Matematyka ¢wiczenia - Ilona Iglewska

Matematyka ¢wiczenia
WTiICh Chemia
4)
5)
1. Rozwi¡» równania:
log √2 8,
4
√
log 19 3 3 3,
6)
log 32 2, 25,
1)
3x+2 − 3x = 72,
7)
log 12
2)
75x − 75x−1 = 6,
8)
log 13 9,
9)
log6 1,
x
x
3)
2 · 16 − 17 · 4 + 8 = 0,
4)
3x+1 + 9x = 108,
5)
x
5 +5
−x
x
6)
3−x
10 +10
10x −10−x
x−7
= 30,
= 5,
= 177−x ,
1
8,
10)
2log2 32 ,
11)
3log3 5 ,
12)
102+2 log10 7 ,
13)
49log7 2 ,
7)
11
8)
152x+4 = 33x · 54x−4 ,
14)
16log2 3 ,
9)
8x−3 = 9x−3 ,
15)
23−log2 3 ,
10)
23x · 7x−2 = 4x+1 ,
16)
81−log2 3 .
11)
62x+4 = 33x · 2x+8 .
4. Wyznacz,
2. Rozwi¡» nierówno±ci:
2
1)
2−x+1 < 4x
2)
3 3x−2 <
3)
32 x−7 > 0, 25 · 128 x−3
x−3
1
3,
x+17
3
5)
6)
7)
2
1
2x −1
x+3
x
− 4 > 15,
1
1−2x−1 ,
−x−1
<
< 25 · 7
8)
5
9)
(x2 − 6x + 9)x+3 < 1,
2
10)
,
1
64 ,
0, 5x · 22x+2 <
√
2 x
> 4 1, 5,
3
2x+4
(x − 2)x
−6x+8
3x−5
3−x
11)
(3 − x)
12)
2 x > 0,
,
>1
<1
dla
dla
x > 2,
x < 3,
3
13)
0 < 3x
2
−x−6
log2 16,
2)
log27 3,
√
log5 5 5,
3)
jakimi
log2 3,
2)
log 21 5,
3)
log5 10,
4)
log3 2,
5)
log10
6)
log8 7,
7)
log4 9,
8)
log7
9)
log0,1 15,
3
4,
5
6,
1
3,
10)
log 21
11)
log 34 2,
12)
log√2 12.
5. Oblicz:
< 1.
3. Oblicz:
1)
1)
,
x+5
4)
mi¦dzy
caªkowitymi le»y liczba:
1)
log√6 3 · log3 36,
2)
log√3 8 · log4 81,
3)
log9 5 · log25 27.
6. Rozwi¡» równania:
1)
1
log4 [log3 (log2 x)] = 0,
kolejnymi
liczbami
2)
log7 [log4 (log23 (x − 7))] = 0,
8. Zbada j,
czy
ci¡g
jest
3)
log(x−2) 9 = 2,
4)
log(x−2) (x3 − 14) = 3,
1)
an = 3n − 2n ,
5)
log(3−x) 2(x2 + 2x − 1) = 2,
2)
an =
6)
log2 (x2 + 6x + 17) = 3,
3)
an =
7)
3log x =
4)
an =
8)
log(3x + 4) + log(x + 8) = 2,
5)
an =
9)
log(3x − 91) − log(30 − x) = 1,
6)
an =
1
27 ,
10)
2 log x
log(5x−4)
11)
2 log x + log(6 − x2 ) = 0,
12)
log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8,
= 1,
7)
1
2
13)
log(x − 5) − log 2 =
14)
log(2x + 14) + log(x + 12) = 3,
15)
log 2x
log(4x−15)
16)
log x
log(x+1)
= −1,
17)
1
5−4 log x
+
18)
log23
1)
log(3x − 20),
2)
3)
= 2,
4
1+log x
= 3,
x − log3 x + 2 = 0,
√
4 − log x = 3 log x,
20)
log16 x + log4 x + log2 x = 7.
1)
log2 (x + 1) > 3,
2)
log 12 (2x − 5) < −4,
3)
log3 (x + 2) > 3,
4)
logx 4 < 2,
5)
logx
6)
log 13 [log4 (x2 − 5)] > 0,
9)
10)
1
n,
3)
1
100
−
5)
6)
3
8− n
5
2+ n
9)
11)
12)
logx (x − 3) − logx (x − 1) > 1,
13)
2
2(log 12 x) − 9 log 12 x + 4 > 0,
+
14)
> 3,
15)
> 1,
17)
18)
13)
log(2x−3) (3x − 7x + 3) < 2.
19)
2
3−
1
n
3n+1
5n−1 ,
n
1
,
0
n
3
n
,
,
1 n
,
3
1 n
−3 ,
n
n
,
n n
,
100
n
100
,
n
1+
|3 log x − 1| < 2,
log(2x−3) x > 1,
1
n
,
1+
11)
100
n ,
100 +
16)
12)
2
2+
1
n
10)
1
1−log x
3
n+5 → 0,
n
n2 +1 → 0,
n+2
n+7 → 1.
1+
8)
2
1
log x
3
3n +1 .
an =
2)
7)
> −3,
log(35−x )
log(5−x)
1
n,
n
1
n,
2
3
n,
ctg
1)
4)
7. Rozwi¡» nierówno±ci:
8)
√
10. Wyznacz granice ci¡gów:
19)
7)
3n +2
4n ,
n!
nn ,
n+3
n2 ,
9. Udowodnij z denicji, »e:
3
1
27
monotoniczny
rodzaj monotoniczno±ci:
1−
√
n,
10
1 100
,
n
n
1
,
100
1 n
,
100
,
1
n
,
i
okre±l
20)
21)
√
n
√
n
10,
13)
10n,
1 − 100n3 + n4 ,
23)
6n5 −2n
2n5 +1 ,
24)
6n5 −2n
2n6 +1 ,
25)
1 n
.
n2
13. Oblicz granice
22)
q
1−
9n2 +1
n2 +4 ,
1)
limx→3 x2 ,
2)
limx→2
3)
limx→−2
4)
limx→1
x2 −1
x−1 ,
x3 −1
x2 −6x+5 ,
2
x2 ,
x2 −4
x2 +3x ,
26)
5n +1000
5n+1 +1 ,
5)
limx→1
27)
(n+2)3 −(n−2)3
(n+2)3 +(n−2)3 .
6)
limx→−1
7)
limx→2
x3 −3x−2
x3 +x−10 ,
8)
limx→0
(1+x)(1+2x)(1+3x)−1
,
x
9)
limx→1
10)
limx→1
11)
limx→0
11. Korzysta j¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach, wyznacz granic¦ ci¡gu:
1)
2)
3)
4)
√
n
√
n
2n
+
5+
3n ,
n3 ,
1
nπ
n sin 4 ,
n
3 +(−3)n
.
4n
12. Korzysta j¡c z równo±ci
lim
n→∞
1+
1
n
= e,
12)
1
1
lim 1 −
= ,
n→∞
n
e
13)
14)
wyznacz granice ci¡gów:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
1+
1 n+1
n
−
4
1−x4
(x2 −x−2)20
(x3 −12x+16)10 ,
16)
limx→0+
17)
limx→0−
18)
limx→0−
19)
limx→1+
|x|
x ,
|x|
x ,
1
x,
x
1−x ,
20)
limx→3+
x2 +6x
3−x ,
21)
limx→1
x2 −3x+2
x2 −1 ,
22)
limx→0
ctg x ,
23)
limx→1 x2 ,
24)
limx→ π4
tg 2x
tg ( π4 +x) ,
25)
limx→∞
1
x2 sin x
2x−1
27)
,
x6 −6x+5
(x−1)2 ,
limx→2
26)
3
3
1−x3
15)
1 2n+1
1+ n
,
2n+1
1
1 + 2n+1
,
n
1
,
1 + 5n
1 n
1 − 5n ,
1 2n
1 − 3n
,
(1+3x)2 −(1+2x)3
,
x2
√
limx→1 x+3−2
x−1 ,
√
√
limx→4 1+2x−3
,
x−2
√
√
x+1
limx→3 x+13−2
,
x2 −9
,
n+1
,
1 − n1
n−1
,
1 + n1
2n
1
1 + 2n
,
1 n
1 + 2n ,
1 5n
1 + 2n
,
n
1
,
1 + n+1
x2 +2x+1
x2 +4x+3 ,
x−1
,
x)
limx→∞ ln(ln
,
x
1
1
limx→0 x − sin x ,
28)
