Analiza funkcjonalna i wypukła Lista zadań nr 2

3
Wydział Zastosowań Informatyki i Matematyki SGGW
Analiza funkcjonalna i wypukła
Lista zadań nr 2
Tematyka: Iloczyny skalarne i układy ortogonalne wektorów
1. W przestrzeni kartezjańskiej R2 ze standardowym iloczynem skalarnym wyznaczyć wszystkie wektory ortogonalne
do wektora (x, y), gdzie x, y ∈ R.
2. W przestrzeni kartezjańskiej R3 ze standardowym iloczynem skalarnym wyznaczyć ortogonalne dopełnienie {v}⊥
wektora v = (1, 1, 1) ∈ R3 . Podać jakąś bazę dla {v}⊥ .
3. Które z par wektorów u = (5, 4, 1), v = (−3, 4, −1), w = (−1, 1, 1) z przestrzeni kartezjańskiej R3 są ortogonalne względem standardowego iloczynu skalarnego.
4. a) Dla jakiej wartości parametru k ∈ R wektory v = (−3, k, −1), w = (4, −5, −2) są ortogonalne?
b) Dla jakich wartości parametrów k, l ∈ R wektory v = (−3, k, −1), w = (4, −5, l) są do siebie ortogonalne
i ortogonalne do wektora u = (9, −10, −7)?
5. Wyznaczyć macierz Grama układu wektorów:
a)
v1 = (1, 1, 1, 1),
v2 = (1, 0, 4, 3),
v3 = (1, 0, −1, 1);
b)
v1 = (1, 1, 0, 0),
v2 = (−1, 0, 2, 0),
v3 = (2, −2, 1, 4)
i w ten sposób rozstrzygnąć, czy jest to układ liniowo niezależny.
6. Dane są wektory
a)
b)
v1 = (1, 1, 0, 0),
v1 = (1, 1, 0, 0),
v2 = (−1, 0, 2, 0),
v2 = (1, 0, 0, 1),
v3 = (2, −2, 1, 4),
v3 = (1, −1, −1, −1),
w = (4, 1, −3/2, 2);
w = (1, 2, 1, 2).
Wykazać, że w jest kombinacją liniową wektorów v1 , v2 , v3 i wyznaczyć współczynniki tej kombinacji liniowej dwoma sposobami: przez rozwiązanie układu równań dla współczynników metodą eliminacji Gaussa oraz
konstruując i rozwiązując układ równań normalnych.
7. W przestrzeni kartezjańskiej R4 ze standardowym iloczynem skalarnym wyznaczyć dopełnienie ortogonalne dla
podprzestrzeni rozpiętych przez wektory:
a)
(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4);
b)
(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (0, 4, 6, 1).
Znaleźć rzut ortogonalny wektora (0, 0, 0, 3) na każdą z tych podprzestrzeni.
8. Niech będą dane wektory
I:
II:
v1 = (1, 1, 0, 0),
v1 = (1, 1, 0, 0),
v2 = (−1, 0, 2, 0),
v3 = (2, −2, 1, 4),
v4 = (−2, 0, 0, 1),
v2 = (1, 0, 0, 1),
v3 = (1, 1, −1, 1),
v4 = (−1, 1, 0, 1).
a) Metodą Grama-Schmidta przeprowadzić bazę {v1 , v2 , v3 , v4 } w bazę ortonormalną {u1 , u2 , u3 , u4 } .
b) Wyznaczyć rzut ortogonalny na przestrzeń lin{u3 , u4 } rozpiętą przez u3 i u4 .
c) Wyznaczyć rzut punktu q = (1, −1, 1, −1) na przestrzeń lin{u3 , u4 }.
9. Niech L będzie podprzestrzenią przestrzeni R4 rozpiętą przez wektory [1, −1, 3, −3], [5, −5, 1, −1]. Wyznaczyć:
a) L⊥ , ortogonalne dopełnienie L;
b) rzut ortogonalny punktu x = [4, −1, −3, 4] na podprzestrzeń L;
c) rzut ortogonalny punktu x = [3, 6, 5, 1] na płaszczyznę A = y + L, gdzie y = [3, 4, −4, 6]. W tym przypadku
wyznaczyć także odległość d(x, A) punktu x od podprzestrzeni A.
10. W przestrzeni Rn dane są wektory u, v, oba różne od 0. Znaleźć wektor postaci u + tv, t ∈ R, o najmniejszej
długości. Sprawdzić, że jest on ortogonalny do v i podać jego interpretację geometryczną.
11. Jeśli dla niezerowych wektorów u, v ∈ Rn przestrzeni kartezjańskiej Rn zachodzi |u| = |v|, to wektory u − v i
u + v są prostopadłe. Czy jest prawdziwa implikacja odwrotna?