Matematyka wy»sza, ¢wiczenia, zestaw 5 Przypomnienie:

Matematyka wy»sza, ¢wiczenia, zestaw 5
5.1. Obliczy¢ pochodne funkcji: (a)
A cos(x) −
3
x2
√
√
√
+ x + 3 x + 4 x,
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 ,
(b)
1 + 2 ln(x) − 3ex − x3 ,
(c)
√
1 + sin x · x, (b) 1 + sin x · x, (c) −4ex ln(x) + 1.
sin(x)
x
1
5.3. Obliczy¢ pochodne funkcji: (a) tan(x), (b) x2 +1 , (c) ex +e−x , (d) 1+x2 .
5.4. Stosuj¡c wzór na pochodn¡ funkcji zªo»onej prosz¦ obliczy¢ pochodne funkcji: (a) 1 + cos(ωx),
2
(b) 1 + sin(1 + x2 ); (c) e−3x , (d) e5x , (e) 8 sin (x + ln(x)) , (f) 5 ln[3 + cos(x)], (g) 6(sin(x) +
√
x2 + x)4 , (h) 2( x1 + e−x )4 .
√
x
x2 +2x+4
2x2 + x4 , (c) √1+x
, (d) ln[1 + sin2 (x)],
5.5. Prosz¦ obliczy¢ pochodne funkcji: (a) x4 +1 , (b)
2
2
(e) e−x 1 + x2
5.2. Obliczy¢ pochodne funkcji: (a)
5.6. Prosz¦ znale¹¢ pierwsz¡, drug¡, trzeci¡, czwart¡ pochodn¡ dla:
(a) sin(x),
(b) log(x),
Jaka jest n-ta pochodna ?
Przypomnienie:
(0) Pochodna sumy funkcji dana jest wzorem
(f + g)0 = f 0 + g 0
(1) Pochodna iloczynu funkcji dana jest wzorem
(f g)0 = f 0 g + g 0 f
a w szczególno±ci dla dowolnej staªej
C
mamy
(Cf )0 = Cf 0
(2) Pochodna ilorazu funkcji dana jest wzorem
(3) Niech
h
b¦dzie zªo»eniem funkcji
gdzie symbol
y
funkcj¦
f (x)
g(x)
0
=
h(x) = g(f (x)). Wówczas
dh(x)
df (x) dg(y) =
·
dx
dx
dy y=f (x)
f
i
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
g 2 (x)
g,
t.j.
dg(y) dy y=f (x) oznacza, »e po obliczeniu pochodnej funkcji
f (x).
g(y) podstawiamy za warto±¢