egzamin maturalny z matematyki

Miejsce
na naklejkę
z kodem
KOD ZDAJĄCEGO
EGZAMIN MATURALNY Z
MATEMATYKI
ARKUSZ II
POZIOM ROZSZERZONY
Arkusz II
n24
Czas pracy 180 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 10 stron.
Ewentualny brak naleŜy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi naleŜy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy kaŜdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno uŜywać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok kaŜdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą moŜna uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu moŜna korzystać z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie moŜna korzystać
z kalkulatora graficznego.
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
którą wypełnia egzaminator.
śyczymy powodzenia!
PESEL ZDAJĄCEGO
1
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
moŜna otrzymać
łącznie 50 punktów
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 1. (5 pkt)
WykaŜ, Ŝe jeŜeli trzy liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to spełniają
warunek:
(a + b + c ) ⋅ (a − b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 .
Odpowiedź: ………………………………………………………………………..
2
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 2. (4 pkt)
Narysuj wykres funkcji
f ( x ) = cos x ⋅ tgx
i podaj jej miejsca zerowe
Odpowiedź: ………………………………………………………………………..
3
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 3. (4 pkt)
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych :
(m
2
)
+ 5m − 6 x 2 − 2(m − 1)x + 3 > 0
Odpowiedź:.........................................................................................................
4
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 4. (5 pkt)
U podnóŜa wzgórza rośnie drzewo. Wzgórze jest
nachylone do płaszczyzny horyzontu pod kątem 150.
Z punktu, który znajduje się w odległości 35m od
drzewa, w kierunku szczytu tego wzgórza (rysunek),
widać drzewo pod kątem 450. Wyznacz wysokość
drzewa.
450
150
35m
Odpowiedź: …………………………………………………………………...
5
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 5. (4 pkt)
WykaŜ, Ŝe jeŜeli P ( A) =
1
1
i P ( B ) = , to
4
3
1
7
1
≤ P( A ∪ B ) ≤
oraz P ( A ∩ B ) ≤ .
3
12
4
Odpowiedź:……………………………………………………………………
6
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 6. (5 pkt)
Dane są punkty A = (0,0) i B = (4,2). Znajdź takie punkty C i D, aby trójkąty ABC i ABD były
równoboczne. Oblicz pole figury, którą otrzymamy po usunięciu z rombu ABCD wpisanego w
niego koła
Odpowiedź:.........................................................................................................
7
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 7. (6 pkt)
r = 12cm,
2
h = 45cm (rysunek) napełnione jest wodą do
3
jego wysokości. Ile litrów wody naleŜy dolać do
wiadra, aby było ono pełne?
Wiadro o wymiarach
R = 20cm,
Odpowiedź: …………………………………………………………………...
8
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 8. (4 pkt)
Ojciec i syn pracując razem pomalowaliby mieszkanie w ciągu 12 dni. Jednak po 8 godzinach syn
ze względu na zmęczenie przestał pomagać ojcu. Ojciec pracując sam potrzebował jeszcze 5 godzin
do ukończenia pracy. W ciągu ilu godzin kaŜdy z nich, pracując sam, mógłby pomalować
mieszkanie?
Odpowiedź:.........................................................................................................
9
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 9. (4 pkt)
Agnieszka miała koraliki w dwóch kolorach, w kaŜdym kolorze tę samą liczbę koralików. Nawlekała je
na nitkę wykorzystując wszystkie koraliki. Otrzymała w ten sposób 70 róŜnych wisiorków. Po ile
koralików kaŜdego koloru miała Agnieszka?
Odpowiedź:.........................................................................................................
10
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 10. (6 pkt)
W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór tych punktów płaszczyzny, których
współrzędne spełniają warunek:
(
)
(
log ( y +1) x 2 − x > log (2y +1) x 2 − x
).
Odpowiedź:.........................................................................................................
11
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
Zadanie 11. (5 pkt)
Naszkicuj wykres funkcji f ( x) = min ( y1; y2 ; y3 ) , gdzie y1 = x + 6 , y2 = x , y3 = 4 − x , a następnie
wyznacz jej ekstrema lokalne.
Odpowiedź:.........................................................................................................
12
Egzamin maturalny z matematyki Arkusz II
BRUDNOPIS
13