WEKTORY

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 5.
WEKTORY
Definicja (Przestrzeń
3
Przestrzenią
3
3
)
nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek x, y, zliczb rzeczywistych
  x, y, z  : x, y, z 


Przestrzeń
3
będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby:
1. zbiór wszystkich punktów P x, y, z,
2. zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w punkcie O 0,0,0o końcach w punktach
P   x, y, z  , czyli u  OP ,
3. zbiór wszystkich wektorów swobodnych u w tej przestrzeni.
Definicja (wektor)
Wektorem zaczepionym nazywamy parę punktów.
B – koniec wektora AB
A – początek wektora AB ; AB   BA wektor przeciwny do AB ;
Jeśli A  ( xA , y A , z A ), B  ( xB , yB , zB ) to AB  [ xB  xA , yB  y A , zB  z A ]
Wektor u 
3
będziemy zapisywać w postaci u  ux , u y , uz  .
Działania na wektorach
Niech u  ux , u y , uz  , v  vx , v y , vz  , a 
. Wtedy
u  v  ux  vx , u y  vy , uz  vz 
u  v  ux  vx , u y  v y , uz  vz 
a  u  a  ux , a  u y , a  uz 
Przykład
1,2,3  3,2,1  4,4,4, 1,2,3  3,2,1   2,0,2, 3  1,2,3  3, 6,9
1
Wektory u , v 
3
są równoległe, gdy istnieją takie a, b 
, że a  b  0 0 oraz
a  u  b  v  0. W szczególności, jeśli u  0 , to wektory u , v 
t  takie, że u  t  v .
Wektory u , v , w 
3
3
są równoległe, gdy istnieje
są współpłaszczyznowe, gdy istnieją takie a, b, c 
oraz a  u  b  v  c  w  0. W szczególności, jeżeli wektory u , v 
wektory u , v , w 
3
są współpłaszczyznowe, gdy istnieją s, t 
3
, że a  b  c  0
nie są równoległe, to
takie, że w  s  u  t  v .
Definicja (Układ współrzędnych w przestrzeni)
Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinające się w
jednym punkcje O, które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ oznaczamy przez OXYZ. Proste OX,
OY, OZ nazywamy osiami, płaszczyzny XOY, YOZ, XOZ płaszczyznami układu współrzędnych.
Definicja (Orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)
W zależności od wzajemnego położenia osi OX, OY, OZ układu współrzędnych wyróżniamy dwie
jego orientacje: układ prawoskrętny i układ lewoskrętny.
2
Definicja (wersory na osiach układu współrzędnych)
Wektory i  [1,0,0], j  [0,1,0], k  [0,0,1] nazywamy wersorami odpowiednio na osiach OX,
OY, OZ.
Definicja (długość wektora)
Długość wektora u  [ x, y, z]
jest określona wzorem
u  x2  y 2  z 2 .
Przykład
Obliczyć długość wektora AB , gdzie A  (2,1,  3), B  (1,1,4)
Fakt (Własności długości wektorów)
Niech u i v będą wektorami w
3
oraz niech  
. Wtedy
1) u  0;
2) u  0  u  0;
3)  u   u ;
4) u  v  u  v ;
5)
u  v  u v .
Definicja (Iloczyn skalarny)
Niech u i v będą dowolnymi wektorami w
wzorem
3
. Iloczynem skalarnym wektorów u i v określamy
u v  u v cos (u , v )
Fakt (wzór do obliczania iloczynu skalarnego)
Niech u  [ x1, y1, z1 ], v  [ x2 , y2 , z2 ] będą wektorami w
3
. Wtedy
u v  x1x2  y1 y2  z1z2
Wzór na iloczyn skalarny z definicji można zapisać w postaci
cos (u , v ) 
u v
u v
co pozwala na obliczanie kata między danymi wektorami.\
3
Przykład
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów u  [1,2,  3], v  [2,0,  1] oraz kąt między wektorami.
