Przykład egzaminu 02

SGGW
Katedra Ekonometrii i Statystyki
Egzamin
Stanisław Jaworski
Uwaga: Każdy punkt jest wliczany do ogólnej
punktacji tylko wtedy, gdy są w nim zaznaczone wszystkie i wyłącznie prawidłowe odpowiedzi.
c 2009
Copyright Last Revision Date: 5 lipca 2009
Egzamin #1
Rachunek prawdopodobieństwa
Imię:
Nazwisko:
Album:
Zaznacz wszystkie dobre odpowiedzi.
1. Rzucamy 180 razy dwiema kostkami do gry. Oczekiwana liczba
rzutów, w których wyrzucamy dwie szóstki wynosi:
15
10
12
5
2. Niech A, B, C będą zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 0.1,
P (B) = 0.3 oraz P (A ∪ B) = 0.4. Wówczas
Zdarzenia A, B są niezależne.
P (A ∩ B) = 0.
P (A|B) = 0.
zdarzenia A, B są rozłączne.
3
3. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F . Wówczas
limt→∞ F (t) = 0.
limt→∞ F (t) = 1.
P (a < X ¬ b) = F (b) − F (a).
4. Zmienne losowe X oraz Y są niezależne. Niech X ∼ U (0, 4) oraz
Y ∼ P o(1). Wówczas
EY 2 = 2
EX = 4
D2 Y = 2
E(−3XY 2 + 4Y − 5) = −14
5. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość f (x, y) = (x + y)I(0,1)2 (x, y).
Wtedy f (·|y) (rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem Y = y, gdzie y ∈ (0, 1)) wyraża się wzorem
f (x|y) = (x + y)I(0,1) (x)
f (x|y) =
f (x|y) =
x+y
(∀x ∈
y+0.5
x+y
y+1 I(0,1) (x)
(∀x ∈ R)
R)
(∀x ∈ R)
4
f (x|y) =
x+y
y+0.5 I(0,1) (x)
(∀x ∈ R)
6. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość f (x, y) = (x + y)I(0,1)2 (x, y).
Wtedy
E(X + Y |Y = 0.5) = 1
E(X + Y |Y = 0.5) = 0.5
E(X + Y |Y = 0.5) =
E(X + Y |Y = 0.5) =
12
13
13
12
7. Niech X, Y będą takimi zmiennymi losowymi, dla których
EX = 3, EY = 10, D2 Y = 44
oraz niech t0 będzie taką wartością, że
min E(2X − 3Y 2 − t)2 = E(2X − 3Y 2 − t0 )2 .
t∈R
Wówczas
t1 = −426
t0 = −425
t0 = −326
t0 = 144
8. Gęstość zmiennej losowej X wyraża się wzorem:
(
4
(8 − x3 ) dla x ∈ [1, 2]
fX (x) = 17
0
dla x ∈
/ [1, 2]
5
Wówczas P (X ∈ [1.7, 2.5)) wynosi (z dokładnością do dwóch
miejsc po przecinku)
0.32
0.51
0.11
0.15
9. Macierz kowariancji wektora losowego X = [X1 , X2 , X3 ]0 ma postać


3 1 −1
 1 4
0 .
−1 0
5
√
Zatem współczynnik korelacji %( 3X1 , X2 ) wynosi
1
√
2 3
− 12
1
2
10. Załóżmy, że prawdopodobieństwa urodzenia chłopca i dziewczynki są takie same. Ze zbioru rodzin z dwojgiem dzieci losujemy
jedną rodzinę. Prawdopodobieństwo, że wylosowana rodzina posiada chłopca i dziewczynkę, jeżeli wiemy, że jest co najmniej
jedna dziewczynka wynosi
2
4
3
4
2
3
n/2−1
11. Zmienna losowa X ma gęstość fX (x) = x 2n/2exp{−x/2}
I(0,∞) (x).
Γ(n/2)
√
Wówczas zmienna losowa Y = X ma gęstość fY , gdzie
6
fY (y) =
y
n/4−1/2
fY (y) = 2 y
fY (y) =
√
exp{− y/2}
I(0,∞) (y).
2n/2 Γ(n/2)
n−1
exp{−y 2 /2}
I(0,∞) (y).
2n/2 Γ(n/2)
y n−2 exp{−y 2 /2}
I(0,∞) (y).
2n/2 Γ(n/2)
12. Mamy niezależne zmienne losowe: X ∼ U (0, 1) oraz Y ∼ U (0, 1).
Wtedy gęstość f zmiennej losowej Z = X +Y wyraża się wzorem
f (z) = zI(0,1) (z) + (2 − z)I(1,2) (z)
f (z) = 2zI(0,1) (z) + (2 − z)I(1,2) (z)
f (z) = zI(0,1) (z) + (1 − z)I(1,2) (z)
Wynik: