Ciągłość funkcji w punkcie iw zbiorze.

(Scenariusz lekcji o wprowadzeniu pojęcia ciągłości funkcji w punkcie, w zbiorze –
CFX9859GB PLUS)
Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze.
Cele:
poznawczy - poznanie pojęć: ciągłość funkcji w punkcie, w zbiorze (w dziedzinie) ,
poznanie wykresów różnych funkcji .
kształcący - obliczanie granic funkcji, określanie dziedziny, wykorzystanie
monotoniczności funkcji, proste przekształcenia algebraiczne, znajdowanie punktów
nieciągłości funkcji , weryfikacja własnych poglądów z wykorzystaniem kalkulatora
graficznego.
wychowawczy - umiejętność dyskusji, rywalizacji, kontrolowanie elementów , które
znajdą miejsce w czasie lekcji.
Metody - pogadanka , ćwiczenia , praca z kalkulatorem graficznym.
Pomoce - 1. zadania na kartkach
2. kalkulator graficzny jako pomoc w rozwiązywaniu problemów .
PLAN LEKCJI
L.p.
Zadania
1.
Czynności wstępne:
a) Przywitanie klasy
i gości;
b) sprawdzenie listy
obecności;
c) sprawdzenie pracy
domowej.
Wprowadzenie do
Przypomnienie wiadomości o funkcjach w sensie ich 3
lekcji.
własności to jest: są np. funkcje rosnące, malejące,
różnowartościowe. Poprzez pytanie o kształt wykresu
sprowokowanie do tematu: że można narysować
wykres funkcji nie odrywając długopisu od kartki
oraz, że są funkcje, których w ten sposób nie da się
narysować, czyli, że są funkcje ciągłe (ciągnąć
długopis) i nieciągłe (czyli takie których wykres nie
jest linią ciągłą czyli "przerwaną").
Podanie tematu lekcji
1
"Ciągłość funkcji w
punkcie i w
zbiorze”.
2.
3.
Komentarz
Czas
w
min.
3
4.
Podanie definicji
Próba wspólnego określenia funkcji ciągłej w
funkcji ciągłej w
punkcie w oparciu o wykresy na załączonej kartce.
punkcie i w zbiorze . Funkcję y = f(x) nazywamy funkcją ciągłą w
punkcie x 0 , jeśli istnieje lim f ( x ) i lim f ( x ) =
x→ xx
5.
Czy funkcja
x +1
f (x ) =
jest
x −1
ciągła?
6.
Sprawdź ciągłość
funkcji

