Wykorzystanie rezonansu w astronautyce

Wykorzystanie rezonansu parametrycznego w astronautyce
(Analogia do rozpędzania huśtawki)
Wg. W. Bielecki i M. Giwerc (naukowcy rosyjscy)
Niech kosmolot składa się z połówek mogących się względem siebie odsuwać i dosuwać
wzdłuż osi prostopadłej do płaszczyzny jego orbity. Czyli kształt maksymalnie
wydłużonego kosmolotu może przypominać hantle gimnastyczne (kulturystyczne).
Niech wtedy kąt między liniami łączącymi końce kosmolotu ze środkiem okrążanego
przezeń ciała niebieskiego wynosi 2α.
Niech kosmolot porusza się już po lekko wydłużonej elipsie będącej orbitą przejściową bo
docelowo ma on opuścić pole grawitacyjne ciała niebieskiego; Aby opuścił on to ciało to
trzeba mu nadać II prędkość kosmiczną. Okazuje się, że nie muszą działać silniki (odrzutowe)
kosmolotu – wystarczą siłowniki (hydrauliczne? Elektryczne?).
Niech aktualna odległość środka masy kosmolotu od (środka masy) ciała niebieskiego (np.
planety) wynosi R. Odległość od środka planety do poszczególnych połówek kosmolotu
„rozłożonego” wynosi R/cosα.
Niech m jest masą kosmolotu, M – masą planety a G – stałą grawitacji.
Planeta na każdą połówkę kosmolotu (np. próbnika kosmicznego) działa siłą grawitacji
GM(0,5m) GMmcos2α
F=
=
(R/cos α)2
2R2
Rzut tej siły na płaszczyznę orbitowania wynosi Fcos α
GMmcos3α
Wypadkowa tych 2 sił wynosi więc Fwyp=2Fcos α =
.
R2
(Czyli siła ta różni się o czynnik cos3α od siły działającej na statek w stanie złożonym)
Jak wiadomo, energia potencjalna (ujemna!) statku (w polu grawitacyjnym) w stanie
GMm
złożonym wynosi: R
GMmcos3α
Przez analogię, energia potencjalna statku rozłożonego będzie wynosić: R
Jak wiadomo, najdalej oddalony od planety punkt orbity eliptycznej to apogeum a oddalony
najmniej to perygeum. Przy rozpędzaniu statek trzeba rozkładać w perygeum i składać w
apogeum.
Załóżmy, że statek pierwszy raz rozłożono i porusza się on więc od perygeum do
apogeum.
Rozróżnijmy prędkości (styczne) statku w perygeum i apogeum i oznaczmy je odpowiednio
przez υ oraz u a ściślej: υ1 oraz u1.
Dodatkowo oznaczmy apogeum (pierwsze) przez R1 a perygeum pierwsze przez r1.
Zgodnie z zasadą zachowania energii – suma energii potencjalnej oraz kinetycznej statku
GMmcos3α m υ12
GMmcos3α m u12
nie ulegnie zmianie: +
=+
r1
2
R1
2
Oprócz tego, jak wiadomo z 2 prawa Keplera, prędkość polowa statku jest stała. Oznaczmy
ją przez S. Z definicji: S = υ1 r1 = u1R1.
