Cząstka w studni potencjału. Efekt tunelowy.

Kyongju, Korea, April 1999
W-24 (Jaroszewicz) 22 slajdy
Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego
Fizyka kwantowa 3

Cząstka w studni potencjału




Efekt tunelowy


skończona studnia potencjału
bariera potencjału
bariera potencjału o skończonej szerokości
przykłady efektu tunelowego
Oscylator kwantowy

funkcje falowe oscylatora kwantowego
3/22-W24
Elektron w skończonej
studni potencjału
studnia potencjału o głębokości Uo
d 2Ψ
dx
2
=−
2m

2
[E − U (x )]Ψ
równanie
Schrodingera
rozwiązujemy dla
trzech obszarów
wyniki zbliżone jak dla nieskończonej studni, lecz:
•fale materii wnikają w ściany studni
•energie dla każdego stanu są mniejsze niż w ∞
•elektron o energii większej od U0 nie jest
zlokalizowany, jego energia nie jest skwantowana
L.R. Jaroszewicz
4/22-W24
Bariera
potencjału
E>Uo
1
L.R. Jaroszewicz
U(x)
U0
U=0
U=U0
0
2
x
ruch cząstek w obszarze w którym bariera potencjału zmienia się skokowo
0
U (x ) = 
Uo
dla x < 0
2m
k1 =
dla x > 0

2
1
d 2 Ψ1
dx
Ψ1 (x ) =
2
+
2m

2
A1e ik1x
z warunków
brzegowych
dla x = 0
k2 =
E
2m

2
(E − Uo )
2
EΨ1 = 0
+ B1e
− ik1x
d 2 Ψ2
dx
2
+
2m

2
(E − Uo )Ψ2
Ψ2 (x ) = A2 e
Ψ1 (0 ) = Ψ2 (0 )
ik 2 x
+ B2 e
=0
− ik 2 x
A1 + B1 = A2
 dΨ2 
 dΨ1 
=




k1 ( A1 − B1 ) = k 2 A2
dx
dx
 x =0
 x =0 

B2 = 0, bo nie
ma fali odbitej
k1 − k 2
k1 + k 2
2k1
A2 = A1
k1 + k 2
B1 = A1
5/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Dla E >Uo
Ψ1 =
A1e ik1x
k − k 2 − ik1x
+ A1 1
e
k1 + k 2
Ψ2 = A2 eik 2 x = A1
2k1 ik 2 x
e
k1 + k 2
Współczynnik transmisji T i odbicia R
współczynnik transmisji T to gęstość strumienia cząstek przechodzących do
padających, (odbicia R odpowiednio: odbitych do padających)
R+T =1
T=
v2 A2
v1 A1
2
2
p1 k1
=
v1 =
m
m
2
4
k 2  2k1 
4k1k 2
 =
T = 
=
2
k1  k1 + k 2 
(k1 + k2 ) 1 +
(
v2 =
(E − U o ) E
2
(E − U o ) E )
p 2 k 2
=
m
m
Dla E >>Uo T1, R=0
Dla EUo T0, R=1
podejście kwantowe – fala świetlna odbija się od granicy dwóch ośrodków
klasycznie – niemożliwe, cząstka nie odbije się lecąc nad siatką
6/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Dla E<Uo
d 2 Ψ1
dx
2
+
2m

2
EΨ1 = 0
Ψ1 (x ) = A1e ik1x + B1e − ik1x
w 2 tj. dla x>0
d 2 Ψ2
dx
2
−
χ=
2m

2
(Uo
2m

2
− E ) Ψ2 = 0
(Uo
− E)
Ψ2 (x ) = A2e χx + B2e − χx
Z warunku ograniczoności Ψ2 wynika A2 = 0
k − iχ
B1 = − 1
A1
k1 + iχ
2k1
A1
B2 =
k1 + iχ
R=
B1B1*
A1 A1*
=1
całkowite
odbicie
fala wchodząca do obszaru drugiego jest wykładniczo tłumiona i
gęstość prawdopodobieństwa jest proporcjonalna do exp(–2χ x)
7/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Bariera potencjału o
skończonej szerokości
U(x)
1
2
U0
U=0
3
x
E
Ψ1 = A1e ikx + B1e − ikx
U=0
U=U0
0
0 dla

U (x ) = U o dla
0 dla

L
x<0
0<x<L
x>L
Dla obszarów 1 i 3
d 2Ψ
dx 2
+
2m
2
EΨ = 0
k =
2m
2
Ψ3 = A3e ikx
Dla obszaru 2
d 2Ψ
dx 2
−
2m
2
(Uo − E )Ψ = 0
χ=
2m

2
(Uo
− E)
Ψ2 = A2 e χx + B2 e − χx
8/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Schemat obliczeń
Ψ1 (0 ) = Ψ2 (0 )
A1 + B1 = A2 + B2
dΨ1
dΨ2
=
dx 0
dx 0
ik ( A1 − B1 ) = χ( A2 − B2 )
Ψ2 (l ) = Ψ3 (l )
dΨ3
dΨ2
=
dx l
dx l
(
A2 e χl + B2 e − χl = A3e ikl
)
(k
+χ
) (e
2 2
16k 2 χ 2
2 χl
+e
− 2 χl

