Następujące zadania polegają na tym, że jeżeli mamy całkę ∫ f(x

R
Następujące zadania polegają na tym, że jeżeli mamy całkę f (x) = F (x) + C, to należy sprawdzić, czy
(F (x) + C)0 = f (x) (Jeżeli tak, to oznacza, że całka została dobrze porachowana). Następnie samodzielnie wyznaczamy całkę znanymi metodami (całkowanie przez częsći lub/i przez podstawienie). Mając całkę
nieoznaczoną, możemy porachować całkę oznaczoną ( w niektórych punktach są zamieszczone).
R1
R
4
1. (0.5 − 0.5 x + 2 x3 ) dx = 0.5 x − 0.25 x2 + x2 + C oraz 0 (0.5 − 0.5 x + 2 x3 ) dx = 0.75
R√
2.
x ln(x) dx = −x + x ln(x) + C
R
R π/2
2
2 2
)
3. x sin(x2 ) dx = − cos(x
+ C oraz 0 x sin(x2 ) dx = sin( π8 )
2
R
4. ex x dx = ex (−1 + x) + C
R
R 1 −x2
−x2
−x2
5. xe 2 dx = −e 2 + C oraz 0 xe 2 dx = 1 − √1e
R
R1
6. e1−x x 1 − x2 dx = e1−x 5 + 5 x + 3 x2 + x3 + C oraz 0 e1−x x 1 − x2 dx = 14 − 5 e
R
2
7. (−1 − ex + x + cos(x)) dx = −ex − x + x2 + sin(x) + C
3
R √x
6x2
8.
1 dx =
1 + C
2
2
(x ) 3
9.
10.
11.
12.
13.
14.
R
√
R
R
R
R
R
5 (x ) 3
x+x2
7
dx =
1
x3
1+2 x
−1+3 x
ex +xe
e
+
3x3
8
2x
3
+
5 log(−1+3 x)
9
dx =
+C
+C
1+e
dx =
ex + x1+e
e
dx =
+C
6
1
(2 − 3 x) 5 dx =
1
4+x2
8
6x6
7
−5 (2−3 x) 5
18
arctan( x
2)
arcsin(x) dx =
2
√
+C
+C
1 − x2 + x arcsin(x) + C
.........................................................................................................
W następnych zadaniach zbadać zbieżność całek (tzn. sprawdzić, czy mają skończoną wartość):
R 3 dx
15. 0 √
x
√
Pomoc. Ponieważ 1/ x nie jest określone dla x = 0, formalnie powinno się wykonać następujące operacje:
√
√
R 3 dx
R 3 dx
√
√
= 2 3 − 2 a. Zatem 0 √
= 2 3 − 2 lima→0+ a
Niech 3 > a > 0. Wtedy a √
x
x
R ∞ 2x2 +1
16. 1 (1+x
2 )x2 dx
R 2x2 +1
1
Pomoc. Ta całka nie jest zbieżna. Całka nieokreślona (1+x
+ arctan(x) + C. Aby ją
2 )x2 dx = − x
wyznaczyć, należy zauważyć, że
2x2 + 1
x2 + 1 + x2
x2 + 1
x2
=
=
+
(1 + x2 )x2
(1 + x2 )x2
(1 + x2 )x2
(1 + x2 )x2
R1
−1
17. 0 (−1 + x) 3 dx
Pomoc. Ta całka wynosi −3
2
R ∞ −2 2 2
18. 1 x + x dx.
2
2
R∞
Ra
Pomoc. 1 x−2 + x2 dx= lim 1 x−2 + x2 dx = lim ( 3−1
a3 −
a→∞
a→∞
2
a2
−1
− a4 ) − ( 3·1
3 −
2
12
− 14 )
.........................................................................................................
19. Obliczyć pole D = {(x, y) : y 2 < 2x, x < 8}. Być może jest ono równe
1
128
3 .
20. Obliczyć pole zawarte pomiędzy parabolami y 2 = x, x2 = 8y.
21. Sprawdzić, czy
Z
5
3
Z
ln( 21
x
5 )
dx
=
2
−4 + x
2
−2
−3
1
1
dx =
1 + 2 x + x2
2
Z
6
√
0
x
6
=
7
4 + x4
2