i granica ta jest równa wartości funkcji w tym punkcie, tzn. lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Analogicznie definiujemy ciągłość jednostronną funkcji w punkcie.
TWIERDZENIE Definicje ciągłości funkcji w punkcie wg Heinego i wg Cauchy’ego są równoważne.
Funkcja ciągła na zbiorze.
Mówimy, że funkcja jest ciągła na zbiorze otwartym A, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie zbioru A.
Mówimy, że funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym ha, bi, jeżeli jest ciągła na przedziale otwartym (a, b) oraz
prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b.
Własności funkcji ciągłych.
TWIERDZENIE Funkcje wielomianowe, wymierne, potęgowe, trygonometryczne, logarytmiczne i wykładnicze są
ciągłe w swoich dziedzinach.
TWIERDZENIE Niech dane będą dwie funkcje f : A → R i g : A → R ciągłe w punkcie x0 . Wówczas funkcje
f + g, f − g, f · g oraz fg (jeżeli g(x0 ) 6= 0) są ciągłe w punkcie x0 .
TWIERDZENIE Niech f : A → B będzie ciągła w punkcie x0 oraz niech y0 = f (x0 ). Jeżeli g : B → C jest ciągła
w punkcie y0 , to funkcja złożona g ◦ f jest ciągła w punkcie x0 .
Twierdzenie Weierstrassa.
DEFINICJA Zbiór nazywamy domkniętym, jeżeli zawiera każdy swój punkt skupienia. Zbiór domknięty i ograniczony nazywamy zwartym.
TWIERDZENIE Każda funkcja ciągła na zbiorze zwartym jest ograniczona i osiąga kresy swoich wartości.
Twierdzenie Darboux.
DEFINICJA Mówimy, że funkcja f : A → R ma w zbiorze A własność Darboux, jeżeli wraz z dwiema swoimi
wartościami przyjmuje w zbiorze A każdą wartość leżącą między nimi.
TWIERDZENIE Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale hx1 , x2 i, f (x1 ) = a, f (x2 ) = b i a 6= b oraz jeżeli c ∈ (a, b)
(lub c ∈ (b, a)), to istnieje punkt x0 ∈ (x1 , x2 ) taki, że f (x0 ) = c.
WNIOSEK Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale hx1 , x2 i oraz f (x1 )f (x2 ) < 0, to funkcja f ma w przedziale
(x1 , x2 ) miejsce zerowe.
Ciągłość funkcji odwrotnej
TWIERDZENIE Jeżeli f jest funkcją ciągłą i różnowartościową na przedziale P , to funkcja f −1 jest funkcją ciągłą
na zbiorze f (P ).
UWAGA Ogólnie z ciąłości funkcji różnowartościowej nie wynika ciągłość funkcji odwrotnej (jeżeli funkcję f rozpatrujemy na dowolnym zbiorze, a niekoniecznie na przedziale).
2