4.3 Ciągi operatorów i twierdzenie Banacha

4.3
Ciągi operatorów i twierdzenie Banacha-Steinhausa
Przypomnijmy najpiewrw znany fakt z topologii, mianowicie twierdzenie Baire’a: Przestrzeń zupełna niepusta
jest zbiorem drugiej kategorii, tzn. nie jest pierwszej kategorii, czyli nie można jej przedstawić za pomocą
∞
n=1 Zn ,
gdzie każde Zn jest zbiorem nigdziegęstym (nie jest gęsty w żadnej kuli).
Możemy teraz przejść do sformułowania głównego twierdzenia tego paragrafu.
Twierdzenie 4.6. Banacha − Steinhausa
Niech (An ) będzie ciągiem operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni Banacha X, o
wartościach w przestrzeni unormowanej Y . Jeśli dla każdego x ∈ X ciąg (An x) jest ograniczony, to ciąg
(||An ||) (norm tych operatorów) jest ograniczony.
Dowód.
Określmy zbiór
Zk = {x : ||An x|| k dla n = 1, 2, . . . } , k = 1, 2, . . .
Wtedy X =
∞
k=1 Zk .
Ponieważ przestrzeń X jest zupełna, więc na mocy twierdzenia Baire’a istnieje takie
k0 , że zbiór Zk0 nie jest nigdziegęsty, tzn. jest gęsty w pewnej kuli K(x0 , r). Ponieważ oparatory An sa ciągłe
oraz norma jest ciągła, to zbiór Zk0 jest domknięty. Zatem musi być K(x0 , r) ⊂ Zk0 , tzn. dla ||x − x0 || r
jest ||An x|| k0 dla n = 1, 2, . . . . Zatem
||An x0 || k0 dla n = 1, 2, . . .
!
x
Weźmy teraz dowolny niezerowy element x ∈ X. Wtedy x
An
r
||x||
+ x0 "
r + x0 − x0 = r, czyli
||x||
k0 dla n = 1, 2, . . .
Policzmy teraz
||An x|| =
x
An
r
||x||
+ x0
− An x0 ||x||
x
An
r + x0
r
||x||
+ An x0 ||x||
||x||
(k0 + k0 )
,
r
r
czyli
||An || 2k0
dla n = 1, 2, . . .
r
Wniosek 4.1.
Jeżeli (An )n jest ciągiem operatorów liniowych ograniczonych z przestrzeni Banacha X w przestrzeń unormowaną Y i ciąg (An x)n jest zbieżny dla każdego x ∈ X, to operator A określony jako
Ax = lim An x
n→∞
jest też operatorem liniowym ograniczonym.
42
Twierdzenie 4.7.
Jeżeli (An )n jest ciągiem operatorów liniowych ograniczonych z przestrzeni unormowanej X w przestrzeń
Banacha Y , ciąg norm (||An ||)n jest ograniczony, zbiór Z ⊂ X jest gęsty w X i ciąg (An x)n jest zbieżny dla
każdego x ∈ Z, to jest zbieżny dla każdego x ∈ X.
Dowód.
Z założenia istnieje taka liczba µ > 0, że
||An || µ dla n = 1, 2, . . .
Ustalmy ε > 0 i punkt x ∈ X. Dobierzmy punkt z ∈ Z, by ||x − z|| ε
.
4µ
Ciąg (An z)n jest zbieżny, zatem
spełnia warunek Cauchy’ego. Istnieje N > 0 takie, że
1
||An z − Am z|| ε dla n, m N.
2
Ponieważ
||An x − Am x|| = ||An (x − z) + (An z − Am z) + Am (z − x)|| ||An ||||x − z|| + ||An z − Am z|| + ||Am ||||z − x|| 2µ||x − z|| + ||An z − Am z||,
więc
||An x − Am x|| ε dla n, m N.
Ciąg (An x)n spełnia więc warunek Cauchy’ego, zatem z zupełności przestrzeni Y wynika jego zbieżność.
4.4
Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym i twierdzenie o odwzorownaniu otwartym
Niech A : X → Y będzie operaorem liniowym ograniczonym, a X i Y są przestrzeniami Banacha. Załóżmy,
że A jest odwaracalny. Wtedy A−1 też jest liniowy, ale nie musi być ograniczony. Prostym przykładem jest
operator
t
(Au)(t) = v(t) =
0
u(s) ds
dla s ∈ [0, 1] i X = Y = C([0, 1]). Oczywiście wiemy, że operator ten jest ograniczony i liniowy. Operator
odwrotny natomiast ma postać:
(A−1 v)(t) = v (t)
dla t ∈ [0, 1] określony na zbiorze wszystkich funkcji v ∈ C([0, 1]) takich, że v(0) = 0 i mających ciągłą
pochodną, nie jest ograniczony.
Jeśli jednak A działa na całą przestrzeń Y , to będziemy mieć ograniczoność, o czym mówi twierdzenie:
Twierdzenie 4.8. Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.
Jeżeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwzorowującym wzajemnie jednoznacznie przestrzeń Banacha X na przestrzeń Banacha Y , to operator odwrotny A−1 też jest ograniczony.
43
Dowód.
Dla danej liczby r oznaczmy przez Kr kulę domkniętą o środku w punkcie θ i promieniu r w
przestrzeni X. Ponieważ zbiór wartości operatora wypełnia całą przestrzeń Y , więc dla każdego y ∈ Y
istnieje taka liczba naturalna n, że y ∈ A(Kn ), tzn.
∞
#
A(Kn ) = Y
n=1
Ponieważ Y jest zupełna, to jak w dowodzie twierdzenia Banacha-Steinhausa, przestrzeń ta jest drugiej
kategorii, czyli istnieje n0 takie, że zbiór A(Kn0 ) nie jest nigdziegęsty, tzn. jest gęsty w pewnej kuli K(y0 , ρ),
czyli jeśli ||y − y0 || ρ, to y = limn→∞ Axn , gdzie ||xn || n0 (n = 1, 2, . . . ). W szczególności y0 =
limn→∞ Axn , gdzie ||xn || n0 (n = 1, 2, . . . ).
!
ρ
Jeśli r > 0, a y jest dowolnym punktem przestrzeni Y takim, że ||y|| r, to "
y + y0 − y0 ρ, to
r
ρ
y + y0 = n→∞
lim Axn , gdzie ||xn || n0 (n = 1, 2, . . . ).
r
Zauważmy zatem, że z jednej strony
r
ρ
a z drugiej strony
r
ρ
lim Axn − lim Axn
n→∞
n→∞
lim Axn
n→∞
przy czym
r
(xn
ρ
−
−
lim Axn
n→∞
xn )
r
r = lim A
(x − xn ) ,
n→∞
ρ n
r
=
ρ
ρ
y + y0 − y0 = y,
r
2n0
2n0
= rρ0 , gdzie ρ0 =
.
ρ
ρ
Oznacza to, że mamy liczbę dodatnią ρ0 , że dla dowolnego r > 0 i każdego y ∈ Y zachodzi implikacja
||y|| r =⇒ y ∈ A(Krρ0 ).
(21)
Weźmy teraz dowolne y ∈ Y takie, że ||y|| 1. Z ostaniej implikacji wynika, że istnieje takie y1 ∈ A(Kρ0 ),
że ||y − y1 || 12 . Stosując ponownie nierówność (21) do punktu y − y1 i r =
y2 ∈ A(K 1 ρ0 ) spelniającego nierówność ||y − y1 − y2 || 2
1
.
22
1
2
dostajemy istnienie punktu
Postępując dalej analogicznie, wyznaczamy ciąg
elementów (yn )n ⊂ Y o własności
yn ∈ A K
1
ρ0
2n−1
i ||y − (y1 + y2 + · · · + yn )|| 1
(n = 1, 2, . . . ).
2n
(22)
Mamy zatem
yn = Axn , gdzie ||xn || Zauważmy, że szereg
∞
n=1
∞
n=1 ||xn ||
1
ρ0
2n−1
(n = 1, 2, . . . ).
jest zbieżny. Z zupełności przestrzeni Y dostajemy więc zbieżność szeregu
xn do pewnego punktu x ∈ X, przy czym
||x|| ∞
n=1
||xn || ∞
n=1
44
1
ρ0
2n−1
= 2ρ0 .
Z (22) dostajemy dodatkowo
Ax = A
lim
m
m→∞
m
xn = lim
m→∞
n=1
Axn = lim
m→∞
n=1
m
yn = y.
n=1
Zatem A−1 y = x i w konsekwencji ||A−1 y|| = ||x|| 2ρ0 . Otrzymaliśmy zatem, że jesli ||y|| 1, to
||A−1 y|| 2ρ0 . Niech teraz y ∈ Y i y = θ. Wtedy
−1
||A y|| =
y −1
A
||y||
||y|| 2ρ0 ||y||.
Z dowolności punktu y mamy ograniczoność operatora A−1 .
Ważnym wnioskiem z tego twierdzenia jest następujące:
Twierdzenie 4.9.