2
2m

2
E
(Uo
− E)
v 3 A3 A3∗
A3 A3∗
=
T =
∗
v1 A1 A1
A1 A1∗
)
− 2 + 16k χ
T ≈e
2m
Współczynnik transmisji bariery
A3
4iχke
=
A1 (k + iχ )2 e χl − (k − iχ )2 e − χl
2
χ=
χ A2 e χl − B2 e − χl = ikA3e ikl
ikl
T =
k =
2 2
−
2L
2m(Uo − E )

T=
16k 2 χ 2
(k
2
+ χ2
)
2
e − 2 χl
9/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Efekt tunelowy - przenikanie
cząstki przez barierę potencjału
Ze względu na wykładniczą postać wartość T jest bardzo czuła na trzy
zmienne: masę cząstki m, szerokość bariery L i różnicę energii Uo-E
T ≈e
−
2L
2m(Uo − E )


Ψ(x)

B1


A1
E
A3
Uo>E
0
l
x
prawdopodobieństwo
przejścia przez barierę
potencjału zależy od L i Uo
szybko maleje ze wzrostem
jej szerokości i wysokości
wg. mechaniki klasycznej
przenikanie przez barierę
jest niemożliwe
energia cząstki, w
odróżnieniu od jamy
potencjału nie jest
skwantowana
10/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Przykłady efektu tunelowego
11/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Diody tunelowe
(efekt tunelowy w złączu p-n) Nagroda Nobla 1973r
# Esaki - tunelowanie w półprzewodnikach np. diody
tunelowe
# Giaever - tunelowanie w nadprzewodnikach
# Josephson – złącze Josephsona,
szybki przełącznik kwantowy
12/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Skaningowy Mikroskop Tunelowy
(STM) Binning i Rohrer Nagroda Nobla 1986r
13/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Oscylator kwantowy
Oscylator harmoniczny jako model
procesu okresowego:
mechaniczny
elektromagnetyczny
drgający dipol
kwantowy
wiele układów fizycznych można traktować jak oscylatory harmoniczne
14/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Oscylator klasyczny
Cząstka wykonująca ruch pod
wpływem siły quasisprężystej
k – stała sprężystości
x
F = −k x
ωkl =
k
m
x=0


F = −k x


F = −k x
x = xo cos(ωklt + ϕ)
U
Energia potencjalna
2 2
kx 2 mωkl x
=
U (x ) =
2
2
klasycznie energia może przyjmować dowolne
wartości, w tym również wartość zerową
-xo
0
xo
x
15/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Oscylator kwantowy
ωkl =
k
m
Rozwiązanie dokładne - korzystamy z równania Schrodingera
d 2Ψ
dx 2
2m 
1

2
x 2 Ψ
= − 2  E − mωkl
2

 
Zastosujmy funkcję Gaussa
Ψ (x ) = e
dx
(− 2a + 4a x )e
porównując odpowiednie
współczynniki
− 2a +
4 a2 =
d 2Ψ
− ax 2
2
2
m2ωkl
2
mωkl
a=
2
2
− ax 2
(4a )x
2
− 2a = −
2
Odgadujemy rozwiązanie i
sprawdzamy czy spełnia równanie
2
= −2ae
− ax 2
2 − ax 2
+ 4a x e
2
2m 
1
2
2  − ax 2
= − 2  E − mωkl x e
2

 
=−
2mE
2
2
 m 2 ωkl
+ 
2


 2
x


2mE
2
ωkl
 2 a  2 mωkl
E =
=
=
m
m 2
2
16/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Rozwiązania wyższych rzędów
Ψ1 (x ) = e
1
E1 = ωkl
2
− (mωkl 2  )x 2
Dla drugiego rzędu
Ψ2 (x ) = xe
3
E 2 = ωkl
2
− (mωkl 2 )x 2
E 2 − E1 = ωkl
Dla trzeciego rzędu
Dla wyższych rzędów
1

E n =  n − ωkl gdzie n=1, 2, 3 ...
2

Nowy wniosek – nie możemy osiągnąć energii zerowej
17/22-W24
Funkcje falowe jednowymiarowego oscylatora
L.R. Jaroszewicz
18/22-W24
Dwuwymiarowy oscylator
L.R. Jaroszewicz
19/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Funkcja falowa drugiego rzędu
20/22-W24
L.R. Jaroszewicz
Dla wyższych rzędów gęstość
prawdopodobieństwa oscyluje wokół wartości
klasycznych – zasada odpowiedniości
21/22-W24
Właściwości oscylatora
kwantowego





L.R. Jaroszewicz
Energia oscylatora kwantowego jest skwantowana
1

E n =  n − ωkl
2

Oscylator kwantowy nie może mieć energii równej zero –
każde ciało posiada pewną energię wewnętrzną, nie można
osiągnąć temperatury 0 K
Przy przejściach między sąsiednimi poziomami oscylator
kwantowy emituje kwanty energii (fotony) o częstotliwości
zgodnej z częstotliwością oscylatora klasycznego
E 2 − E1 = ωkl
Reguły wyboru zezwalają na przejścia jedynie między
sąsiednimi poziomami ∆n=±1
Otrzymane wyniki są zgodne z postulatami Plancka dla
promieniowania ciała doskonale czarnego
Kyongju, Korea, April 1999