2014.05.29 - Wiedza, logika i informacja

Paradoksy prawdopodobieństwa
29.05.14
p × u (pay-off ) = cząstkowa użyteczność oczekiwana
Exp U (gra) = suma arytmetyczna wszystkich cząstek użyteczności oczekiwanych
całkowita użyteczność oczekiwana całej gry
Exp U (gra) może być wielkością nieskończoną jak ma to miejsce w klasycznym przypadku Paradoksu Petersburskiego oraz w niektórych przypadkach Paradoksu Pasadeńskiego.
Wersje Paradoksu Pasadeńskiego wyróżnione przez Nover, Hajek “Vexing Expectations”
W każdej z wersji mamy do czynienia z szeregiem nieskończonym, którego wyrazami są wielkości poszczególnych wypłat (pay-off ).
I wersja P Pasadeńskiego
Jest to szereg zbieżny, nieskończony, przy którym całkowita użyteczność oczekiwana jest wielkością
skończoną obliczaną zgodnie ze wzorem:
n-1
Exp U (gra) = (-1)
1
n
2 /n · 2 n = ln2
ln 2 = ln e 2 ~~ 0,69
gdzie e = 2,718
Ze względu na to, że Exp U (gra) jest wielkością dodatnią, można uważać, że warto przystąpić do takie gry.
II wersja Paradoksu Pasadeńskiego
Szereg nieskończony wypłat jest określony wzorem:
Exp U (gra) = ln 2 + 1 ln (p/q), gdzie p = dodatni wyraz szeregu
2
q = ujemny wyraz szeregu
1
1
1
1
1
Exp U (gra) = 1 + (- 2 - 4 - 6 - 8 - 10 ) +
1
3
+( .
.
.
.
.
) +
1
5
+( .
.
.
.
.
) +
...
Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy
1
Exp U (gra) = ln 2 + 2 ln (1/5) ~~ - 0,11
Ponieważ całkowita użyteczność oczekiwana jest ujemna, więc udział w grze, zaprezentowanej w ten
sposób, jest nieopłacalny.
III wersja P Pasadeńskiego, w której nieskończony szereg wypłat jest rozbieżny do +∞. W takim wypadku
mamy
Exp U (gra) = (1) + ( 1 + 1 + ... 1 - 1 ) + ( ........ ) + ...
3
5
41
2
W nawiasach po dodaniu otrzymujemy wielkość w każdym przypadku większą lub równą 1, zatem Exp U
(gra) jest wielkością nieskończoną. Jest to przypadek dla gracza najlepszy z możliwych, lepszy od każdej gry,
w której całkowita użyteczność oczekiwana jest wielkością dodatnią skończoną.
IV wersja P Pasadeńskiego
Niech to będzie taki nieskończony szereg, w którym w każdy z nawiasów wersji III otrzymujemy wielkość
mniejszą od -1. Zatem,
Exp U (gra) = -∞ (wielkość nieskończenie ujemna)
IV wersja jest najgorszą z możliwych, gdyż jest gorsza od każdej gry w której mamy do czynienia ze
skończoną wielkością przegranej.
Podstawy teoretyczne z zakresu standardowej analizy matematycznej związane z Paradoksem Pasadeńskim
Rozważmy nieskończony szereg liczb rzeczywistych:
a1, a2, ..., an ...
Szereg ten posiada granicę L, jeśli dla każdego ϵ > 0 istnieje N takie, że dla każdego n > N zachodzi związek:
| an - L | < ϵ
an
L
ϵ
x
N
Jeśli spełniony jest warunek, że szereg posiada granicę, to zapisujemy to w następujący sposób:
lim n
>
∞ an = L
Jeśli szereg posiada granicę, to mówimy, że jest zbieżny, a przeciwnym przypadku szereg lub ciąg jest
rozbieżny. Rozważmy ciąg, który ma postać:
a1, a1, a2,
n
a1 + a2 + a3, ... Σ i = 1 ai
Ten ciąg tworzony jest z częściowych sum nieskończonego ciągu.
Taki ciąg nazywamy nieskończonym szeregiem. W przypadku szeregów nieskończonych każda zmiana
kolejności wyrazów może spowodować, to że otrzymamy różne sumy tych wyrazów. Nie spotykamy się z
taką własnością w przypadku sum szeregów skończonych.
Niech Σn∞= 1ai będzie nieskończonym szeregiem. Szereg taki jest absolutnie zbieżny, gdy nieskończony szereg
postaci Σ∞
n = 1 |ai| jest zbieżny
Przykładem szeregu zbieżnego jest szereg określony wzorem z wersji I Paradoksu Pasadeńskiego, którego
granica wynosi ln2.
1
Przykładem szeregu rozbieżnego jest szereg harmoniczny postaci Σ ∞
i=1 i
Niech Σ ∞
n = 1 ai będzie nieskończonym szeregiem
Szereg taki jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, lecz szereg jego wartości bezwzględnych jest
rozbieżny.
Twierdzenie Riemana:
Niech Σ ∞
będzie warunkowo zbieżnym szeregiem wyrazów, będących liczbami rzeczywistymi oraz niech
i=1
S będzie pewną liczbą rzeczywistą, wtedy istnieje takie ustawienie wyrazów szeregu Σ ∞
ai, że będzie on
i=1
zbieżny do S.
Wniosek jaki płynie z twierdzenia Riemana jest następujący: istnieje nieprzeliczalnie wiele wartości sumy S,
które są wynikiem przestawienia wyrazów danego szeregu warunkowo zbieżnego.