Przykład egzaminu 01
Transkrypt
Przykład egzaminu 01
SGGW Katedra Ekonometrii i Statystyki Przykład egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa Stanisław Jaworski Uwaga: Każdy punkt jest wliczany do ogólnej punktacji tylko wtedy, gdy są w nim zaznaczone wszystkie i wyłącznie prawidłowe odpowiedzi. c 2009 Copyright Last Revision Date: 23 czerwca 2009 Egzamin #0 Rachunek prawdopodobieństwa Imię: Nazwisko: Album: Zaznacz wszystkie dobre odpowiedzi. 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 0.2, P (B) = 0.3 oraz P (A ∪ B) = 0.5. Wówczas zdarzenia A, B są rozłączne. Zdarzenia A, B są niezależne. P (A ∩ B) = 0. P (A|B) = 0. P (B|B) = 1. 2. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F . Wówczas P (a < X ¬ b) = F (b) − F (a). limt→∞ F (t) = 0. limt→∞ F (t) = 1. 3 3. Zmienne losowe X oraz Y są niezależne. Niech X ∼ U (0, 1) oraz Y ∼ P o(4). Wówczas EX = 0.5 D2 Y = 4 EY 2 = 8 E(−3XY 2 + 4Y − 6) = −14 4. Niech X, Y będą takimi zmiennymi losowymi, dla których EX = 3, EY = 10, D2 Y = 44 oraz niech t0 będzie taką wartością, że min E(X + Y 2 − t)2 = E(X + Y 2 − t0 )2 . t∈R Wówczas t0 = 112 t0 = 101 t0 = 147 t0 = 144 5. Gęstość zmiennej losowej X wyraża się wzorem: ( 4 (8 − x3 ) dla x ∈ [1, 2] fX (x) = 17 0 dla x ∈ / [1, 2] 4 Wówczas P (X ∈ [−2, 1.5)) wynosi (z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku) 0.32 0.41 0.80 0.22 6. Macierz kowariancji wektora losowego X = [X1 , X2 , X3 ]0 ma postać 3 −1 1 −1 3 1 . 1 1 3 Zatem współczynnik korelacji %(2X1 , −3X2 ) wynosi 1 3 1 9 − 23 7. Dwóch strzelców strzela do tarczy. Strzelec 1 trafia z prawdopodobieństwem 2/3, a strzelec 2 z prawdopodobieństwem 1/2. Po oddaniu po jednym strzale okazało się, że tarcza została trafiona dokładnie raz. Prawdopodobieństwo, że trafił strzelec 1 wynosi: 1 3 1 2 2 3 8. Zmienna losowa X ma gęstość fX (x) = √12π exp (− 12 x2 ) dla x ∈ R. Wówczas zmienna losowa Y = X 3 ma gęstość fY , gdzie fY (y) = fY (y) = √1 exp (− 12 y 2/3 )y −2/3 dla y ∈ R. 3 2π √3 exp (−y 6 )y 2 dla ∈ R dla y ∈ R. 2π 5 fY (y) = √1 3 2π exp (− 12 y 2/3 ) dla y ∈ R. 1 2 9. Gęstość wektora losowego (X, Y ) ma postać f (x, y) = 12 11 (2x + xy)I(0,1)2 (x, y). Oznaczając przez fX gęstość zmiennej losowej X oraz f (x|y) gęstość zmiennej losowej X przy warunku Y = y, mamy fX (x) = fX (x) = f (x|y) = f (x|y) = Wynik: 6 2 11 (4x + x)I(0,1) (x) dla x ∈ 12 2 11 (2x + x)I(0,1) (x) dla x ∈ 2 +xy 2 2x 4x2 +x I(0,1) (x) dla x ∈ R x2 +xy 2x2 +x I(0,1) (x) dla x ∈ R R R