Mamy stąd r1 = S/υ1 oraz R1 = S/u1. A więc:
GMcos3α υ12
GMcos3α u12
+
=+
S/υ1
2
S/u1
2
2
2
3
3
υ1 u1
GMcos α GMcos α
- S/u
2 - 2 = S/υ1
1
3
1
GMcos
α
2
2
( υ1-u1)
2 (υ1 - u1 ) =
S
2GMcos3α
( υ1-u1) ( υ1+u1) =
( υ1-u1)
S
3
2GMcos α
υ1+u1 =
S
W apogeum składamy obie połówki (zmieniając przez to jakby pole grawitacyjne przez
zwiększenie G ). Mamy teraz analogicznie:
GMm m u12
GMm m υ22
+
=+
R1
2
r1
2
Gdzie υ2 jest nową prędkością w perygeum. Będzie teraz m.in. S= υ2r1 więc r1 = S/υ2
GMm m u12
GMm m υ22
+
=+
S/u1
2
S/υ2
2
2
2
m u1 m υ 2
GMm GMm
=
2
2
S/u1 - S/υ2
…
2GM
u1+ υ2 =
S
Odejmujemy stronami od tego ostatniego równania wyprowadzone równanie przedostatnie:
2GM 2GMcos3α
u1+ υ2 - (υ1+u1) =
S
S
2GM
Stąd: υ2 - υ1 =
(1-cos3α)
S
Czyli różnica prędkości w perygeum po pierwszym cyklu (okresie) jest niezerowa
(rozróżnienie indeksów oznaczeń było uprawnione) a więc prędkość zmieniła się; Kąt α jest
bardzo mały stąd ta różnica jest dodatnia czyli υ2 > υ1, prędkość w perygeum wzrosła. Ale
okazuje się, że i odległość zmieniła się. Oznaczmy nowe perygeum przez r2. Będzie r2=S/υ2.
Ale było S = r1υ1 więc: r2= r1 υ1/υ2. Ponieważ υ1/υ2 < 0 stąd: r2 < r1 czyli perygeum zbliżyło
się do planety.
Ponownie rozkładamy statek i lecimy z perygeum do apogeum. Wprowadzamy nowe
oznaczenie prędkości w apogeum u2 (po drugim cyklu). Przez analogie mamy w apogeum:
2GM
u2+ υ2 =
cos3α a z odjęcia z tego równania tego samego równania co poprzednio:
S
2GMcos3α 2GMcos3α
u2+ υ2 - (υ1+u1) =
mamy:
S
S
u2+ υ2 - (υ1+u1) = 0 czyli:
u2-u1 + υ2 - υ1 = 0 czyli:
u2-u1 = -( υ2 - υ1) więc wystąpiła różnica prędkości też w apogeum i jest ona co do wartości
bezwzględnej równa różnicy prędkości w perygeum ale wziętej z przeciwnym znakiem.
Stwierdzając wprost: W apogeum prędkość zmalała; o tyle o ile w perygeum wzrosła.
Apogeum też się zmienia analogicznie; Wprowadźmy oznaczenie R2. R2 = S/u2 = R1u1/u2. A
więc R2>R1 (bo u1/u2 >0).
Można dalej analogicznie wykazać, że po n cyklach:
2GM
υn = υ1 +n S (1-cos3α)
2GM
un = u1 - n S (1-cos3α)
r1υ1
rn =
2nGM(1-cos3α)
υ1+
S
Rn =
R1un
2nGM(1-cos3α)
u1S
Pojazd odleci od planety gdy Rn → ∞ czyli gdy mianownik ostatniego wzoru, na Rn, → 0
2nGM(1-cos3α)
Czyli gdy:
u1 =0
S
2nGM(1-cos3α)
i:
= u1
S
u1
Su1
Więc:
n = 2GM(1-cos3α) = 2MG(1-cos3α)
S
Aby n było względnie małe to M powinna być duża (wpływ α nie może być przecież duży).
Najlepiej więc taki manewr zastosować przy ciężkiej gwieździe (a i tak trzeba czasu by
zrealizować pewną liczbę cykli).
Tak więc, zmieniając okresowo parametry statku kosmicznego, można rezonansowo
„rozciągnąć” jego orbitę i nawet opuścić strefę przyciągania ciała niebieskiego.
Zauważmy, że gdy α = 0, tzn statek nie jest okresowo wydłużany (i skracany) poprzecznie do
płaszczyzny orbity to ze wzoru wynika n = ∞ czyli nigdy nie odleci od planety jeśli nie użyje
silników albo ich nie ma.
Mirosław Kwiatek, Wg: I. S. Słobodziński, L. G. Asłamazow: Zadania z fizyki, PWN 1986, zad. 149
Lipiec 2013