Jeśli w przestrzeni liniowej X dane są dwie normy ||x||1 i ||x||2, a X jest przestrzenią Banacha przy każdej
z tych norm i dla dowolnego ciągu (xn )n ⊂ X spełniony jest warunek:
||xn ||1 → 0 =⇒ ||xn ||2 → 0,
(23)
to zachodzi również implikacja w drugą stronę:
||xn ||2 → 0 =⇒ ||xn ||1 → 0,
(24)
czyli normy te są równoważne.
Dowód.
Oznaczmy przez X1 = (X, || · ||1) i X2 = (X, || · ||2 ). Wtedy operator identycznościowy Ax = x
przyporządkowujący każdemu punktowi x ∈ X1 ten sam punkt x ∈ X2 jest bijektywny. Oczywiście jest on
liniowy, a z (23) jest też ciągły, czyli ograniczony. Na podstawie twierdzenia Banacha o operatorze odwrotnym
A−1 też jest ciągły, więc mamy warunek (24), bo jeśli ||xn ||2 → 0, to ||xn ||1 = ||a−1 xn ||1 → ||A−1 θ||1 = 0.
Definicja 4.3. (odwzorowania otwartego)
Niech dane będą dwie przestrzenie topologiczne X i Y oraz odwzorowanie f : X → Y . Powiemy, że f
jest odwzorowaniem otwartym, jeśli obrazy zbiorów otwarych sa otwarte, tzn. jesli obraz każdego podzbioru
otwartego przestrzeni X jest podzbiorem otwartym przestrzeni Y .
Łatwo zauważyć, że rzuty w przestrzeni Rm na pierwsze k, czy ostatanie l współrzędnych (k, l < m) są
odwzorowaniami otwartymi. Ale odwzorowanie otwarte nie musi być ciągłe, a ciągle nie musi być otwarte.
Gdyby jednak f przekształacało X na Y wzajemnie jednoznacznie, to f będzie otwarte wtedy i tylko wtedy,
gdy odwzorowanie f −1 : Y → X będzie ciągłe. Mówi o tym nastęopujące twierdzenie o odwzorowaniu
otwartym
45
Twierdzenie 4.10. (o odwzorowaniu otwartym)
Niech A bedzie operatorem liniowym ograniczonym przekształcającym wzajemnie jednoznacznie przestrzeń
Banacha X na przetrzeń Banacha Y . Wówczas A jest odwzorowaniem otwartym.
Dowód.
Na podstawie twierdzenia o operatorze odwrotnym, A−1 jest również ograniczony, czyli ciągły.
Teza wynika natychmiast z faktu, że przeciwobraz zbioru otwartego przy odwzorowaniu ciągłym jest również
zbiorem otwartym.
Założenie zupełności Y w twierdzeniach o operatorze odwrotnym i o operatorze otwartym jest istotnie
(zupełność X też, ale trudniej dobrać przykład). Rozważmy operator identycznościowy A : l2 → l2 jest on
ograniczony. Niech X = l1 oraz Y = A(l1 ) ⊂ l2 . Wówczas A przekształca wzajemnie jednoznacznie X na Y ,
ale operator odwrotny T −1 : Y → X nie jest ograniczony. Łatwo to wykazać bezpośrednio, bo dla każego
n = 1, 2, . . . i un = e1 + e2 + · · · + en mamy
||un ||1 = n oraz ||un ||2 =
Zatem
||T −1|| = sup
u=θ
4.5
√
n.
√
||T −1u||
||un ||1
||un ||1
n
= sup
sup
= sup √ = sup n = ∞.
||u||
n
n ||un ||2
n
n
u=θ ||un ||2
Twierdzenie o domkniętym wykresie
Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Wtedy wykresem odwzorowania f : X → Y nazywamy zbiór
{(x, y) ∈ X × Y : f (x) = y} =: Graph(f ).
Bardzo często utożsamiamy wykres i odwzorowanie, przy czym o wykresie mówimy wtedy, gdy chodzi nam
o podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y .
Jeśli X i Y są przestrzeniami topologicznymi, to możemy wprowadzić topologię iloczynu kartezajńskiego
X × Y . Wtedy f : X → Y ma domknięty wykres, jeśli zbiór Graph(f ) jest domknięty w X × Y .
Jeśli, w szczególności, X, Y są przestrzeniami metrycznymi, to Graph(f ) jest domkniety wtedy i tylko wtedy,
gdy xn → x i f (xn ) → y implikuje f (x) = y. Warunku tego często używa się w konkretnych zastosowaniach.
Definicja 4.4. (odwzorowania domkniętego)
Jeśli X, Y są przestrzeniami topologicznymi i f : X → Y , to f nazywamy odwzorowaniem domkniętym, jeżeli
obrazy zbiorów domkniętych są domknięte, tzn. jeśli obraz każdego podzbioru domknietego przestrtezni X jest
podzbiorem domkniętym przestrzeni Y .
Zwróćmy uwagę, że domkniętość odwzorowania i domkniętość jego wykresu, to dwie różne własności.
Twierdzenie 4.11. (o domkniętym wykresie)
Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha i niech A : X → Y będzie operatorem liniowym o domkniętym
wykresie. Wówczas A jest operatorem ograniczonym.
46
Dowód.
Przestrzeń X × Y można traktować jako przestrzeń Banacha z normą ||(x, y)|| = ||x|| + ||y|| (łatwo
sprawdzić, że jest to norma). Określmy rzutowanie kanoniczne
πX : X × Y → X oraz πY : X × Y → Y.
Są to operatory liniowe ograniczone o normie 1. Oznaczmy zbiór
Z = {(x, y) ∈ X × Y : Ax = y} .
Wtedy Z = Graph(A), czyli jest to podzbiór domknięty przestrzeni X × Y . Z liniowości operatora A wynika,
że Z jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X × Y . Zatem Z jest przestrzenią Banacha (jako liniowa
domknięta podprzestrzeń przestrzeni Banacha).
Niech teraz S będzie obcięciem odwzorowania πX do podprzestrezni Z. Zatem S jest operatorem liniowym
ograniczonym przekształacającym wzajemnie jednoznacznie przestrezń Banacha Z na przestrzeń Banacha
X. Z twierdzenia o operatorze odwrotnym wynika, że S −1 : X → Z jest ograniczony. Dla każdego x ∈ X
mamy więc S −1 x = (x, Ax), czyli
(πY ◦ S −1 )x = πY (S −1 x) = πY (x, Ax) = Ax.
To oznacza A = πY ◦ S −1 , czyli A jest ograniczony.
4.6
Twierdzenie Hahna-Banacha
Definicja 4.5.
Funkcjonał p : X → R, gdzie X jest przestrzenią liniową rzeczywistą lub zespoloną, nazywamy funkcjonałem
Banacha, gdy
p(x + y) p(x) + p(y), p(ax) = ap(x)
dla x, y ∈ X, a 0.
Twierdzenie 4.12. (Hahna-Banacha).
Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej rzeczywistej X oraz niech p będzie funkcjonałem
Banacha określonym w X. Dla każdego funkcjonału liniowego f0 określonego w X0 i spełniającego nierówność
f0 (x) p(x) dla x ∈ X0 istnieje funkcjonał liniowy f określony w przestrzeni X i taki, że f (x) = f0 (x) dla
x ∈ X0 i f (x) p(x) dla x ∈ X.
Funkcjonał f nazywamy rozszerzeniem funkcjonału liniowego f0 z podprzestrzeni X0 na przestrzeń X.
Dowód. Oznaczmy przez R rodzinę wszystkich par (g, Xg ), gdzie Xg jest podprzestrzenią liniową przestrzeni
X zawierającą podprzestrzeń X0 , a g jest funkcjonałem liniowym nad Xg takim, że g(x) = f0 (x) dla x ∈ X0
i g(x) p(x) dla x ∈ Xg , czyli rozszerzeniem funkcjonału f0 do przestrzeni Xg . Wprowadzamy relację ≺ w
47
zbiorze R w sposób następujący:
(g1 , Xg1 ) ≺ (g2 , Xg2 ) gdy Xg1 ⊂ Xg2 oraz g2 (x) = g1 (x) dla x ∈ Xg1 . Zbiór R jest niepusty, bo (f0 , X0 ) ∈ R,
oraz ≺ jest relacją częściowego porządku w R, więc na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna rodzina R
ma element maksymalny. Oznaczmy go (gm , Xm ). To znaczy, że jeśli (g, Xg ) ∈ R i (gm , Xm ) ≺ (g, Xg ), to
(gm , Xm ) = (g, Xg ).
Wystarczy wykazać, że Xm = X i f = gm jest żądanym w twierdzeniu rozszerezniem funkcjonału liniowego
f0 z podprzestrzeni X0 na całą przestrzeń X. Przypuśćmy, że Xm = X i niech x0 ∈ X \ Xm . Weźmy dowolne
x1 , x2 ∈ Xm , wtedy
f (x1 ) − f (x2 ) = f (x1 − x2 ) p(x1 − x2 ) [(x1 + x0 ) + (−x2 − x0 )] p(x1 + x0 ) + p(−x2 − x0 ),
więc
−p(−x2 − x0 ) − f (x2 ) p(x1 + x0 ) − f (x1 ).
Oznaczamy:
m = sup [−p(−x2 − x0 ) − f (x2 )], M = inf [p(x1 + x0 ) − f (x1 )],
x1 ∈Xm
x2 ∈Xm
weźmy dowolną liczbę r taką, że m r M. Mamy wtedy
f (x1 ) + r p(x1 + x0 ), f (x2 ) + r −p(−x2 − x0 )
(25)
dla x1 , x2 ∈ Xm . Oznaczmy przez Xr zbiór elementów postaci x = xm + ax0 , gdzie xm ∈ Xm i a jest liczbą
rzeczywistą. Zauważmy, że Xr jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X, zawierającą Xm , oraz Xr = Xm .
Ponadto dla każdego x ∈ Xr istnieje dokładnie jeden element xm ∈ Xm oraz dokładnie jedna liczba a takie,
że x = xm + ax0 . Określmy w Xr funkcjonał
fr (xm + ax0 ) = f (xm ) + ar.
jest to funkcjonał liniowy. Ponadto dla x ∈ Xm mamy x = x + 0 · x0 , więc fr (x) = f (x) + 0 · r = f (x).
Wykażemy, że fr (x) p(x) dla x ∈ X. Niech x = xm + ar, gdzie xm ∈ Xm . Jeżeli a = 0, to nierówność ta
wynika z odpowiedniej nierówności dla funkcjonału f . Niech więc a > 0. Na podstawie pierwszej nierówności
(25);
$ %
xm
xm
fr (xm + ax0 ) = f (xm ) + ar = a f
+ x0 = p(xm + ax0 ).
+ r ap
a
a
Dla a < 0 mamy na podstawie drugiej nierówności z (25)
$ fr (xm + ax0 ) = f (xm ) + ar = a f
%
xm
xm
− x0 = p(xm + ax0 ).
+ r −ap −
a
a
Zatem (fr , Xr ) ∈ R, (f, Xm ) ≺ (fr , Xr ) i (fr , Xr ) = (f, Xm ), wbrez temu, że (f, Xm ) jest elementem
maksymalnym zbioru R. Zatem Xm = X, co kończy dowód.
Twierdzenie to można wykorzystać do przestrzeni unormowanych z funkcjonałem Banacha, który jest określony jako norma przestrzeni.
48
Twierdzenie 4.13. ( Banacha o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych ciągłych)
Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej rzeczywistej X z normą || · ||. Niech p0
będzie funkcjonałem liniowym ciągłym nad X0 o normie o normie ||p0 ||0 . Wtedy istnieje taki funkcjonał
liniowy ciągły p nad X o normie ||p||, że p(x) = p0 (x) dla x ∈ X0 oraz ||p|| = ||p0 ||0 .
Dowód.
Oznaczmy q(x) = ||p0||0 ||x||. Wtedy q jest funkcjonałem Banacha w X oraz p0 (x) q(x) dla x ∈ X0 . Na
podstawie twierdzenia Hahna-Banacha stosowanego do funkcjonału liniowego f0 = p0 można stwierdzić, że
istnieje taki funkcjonał liniowy f w X, że f (x) = p0 (x) dla x ∈ X0 i f (x) ||p0 ||0 · ||x|| dla x ∈ X. Biorąc
więc −x zamiast x, otrzymujemy
f (x) = −f (−x) −||p0 ||0 · || − x|| = −||p0 ||0 · ||x||.
Zatem |f (x)| ||p0 ||0 · ||x|| dla x ∈ X. Funkcjonał liniowy f jest więc ograniczony, czyli ciągły w X.
Oznaczmy teraz p = f . Wtedy ||p|| = sup||x||=1 |p(x)| ||p0 ||0 . Z drugiej strony, z definicji normy w X0∗
(przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych na X) wynika, że dla każdego ε > 0 istnieje taki element
xε ∈ X0 , że
||xε || = 1 i |p0 (xε )| ||p0 ||0 − ε.
Stąd również
|p(xε )| = |p0 (xε )| ||p0 ||0 − ε,
więc
||p|| = sup (p(x)| |p(xε )| ||p0 ||0 − ε.
||x||=1
Wobec dowolności ε > 0 mamy ||p|| ||p0 ||0 . Zatem ||p|| = ||p0 ||0 .
