Pochodne Wyższych Rzędów

I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 11/12 – TEORIA (Całka oznaczona: definicja. Całka niewłaściwa)
I. CAŁKA OZNACZONA
Obliczmy pole figury AabB zamkniętej łukiem AB krzywej o równaniu y=f(x) dla x<a;b>, prostymi
x=a, x=b i osią Ox.
B
C
D
A
x+x
Niech f(x) będzie funkcją ciągłą i dodatnią w przedziale <a;b>. Obierzmy w tym przedziale dowolny
punkt x i oznaczmy przez P(x) pole zaznaczonego obszaru AaxC.
Jeżeli przesuniemy rzędną C o odciętej x do rzędnej D o odciętej x+x, to wielkość pola P(x) się
zmieni na P(x+x). Zatem P(x+x) – P(x) = P
Jest to pole równe w przybliżeniu polu prostokąta Cx(x+x)D. Pole to jest równe f(x)x.
Spełniona jest nierówność
f(x1)x  P  f(x2)x,
gdzie f(x1) jest wartością najmniejszą, a f(x2) wartością największą funkcji f(x) w przedziale < x; x+
x >.
Z nierówności f(x1)x  P  f(x2)x, wynika
f ( x1 ) 
P
 f ( x2 )
x
f ( x1 ) 
P( x  x)  P( x)
 f ( x2 )
x
Gdy x0, wówczas x1x oraz x2x, więc iloraz różnicowy
P
 f (x)
x
Z definicji pochodnej mamy
P
 P( x)
x0 x
lim
stąd
P( x)  f ( x)
To funkcja P(x) jest funkcją pierwotną (całką nieoznaczoną) funkcji f(x). Jeżeli przez F(x) oznaczymy
dowolną funkcję pierwotną funkcji f(x), wówczas
P( x)  F ( x)  c
-1-
I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 11/12 – TEORIA (Całka oznaczona: definicja. Całka niewłaściwa)
Dla x=a mamy pole P(a)=0, a stąd
0  P(a)  F (a)  c  c   F (a) 
 P( x)  F ( x)  c  F ( x)  F ( a)
Jest to pole obszaru AaxC.
Definicja (całka oznaczona):
Różnicę między wartością funkcji pierwotnej w punkcie x=b a wartością jej w punkcie x=a nazywamy
całką oznaczoną funkcji f(x) od a do b i zapisujemy

b
P   f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
a oznacza granicę dolną całkowania, b oznacza granicę górną.
Uwaga :
Całka nieoznaczona jest zbiorem funkcji, a całka oznaczona jest liczbą.

1,2
Przykład 1 :
Obliczmy pole powierzchni pod parabolą x2 pomiędzy x=0 a x=1.

1
x3
P   x dx 
3
0
1
2
0
13 0 3 1
 F (1)  F (0)  

3
3 3
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Rys. 1
Korzystają ze związku pomiędzy całką oznaczoną a polem, możemy utworzyć nową definicję całki
oznaczonej umożliwiającą rozmaite wielkości fizyczne, czy geometryczne lub inne przedstawić za
pomocą całki oznaczonej.
Przykład 2 : Oblicz całkę oznaczoną

1
1
 x4 x2

1 1  1 1 
x  x  1 dx   
 x      1     1  2
2
4
 1  4 2   4 2 

1
3

Definicja (całka oznaczona) :
Całka oznaczona funkcji ciągłej w danym przedziale jest to granica, do której dąży suma iloczynów
części przedziału xi przez dowolne wartości funkcji f(xi) w tych częściach, gdy te części dążą do
zera, to znaczy :

b

a

f ( x)dx  lim
n
 f ( xi )xi
xi 0 i 1
Przykład 3 : Oblicz całkę oznaczoną z definicji:
 x dx 
2
2
1
f (x) jest całkowalna na przedziale 1,2
-2-
I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 11/12 – TEORIA (Całka oznaczona: definicja. Całka niewłaściwa)
b

a
b  a n 
b  a 
f ( x)dx  lim 
f a  i


n 
n 
 n i 1 
 1
2 1 
1 
2  1 
1 
  1

 x dx  lim  n  1  i n   lim  n  1  i n   lim  n 1    i  
2
n
n
n
n
2
i 1 

 n nn  1 3
 lim  

n  n
2n 2  2


n 
1
n 

i 1


n 

i 1
 n
II. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

Całka niewłaściwa
Niech f  C 0  a, b) / f  C 0 (a, b  /. Punkt b /a/ jest punktem
osobliwym tej funkcji, jeśli ( b  R i lim f  x    ) albo b   /( a  R i
x b 
lim f  x    ) albo a   /.
xa 
Uwaga :
Może się również zdarzyć, że równocześnie a i b są punktami osobliwymi.
np. f(x) = tgx dla x(-/2;/2)


Definicja (całka niewłaściwa) :
Jeżeli b [a] jest punktem osobliwym funkcji f , to całką niewłaściwą
tej funkcji w przedziale  a, b  nazywamy
b
t
 f  x  dx : lim  f  x  dx
t b
a
a
b
[lim  f  x  dx] ,
t a 
t
o ile granica ta jest skończona.

Uwaga (całka niewłaściwa)
Jeżeli a i b są punktami osobliwymi funkcji,
to całką niewłaściwą nazywamy
b

t
b
f  x  dx : lim  f  x  dx  lim  f  x  dx ,
t a 
a
t b 
a
t
o ile obie granice są skończone.
Jeśli w szczególności a   , b  , to

0



0
 f  x  dx :  f  x  dx   f  x  dx .

1
Przykład :
0
1
1
1
1
1 x dx  1 x dx  0 x dx  ......
-3-
2
i 1