Fakt (Własności iloczynu skalarnego)
Niech u , w, v będą dowolnymi wektorami w
3
oraz niech  
. Wtedy
1) u v  v u ;
2) ( u ) v   (v u );
2
3) u u  u ;
4) (u  w) v  u v  w v ;
5) u v  v
u;
6) wektory u i w są prostopadłe  u w  0
Definicja (Orientacja trójki wektorów)
Niech u  [ x1, y1, z1 ], w  [ x2 , y2 , z2 ], v  [ x3 , y3 , z3 ] będą wektorami w
u , w, v
3
. Mówimy, że wektory
tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli:
x1
x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2  0.
z3
Definicja (Iloczyn wektorowy)
Niech u i v będą niewspółliniowymi wektorami w 3 . Iloczynem wektorowym uporządkowanej
pary wektorów u i v nazywamy wektor w , który spełnia warunki
1) jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach u i v
2) jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v , tj. równa
u v sin (u , v )
3) orientacja trójki wektorów
jest zgodna z orientacją układu współrzędnych OXYZ
Iloczyn wektorowy pary wektorów u i v oznaczamy przez u  v . Jeżeli wektory są współliniowe to
przyjmujemy, że u  v  0 .
4
Fakt (wzór do obliczania iloczynu wektorowego)
Niech u  [ x1, y1, z1 ], v  [ x2 , y2 , z2 ] będą wektorami w
i
u  v  x1
x2
j
y1
y2
k
y
z1  i 1
y2
z2
3
. Wtedy
z1
x
j 1
z2
x2
z1
x
k 1
z2
x2
gdzie i , j , k oznaczają wersory odpowiednio na osiach OX, OY, OZ.
Wzór na iloczyn wektorowy z definicji można zapisać w postaci
sin (u , v ) 
u v
u v
co pozwala na obliczanie kata między danymi wektorami.
Przykład
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów u  [1,2,  3], v  [2,0,  3] .
Fakt (własności iloczynu wektorowego)
Niech u , v , w będą dowolnymi wektorami w
3
oraz   . Wtedy
1) u  v  (v  u );
2) ( u )  v  u  ( v )   (u  v );
3) (u  v )  w  u  w  v  w;
4) u  (v  w)  u  v  u  w;
5) u  v  u v ;
5
y1
,
y2
6) wektory u i v są równoległe  u  v  0;
Fakt (pole równoległoboku)
Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v wyraża się wzorem:
S  u v .
Definicja (Iloczyn mieszany)
Niech u , v , w będą wektorami w
3
. Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów
u , v , w określamy wzorem:
(u , v , w)  (u  v ) w
Fakt (objętość równoległościanu)
Iloczyn mieszany wektorów u , v , w jest równy objętości równoległościanu V rozpiętego na
wektorach u , v , w
V  (u , v , w) .
Fakt (wzór do obliczania iloczynu mieszanego)
Niech u  [ x1, y1, z1 ], w  [ x2 , y2 , z2 ], v  [ x3 , y3 , z3 ] będą wektorami w
x1
(u , v , w)  x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2 .
z3
Przykład
Obliczyć objętość czworościanu rozpiętego na wierzchołkach
P  (1,1,1), Q  (1,2,3), R  (1,1,0), S  (0,0,1). .
Fakt (własności iloczynu mieszanego)
6
3
. Wtedy
Niech u , v , w będą dowolnymi wektorami w
3
oraz   . Wtedy
1) (u , v , w)  (v , w, u ); 2) (u , v , w)  (v , u , w);
3) (u  r , v , w)  (u , v , w  (r , v , w)); 4) ( u , v , w)   (u , v , w);
5) Wektory u , v , w leżą w jednej półpłaszczyźnie  (u , v , w)  0;
6) (u , v , w)  u v w ; wektory u i v są równoległe  u  v  0;
7