Przykªadowe zadania na kolokwium 1 1. Maj¡c dany

Przykªadowe zadania na kolokwium 1
1. Maj¡c dany wektor
a = [1, 2] obliczy¢: B = aT a, dewiator B , wybran¡ norm¦ B
F (x) = xT Bx.
oraz pochodn¡
∂F
formy kwadratowej
∂x
u=a×b i v =c×d
2. Obliczy¢ iloczyny wektorowe wektorów
a = [x, x2 + y 2 , 0]
b = [xy,
√ x − y, 0]
c = [ z, z 2 , x2 y]
d = [ x1 , x + z, x + y + z 2 ]
Nast¦pnie obliczy¢: div u,
je»eli:
div v , rot u, rot v .
3. Wykaza¢, »e symetria osiowa jest tensorem, a odwzorowanie
nie jest tensorem. Dla jakich liczb
α, β
odwzorowanie
τ
τ (a) = αa + β , α, β ∈ R, a ∈ R2
b¦dzie tensorem?
4. Zastosowa¢ metody eliminacji Gaussa oraz iteracji Gaussa-Seidela (3 kroki z oszacowaniem bª¦du)
do rozwi¡zania ukªadu równa« algebraicznych
A
−1
A x = b.
Obliczy¢ wyznacznik macierzy
A
oraz
metod¡ eliminacji.


6
2
3

A =  1 −4 −1 

0
1
8


4

b =  −5 

−14
5. Wykona¢ 2 kroki metody pot¦gowej do obliczenia wektorów i warto±ci wªasnych macierzy
Przyj¡¢
x0 = [1, 0, 0].

A.
Oszacowa¢ bª¡d przybli»onego wektora i warto±ci wªasnej.

1
2 3


A =  2 −2 4 
3
4 2
6. Je»eli sp(A)
= {−1, 2, 7, 10},
to do której warto±ci wªasnej b¦d¡ zbie»ne metody pot¦gowa,
odwrotna, pot¦gowa i odwrotna przy przesuni¦ciu widma o warto±ci
7. Wykona¢ mo»liwe dziaªania spo±ród
AB , AT B , AB T , BA, A2 , B 2 , A−1 , B −1 , A−T , B −T
macierzach


4 2 −5

4 
A= 1 0

3 2 −1
8. Dla zadanej funkcji
g = ∇f
h = divg
k = rot g .
−5, 1, 5.
"
B=
0
2
3
1 −1 −3
f (x, y, z) = x2 + xyz + z sin x
#
obliczy¢:
na
Przykªadowe zadania na kolokwium 2
1. Zastosowa¢ poznane metody i wykona¢ 3 iteracje do obliczenia pierwiastka równania
w przedziale [4, 8]
x · sin x = 0
Oszacowa¢ bª¡d obliczonego przybli»enia.
2. Napisa¢ algorytm Newtona-Raphsona obliczania pierwiastków ukªadu równa«
(
x21 + x22 = 4
x21 − x2 = 1
3. Zapisa¢ wzór na interpolacj¦ Lagrange'a dla dyskretnych warto±ci (1,2), (3,1), (4,5).
4. Dokona¢ najlepszej aproksymacji funkcj¡ liniow¡ dla danych z poprzedniego zadania.
5. Wyprowadzi¢ wzory ró»nicowe dla 3 w¦zªów xi−1 < xi < xi+1
na pierwsz¡ pochodn¡ fi0 ≈ α1 fi−1 + α2 fi + α3 fi+1
oraz drug¡ pochodn¡ fi00 ≈ β1 fi−1 + β2 fi + β3 fi+1 .
Zastosowa¢ metody interpolacji Lagrange'a oraz wspóªczynników nieoznaczonych.
6. Zastosowa¢ wzory z zad.5 do obliczenia pierwszej i drugiej pochodnej funkcji
f (x) =
sin x
x
w punkcie x = 5. Zastosowa¢ ró»ne poªo»enia w¦zªów xi−1 , xi+1 . Obliczy¢ bª¡d uzyskanych
wyników.
7. Zastosowa¢ poznane kwadratury do obliczenia
Z π
0
sin x dx
dziel¡c przedziaª caªkowania na dwa podprzedziaªy. Obliczy¢ bª¦dy uzyskanych wyników.
8. Zastosowa¢ metod¦ Eulera i Rungego-Kutty II rz¦du do aproksymacji rozwi¡zania zagadnienia
pocz¡tkowego z krokiem 0.1
dy
= x3 − 2y 3 , y(0) = 1
dx
Porówna¢ wyniki i na tej podstawie oszacowa¢ bª¡d metody Eulera.
9. Zapisa¢ ukªad równa« algebraicznych MRS dla zagadnienia brzegowego
u00 + u0 + u = x2
x ∈ (0, 3)
u0 (0) = 1
u(3) = 2
Dla wszystkich pochodnych zastosowa¢ centralne wzory ró»nicowe 3-w¦zªowe.