f ( x) = 

7.
6
x→ xx
f( x 0 ). Określenie słowne definicji: funkcja jest ciągła
w punkcie wtedy, gdy granica funkcji w tym punkcie
istnieje i jest równa wartości funkcji w tym punkcie.
Co to znaczy, że funkcja jest ciągła w zbiorze, w
dziedzinie? Jak nazwiemy punkt w którym funkcja
nie jest ciągła (jest to punkt nieciągłości funkcji)?
Czy ktoś może podać przykład funkcji ciągłej? (np.
funkcja liniowa, wielomiany, funkcja wykładnicza,
funkcja logarytmiczna, itd ).
Dziedzina funkcji: x ≠ 1.Wykorzystując kalkulator 4
rysujemy jej wykres. Odpowiadamy na polecenie:
funkcja ta nie jest ciągła w zbiorze R. Jest natomiast
ciągła w swojej dziedzinie, czyli jest ciągła
przedziałami. Jest też przedziałami malejąca.
Na marginesie - co przypomina wykres tej funkcji?
8
Zanim sprawdzimy algebraicznie spróbujmy
zobaczyć wykres tej funkcji korzystając z kalkulatora.
Odp. Funkcja ta nie jest ciągła w punkcie 0. Jak to
sprawdzić gdybyśmy nie widzieli wykresu tej
1
2 dla x ≠ 0 funkcji? W tym celu należy
x
1 dla x = 0 Policzyć granicę w punkcie x = 0. lim 1 = +∞.
0
x→0 x 2
Zauważmy też, że f(0) = 1.
Podaj przykład
funkcji wymiernej
ciągłej.
Uczniowie w grupach pracując z kalkulatorem
szukają funkcji ciągłych. Jeden z uczniów zapisze jej
wzór na tablicy i wszyscy jeszcze raz to sprawdzą.
Wywołanie dyskusji, czy bez kalkulatora też
potrafimy znaleźć takie przykłady i jak to uzasadnić.
Zwrócenie uwagi na to, że punkt nieokreśloności jest
jednocześnie punktem nieciągłości.
Sprawdzanie algebraiczne np. f(x) =
1
x 2 +1
6
; x ∈ R.
Dla dowolnych x, x0∈R
lim 1
1
1
x → x0
= 2
= f ( x0 ) .
lim 2 =
2
x → x0 x + 1
lim x + lim 1 x o + 1
x → x0
8.
Zbadaj ciągłość
funkcji:
x
f(x) =
x
x → x0
Uczniowie pracują w grupach i dyskutują przez 5
chwilę, a następnie wyciągają wnioski i je
przedstawiają. W zależności od czasu obliczenie
granicy lewo i prawostronnej. Odpowiedź:
Funkcja ta nie jest ciągła w zbiorze R.
9.
10.
11.
w zbiorze R.
Zbadaj ciągłość
funkcji:
 x
dla x ≠ 0
f(x)=  x
1 dla x = 0
Praca domowa:
1. Sprawdzić
ciągłość funkcji:
a)
 x 2 dla x ≠ 0
f(x) = 
 0 dla x = 0
1
b) f(x) =
( x − 2)2
Dla chętnych:
2.Co powiesz na
temat ciągłości
funkcji f(x) = x;
D = C. Zagadnienie
należy opisać.
Podsumowanie.
Wyznaczenie dziedziny D = R. Jest to funkcja
5
ciągła. Próba uzyskania odpowiedzi z
wykorzystaniem kalkulatora lub bez. Gdyby był czas
obliczenie:
x
lim = lim 1 = 1 = f (0) = 1. Nawiązanie do dyskusji.
x → x0 x
Próba zwrócenia uwagi jak można to zadanie
2
rozwiązać. Można sprawdzić ciągłość korzystając z
wykresu tej funkcji lub dać odpowiedź algebraicznie.
Najciekawsza praca opisująca rozwiązanie zadania
drugiego może być opublikowana w czasopiśmie
Nauczyciele i Matematyka w nagrodę.
Znając temat jako profil humanistyczny powinni
ładnie to opisać.
Co to znaczy że funkcja jest ciągła w punkcie, w
2
zbiorze? Jak sprawdzić ciągłość funkcji algebraicznie
i na co zwrócić uwagę gdy mamy jej wykres?
Zadania do rozwiązania:
(uczniowie otrzymują kartki z zadaniami, które będą rozwiązywane w czasie lekcji i zadania
do samodzielnego rozwiązania)
y
f (x0)
y = f(x)
y
y = f(x)
f(x0)
x
0
x
0
x0
x0
rys.1
rys.2
y
y
y = f(x)
f(x0)
y = f(x)
f(x0)
x
x
x0
x0
rys.3
Zadania:
x +1
1. Czy funkcja f(x) = x − 1
rys.4
jest ciągła?
1
 dla x ≠ 0
2. Sprawdź ciągłość funkcji f(x) =  x 2
.
1 dla x = 0
3.Podaj przykład funkcji wymiernej ciągłej.
x
w zbiorze R .
x
x
 dla x ≠ 0
.
5 Zbadać ciągłość funkcji f(x) =  x
1 dla x = 0
4 Zbadaj ciągłość funkcji f(x) =
Praca domowa:
1°. Sprawdzić ciągłość funkcji :
 x 2 dla x ≠ 0
0 dla x = 0
1
a) f(x) = 
b) f(x) =
(x − 2)2
Dla chętnych:
2° Co powiesz na temat ciągłości funkcji f(x) = x; Df = C. Zagadnienie należy opisać. Najlepsza praca
może być opublikowana w czasopiśmie matematycznym NiM.
Opracowanie: Ireneusz Szubarczyk