Twierdzenie 4.14. (Banacha-Bohnenblusta-Sobczyka o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych ciągłych)
Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej zespolonej X z normą || · ||. Niech p0 będzie
funkcjonałem liniowym ciągłym nad X0 o normie o normie ||p0 ||0. Wtedy istnieje taki funkcjonał liniowy
ciągły p nad X o normie ||p||, że p(x) = p0 (x) dla x ∈ X0 oraz ||p|| = ||p0||0 .
Dowód. (idea)
Niech x0 ∈ X0 oraz niech f1 (x0 ) i f2 (x0 ) będą odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią zespoloną liczby
p0 (x0 ). Stosujemy twierdzenie Hahna-Banacha dla f1 , otrzymując istnienie g1 i budujemy p(x) = g1 (x) −
ig1 (ix). Następnie wykazujemy, żę tak utworzony funkcjonał p jest funkcjonałem liniowym zespolonym nad
przestrzenią zespoloną X i, że jest ograniczony w X. Na koniec obliczamy normę.
Jako zastosowanie powyższych twierdzeń o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych ciągłych można sformułować
poniższe:
49
Twierdzenie 4.15.
Dla każdego elementu x0 = 0 przestrzeni unormowanej X istnieje taki funkcjonał liniowy i ciągły p nad X,
że p(x0 ) = ||x0 || i ||p|| = 1.
Dowód.
Niech X0 będzie zbiorem wszystkich elementów postaci x = ax0 , gdzie a jest liczbą rzeczywista lub
zespoloną, w zależności od przestrzeni X. Wtedy X0 jest podprzestrzenia liniową przestrzeni X, a p0 (x) =
a||x0 || jest funkcjonalem liniowym nad X0 . Ponieważ
||p0 (ax0 )| = |a|||x0 || = ||ax0 ||,
więc jest on ciągły i jego norma ||p0||0 1. Biorąc dalej a = 1/||x0 ||, dostajemy ||ax0 || = 1, czyli
||p0 ||0 |p0 (ax0 )| = ||ax0 || = 1,
stąd ||p0 ||0 = 1. Wreszcie p0 (x0 ) = 1 · ||x0 || = ||x0 ||. Z twierdzenia Banacha-Bohnenblusta-Sobczyka istnieje
funkcjonał p liniowy i ciągły nad X taki, że ||p|| = ||p0 ||0 = 1 i p(x) = p0 (x) dlas x ∈ X0 . W szczególności
p(x0 ) = p0 (x0 ) = ||x0 ||. Funkcjonał p spełnia tezę twierdzenia.
Z twierdzenia tego otrzymujemy natychmiast dwa wnioski:
Wniosek 4.2.
Dla każdej przestrzeni unormowanej nie redukującej się do punktu θ istnieje niezerowy funkcjonał liniowy
ciągły nad tą przestrzenią.
Wniosek 4.3.
Jeśli X jest przestrzenią unormowaną i x ∈ X, to ||x|| = sup||p||1 |p(x)|.
4.7
Postać funkcjonału liniowego w konkretnych przestrzeniach
W poprzednim paragrafie wykazaliśmy istnienie funkcjonału liniowego ciągłego (zazwyczaj oznacza się go
symbolem x∗ ). Teraz zajmiemy się jego postacią.
Przestrzeń ln2 .
Funkcjonał liniowy ciągły określony nad tą przestrzenią ma postać:
x∗ (x) = a1 x1 + a2 x2 + . . . an xn ,
gdzie x = (x1 , x2 , . . . , xn ) jest elementem przestrzeni Rn lub Cn i ai ∈ R (lub C), przy czym
||x∗ || =
n
|ak |2 .
k=1
Zatem przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad ln2 jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni ln2 .
50
Przestrzeń c0 .
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią, to istnieje dokładnie jeden taki ciąg (sk ),
że
∞
k=1
|sk | < ∞ i
x∗ (x) =
∞
tk sk dla x = (tk ) ∈ c0 ,
(26)
k=1
przy czym
||x∗ || =
Na odwrót, jeśli
∞
k=1
∞
ak .
k=1
|sk | < ∞, to (26) określa funkcjonał x∗ liniowy ciągły nad c0 .
Zatem przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad c0 jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni l1 .