29)
limx→0
limx→1
30)
limx→1
31)
limx→0
32)
33)
34)
(1+x)(1+2x)(1+3x)−1
,
x
2)
f (x) = sin(πx), x0 = 4,
3)
f (x) =
3
1−x3
4
1−x4
−
,
4)
x6 −6x+5
(x−1)2 ,
ln(1+x)
,
x
ln x
limx→0+ ln sin x ,
2
limx→2 x x−5x+6
,
2 −4
14. Oblicz pochodne nast¦puj¡cych funkcji:
1)
f (x) = ax3 +
2)
f (x) =
3)
f (x) = x
4
x3 ,
√
3
b
x
f (x) = (2x + 1)2
√ 1
,
2−3x
f (x) =
2)
f (x) = 4
f (x) =
,
x 6= −1,
x ∈ R,
x√
,
1+ x
x0 = 4.
przedstaw w postaci wielomianu zmiennej
f (x) =
x2 −2x+3
x2 +2x−3 ,
14)
f (x) = u(x) v(x) w(x),
f (x) =
arcsin(x2 ),
f (x) = sin f (x) g(x) .
f (x) = x3 −
f (x) =
to»samo±ci:
funkcji
2
x,
x
e
x
16. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
x0
xn
n=0 n! ,
P∞
1)
ex =
2)
sin x =
P∞
(−1)n x2n+1
(2n+1)! ,
3)
cos x =
P∞
(−1)n x2n
(2n)! .
.
w punkcie o odci¦tej
x2 .
21. Korzysta j¡c ze wzoru Taylora wyka» nast¦puj¡ce
p
3
f 0 , f 00 , f 000
1 + x + x2
1 − x + x2
do wyra»enia zawiera j¡cego
1
cos4 x ,
15. Oblicz pochodne
(x +
1).
20. Napisz rozwini¦cie funkcji
f (x) =
16)
(x −
p(x) = 2(x − 2)3 − 3(x − 2)2 + 2(x − 2) − 1
√
13)
1)
1
x+1 ,
x
1)
f (x) = (3 + x) 3 − x,
f (x) =
2,
19. Wielomian
f (x) =
15)
√
na dwa sposoby,
2x−1
(x+1)3 ,
11)
2)
f (x) = ln(x + e), x0 = 0.
x0 =
1).
10)
1)
7)
2x
1+x2 ,
2
przedstaw w postaci wielomianu zmiennej
f (x) = (2x − 1)(x + 1)−3 ,
√
f (x) = x2 − 4,
√
f (x) = ax2 + bx + c,
17)
f (x) =
p(x) = x5 − 3x4 + 2x3 − 2x2 + 1
6)
12)
6)
x,
f (x) = (3x + 1)7 ,
9)
x0 =
π
4,
f (x) =
2√
,
x3 x
5)
8)
x0 = 1,
18. Wielomian
f (x) =
f (x) =
e tg x ,
5)
3)
+ c,
4)
7)
f (x) = arcsin
x0 = 1,
x
2,
17. Oblicz z denicji pochodn¡ funkcji
2x −22−x
(x−1)2 ,
limx→1−
πx
4 ,
tg
n=0
n=0
22. Wyznacz asymptoty krzywej
f
dla
f (x) = 3x2 + 7, x0 = 2,
4
1)
y=
x2 −3x+2
x3 −4x+3 ,
2)
y=
x2 −3x+2
,
x+3
3)
y=
4)
y=
5)
y=
2x2 +1
x−1 ,
speªnia równanie
2
3x +1
x2 −5x+6 ,
1
1
x − ex −1 .
x2 − (a + d) x + (ad − bc) = 0.
28. Oblicz wyznaczniki:
23. Zastosuj rozwini¦cie Laplace'a do trzeciego wiersza wyznacznika
3
0
−1
6
4 0
1 2
0 0
2 −1
2
3
5
0
i nast¦pnie, stosuj¡c wzór Sarrusa, oblicz jego
warto±¢.
24. Wykona j dziaªania na macierzach:
1)
2A + C ,
2)
A − 3C T ,
3)
B · A,
4)
B · CT ,
5)
A2 · B T

