Widmo operatora Laplace'a
Transkrypt
Widmo operatora Laplace'a
Rozwiązania równań zlinearyzowanej hydrodynamiki w obszarach ograniczonych dr Marek Dudyński Oznaczenia: x , t u 1 x ,t x , t= u 2 x ,t definiujemy : u 3 x ,t T x , t x , t− gęstość x , t −wektor prędkości u T x , t−temperatura Równania zlinearyzowanej hydrodynamiki przyjmują postać: L ∂ = 1 Gdzie: [ u −m ∇ − ∇ − ∇ T u ∇ ∇ u L = u T −1 ∇ ] 2 Równanie 1 rozważamy wobszarze ⊂ℝ3 d ∞ Z warunkami brzegowymi : [ ] =0 n ∇ n u =0 n ∇ T =0 3 I. Możemy pokazać , że istnieje operator ewolucji T t , dla którego operator L jest generatorem ciagłej półgrupy t=e L t 0 0 spęłniających warunki 2 , dla II. Możemy wykonać transformaty Laplace ' a równania1i badać własności operatora L− z−1 i wtedy badamy problem własny operatora L w L = 4 Z warunkami brzegowymi (3). Lemat 1. Załóżmy , że istnieją funkcje , u ,T W 1,2 spełniające równanie 4 z warunkami brzegowymi 3 wtedy : Re ≤0 Twierdzenie 1. Operator L−−1 jest zwartym operatorem w L2 . Szkic dowodu Lemat : ¿ − ¿ ∇ u =∫ u∗u ∫ ∗− ∫ T∗T −∫ u∗ u ∫ u∗∇ 1 m Z części urojonej dostajemy tożsamość : ∫ u∗u=m ∫ ∗1 ∫ T∗T W rezultacie dostajemy dla części rzeczywistej następujące wyrażenie : −1 ℜ = 2 −1 [ ][ ∫ u∗u ] 1 u ∫ ∇ u ¿ ∇ u ∇ T ¿ ∇ T ∫ ∇ ∫ 1 ℜ0 Równość zachodzi dla T =const i u=const Szkic dowodu twierdzenia Twierdzenie 1. Rozważamy rodzinę operatorów : ¿ m 2 ∇ ∇ u − ∇ T u = u ∣∣ u T =T − ∇ n u =0 n ∇ T =0 na ∂ jeżeli u1 T należy do L2 [ − m ¿ 2 ∣∣ ] ∫ ∇ u∗∇ u− ∫ ∇ T∗∇ T = ∫ T ∗T ∫ u∗u 1,2 2,2 u T należy do W więc u , T jest elementemW 3,2 Podobnie dalej u jest elementem W , T jest elementemW 3,2 więc , z twierdzenia Sobolewa :u jest elementemC 1 ,T jest elementem C 1 , a operator T −−1 jest zwarty w L2 Własności operatora L Wniosek 1.Widmo operatora L jest czysto punktowe. Wniosek 2.Operator ewolucji można zapisać w następującej postaci : N it T t0=∑ e i ,0∗i 1 gdzie i−lewe funkcje własne a i prawe funkcje własne , odpowiadające wartości własnej i Poszukujemy teraz bardziejh szczegółowych informacji dotyczących widma operatora L . 1. Ile jest wartości własnych i od czego zależy 3 2. Jak wygląda przejście graniczne do hydrodynamiki w R tzn. dla d ∞ czy lim ∥T t 0∥=0 Operator w pudle Widmo operatora w pudle