lista ix geometria analityczna

LISTA IX
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zadanie 1.
Znaleźć kąt między wektorami :
√
√
b) ~a = 2~i + 3~j − ~k , ~b = 3~i − 2~k.
a) ~a = (1, 2, 3) , ~b = (0, − 2, 1),
Zadanie 2.
Dla jakiej wartości parametru α wektory ~a = (2, 3, −1) i ~b = (α, −7, 1 + α) są prostopadłe.
Zadanie 3.
Obliczyć iloczyny skalarne wektorów ~a i ~b, jeżeli ~a = 3~p−2~q, ~b = p~−5~q przy czym p~ i ~q są wektorami jednostkowymi
wzajemnie prostopadłymi.
Zadanie 4.
Obliczyć iloczyny skalarne wektorów ~a i ~b, jeżeli ~a = 2~p − 3~q, ~b = −~p + 4~q przy czym |~p| = 2, |~q| = 3, (~p, ~q) = 23 π.
Zadanie 5.
Obliczyć pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach ~a = (1, −1, 1) , ~b = (0, 3, −2).
Zadanie 6.
Znaleźć wektor jednostkowy p~ prostopadły do wektorów ~a = (2, −1, 1) , ~b = (1, 2, 1).
Zadanie 7.
Znaleźć tangens kąta zawartego między wektorami ~a = (0, 1, 2) , ~b = (2, −1, 0).
Zadanie 8.
Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach ~a = 2~p − 2~q, ~b = 2~p + 4~q przy czym |~p| = 2, |~q| = 3,
(~p, ~q) = π3 .
Zadanie 9.
Obliczyć objętość równoległoboku rozpiętego na wektorach ~a = (1, 1, 1) , ~b = (1, −1, 0), ~c = (−1, 3, −2).
Zadanie 10.
Sprawdzić czy :
a) wektory ~a = (1, −1, 2) , ~b = (0, 4, −1), ~c = (2, 2, 3) są współpłaszczyznowe,
b) punkty P = (1, 1, 1) , Q = (0, 1, 2), R = (−1, 3, 0) , S = (5, 0, −4) należą do jednej płaszczyzny.
Zadanie 11.
Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki :
a) prosta przechodzi przez punkt P = (1, 0, 2) i jest równoległa do wektora ~v = (0, 5, −3),
b) prosta przechodzi przez punkty P1 = (−1, 1, 0), P2 = (0, 3, −2) ,
c) prosta przechodzi przez punkt P = (0, 0, −2) i jest prostopadła do wektorów ~a = (0, 1, −5), ~b = (−2, 3, 0).
Zadanie 12.

 x + 2z − 4 = 0
Przedstawić prostą l : 
w postaci parametrycznej.
x−y+6=0
Zadanie 13.
Napisać równanie ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki :
a)płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0, 1, −3) i jest prostopadła do wektora ~n = (−2, 3, −5) ,
b)płaszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (1, 1, 1), P2 = (−1, 0, 1), P3 = (5, 6, 7),
c)płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0, 1, 0) i jest równoległa do wektorów ~a = (−1, 3, 0), ~b = (3, 1, −5).
Zadanie 14.
Dany jest punkt P = (0, 0, 1) oraz płaszczyzna π : x + y − 2z + 4 = 0. Wyznaczyć:
a)rzut prostokątny punktu na płaszczyznę ,
b)odległość punktu od płaszczyzny,
c)punkt symetryczny do punktu względem płaszczyzny.
Zadanie 15.



x = 2t


Dany jest punkt P = (1, 0, −3) oraz prosta l : y = 1 − t




,t∈
R . Wyznaczyć:
z = −1 + 2t
a)rzut prostokątny punktu na prostą,
b)odległość punktu od prostej,
c)punkt symetryczny do punktu względem prostej.
Zadanie 16.
= y1 =
Dany jest punkt P = (0, 1, 3) oraz prosta l : x+1
−2
a)rzut prostokątny punktu na prostą,
b)odległość punktu od prostej,
c)punkt symetryczny do punktu względem prostej.
z−5
3
. Wyznaczyć: