4. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
4. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH (MES) W AKUSTYCE
Poniżej zostanie przedstawione sformułowanie matematyczne służące do analizy stanów ustalonych jak i nieustalonych, przebiegu fali akustycznej, zastosowanych w programie MES
– ABAQUS (począwszy od sformułowania ogólnego). W celu ułatwienia identyfikacji zmiennych, stałych oraz nazw zawartych we
wzorach wszystkie oznaczenia będą zgodne z tymi, które zostały
zaproponowane w dokumentacji programu, a polskie nazwy będą
uzupełnione o odpowiedniki angielskie. Miana wielkości fizycznych
pojawiających się we wzorach będą zgodne z układem SI.
4.1. SFORMUŁOWANIE OGÓLNE
4.1.1. RÓWNANIE RÓWNOWAGI OŚRODKA
Podstawowe równanie równowagi ośrodka płynnego przy
założeniu, iż ośrodek ten jest ściśliwy, nielepki, ulega małym deformacjom i posiada zdolność wewnętrznego tłumienia1 na wymuszenia
zewnętrzne (matrix material) możemy przedstawić w następującej
postaci wektorowej
&& f = 0 ,
grad p + γu& f + ρ f u
(4.1a)
lub w postaci rozwiniętej jako układ trzech równań
∂ 
f
f
  p + γ u& x + ρ f u&&x = 0 ,
 ∂x 
 ∂ 
  p + γ u& yf + ρ f u&&yf = 0 ,
 ∂y 
(4.1b)
∂
f
f
  p + γ u& z + ρ f u&&z = 0 ,
 ∂z 
1
rozumianego wprost lub jako opór ośrodka porowatego na przepływ fali akustycznej
25
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
gdzie:
p = p( x, y , z , t ) - to ciśnienie akustyczne
(acoustic pressure)
u&if - to składowa prędkości cząstki akustycznej
[N ⋅ m ],
−2
u&&if - to składowa przyspieszenia cząstki akustycznej
tion)
[m ⋅ s ] ,
−1
(particle velocity)
(particle accelera-
[m ⋅ s ],
−2
ρ f - to gęstość płynu (powietrza) [kg ⋅ m −3 ] ,
γ - to oporność objętościowa ośrodka
(volumetric drag)
[kg s
−1
]
m −3 .
Związek konstytutywny zachowania się płynu przy powyższych założeniach przyjmuje postać2
p = − K f divu f ,
(4.2a)
 ∂u xf ∂u yf ∂u zf 
,
p = − K f 
+
+
∂y
∂z 
 ∂x
(4.2b)
lub w postaci rozwiniętej
gdzie K f - współczynnik sprężystości objętościowej płynu
[N ⋅ m ].
(bulk modulus)
−2
4.1.2. WARUNKI BRZEGOWE
Wektor n pojawiający się w podanych niżej definicjach
warunków brzegowych reprezentuje normalną do brzegu analizowanego ośrodka akustycznego3 skierowaną do wewnątrz. Powierzchnię
oznaczamy krótko S , a indeks dolny charakteryzuje jej właściwości.
Rys. 4.1 przedstawia schematyczną wizualizację powyższych konwencji oznaczeń.
2
analogicznie do wyprowadzonej zależności (3.19b)
3
w dokumentacji programu nie rozróżniono wyraźnie cieczy i gazów, mówi się ogólnie o ośrodku płynnym nazwanym „acoustic medium” – stąd nawa ośrodek akustyczny
26
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Rys. 4.1. Wizualizacja konwencji oznaczeń
S fp ,
jest powierzchnią, na której zdefiniowane jest ciśnienie akustyczne p (zadane na elemencie akustycznym).
S ft ,
jest powierzchnią, na której zdefiniowane jest przyspieszenie
cząstki akustycznej
(inward acceleration)4
&& f = ain ,
n ⋅u
(4.3)
przypadek, dla którego ain = 0 reprezentuje ścianę sztywną.
S fs ,
to powierzchnia kontaktu pomiędzy strukturą, a ośrodkiem akustycznym. Na powierzchni kontaktu zachodzi zgodność przyspieszeń normalnych (przyspieszenia styczne są niezależne).
Przypadek taki odpowiada np. wibrującemu podłożu, które jest
źródłem powstawania fali akustycznej. Równość przyspieszeń
zapisujemy w postaci
4
w dokumentacji pojawia się również określenie „inward volume acceleration”, co należy tłumaczyć jako
„przyspieszenie objętościowe”. Nazwę można wyjaśnić na dwa sposoby:
pierwszy wynika ze sposobu przykładania tego wymuszenia na ośrodek akustyczny. Ciśnienie
jest wielkością odnoszącą się do powierzchni. Jak wspomniano powyżej, definicja tego warunku w programie ABAQUS odbywa się poprzez podanie przyspieszenia cząstki, a dokładniej punktu, a zatem zachodzi konieczność, obliczenia tego przyspieszenia poprzez całkowanie po powierzchni, co daje nam
w rezultacie „jednostkę” przyspieszenia punktu m3 s −2 - skąd łatwo wywieść już sens wspomnianej nazwy.
drugi wynika wprost ze wspomnianego miana fizycznego tej wielkości m3 s −2 . Badając ilość
[
]
[ ]
[
]
przepływającej materii (np. cząstek gazu lub cieczy m 3 ) w jednostce czasu otrzymamy tzw. „prędkość
objętościową” m 3 s , a jeżeli ponadto zbadamy zmianę tej prędkości w czasie otrzymamy „przyspieszenie
objętościowe”.
[ ]
27
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
&& f = n ⋅ u
&& m ,
n⋅u
[
(4.4)
]
&& m = u&&xm , u&&my , u&&zm to wektor przyspieszeń struktury
gdzie u
S fr ,
[m ⋅ s ].
−2
powierzchnia na której energia fali akustycznej ulega dyssypacji. Warunek ten uwzględnia wyłącznie fizyczne właściwości
warstwy tłumiącej5, skąd przy analizie dużych zadań6, przy
skomplikowanej budowie warstwy pochłaniającej, zmuszeni jesteśmy do przeprowadzenia szeregu zadań pomocniczych w celu homogenizacji powierzchni. Modelując ten rodzaj warunku
brzegowego nie definiujemy warstwy tłumiącej jako osobnego
modelu, ale zadajemy wyłącznie jej właściwości7 (na elemencie
akustycznym). Matematycznie, warunek ten zapisujemy w postaci liniowego związku pomiędzy prędkością cząstki akustycznej, ciśnieniem akustycznym i prędkością (wielkością) zmian ciśnienia akustycznego
1
1
− n ⋅ u& f =  p& +
c1
 k1

p  ,

(4.5)
gdzie:
[
]
k1 - współczynnik sprężystości warstwy tłumiącej N ⋅ m −3 ,
[
]
c1 - współczynnik tłumienia warstwy tłumiącej N ⋅ s ⋅ m −3 .
W przypadku analizy stanów ustalonych parametry k1 , c1
mogą być zdefiniowane w funkcji częstotliwości.
Stosując analogiczną formułę8 do (4.5) poprzez odpowiednie dobranie parametrów9 c1 oraz a1 mamy możliwość modelowania warunków, w których cała energia fali zostanie pochłonięta.
S frs , powierzchnia na której warunki S fs oraz S fr występują łącznie.
Przykładem może być wykładzina samochodowa ( S fr ) przyle-
5
„globalne” właściwości tłumiące materiałów, są wynikiem zarówno właściwości fizycznych jak i geometrycznych
6
„duże zadanie” należy rozumieć jako stosunek wielkości analizowanego modelu do wielkości elementów
składowych warstwy tłumiącej
7
pomijamy zatem masę warstwy tłumiącej. W przypadku gdy masa tejże warstwy jest znacząca należy
ją dodać do masy struktury.
8
9
1
1 
n ⋅ u& f = − p& + p 
c
a
 1

1
kwestię tą omówię dokładnie przy omawianiu definiowania analiz w rozdziale piątym
28
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
piona do wibrującej karoserii ( S fs ). Warunek ten ustala zatem
liniowy związek pomiędzy wypadkową prędkością powierzchni,
ciśnieniem akustycznym i prędkością (wielkością) zmian ciśnienia akustycznego
1
1 
n ⋅ (u& m − u& f ) =  p& + p  ,
c1 
 k1
[
]
gdzie u& m = u& xm , u& my , u& zm to wektor prędkości struktury
S fi ,
(4.6)
[m ⋅ s ] .
−1
powierzchnia całkowicie pochłaniająca energię fali. Wiele zadań
wymaga symulacji otwartej „nieskończonej” przestrzeni, np.
ekrany akustyczne przy trasach szybkiego ruchu, stąd implementacja tego warunku w programie jest ważna10. Jak wspomniano przy omawianiu warunków S fr , odpowiedni dobór parametrów c1 i a1 daje zbliżone rezultaty, aczkolwiek zgodnie
z dokumentacją podejście takie daje mniej dokładne wyniki.
S ff ,
powierzchnia kontaktu między płynami o różnych właściwościach fizycznych, np. kontakt powietrze-woda. Kontakt taki
wymaga ciągłości przemieszczeń na powierzchni kontaktowej,
a ponieważ ciągłość taka zapewniana jest w programie ABAQUS
automatycznie toteż tego typu warunek brzegowy nie wymaga
indywidualnego przedstawienia.
4.2. SFORMUŁOWANIE DLA STANÓW
NIEUSTALONYCH
4.2.1. RÓWNANIE RÓWNOWAGI OŚRODKA
Każde powstanie fali akustycznej związane jest z wprowadzeniem do ośrodka źródła zaburzeń (silnik samochodu, instrument muzyczny, itp.). Przebieg tych drgań jest silnie nieliniowy, a co
więcej, dla ogromnej liczby przypadków wymuszenie przybiera formę
procesu stochastycznego (drgania maszyn).
Zaistnienie opisanych powyżej zdarzeń nazywamy, procesem (stanem) nieustalonym, aczkolwiek również dla wymuszeń harmonicznych (np. jednym tonem) moment od zaistnienia wymuszenia
do ustalenia równowagi w ośrodku (do stanu ustalonego) jest również
procesem charakterze nieustalonym.
10
dyssypacja energii zapewniona jest poprzez specjalne algorytmy zastosowane w ABAQUS. Omówienie
ich wykracza poza zakres tej pracy.
29
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Równanie równowagi ośrodka (równanie ruchu) uzyskujemy z równości (4.1a) na drodze następujących przekształceń:
przyjmijmy oznaczenie (operator nabla lub del )
 ∂ r ∂ r ∂ r
∂
= ∇ =  i +
j + k  ,
∂x
∂y
∂z 
 ∂x
(4.7)
równość (4.1a) oraz (4.2a) przepisujemy zatem w postaci
∂
&& f = 0 ,
p + γu& f + ρ f u
∂x
p = − K f divu f = − K f ∇ ⋅ u f = − K f
(4.8a)
∂
⋅uf ,
∂x
(4.8b)
a następnie dzieląc obustronnie zależność (4.8a) przez ρ f otrzymujemy
1 ∂
γ ∂u f ∂ 2u f
p+
+ 2 =0.
∂t
ρ f ∂x
ρ f ∂t
Mnożąc obustronnie11 (4.8c) przez
(4.8c)
∂
otrzymujemy
∂x
∂  1 ∂  γ  ∂ ∂u f

⋅
⋅
p +
∂ x  ρ f ∂ x  ρ f  ∂ x ∂t
  ∂ ∂ 2u f
 + 
⋅ 2
  ∂ x ∂t

 = 0 ,

(4.8d)
 1 
∂ ∂ 2u f
 −
 − K f
⋅
∂ x ∂t 2
 Kf 

 = 0 . (4.8e)

równanie to możemy przepisać do postaci
γ
∂  1 ∂ 
⋅
p −
∂x  ρ f ∂x  ρ f K f

∂ ∂u f
 − K f
⋅
∂ x ∂t

Różniczkując dwukrotnie zależność (4.8b) względem czasu otrzymujemy
11
p& = − K f
∂ ∂u f
,
⋅
∂ x ∂t
&p& = − K f
∂ ∂ 2u f
⋅
∂ x ∂t 2
(4.8f)
.
(4.8g)
obliczając gradient
30
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Podstawiając (4.8f) oraz (4.8g) do równania (4.8e) otrzymujemy
końcowe równanie równowagi, stosowane dla stanów nieustalonych,
zależne wyłącznie od zmiennego ciśnienia w ośrodku
1
γ
∂  1 ∂ 
&p& +
p& −
⋅
p =0 .
ρf Kf
∂ x  ρ f ∂ x 
Kf
(4.9)
Należy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, iż dla przypadku znacznych nieciągłości γ / ρ f (a zatem na granicy kontaktu
różnych płynów) rozwiązanie (4.9) jest przybliżone12.
4.2.2. SFORMUŁOWANIE SŁABE (WARIACYJNE)
Równoważną słabą formą równania (4.9) jest sformułowanie wariacyjne, uzyskane dla dowolnej wariacji ciśnienia δp scałkowanej po objętości obszaru (podobszaru, elementu)
∫
Vf
 1
γ
∂  1 ∂ 
&p& +
p& −
p dV = 0 .
⋅
 ρ ∂ x 
K
K
ρ
x
∂
f
f

 f
 f
δp 
(4.10)
Na podstawie twierdzenia Greena równanie (4.10) możemy przekształcić do postaci
 ∂  1 ∂ 
 1 ∂
∂
p  dV = ∫ 
δp ⋅
− ∫ δp  ⋅ 
Vf
V
f
∂x
 ρf ∂x
 ∂ x  ρ f ∂ x 
∫
Vf
 1

∂
p dV + ∫ δp n ⋅
S
∂x
 ρf

  1
 1
 1 ∂
γ
∂ 
∂
&p& +
δp ⋅
p&  +
p  dV + ∫ δp
n⋅
δp
S
ρ f K f  ρ f ∂x
∂ x 
∂x
 ρf
  K f

p dS 13,(4.11a)


p dS = 0 . (4.11b)

Załóżmy w tym miejscu, że na powierzchni S fp zadane jest ciśnienie
p . Równanie równowagi (4.8c) musi być zatem użyte do ustalenia
relacji pomiędzy zmianami ciśnienia a przemieszczeniami na pozostałej części powierzchni. Zatem
 1 ∂
γ f
&& f
n ⋅ 
p+
u& + u
ρf
 ρ f ∂x

 = 0,


(4.12a)
12
problem ten nie występuje w przypadku stanów ustalonych, o czym wspomnę w dalszej części pracy
13
ponieważ wektor n skierowany jest do wnętrza objętości
31
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
skąd
1
ρf
n⋅
 γ f
∂
&& f
p = −n ⋅ 
u& + u
∂x
 ρf

 .


(4.12b)
Podstawiając zależność (4.12b) do równania (4.11b) otrzymujemy
∫
Vf
  1
 1 ∂
∂
γ
&p& +
p&  +
δp ⋅
δp
∂x
ρ f K f  ρ f ∂x
  K f

p  dV − ∫ δp (T ( x )) dS = 0 , (4.13)
S fp

gdzie funkcję ciągłości T ( x ) definiujemy jako
 γ f
&& f
T ( x ) = n ⋅ 
u& + u
 ρf




na
S fp .
(4.14)
Każdorazowo wymiarem fizycznym funkcji ciągłości T ( x ) jest przyspieszenie m ⋅ s −2 .
[
]
W przypadku gdy płyn nie wykazuje tłumienia wewnętrznego (objętościowego) γ = 0 funkcję (4.14) przedstawiamy w postaci
&& f
T (x) = n ⋅ u
na
S fp .
(4.15)
Analizując zależności zawarte w Rozdz. 4.1.2. opisujące
warunki na powierzchni, łatwo spostrzec, że rodzaj warunku zależy od
specyfikacji funkcji T ( x ) (4.15). Formalny zapis tej funkcji ( T ( x ) ) dla
każdego z warunków zostanie podany poniżej:
S fp ,
gdzie zadane jest ciśnienie p ( δp = 0 ),
S ft ,
funkcję T ( x ) definiujemy jako (przy γ = 0 )
T ( x ) ≡ ain ,
Sfr,
(4.16)
funkcję T ( x ) przy przyjęciu
1
1 
n ⋅ u& f = − p& + p 
c1 
 k1
oraz
1
1 
&& f = − &p& + p&  ,
n⋅u
c1 
 k1
definiujemy jako
32
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
 γ f
&& f
T ( x ) = n ⋅ 
u& + u
ρf
S fi ,
„Akustyka w budownictwie. …”





 ≡ − γ 1 p +  γ 1 + 1  p& + 1 &p&  ,
ρ k c 

 ρ f c1
k1 
1
 f 1


(4.17)
warunki „nieskończoności” uzyskujemy poprzez odpowiedni dobór parametrów c1 i a1 , co pozwala nam na zapisanie funkcji
T ( x ) w postaci
1
1
T ( x ) = − p& +
a1
 c1
S fs ,

p  ,

(4.18)
kontakt struktury i ośrodka akustycznego wymusza zgodność
przyspieszeń normalnych do powierzchni, skąd funkcja T ( x )
przyjmuje postać (przy γ = 0 )
&& m ,
T (x) = n ⋅ u
S frs , warunki S fs
oraz S fr
(4.19)
występują łącznie, skąd funkcja T ( x )
przyjmuje postać
 γ 1
 γ 1 1
1 
&& m − 
T (x) = n ⋅ u
p + 
+  p& + &p&  .
 ρ f c1
k1 
 ρ f k1 c1 

(4.20)
Podstawiając powyższe wyrażenia na T ( x ) do równania
(4.11b) otrzymujemy sformułowanie wariacyjne (równanie równowagi) dla ośrodka akustycznego (stanowi ono ekwiwalent równania
pracy wirtualnej dla struktury)
∫
Vf
  1
 1 ∂
∂
γ
&p& +
p&  +
p⋅
δ
δp
∂x
ρ f K f  ρ f ∂ x
  K f

p  dV +

+  − ∫ δp ain dS  +
 S ft

&& m dS  +
+  − ∫ δp n ⋅ u
 S fs

 γ 1
 γ 1 1
1 
+ ∫ δp
+  p& + &p& ds +
p+
ρ k c 
S fr
 ρ f c1
k1 
1
 f 1

1
1 
+ ∫ δp p& + p ds +
S fi
a1 
 c1
(4.21)
 γ 1

 γ 1 1
1
&& m ds = 0 .
+ ∫ δp
p+
+  p& + &p& − n ⋅ u
ρ k c 
S frs
 ρ f c1

k1
1 
 f 1


33
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Zachowanie struktury definiujemy poprzez standardowe równanie
pracy wirtualnej14
∫ δε ⋅ σ dV + ∫ α ρ δu ⋅ u& dV + ∫ ρ δu
+ ∫ pδu ⋅ n dS − ∫ δu ⋅ t dS = 0 ,
m
V
m
c
V
m
V
m
&& m dV +
⋅u
(4.22)
m
S fs
St
gdzie:
∫ δε ⋅ σ dV
V
identyfikujemy
wnętrznych
jako
pracę
uogólnionych
[σ dV ] =  N2 ⋅ m3 = N ⋅ m ,
m
odkształceniach [δε ] = [− ] ,
∫ α ρ δu
c
V
∫
V
m
⋅ u& m dV
&& m dV
ρ δu m ⋅ u

[
na
sił
we-
wirtualnych
]
[ ]
 1 kg m

jest pracą sił tłumienia α c ρ u& m dV =  ⋅ 3 ⋅ ⋅ m3 = N  na
s m s

m
przemieszczeniu wirtualnym δu = [m],
[ρ u&& dV ] =  mkg ⋅ sm ⋅ m

na przemieszczeniu wirtualnym [δu ] = [m] ,
jest pracą sił bezwładności
m
3
2
3

= N

m
∫
S fs
pδu m ⋅ n dS
jest
pracą
N

=  2 ⋅ m 2 = N  na
m

m
δu = [m] ,
ciśnienia
akustycznego15
przemieszczeniu
[ pndS ] =
wirtualnym
[ ]
∫
St
δu m ⋅ t dS

N
jest pracą sił tarcia [t dS ] =  2 ⋅ m 2 = N  na przemiesz
m
m
czeniu wirtualnym δu = [m].
[ ]
14
dla uproszczenia równania wpływ obciążeń innych niż fala akustyczna i sił tarcia pominięto.
15
siły zewnętrznej (skierowanej prostopadle do płaszczyzny kontaktu)
34
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
4.2.3. ALGEBRAIZACJA RÓWNAŃ RÓWNOWAGI
Wyprowadzone równania (4.21) oraz (4.22) definiują problem wariacyjny dla powiązanych pól u m oraz p . Postać dyskretną
(algebraizację) tych równań otrzymujemy wprowadzając następujące
funkcje interpolujące16:
p = H P p P → δp = H Pδp P
dla
pola
ciśnień
oraz
p& = H Q p& Q
i &p& = H Q &p& Q , gdzie P, Q = 1,2... aż do całkowitej liczby węzłów z akustycznym
stopniem swobody,
um = N N ⋅ u N → δ um = N N ⋅ δ u N
dla pola przemieszczeń oraz u& m = N M ⋅ u& M
&& m = N M ⋅ u
&& M , gdzie N , M = 1,2... aż do
i u
całkowitej liczby stopni swobody,
ε = β N ⋅ u N → δε = β N ⋅ δ u N
dla pola odkształceń, gdzie N = 1,2...
aż do całkowitej liczby stopni swobody.
Równanie (4.21) przepisujemy zatem do postaci
PQ
PQ
PQ
PQ
PQ
PQ
Q
PM M
&&Q
&Q
&& − PfP } = 0 ,
δp P {(M PQ
f + M fr ) p + (C f + C fr ) p + (K f + K fr + K fi ) p − S fs u
(4.23)
natomiast zależność (4.22) przedstawiamy jako
{
}
Q
N
& M + [S QN
δu N I N + M NM u&&M + C(NM
=0
m) u
fs ] p − P
T
.
(4.24)
Dla ułatwienia identyfikacji oznaczeń użytych we wzorach
(4.23) i (4.24) w Tabeli 4.1 dokonano ich zestawienia wraz z odpowiednikami ze wzorów (4.21) oraz (4.22).
16
dyskretyzacja jest w tym przypadku dwustopniowa (semidiscrete approximation [VII]),ponieważ wyprowadzone równania zależą od czasu. W pierwszej kolejności dokonujemy zatem dyskretyzacji przestrzennej, po czym metodą Galerkina wykonujemy całkowanie po czasie.
35
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Tabela 4.1.
OZNACZENIE
NUMER WZORU
ROZWIĄZANIE DOKŁADNE
APROKSYMACJA
4.21 / 4.22
4.23 / 4.24
∫
&&Q
δp P M PQ
f p
S fr ∪ S frs
&Q
δp PC PQ
f p
S fr ∪ S frs
δp
 ρ f k1
+ ∫ δp
S fi
&&M
δp P S PM
fs u
∫
S fr ∪ S frs
∫
S fi
S fr ∪ S frs
u&
Vf
 γ 1 1 P Q

+  H H dS p& Q +

S fr ∪ S frs  ρ
k
 f 1 c1 
1 P Q
+ δp P ∫
H H dS p& Q
S fi c
`1
δp P ∫
γ
p dS
ρ f c1
&& m dS
δpn ⋅ u
δp P ∫
1 ∂H P ∂H Q
dV p Q
⋅
ρf ∂x ∂x
δp P ∫
γ 1 P Q
H H dS p Q
ρ f c1
Vf
S fr ∪S frs
1 P Q
H H dS p Q
S fi a
1
δp P ∫
δp P ∫
M
∫ ρδu
δp P ∫ H P ain dS
in
m
V
&& m dV
⋅u
∫ α ρδu ⋅ u& dV
∫ pδu ⋅ n dS
∫ δu ⋅ t dS
m
V
m
c
m
S fs
m
t
H P n ⋅ N M dS u&&M
S fr ∪S frs
S ft
δu
V
T Q
δu N [S QN
fs ] p
δu N P N
δp P ∫
1
p dS
a1
S ft
δu N M MN u&&M
δu C
1 
p& dS +
c1 
1 P Q
H H dS &p&Q
k1
1 1
H P H Q dV p& Q
ρf Kf
S fr ∪S frs
∫ δpa dS
∫ δε ⋅ σ dV
δu N I N
NM
( m)
δp
δp
∫
δp P PfP
N
δp P ∫
1 ∂δp ∂p
dV
ρf ∂x ∂x
Vt
Q
δp P K PQ
fi p
+
1
p& dS
c1
∫
Q
δp P K PQ
f p
Q
δp P K PQ
fr p
Vf
δp
 γ
∫
1
H P H Q dV &p&Q
Kf
δp P ∫
1
&p& dS
k1
1 1
∫V f δp ρ f K f p& dV
∫
&&Q
δp P M PQ
fr p
&Q
δp PC PQ
fr p
1
&p& dV
Kf
δp
Vf
N
∫β
N
V
⋅ σ N dV
δu N ∫ ρ N N ⋅ N M dV u&&M
V
∫ α ρ N ⋅ N dV u&
δu ∫ H N ⋅ n dS p
∫ N ⋅ t dS
δu
N
N
V
M
M
c
N
Q
N
Q
S fs
N
t
Analizując dokładnie powyższą Tabelę zauważamy pewną
niekonsekwencję oznaczeń17 indeksów funkcji aproksymujących pole
ciśnienia. Swobodę w przypisywaniu indeksów tłumaczy się faktem, iż
wielomiany stosowane do aproksymacji (pola przemieszczeń, prędkości, przyspieszeń, ciśnienia itd.) w ABAQUS są stopnia pierwszego lub
drugiego (zamiennie, w zależności od rodzaju elementu skończonego
wybranego przez użytkownika).
17
wiersze 6,7,8,14 w stosunku do uwag na początku podrozdziału
36
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Końcowe równanie równowagi dla zadania kontaktowego
akustyczno-strukturalnego otrzymujemy poprzez porównanie stronami równości (4.23) oraz (4.24), przy czym w pierwszej kolejności
musimy zapewnić równość mian fizycznych obu wzorów18. Przyjmijmy
następujące podstawienie dla wzoru (4.23)
δp P =
d2
(
δpˆ P ) ,
2
dt
(4.25a)
skąd
δpˆ P = δp P t 2.
(4.25b)
Podstawiając (4.25b)19 do (4.23) i porównując otrzymane równanie
z zależnością (4.24) otrzymujemy równanie równowagi metody elementów skończonych struktury i ośrodka akustycznego
{(
)
(
)
+ [S ]
(
)
}
PQ
&p& Q + C PQ
&&M − PfP +
− δpˆ P M PQ
+ M PQ
+ C PQ
p& Q + K PQ
+ K PQ
p Q − S PM
f
fr
f
fr
f
fr + K fi
fs u
{
&M
+ δu N I N + M NM u&&M + C(NM
m) u
QN T
fs
}
pQ − P N = 0 .
(4.26)
4.2.4. CAŁKOWANIE RÓWNANIA RÓWNOWAGI
Całkowanie równania (4.26) w ABAQUS odbywa się poprzez zastosowanie metod jawnych i niejawnych całkowania równań
różniczkowych w czasie. Końcowe równanie zastosowane w algorytmach programu uzyskujemy poprzez linearyzację zależności (4.26).
Korzystając z niejawnego operatora całkowego uzyskujemy związek pomiędzy wariacjami zmiennych niezależnych rozpatrywanego problemu oraz ich pochodnymi po czasie. Przyjmijmy następujące definicje
Da =
1 def δ&f&
= ,
dt 2 δf
Dv =
1 def δf&
=
,
dt δf
(4.27)
gdzie f jest zmienną niezależną20.
Na podstawie wprowadzonych oznaczeń równość (4.26) możemy zapisać w postaci
[
]
18
równość (4.23) charakteryzuje miano N ⋅ m ⋅ s −1 , natomiast (4.24) miano [Nm ]
19
czyli mnożąc obustronnie równość (4.23) przez kwadrat przyrostu czasowego
20
np.
Da =
δ pP
δ pˆ P
37
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
− δpP
{(
)
(
„Akustyka w budownictwie. …”
)
(
)
}
1
PQ
PQ
PQ
PQ
PQ
PQ
Q
PM
P
&&Q
&Q
&&M
M PQ
f + M fr dp + Cf + C fr dp + K f + K fr + K fi dp − S fs du − Pf +
Da
(4.28)
{
}
[ ]
T
QN
&M
+ δu N I N + M NMdu&&M + C(NM
dpQ − PN = 0 ,
m) du + S fs
co po podstawieniu
d p& Q = Dv dp Q ,
d &p&Q = Da dp Q ,
(4.29)
d u& M = Dv du M , d u&&M = Da du M ,
pozwala otrzymać zlinearyzowaną postać zależności (4.26) w formie

D
1
PQ
PQ 
Q
PQ
PQ
K PQ
− δp P  M PQ
+ v C PQ
f + K fr + K fi dp +
f + C fr +
f + M fr
Da
Da


T
1 P
M
+ δp P S PM
+ δp P
Pf + δu N S QN
dpQ +
fs
fs du
Da
(
)
(
)
(
)
[ ]
{
(
(4.30)
)}
NM
+ δu N K NM + Da M NM + Dv C(NM
du M = 0 ,
m ) + C( k )
gdzie:
( )
(du )
K NM = − P N du M
N
DvC(NM
k) = I
−1
M −1
- jest macierzą sztywności struktury,
- jest macierzą tłumienia wewnętrznego.
4.3. SFORMUŁOWANIE DLA STANÓW
USTALONYCH
4.3.1. RÓWNANIE RÓWNOWAGI OŚRODKA
Zgodnie z uwagami poczynionymi powyżej o stanie ustalonym (dla dowolnego zjawiska charakteryzującego się zmiennością
w czasie - „dynamicznością”21) mówimy w przypadku gdy przy stałych warunkach brzegowych, charakterystyka źródła zaburzeń jest
również harmoniczna. Harmoniczność należy w tym przypadku rozumieć jako pewien „ład” który jest zmienny, aczkolwiek zmienność ta
charakteryzuje się tym, iż zdarzenia powstałe w pewnej chwili t = τ
zostaną powtórzone w chwili t = τ + T . Tak postawione zadanie daje
21
propagacja dźwięku, przepływ ciepła, „ odpowiedź „ konstrukcji budowlanej na dynamiczne oddziaływanie maszyn, itp.
38
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
nam pewność, że odpowiedź ośrodka będzie również harmoniczna,
a zatem znana czyli ustalona.
Stany ustalone w języku matematyki opisujemy zatem
przy pomocy funkcji harmonicznych lub w uogólnionej (zespolonej)
formie korzystając ze znanego wzoru Eulera22
eix = cos x + i sin x .
Zastosowanie MES w ustalonych problemach akustyki
w ABAQUS zakłada również, iż ze względu na harmoniczne wymuszenie wszystkie stopnie swobody modelowane w analizie zmieniają się
harmonicznie23. Dla dowolnego stopnia swobody możemy zatem napisać
~
f = f exp iΩt ,
(4.31)
gdzie:
~
f - przedstawia stałą zespoloną amplitudę zmiennej f ,
Ω - to częstość kłowa rad ⋅ s −1 ,
t - to czas [s ] .
[
]
Obliczając kolejne pochodne po czasie z wyrażenia (4.31) otrzymamy
następujące zależności
~
f& = iΩ f exp iΩt = iΩf ,
&f& = i 2Ω 2 ~
f exp iΩt = −Ω 2 f .
(4.32)
Równanie równowagi dla stanów ustalonych otrzymujemy z równości
(4.8a) podstawiając do niej następujące zależności
p=~
p exp iΩt ,
(4.33a)
~ f exp iΩt ,
u& f = iΩu
(4.33b)
~ f exp iΩt .
&& f = −Ω 2u
u
(4.33c)
oraz
22
liczby zespolone, podobnie jak każde inne zbiory liczbowe powstały w wyniku uogólniania, charakterystycznego dla matematyki. Trudność w interpretacji zastosowania liczb zespolonych w zadaniach rzeczywistych tkwi w fakcie, iż „nie znamy” ich z doświadczenia codziennego. Profit ze sztucznego przyjęcia
rozwiązania mającego człon urojony, kryje się w fakcie, iż takie postawienie zadania znakomicie upraszcza i skraca obliczenia (dzięki oczywistym zaletom funkcji wykładniczej o podstawie e).
23
ciśnienie, przemieszczenie (a więc również prędkość i przyspieszenie) itd.
39
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Mamy zatem
∂ ~
( p exp iΩt ) + γ iΩ u~ f exp iΩt + ρ f − Ω 2u~ f exp iΩt = 0 ,
∂x
(
)
(
)
(4.34)
co po obustronnym podzieleniu przez wspólny dla każdego członu
czynnik exp iΩt oraz uporządkowaniu daje nam
γ ~ f
∂ ~

= 0.
p − Ω 2  ρ f + u
∂x
iΩ 

(4.35)
Definiując gęstość zespoloną jako
ρ~ ≡ ρ f +
γ
iΩ
,
(4.36a)
zależność (4.35) przepisujemy do postaci
∂ ~
~ f = 0.
p − Ω 2 ρ~ u
∂x
(4.36b)
Końcowe równanie równowagi otrzymujemy korzystając ze związku
(4.36b) oraz zależności konstytutywnej (4.8b) przekształconej do postaci
∂ ~f
~
⋅u ,
p = −K f
∂x
(4.37)
skąd ostatecznie
− Ω2
− Ω2
∂ ~f
∂  1 ∂ ~
⋅u +
⋅
p = 0,
∂x
∂ x  ρ~ ∂ x 
1 ~ ∂ 1 ∂
p−
⋅
Kf
∂ x  ρ~ ∂ x

~
p  = 0 .

(4.38a)
(4.38b)
Należy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, że dla wyprowadzenia
równania (4.38b) nie musieliśmy, podobnie jak dla stanów nieustalonych, wprowadzać założenia iż gradient γ / ρ f jest mały. Zależność
(4.38b) przedstawia zatem rozwiązanie dokładne.
4.3.2. SFORMUŁOWANIE WARIACYJNE
40
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Analogicznie jak dla stanów nieustalonych sformułowanie
wariacyjne problemu wyrażonego poprzez równość (4.38b) zapisujemy w postaci równoważnego równania całkowego
∫
Vf

δp − Ω 2

1 ~ ∂  1 ∂ ~ 
p−
p  dV = 0 ,
⋅
Kf
∂ x  ρ~ ∂ x 
(4.39)
co na podstawie znanego twierdzenia Greena możemy zapisać jako
 ∂  1 ∂ ~ 
1 ∂
1
∂ ~
∂ ~
p  dV = ∫  ~
p dV + ∫ δp ~ n ⋅
p dS , (4.40a)
− ∫ δp  ⋅  ~
δp ⋅
Vf
Vf
S
∂
x
ρ
∂
x
ρ
∂
x
∂
x
ρ
∂
x







Ω2 ~
1 ∂
∂ ~
1 ∂ ~
− ∫ δp
pdV + ∫ ~
p dV + ∫ δp ~
p ⋅ n dS = 0 .
δp ⋅
Vf
V
V
f ρ ∂x
f
Kf
∂x
ρ ∂x
(4.40b)
Równość (4.40b) stanowi końcową postać sformułowania wariacyjnego dla stanów ustalonych.
Bazując na oznaczeniach wprowadzonych dla stanów nieustalonych, załóżmy, że na powierzchni S fp zadane jest ciśnienie p .
Równanie równowagi (4.36b) musi być zatem użyte do ustalenia relacji pomiędzy zmianami ciśnienia a przemieszczeniami na pozostałej
części powierzchni, a zatem
1 ∂ ~
~f
n ⋅  ~
p − Ω2 u
x
∂
ρ


 = 0 ,

(4.41a)
∂ ~
1
~f .
n⋅
p = Ω 2n ⋅ u
~
ρ ∂x
(4.41b)
skąd
~
Podstawową funkcję T ( x ) dla stanów ustalonych definiujemy zatem
jako
1
∂ ~
~
~ f = n ⋅u
&& f ,
T (x ) ≡ − ~ n ⋅
p = −Ω 2n ⋅ u
ρ ∂x
a zależność (4.40b) przepisujemy do postaci
1 ∂
Ω2 ~
∂ ~
~
− ∫ δp
pdV + ∫ ~
δp ⋅
p dV − ∫ δp T ( x ) dS = 0 .
Vf
V
V
f ρ ∂x
f
Kf
∂x
(
)
(4.42)
(4.43)
41
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Podobnie jak przy analizie stanów nieustalonych, łatwo
spostrzec, że rodzaj warunku brzegowego zależy od specyfikacji funk~
~
cji T ( x ) (4.42). Formalny zapis tej funkcji ( T ( x ) ) dla każdego z warunków zostanie podany poniżej:
S fp ,
p ( δp = 0 ),
gdzie zadane jest ~
S ft ,
~
funkcję T ( x ) definiujemy jako
~
&& f ,
T ( x ) ≡ ain = n ⋅ u
S fr ,
(4.44)
~
funkcję T ( x ) przy przyjęciu
1
1 
n ⋅ u& f = − p& + p  ,
c1 
 k1
co dla stanów ustalonych daje nam
1
1
&& f = − &p& +
n ⋅u
c1
 k1
 1


1
p&  = − − Ω 2 ~
p + iΩ ~
p  ,
c1
 k1


definiujemy jako
 i Ω Ω2  ~
~
 p ,
T ( x ) ≡ −
−
c
k
1 
 1
S fi ,
(4.45)
warunki „nieskończoności” definiujemy analogicznie jak dla S fr
aczkolwiek parametry c1 i k1 wyznaczamy ze wzorów które podane zostaną w rozdziale piątym pracy
S fs ,
kontakt struktury i ośrodka akustycznego wymusza zgodność
~
przyspieszeń normalnych do powierzchni, skąd funkcja T ( x )
~
~f ,
&& m = −Ω 2n ⋅ u
T (x ) = n ⋅ u
(4.46)
~
S frs , gdzie warunki S fs oraz S fr występują łącznie, skąd funkcja T ( x )
przyjmuje postać
42
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
2
~
~ m −  i Ω − Ω  ~
&& m − u
&& f = −Ω 2 n ⋅ u
T (x ) = n ⋅ u
p .
 c
k1 
 1
(
)
(4.47)
Finalną postać sformułowania wariacyjnego otrzymujemy z równości
~
(4.43) podstawiając do niej kolejne wyrażenia na T ( x ) , mamy zatem

 1 ~ 1 ∂
∂ ~
2

+
−
Ω
⋅
δ
p
p
δ
p
p  dV +

∫V f 
K
 ρ~ ∂ x
x
∂
f




+  − ∫ δp ain dS  +
 S ft

m
2
~ dS +
+ δp Ω n ⋅ u
∫
S fs
(4.48)
 iΩ Ω 2  ~
 p ds +
+
c
k
1 
 1
+∫
δp
S fr ∪ S fi
 iΩ ~ Ω 2 ~
~ m ds = 0 ,
+ ∫ δp
p−
p + Ω 2n ⋅ u

S frs
k1
 c1

która to zależność jest analogiczna do uzyskanej dla stanów nieustalonych (4.21).
Równanie (4.48) zawiera gęstość zespoloną ρ~ zdefiniowaną poprzez zależność (4.36a). Stosując podstawienie
1
≡
ρ~
=
=
1
γ
ρf +
iΩ
Ω2
Ω ρf
2
=
2
ρf +
ρf −
iγ
Ω
=
Ω ρ f + iγ
Ω
⋅
=
Ω ρ f − iγ Ω ρ f + iγ
 Ω ρ f + iγ

Ω
+ γ 2 
γ
ρf
2
1
γ
2
Ω2
Ω
+i
ρf +
2
γ2

1
iγ 

 =
ρf +  =
2 
Ω
 ρ 2+γ 
f
2
Ω
(4.49)
,
Ω2
równanie (4.48) przepisujemy do postaci
43
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
∫
Vf
„Akustyka w budownictwie. …”


γ


 Ω2 ~ 
2
ρf
∂
∂
∂
∂
~
~
Ω
⋅
+
Ω
⋅
p +
δ
p
p
i
δ
p
p
 dV +
− δp
2

γ 2 ∂x
∂x
∂x 
2

 Kf  ρf 2 + γ ∂x
ρf + 2
Ω2
Ω


+  − ∫ δp ain dS  +
 S ft

2
~ m dS +
δp Ω n ⋅ u
+
(4.50)
∫
S fs ∪ S frs
+∫
S fr ∪ S fi ∪ S frs
 iΩ Ω 2  ~
 p ds = 0 ,
+
k1 
 c1
δp
lub zauważając, iż
iΩ
∂ ~ ∂
p=
p& ,
∂x
∂x
(4.51)
przekształcamy je do równania o współczynnikach rzeczywistych
∫
Vf

γ

 1 
ρf
∂
∂
∂
∂
Ω2
&p&  +
⋅
+
δ
p
p
δp ⋅
− δp
2
2

γ ∂x
∂x
∂x

 Kf  ρf2 + γ ∂x
ρf2 + 2
2
Ω
Ω

+  − ∫ δp ain dS 
 S ft

&& m dS 
δp n ⋅ u
+  − ∫
∪
S
S
fs
frs


1
1 
+∫
δp p& + &p&  ds = 0 .
S fr ∪S fi ∪S frs
k1 
 c1


p&  dV +


(4.52)
4.3.3. ALGEBRAIZACJA RÓWNAŃ RÓWNOWAGI
Korzystając z uwag poczynionych w Rozdz. 4.2.3 i
Rozdz. 4.2.4 oraz w szczególności mając na uwadze zależność (4.22)
opisującą zachowanie struktury w zadaniach kontaktowych i równanie
równowagi płynu (4.50), końcowe równanie równowagi metody elementów skończonych uwzględniające ustalony charakter zachodzących zjawisk zapisujemy w następujący sposób
44
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
{[ (
{[
)
(
„Akustyka w budownictwie. …”
)
]
}
~P
PQ
PQ
PQ
~ M − ∆P
− δpˆ P − Ω2 M PQ
+ iΩ C PQ
∆~
p Q + Ω2 S PM
f + M fr
f + C fr + K f
fs ∆u
f +
(4.53a)
~N
N
NM
NM
NM
NM
M
QN T ~ Q
2
~
+ δu − Ω M + i Ω C( m) + C( k ) + K
∆u + S fs ∆p − ∆P = 0 ,
(
)
]
}
[ ]
gdzie
δ pˆ P = −Ω 2δ p P .
(4.53b)
Formalne definicje macierzy zawartych
(4.53a) zestawia poniższa tabela (Tab. 4.2.).
w
równaniu
Tabela 4.2.
OZNACZENIE
NUMER WZORU
ROZWIĄZANIE DOKŁADNE
APROKSYMACJA
4.22 / 4.50
4.53
~Q
δp P M PQ
f p
∫
~Q
δp P M PQ
fr p
∫
S fr ∪ S frs ∪ S fi
γ
~Q
δp PC PQ
f p
∫
Vf
Ω
δp K
PQ
f
∫
~
pQ
Vf
δu C
ρf2 +
∫
Ω2
V
∫
V
Q
Vf
1 ~
p dS
k1
∂
∂ ~
δp ⋅
p dV
∂x
∂x
S fr ∪S frs ∪S fi
Vf
ρf
~ m dV
⋅u
δu N ∫ ρ N N ⋅ N M dV u~ M
m
V
S fs
1 P Q ~Q
H H dS p
c`1
~ m dS
δpn ⋅ u
~
V
2
∂ P ∂ Q ~Q
H ⋅ H dV p
∂x
2 γ ∂x
ρf + 2
Ω
P
δp ∫
H Pn ⋅ N M dS u~ M
∂
∂ ~
δp ⋅
p dV
∂x
∂x
∫ δε σ dV = ∫ δε D
∫
∂ P ∂ Q ~Q
H ⋅ H dV p
∂x
2 γ ∂x
ρf + 2
Ω
Ω2
δpP ∫
S fi
δε σ~ dV
~
pδu m ⋅ n dS
δpP ∫
2
Vf
S fr ∪ S frs
V
~ m dV
α c ρδu ⋅ u
V
1 P Q ~Q
H H dS p
k1
γ
δp P ∫
el
∫ α ρ N ⋅ N dV u~
δu ∫ (β β D β )dV u~
δu
m
∫
δp P ∫
1 ~
p dS
c1
∫ ρδu
δu N K NM u~ M
] ~p
γ
2
S fr ∪ S frs
~M
δu N C(NM
k) u
δu N [S
δp
ρf
u~ M
QN T
fs
2
δp
1
H P H Q dV ~
pQ
Kf
δp P ∫
Ω2
S fr
δu N M MN u~ M
NM
(m)
γ
∫
~M
δp P S PM
fs u
N
2
ρf2 +
~Q
δp PC PQ
fr p
P
1 ~
p dV
Kf
δp
Vf
β cε~
N
N
M
M
c
V
N
N
V
el
M
M
c
 ∂β N

δu N ∫  ~ M σ 0 + β N Del β M  dV u~ M
V ∂u

δu
N
∫
S fs

~
H N ⋅ n dS p Q
Q
N
Należy zauważyć, iż całkowite naprężenia σ obliczamy jako sumę naprężeń początkowych (identyfikowanych przez indeks 0 ) i naprężeń
45
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
wynikłych z oscylacji ośrodka (identyfikowanych przez indeks ∆ ).
Sumę tę zapisujemy jako
σ = σ 0 + ∆σ = σ 0 + D el (∆ε + β c ∆ε& ) ,
(4.54)
gdzie:
D el - macierz sprężystości,
β c - współczynnik tłumienia.
Jak wcześniej wspomniano stany ustalone charakteryzują
się tym, że wszystkie wielkości zmienne w analizowanym problemie 24
zmieniają się zgodnie z charakterystyką wymuszenia (z tą samą czę~
~
stością), stąd też wektory ∆~
p Q , ∆u~ M , ∆P N oraz ∆PfP definiujemy w następujący sposób
∆~
p Q = (ℜ( ~
p Q ) + i ℑ (~
p Q ))exp iΩt ,
(4.55a)
∆ u~ M = (ℜ(u~ M ) + i ℑ (u~ M ))exp iΩt ,
(4.55b)
( ( )
( ))
(4.55c)
( ( )
( ))
(4.55d)
~
~
~
∆ P N = ℜ P N + i ℑ P N exp iΩt ,
~
~
~
∆ PfP = ℜ PfP + i ℑ PfP exp iΩt ,
gdzie:
ℜ( ~
p Q ), ℜ(u~ M ) - przedstawiają część rzeczywistą amplitudy odpowiedzi
układu,
ℑ (~
p Q ) , ℑ (u~ M )
( )
~
ℜ PN
( )
~
ℑ PN
( )
~
ℜ PfP
- przedstawiają część urojoną amplitudy odpowiedzi
układu,
- przedstawia część rzeczywistą amplitudy wymuszenia
przyłożonego do struktury,
- przedstawia część urojoną amplitudy wymuszenia
przyłożonego do struktury,
- przedstawia część rzeczywistą amplitudy wymuszenia
przyłożonego do ośrodka akustycznego,
( )
~
ℑ PfP
- przedstawia część urojoną amplitudy wymuszenia
przyłożonego do ośrodka akustycznego.
24
np. ciśnienie, przemieszczenia, naprężenia
46
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
Podstawiając zależności (4.55) do równania (4.53a) otrzymujemy
[
]( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
[
]( ( ) ( ))
(
)
~
~
+ [S ] (ℜ( ~
p ) + i ℑ (~
p ))exp iΩt − (ℜ(P ) + i ℑ (P ))exp iΩt} = 0 .
(
)
(
)
− δpˆ P { − Ω 2 M PQ
+ M PQ
+ iΩ C PQ
+ C PQ
+ K PQ
ℜ~
pQ + i ℑ ~
p Q exp iΩt +
f
fr
f
fr
f
~P
~P
~ M + i ℑ u~ M exp iΩt − ℜ P
+ Ω 2 S PM
exp iΩt} +
fs ℜ u
f + i ℑ Pf
(4.56a)
+ δu N { − Ω 2 M NM + i Ω C NM + C NM + K NM ℜ u~ M + i ℑ u~ M exp iΩt +
( m)
QN T
fs
(k )
Q
Q
N
N
co po obustronnym podzieleniu przez wspólny czynnik exp iΩt
stosownym uporządkowaniu, pozwala nam zapisać (4.56a) jako
[
(
( )
(
( )
)] ( )
(
) ( )
)] ( )
(
)( )
PQ
PQ
PQ
~Q +
pQ − Ω−1 C PQ
− δpˆ P {[ Ω−2 K PQ
ℜ~
f − M f + M fr
f + C fr ℑ p
~P
~ M − Ω −2 ℜ P
+ S PM
fs ℜ u
f ]
PQ
PQ
PQ
~Q +
pQ + Ω−1 C PQ
+ i [ Ω−2 K PQ
ℑ ~
f − M f + M fr
f + C fr ℜ p
~
+ S PM ℑ u~ M − Ω−2 ℑ P P }
[
fs
[
+ [S
+ i [ [K
+ [S
+ δu {[ K
N
( )
− Ω M K ]ℜ(u~ ) − Ω(C
] ℜ(~p ) − ℜ(P~ )] +
− Ω M K ]ℑ (u~ ) + Ω(C
] ℑ(~p ) − ℑ(P~ )]} = 0 .
f
2
NM
QN T
fs
NM
( )
NM
NM
Q
2
QN T
fs
) ( )
M
NM
( m)
~M +
+ C(NM
k) ℑ u
M
NM
( m)
~M +
+ C(NM
k) ℜ u
oraz
(4.56b)
N
NM
NM
Q
)( )
N
Wariacje δp̂ P oraz δu N są dowolne zatem w szczególności są różne od
zera. Spełnienie równości (4.56b) jest zatem wyłącznie możliwe
w przypadku gdy „swobodny” czynnik rzeczywisty oraz czynnik rzeczywisty stojący przy części urojonej wyzerują się. Rozumowanie to
prowadzi do następującego układu czterech równań
[ ]
[ ]
[ ]
 ℜ APQ
f

PQ
 ℑ Af
 QN T
 S fs

0

[ ]
− ℜ[A ]
ℑ APQ
f
PQ
f
0
[ ]
− S QN
fs
T
[S ]
PM
fs
0
[
ℑ [A
ℜA
NM
s
NM
s
0
[ ]
] ℑ[A ]
] − ℜ[A ]
− S PM
fs
NM
s
NM
s
( )
( )
( ) 
( ) 
~
  ℜ( ~
p Q )  Ω − 2ℜ PfP

 
~
p Q ) − Ω − 2 ℑ PfP
  ℑ (~
~N
 ~ M  = 
 ℜ(u )  ℜ P~
 ℑ (u~ M )  − ℑ P N

.(4.57)
Układ (4.57) stanowi końcowe równanie równowagi dla stanów ustalonych propagacji fali akustycznej, przy założeniu kontaktu ze strukturą zastosowane w programie ABAQUS.
47
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
4.4. PODSUMOWANIE
Bazując na zależnościach wyprowadzonych powyżej, możemy wyróżnić następujące pola aplikacji możliwe do zrealizowania
w środowisku programu ABAQUS (wspólne dla analizy stanów nieustalonych i ustalonych):
-
analiza rozkładu ciśnień akustycznych powstałych w wyniku
propagacji fali w ośrodku, względem zerowego ciśnienia (poziomu) odniesienia25. Powstanie fali inicjowane jest przez źródło
punktowe, powierzchniowe (lub liniowe) definiowane jako warunek brzegowy lub powierzchniowe (lub liniowe) definiowane
jako tzw. obciążenie falą padającą powstałą poza obrysem analizowanego modelu (np. wybuch zlokalizowany w pewnej odległości od budynku),
-
analiza zadań kontaktowych uwzględniająca interakcję struktury i medium akustycznego (płynu). Należy tu zwrócić uwagę na
fakt, iż elementy akustyczne nie posiadają mechanicznej zdolności do zmiany kształtu. W przypadku zatem, gdy struktura
ulega znacznym deformacjom, pojawiają się dodatkowe błędy
obliczeń w analizie wynikłe właśnie z faktu, iż kształt ośrodka
akustycznego pozostaje niezmieniony26,
-
analiza modalna modelu dostępna dla zadań kontaktowych, jak
również dla medium akustycznego modelowanego osobno,
-
analiza zadań uwzględniająca tłumienie wewnętrzne27 ośrodka
akustycznego jak i tłumienie powstałe w wyniku wprowadzenia
do modelu dodatkowych elementów, na których energia fali
ulega dyssypacji. Należy tu zwrócić uwagę na fakt, iż w przypadku drugiego rodzaju tłumienia brane są pod uwagę wyłącznie właściwości mechaniczne użytych materiałów. Takie postawienie problemu wymaga przeprowadzenia szeregu zadań pomocniczych, w wyniku których otrzymamy parametry opisujące
właściwości materiału uwzględniające geometrię – mówimy
w tym przypadku o homogenizacji powierzchni,
25
w module ABAQUS Explicit istnieje możliwość zdefiniowania tzw. początkowego statycznego ciśnienia
akustycznego, aczkolwiek z pewnymi silnymi ograniczeniami co będzie zaznaczone w Rozdz. 5 pracy
przy szczegółowym omawianiu dostępnych w ABAQUS typów analiz.
26
w module ABAQUS Explicit istnieje możliwość zdefiniowania tzw. adaptacyjnej siatki elementów skończonych, gdzie wybrane węzły siatki ośrodka akustycznego „podążają” (w wyniku implementacji specjalnego algorytmu) za węzłami należącymi do struktury – co w pewnym stopniu eliminuje błąd. Dokładniejsze uwagi na ten temat zawarte będą w Rozdz. 5 pracy przy szczegółowym omawianiu dostępnych w
ABAQUS typów analiz.
27
rozumiane dosłownie lub jako straty energii fali powstałe przy przejściu przez ośrodek porowaty
48
4. ZASTOSOWANIE MES W AKUSTYCE
„Akustyka w budownictwie. …”
-
analiza problemów tzw. zewnętrznych (np. modelowanie ekranów akustycznych umieszczonych przy trasach szybkiego ruchu). W analizach tego typu pojawia się problem modelowania
„nieskończonego” medium akustycznego, aczkolwiek odpowiednie dobranie współczynników tłumienia28 lub zastosowanie tzw.
nieskończonych elementów akustycznych29 (gdzie efekt pochłonięcia – przejścia - fali gwarantuje odpowiedni algorytm) pozwala na modelowanie szerokiej gamy problemów,
-
analiza zadań uwzględniających efekt kawitacji, a zatem zjawiska utraty ciągłości przepływu cieczy (pojawiania się bąbla pary
wodnej).
Mnogość zastosowań algorytmów zawartych w środowisku
ABAQUS, czyni z niego uniwersalne narzędzie. Oczywiście poprawne
zdefiniowanie zadania wymaga wielu „subtelnych” zabiegów (choćby
poprawny dobór gęstości siatki elementów skończonych dla medium
akustycznego). Z tego też względu rozdział piąty tej pracy, poświęcony zostanie na precyzyjne omówienie sposobów definicji analiz, sił
(wymuszeń), warunków brzegowych oraz doboru gęstości siatki elementów skończonych.
28
dokładny opis w Rozdz. 5 pracy przy szczegółowym omawianiu dostępnych w ABAQUS typów analiz
29
co możliwe jest wyłącznie przy użyciu modułu ABAQUS Standart
49