1 0 −2
 3 −1 2 ,
B
dla
A
=
1 1
0


1 2 −1
1 2 −1
3 −2 
, C =  0
0 3 1
1 0 1

25. Które z iloczynów:
niej¡ i dlaczego?

0
A= 3
1
−1
2
0
A2 B , AB 2 , BA2 , B 2 A
=
ist-
Oblicz te, które istniej¡, je±li


1
1
2 , B =  2
−2
−2

0
1 .
7
26. Dane s¡ macierze:

1
A= 2
2
Oblicz


0
1
3 , B =  0
1
2
2
−1
1


0
2
3 , C =  1
5
0
−1
0
3
B · C + [(DT − 2A) · D].
27. Wyka», »e macierz
a
c
b
d
5
0 0 3 7 1 ,
1) 0
6 4 8 0 5 2 2 1 ,
2) 0
3 0 0 1 0
1 2 2 1
0 1 3) −1 0 −2 0 ,
0 1
0 1 a 1 0 0 1 a 1 0 4)
0 1 a 1 ,
0 0 1 a 2 1 4 3 5 3 5 6 8 7 4 2 8 9 7 6 0 0 5) 2 3 5 4 0 0 ,
4 3 0 0 0 0 6 5 0 0 0 0 7 6 5 4 4 2 9 7 8 9 3 3 7 4 9 7 0 0 6)
5 3 6 1 0 0 ,
0 0 5 6 0 0 0 0 6 8 0 0 cos2 x 1 sin2 x 1 2
2
7) cos y 2 sin2 y 1 ,
2
3
z 31 sin
cos −2
3 2 z 1 2

2 , D =cos t 4 sin .t 1
0 2 1
0
a−b m−n r−s n − p s − t ,
8) b − c
c−a p−m t−r 1+a b
c
,
1+b c
9)
a
a
b
1+c 10)
11)
a2
a
1
b2
b
1
.
c2
c
1
2)
3 −2 −1
3 ,
2 −1 1 −1 1 0
2 1
−1 0
0 1
3)
−126; 2. 3; 4. a4 − 3a2 + 1;
5. 8; 6. 4; 7. 0; 8. 0;
9. 1 + a + b + c; 10. (a − b) (a − c) (b − c) .
Odpowiedzi. 1.
4)
29. Rozwi¡» równania:
1)
2)
1
2
3
4
1
3−x
3
4
x
1
1
1 1
x 1
1 x
Odpowiedzi.
1.
1
3
3−x
4
1
4
−1
5−x
5)
= 0,
6)
= 0.
0, 1; 2. −2, 1.
7)
30. Rozwi¡» podane ukªady Cramera:
1)
2)
3)
4)
x+y =4
,
2x − y = 2
8)

 x+y+z =4
2x − y + z = 3
,

−x + 2y − z = 2

 x+y+z =0
3x − y + 2z = 0 ,

3x + 4y − 5z = 0

x+y+z+t=4



−x + y + z + t = 2
.
−x − y + z + t = 0



−x − y − z + t = −2
Odpowiedzi.
1.
x = 2, y = 2;
z = −1;
3. x = y = z = 0;
4.
9)
10)
2.
11)
x = 3 y = 2,
x = y = z = t = 1.
12)
31. Rozwi¡» ukªady równa«:
1)

 2x + y − z + t = 1
y + 3z − 3t = 1

x + y + z − t = 1.
13)
6

x − 2y + 4z = 3



2x + 8y − 6z + t = 5
−2x + 2y − 3z + 3t = 0



x − y + 2z = 2

 4x − 6y + 2z + 3t = 2
2x − 3y + 5z + 75t = 1

2x − 3y − 11z − 15t = 1

 3x − 5y + 2z + 4t = 2
7x − 4y + z + 3t = 5

5x + 7y − 4z − 6t = 3

x + y + 3z − 2t + 3u = 1



2x + 2y + 4z − t + 3u = 2
3x + 3y + 5z − 2t + 3u = 1



2x + 2y + 8z − 3t + 9u = 2

x + 2y + 3z − 2t + u = 4



3x + 6y + 5z − 4t + 3u = 5
x + 2y + 7z − 4t + u = 11



2x + 4y + 2z − 3t + 3u = 6

x+y+z =1



x + 2y + 3z = 1
2x + 3y + 4z = 2



3x + 2y + z = 3

2x + y + z = 1



3x − y + 3z = 2
x+y+z =0



x−y+z =1

4x + 3y + 5z + 7t = 2



2x − y + z + 3t = 4
 x + 2y + 2z + 2t = −1


3x + y + 3z + 5t = 3

 x+y =4
2x − y = 2
,

−x + 3y = 4

 x+y =4
2x − y = 2 ,

−x + y = 4

 x+y =2
−2x + y = 0 ,

−4x + y = 0

 2x − y = −3
6x − 3y = −9 ,

4x − 2y = −6
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)

 x + y + 2z = 4
x+y−z =1
,

2x + 2y + z = 5

 x + y + 2z = 4
x+y−z =1
,

2x + 2y + z = 6

 x+y+z =0
3x + 4y − 4z = 0 ,

2x + 3y − 5z = 0

 2x + y + z − t = 0
x − 2y + z + 2t = 0 ,

3x − y + 2z + t = 0

2x + y + z − 2 = 0



3x + y + 3z − 2 = 0
,
x+y+z =0



x−y+z−1=0

x + y + 2z = 4



x−y+z =1
,
2x + y − z = 2



3x + 2y + z = 6

x − y − z − t = −1



2x − y + 2z − t = 2
,
x + 3z − 2t = 1



4x − 2y + 4z − 4t = 2

x − y − z − t = −1



2x − y + 2z − t = 2
,
x + 3z = 3



4x − 2y + 4z − 2t = 4

x + 2y + z − 3t = 1



2x − y + z + t = 2
,
x + 2y + z − 3t = 3



2x − y + z + 3t = 5
x+y+z =2
.
y + z + 2t + v = 1
23. x = x, y = −x − z + 2,
z = z, t = t, v = x − 1 − 2t.
ukªad sprzeczny;
32. Rozwi¡» równania macierzowe:
1)
33. Oblicz rz¡d macierzy:
1)
x = 2, y = 2;
12. ukªad sprzeczny;
y = 2x + 3
14.
1
 2
3
4
5
6

7
8 
9

1
1
2

1
2 
1
1
 1
1
3)

1
 2
3
Odp: 2)
34. Znajd¹
1)
2)
11.
ukªad
13. x = x,
x = −y + 2, y = y, z = 1; 15.
ukªad sprzeczny ; 16. x = −8z, y = 7z, z = z;
5
1
17. x ∈ R, y = − x + t, z = − x, t = t; 18.
3
3
ukªad sprzeczny ; 19. x = 1, y = 1, z = 1; 20.
x = −3z + 3, y = −4z + 3, z = z, t = 1; 21.
x = −3z + 3, y = y, z = z, t = 4 − 4z − y, 22.
sprzeczny;

2)
3)
Odpowiedzi. 10.
T
3 4
2
· X − 2
−2 1
4
5 −5
,
4 −8
4)
5)
7
3,
3)
A−1 ,

4
5
6
0
2
4

7
4 
1
2
je»eli:

cos ϕ sin ϕ 0
A =  − sin ϕ cos ϕ 0  ,
0
0 1


cos ϕ 0 sin ϕ
0
1
0 ,
A=
− sin ϕ 0 cos ϕ


0 1 1
A =  1 0 1 ,
1 1 0


1 2 0
A =  3 5 0 ,
0 0 1


1 1 3
A =  0 1 1 ,
0 0 2
−1
3
=

6)
7)
8)
0
A= 0
1

1
 3
A=
 0
0

0
 0
A=
 6
2
0
1
3

1
2 ,
1
2
5
0
0
0
0
6
2
0
0
4
1
3
1
0
0
3
−3 2
, 3. 41
2
−1 1
1
3 −1
.
0 −2
1

0
0 
,
4 
1

5
2 
.
0 
0

1.

jakiej
warto±ci
,
4.
1
4
parametru
6
4
a
1
2
,
5.
równanie
macierzowe

a
 2
0


0
0
0 X =  2
a
0
3
1
0
3
2
0

0
0 
a
ma rozwi¡zanie?
37. Rozwi¡» ukªady równa« odwracaj¡c macierz:
AT; 3.
−1
1
1
−5
2 0
1 
1 −1
1  ; 4.  3 −1 0  ; 5.
2
1
1 −1
0
0 1




1 −1 −1
5 −3 1
 −2
 0
1 0 ;
1 − 12  ; 6.
1
1
0 0
0
0
2 

−5
2
0
0
 3 −1
0
0 

;
8.
7.
1
 0
0 −2
2 
0
0
1 −3


0
0 − 12
2
 0
0
1 −3 

.
 2 −5
0
0 
−1
3
0
0
Odpowiedzi.
AT ;
36. Dla
2
0
2.
1)


x +
3x +

2x +
+
+
+
3z
2z
z
=
=
=
14
11
11
−
y
+
y
− 3y
+
−
−
z
2z
z
= 1
= 0
= 2
2)

 2x
3x

x
38. W
zale»no±ci
od
parametru
a
podaj
warunki
rozwi¡zywalno±ci ukªadu:
x+y+z =6
,
x + ay + az = 2
x + y = ax
,
−x + y = ay
1)
2)
35. Rozwi¡» równanie macierzowe:
2 3
2
0 1
1)
X=
,
1 4
1 −5 3
1 3
1 1
2) X
=
,
2 5
1 2
T 2 −1
1 0
1 4
,
3)
X
=
0
2
2 2
1 2
2 1
1 2
4)
+X =
X,
2 0
2 0

 
T
0 4 3
−1
1
1 1  =  7 −2  .
5) X  0
1 0 0
6 −2
1
3 −1
Odpowiedzi. 1.
,
0 −2
1
2y
y
3y
3)
4)

 ax + 2y + 2z = −1
2x − ay − z = −1 ,

2x + y − z = a
 2
 a x + 4y + 9z = 2a
ax + 2y + 3z = a
,

x+y+z =1
Odpowiedzi.
1.
rozwi¡za« dla
a 6= 1,nie ma rozwi¡za« dla a = 1.
2.
ukªad ma niesko«czenie wiele
ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie dla
a ∈ R. 3. ukªad ma dokªadnie jedno rozwizanie
dla a 6= −1 i a 6= −4, ma niesko«czenie wiele
rozwiz
a« dla a = −1, nie ma rozwiz
a« dla a =
−4; 4. ukªad ma dokªadnie jedno rozwizanie
dla a 6= 2 i a 6= 3, ma niesko«czenie wiele
rozwi¡za« dla a = 2, nie ma rozwi¡za« dla a = 3.
2.
8
39. Niech
a = (1, 1, 1), B = (1, 1, 3), C = (3, 3, 2).
~ i AC
~ .
AB
2)
Oblicz k¡t mi¦dzy wektorami
52. Poka», »e pole równolegªoboku zbudowanego na
przek¡tnych danego równolegªoboku jest równe
40. Oblicz pole tró jk¡ta, którego wierzchoªkami s¡
punkty
podwojonemu polu danego równolegªoboku.
A = (1, 2, 3), B = (3, 1, 0), C = (0, 0, 1).
53. Wyprowad¹
A = (1, 3, 0), B = (2, 4, 5),
D = (0, 1, 2) nale»¡ do jednej
41. Sprawd¹, czy punkty
C = (3, 5, 9)
i
P = (−2, 2), Q = (4, −2), R = (0, 3).
twiedzenie
Wskazówka:
sinusów.
Wykorzysta j fakt, »e warunkiem, aby niewspóªli-
~a, ~b, ~c tworzyªy trójk¡t jest ~a +~b +
~
~c = 0. Nast¦pnie wykorzystaj iloczyn wektorowy.
nowe wektory
pªaszczyzny.
42. Poka», »e ±rodki boków dowolnego czworok¡ta s¡
54. Oblicz
wierzchoªkami równolegªogoku.
ob j¦to±¢
równolegªo±cianu
o
wierz-
O = (0, 0, 0), P = (3, 4, −3), Q =
(6, 2, 3), R = (0, −1, 5).
choªkach
43. Poka», »e przek¡tne równolegªoboku przecina j¡
si¦ w poªowie.
P = (1, 2, 1), Q = (0, −1, 5),
R = (1, 1, 2), S = (3, 1, 0) le»¡ w jednej
55. Wyka», »e punkty
44. Dla jakich warto±ci parametrów
~a = (4, −3, 6k), ~b = (2m, 1, −4)
m
i
k
wektory
pªaszczy¹nie i oblicz pole czworoboku o wierz-
s¡ równolegªe?
choªkach
P, Q, R, S.
45. Zna jd¹ k¡t mi¦dzy wektorami:
1)
2)
3)
P = (0, 1, 2), Q = (3, 1, −1),
R = (4, 1, 0), S = (−1, 1, 5) s¡ wierzchoªkami
56. Wyka», »e punkty
√ √ ~a = − 12 , 23 , ~b = − 12 , − 23 ,
√
√ √
√ ~a = (1, 1) , ~b = − 2 + 6, 2 + 6 ,
√ √ ~a = 1, − 2, 1 , ~b = −1, − 2, 1 .
46. Dla jakiej warto±ci parametru
(1, 2, 3),
~b = (λ, −2, 2 + λ)
λ
wektory
trapezu i policz jego wysoko±¢.
57. Wyka»,
ABC
2)
A = (5, 4, 1), B = (3, 3, 2), C = (1, 6, −5),
prostej
zbu-
danego
podwojonej
przechodz¡cej
P = (1, −1, 1), Q = (−1, 2, 1),
2)
P = (1, −1), Q = (−1, 2).
równanie
kierunkowe
wektora
~a
=
~a = (2, −1, 1)
~
wektora b = (1, 2, 1).
49. Zna jd¹ rzut prostok¡tny wektora
m
~
prostej
 P = (2, −1, 2)
 x=1−t
y = −1 + 2t .
l:

z =1+t
(1, −1, 2).
60. Napisz
przez
równanie
przechodz¡cej
przez
i równolegªej do prostej
pªaszczyzny
przechodz¡cej
przez:
prostopadªy do
1) punkty
P = (0, 0, 2), Q = (4, 0, 1), R =
(2, 1, 2),
wektorów
~a = (2, −1, 1), ~b = (1, 2, −1).
2)
51. Oblicz pole trójk¡ta o wierzchoªkach:
1)
równania
punkt
50. Zna jd¹ wektor jednostkowy
równa
1)
59. Napisz
jest prostok¡tny.
na o± o kierunku
jest
±cian
punkty:
A = (5, 4), B = (3, 2), C = (2, −5),
cosinusy
równolegªo±cianu
przek¡tnych
ob j¦to±ci danego równolegªo±cianu.
58. Napisz
1)
48. Zna jd¹
ob j¦to±¢
na
równolegªo±cianu
~a =
s¡ wza jemnie prostopadªe?
47. Sprawd¹, czy trójk¡t
»e
dowanego
P = (3, 4, −3), Q = (6, 2, 3), R = (0, −1, 5),
9

 x=2+t
y = −1 + 2t
prost¡ l :

z =1−t
(2, −1, 0),
i punkt
P =
l1
3) proste

 x=2+t
y = −1 + 2t

z =1−t
:
13)
,
l2
:
14)

 x = 2s
y = 4s
,

z = −2s
l1
4) proste
15)
16)

 x=2+t
y = −1 + 2t

z =1−t
:
,
l2
17)
:
18)

 x=1+s
y = 1 − 2s
.

z = −1 + 2s
61. Czy
l2
przez
19)
20)
l1
proste

 x=1+s
y = 1 − 2s

z = 5 + 2s
:
:

 x=2+t
y = −1 + 2t

z =1−t
mo»na
21)
22)
,
23)
24)
poprowadzi¢
25)
pªaszczyzn¦?
62. Przedstaw
l
prost¡
:
26)
3x − 2y + 5z = 1
2x − y + 2z = 2
27)
w postaci parametrycznej.
28)
29)
63. Oblicz caªki]
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
R
R
√
√
3
x−2√ x2 +1
4 x
R a
x
R a
x
R
30)
(3 − x2 )3 dx,
+
+
a2
x2
2
a
x2
+
+
dx,
3
a
x3
3
a
x3
31)
32)
dx,
33)
da,
34)
35)
(1−x)3
√
x3x
dx,
p √
R
1 − x12
x x dx,
R 2x+1 −5x−1
dx,
10x
R x2
1+x2 dx,
R√
1 − sin 2x dx,
R √1+x2 +√1−x2
√
dx,
1−x4
√
√
R x2 +1− x2 −1
√
dx,
x4 −1
R dx
3
√
3
x
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
,
43)
10
R √
√
( 3 x + 1)(x − x + 1) dx,
R (1−x)2
√
dx,
x x
√
4
R √
3 x−
3
√ x dx,
x
R (1+√x)3
√
dx,
3 2
x
R√
8 − 3x dx,
R p
5
(8 − 3x)6 dx,
R 2√
x 3 x3 + 5 dx,
R x3 dx
√
3
R
,
x4 +2
cos x
dx,
sin3 x
3
5
R
cos x sin x dx,
R
(arctg x)2
1+x2
R
R
R
dx,
dx √
,
(arcsin x)4 1−x2
√
ln x
x dx,
dx
x ln x ,
R
cos(1 − 3x) dx,
R
dx
3x+4 ,
R
x dx
1−x2 ,
R
R
R
tg
x dx,
sin 2x
1+cos2 x
sin x
e
dx,
cos x dx,
2
R
xex dx,
R
x2 e−x dx,
R
dx
4+x2 ,
R
dx
5+2x2 ,
R
√ dx
,
4−9x2
3x−1
x2 +9 dx,
2x−1
x−2 dx,
3+x
3−x dx,
R
R
R
R
R
R
3
x dx
2x+1 ,
x+2
2x−1 dx,
x2 +1
x2 −1
dx,
44)
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
R
R
R
R
R
R
R
dx
4x2 −9 ,
dx
x2 +2x+3 ,
dx
x−x2 −2,5 ,
74)
75)
76)
dx
4x2 +4x+5 ,
√ dx
,
1−(2x+3)2
dx
,
4x−3−x2
dx
√
,
8+6x−9x2
2
√
R
x sin 3x dx,
R
xarctg x dx,
R
e−3x sin 2x dx,
R
x3 e−2x dx,
R
√x
1+x2
3
3
dx,
R
x sin x dx,
R
(arctg x)2 x dx,
R
ln3 x
x2
2
dx,
R
ln x dx,
R
x cos2 x dx,
R
√
R
(3x+1) dx
√
,
x2 +2x+2
R
(2−5x) dx
√
,
4x2 +9x+1
R
(2x2 −5) dx
x4 −5x2 +6 ,
2
x+2
dx
x−1
x ,
R
dx
5−2x+x2
dx,
R
x2 dx
(x+2)2 (x+4)2 ,
R
dx
1+x3 ,
R
x2 dx
1−x4 ,
dx
(x+1)2 (x2 +1) ,
R
R
(2x2 −3x−3) dx
(x−1)(x2 −2x+5) ,
R
(2x2 −3x) dx
√
,
x2 −2x+5
R
R
3
√x −x+1
x2 +2x+2
3
sin x
cos5 x
dx,
dx,
11
R
cos5 x sin4 x dx,
R
cos3 x dx,
R
sin4 x dx.