Dowód. Niech funkcjonał x∗ będzie określony wzorem (26). Ponieważ ciąg (tk ) jest ograniczony i
∞
k=1
|sk | <
∞, więc szereg po prawej stronie tej równości jest zbieżny. Liniowość x∗ jest oczywista, a ciągłość wynika z
nierówności
∞
|x∗ (x)| |tk sk | k=1
Z nierówności tej wynika, że ||x∗ || ∞
k=1
∞
|sk | sup |tj | =
j
k=1
∞
|sk | · ||x||.
k=1
|sk |. Obierzmy teraz xn = (tkn ), gdzie tkn = sk /|sk |, gdy sk = 0 i
k n oraz tnk = 0, gdy sk = 0 lub k > n. Oczywiście (xn ) ∈ c0 . Jeśli nie wszystkie sk = 0, to dla dostatecznie
dużych n mamy ||xn || = 1. Ponadto x∗ (xn ) =
n → ∞ mamy ||x∗ || =
∞
k=1 |sk |.
n
k=1
→
∞
k=1
|sk | oraz ||x∗ || x∗ (xn ), więc w granicy przy
Gdy sk = 0 dla wszystkich k, to równość ta jest oczywista.
Załóżmy teraz na odwrót, że x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad c0 . Niech en = (δin ) dla n = 1, 2, . . . ,
gdzie δin = 1, gdy i = n oraz δin = 0, gdy i = n. Oznaczmy sn = x∗ en dla n = 1, 2, . . . . Niech x = (tk ) ∈ c0 ,
xn =
∞
k=1 tk ek .
Wtedy
||x − xn || = sup |tk | → 0 przy n → ∞
k>n
∗
więc na podstawie ciągłości funkcjonału x mamy x∗ (x) = limn→∞ x∗ (xn ). Na podsatwie liniowości zaś,
mamy
x∗ (xn ) =
n
tk x∗ (ek ) =
k=1
Trzeba jeszcze wykazać, że
n
k=1 tk sk
∞
k=1 |sk |
tk sk .
k=1
Stąd
x∗ (x) = n→∞
lim
n
n
tk sk =
k=1
∞
tk sk .
k=1
< ∞. W tym celu rozpatrzmy funkcjonał liniowy ciągły x∗n (x) =
nad c0 . Na podstawie poprzedniej części dowodu, jego norma ||x∗n || =
n
k=1 |sk |.
Zastosujemy
twierdzenie Banacha-Steinhausa. Ponieważ ciąg (x∗n (x)) jest zbieżny dla każdego x ∈ c0 , więc ciąg norm
(||x∗n ||) jest ograniczony. Istnieje zatem taka liczba M > 0, że ||x∗n || M dla n = 1, 2, . . . , czyli
dla n = 1, 2, . . . . Stąd, po przejściu do granicy,
∞
k=1 |sk |
51
< ∞, co kończy dowód.
n
k=1
|sk | M
Przestrzeń c.
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią, to istnieje dokładnie jeden taki ciąg (sk ),
że
∞
k=0
|sk | < ∞ i
x∗ (x) = ts0 +
∞
(tk − t)sk dla x = (tk ) ∈ c, t = lim tk ,
przy czym
||x∗ || =
Na odwrót, jeśli
∞
k=1
(27)
k→∞
k=1
∞
ak .
k=1
|sk | < ∞, to (27) określa funkcjonał x∗ liniowy ciągły nad c.
Zatem przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad c jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni l1 .
Przestrzeń l1 .
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią (tzn. przestrzenią ciągów sumowalnych), to
istnieje dokładnie jeden taki ciąg ograniczony (sk ), taki że x∗ (x) =
∞
k=1 tk sk
dla każdego x = (tk ) ∈ l1 , przy
czym
||x∗ || = sup |sk |.
k
∗
Na odwrót, gdy ciąg (sk ) jest ograniczony, to x (x) =
∞
k=1 tk sk
jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad l1 .
Przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad l1 jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni m ciągów
ograniczonych.
Przestrzeń lp .
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią (tzn. przestrzenią ciągów sumowalnych z
p-tą potęgą, 1 < p < ∞), to istnieje dokładnie jeden taki ciąg (sk ), taki że x∗ (x) =
x = (tk ) ∈ lp , przy czym ciąg (sk ) spełnia warunek
∗
||x || =
∞
k=1 |sk |
∞
q
< ∞, gdzie
1
p
+
1
q
∞
k=1 tk sk
dla każdego
= 1 oraz
1
|sk |
q
q
.
k=1
Na odwrót, gdy
∞
k=1 |sk |
q
< ∞, to wyżej określony funkcjonał liniowy i ciągły nad lp .
Przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad lp jest izometrycznie izomorficzna przestrzeni lq .
Przestrzeń Hilberta X.
Jeśli x∗ jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą przestrzenią (gdzie X jest wyposażona w iloczyn skalarny
(|)), to istnieje dokładnie jeden element y ∈ X taki, że x∗ (x) = (x|y) dla każdego x ∈ X, oraz ||x∗ || = ||y||.
Przedstawienie to jest jednoznaczne, tzn. jeżeli (x|y1 ) = (x|y2 ) dla każdego x ∈ X, to y1 = y2 . Na odwrót,
jesli y ∈ X, to x∗ (x) = (x|y) jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad X.
W przypadku, gdy X jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta i określimy operator T działający z przestrzeni
52
funkcjonałów liniowych ciągłych nad X do X jako (x|T x∗ ) = x∗ (x) dla każdego x ∈ X, to T jest izometrią
oraz izomorfizmem, więc przestrzenie X i funkcjonałów liniowych ciągłych nad X są izometrycznie izomorficzne.
W przypadku zespolonej przestrzeni X własność ta nie zachodzi w takiej postaci.
Jednakże można udowodnić, że przestrzeń funkcjonałów liniowych ciągłych nad przestrzenią Hilberta X jest
też przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym (x∗1 |x∗2 ) = (y2 |y1 ), gdzie x∗1 (x) = (x|y1 ) i x∗2 (x) = (x|y2 ) dla
każdego x ∈ X. Trzeba jednak brać odwzorowanie T określone wzorem (x|T x∗ ) = x∗ (x) dla każdego x ∈ X,
które jest różnoweartościowym, ciągłym operatorem antyliniowym (tzn. warunek addytywności zachodzi bez
mian, a warunek jednorodności ma postać T (ax) = aT (x) dla x ∈ X i a zespolonego).
Zanim przejdziemy do postaci funkcjonału w kolejnej przestrzeni, potrzebna będzie definicja funkcji o
wahaniu skończonym.
Definicja 4.6.
Wahaniem funkcji f : [a, b] → R na przedziale [a, b] nazywamy wielkość
&a
b (f )
= sup
n−1
i=0
|f (xi+1 ) − f (xi )|,
gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach P = {a = x0 < . . . < xn = b} przedziału [a, b]. Jeśli
funkcja f : [a, b] → R ma skończone wahanie, to mówimy, że f jest funkcją o wahaniu skończonym.
Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących.
Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są
różniczkowalne prawie wszędzie.
Przestrzeń C([a, b]).
Niech x∗ będzie funkcjonałem liniowym ciągłym nad przestrzenią C([a, b]) funkcji ciągłych na przedziale
zwartym [a, b] ∈ R z normą ||x|| = supatb |x(t)|. Wtedy istnieje taka funkcja y na [a, b] o skończonym
wahaniu, y(a) = 0, że
x∗ (x) =
oraz ||x∗ || =
&a
b
b
a
x(t) dy(t) dla kazdego x ∈ C([a, b]),
y. Na odwrót, jeśli y jest funkcją o skończonym wahaniu na [a, b], to funkcjonał x∗ określony
powyższym wzorem jest liniowy i ciągły nad C([a, b]).
Przestrzeń Lp (Ω, Σ, µ).
Niech x∗ będzie funkcjonałem liniowym i ciągłym nad tą przestrzenią (1 < p < ∞) - przestrzenią funkcji
Σ-mierzalnych x, całkowalnych z p-tą potęgą w Ω z normą ||x||p = (
Ω
jedna (w sensie równości µ-prawie wszędzie) funkcja Σ-mierzalna y taka, że
x∗ (x) =
Ω
x(t)y(t) dµ dla kazdego x ∈ Lp (Ω, Σ, µ),
53
1
|x(t)|p dµ) p . Wtedy istnieje dokładnie
przy czym y ∈ Lq (Ω, Σ, µ),
1
p
+
1
q
= 1 i ||x∗ || = (
1
Ω
|y(t)|q dµ) q . Na odwrót, przy danym y spełniającym
powyższe warunki, funkcjonał x∗ określony jak wyżej, jest liniowy i ciągły nad Lp (Ω, Σ, µ).
Można też rozważać to twierdzenie dla p = 1, ale wtedy trzeba używać przestrzeni funkcji istotnie ograniczonych.
Uwaga 6. Wyżej wymienione własności dla poszczególnych przestrzeni Hilberta często określa sie mianem
twierdzenia Riesza.
Uwaga 7.
Zazwyczaj w literaturze przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych nad daną przestrtzenią X oznacza się
symbolem X ∗ , czyli X ∗ = B(X, R) (też LC(X, R) lub L(X, R)) i nazywa przestrzenią sprzężoną do X.
54