Matematyka – studia magisterskie aktualizacja: semestr letni 2015

Zestaw pytań na egzamin dyplomowy
kierunek studiów: Matematyka – studia magisterskie
aktualizacja: semestr letni 2015
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Wahanie funkcji oraz jego własności.
Całka krzywoliniowa.
Całka powierzchniowa.
Rozwijanie funkcji w szereg Fouriera, twierdzenie Dirichleta.
Własności funkcji analitycznych.
Wzór całkowy Cauchy’ego funkcji analitycznej.
Twierdzenie całkowe Cauchy’ego o residuach.
Szereg Laurenta funkcji analitycznej.
Pochodna funkcji zespolonej, równania Cauchy-Riemanna.
Ogólne własności wielomianów ortogonalnych na przykładzie dowolnie wybranej
rodziny.
Funkcja gamma Eulera w dziedzinie zespolonej.
Ekstrema funkcji
Całka Lebesgue’a.
Zamiana zmiennych pod znakiem całki.
Równanie struny.
Równanie Laplace’a.
Równanie przewodnictwa cieplnego.
Pojęcie przestrzeni Banacha.
Pojęcie operatora liniowego ograniczonego.
Zasada Banacha i jej zastosowania w innych działach matematyki.
Twierdzenie Banacha-Steinhausa i płynące z niego wnioski.
Przestrzenie Hilberta, rzut na podprzestrzeń przestrzeni Hilberta.
Funkcja wykładnicza operatora ograniczonego i jej zastosowania.
Aksjomatyczna definicja przestrzeni topologicznej.
Uzwarcanie płaszczyzny. Rzut stereograficzny.
Własności i przykłady przestrzeni ośrodkowych.
Własności i przykłady przestrzeni zwartych.
Parametr naturalny krzywej. Krzywizna i skręcanie krzywej. Przykłady.
Znaczenie wzorów Freneta w teorii krzywych.
Krzywizna Gaussa i jej znaczenie.
Krzywizna średnia. Powierzchnie minimalne.
Geodetyki na wybranych powierzchniach.
Proces stochastyczny, definicja i przykłady.
Definicja i konstrukcja procesu Poissona.
Twierdzenie ergodyczne.
Łańcuch Markowa i przykłady zastosowań.
Hierarchiczna analiza wariancji.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Analiza kowariancji.
Przedstaw metodę działania analizy składowych głównych.
Opisz sposób działania analizy kanonicznej.
Metoda eliminacji Gaussa wraz z możliwymi trudnościami numerycznymi
i sposobami ich rozwiązania.
Podstawowe rozkłady macierzy i przykłady ich zastosowań.
Metody wyznaczania wartości i wektorów własnych macierzy.
Metody interpolacji funkcji dwóch zmiennych.
Algorytmy sortujące, przykłady, własności.
Dekompozycja macierzy, algorytmy macierzowe.
Typowe struktury danych występujące w tworzeniu algorytmów, własności
i zastosowania.
Funkcja skrótu, zastosowania kryptograficzne.
Idea algorytmu RSA, zastosowania.
Wyznaczanie dużych liczb pierwszych.