Logarytm i jego własności. Funkcja logarytmiczna. Równania i

Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
rok ak. 2009/2010
Automatyka i Robotyka, stacjonarne, sem. I
Lista IX.
Logarytm i jego własności. Funkcja logarytmiczna.
Równania i nierówności logarytmiczne.
9.1. Oblicz:
(a) log2 16,
(e) log 1 9,
(i) log 1 18 ,
(b) log2 14 ,
(f ) log27 3,
(j) log 2 2,25,
(c) log3 27,
(g) log25 5,
(o) log6 1,
(d) log10 0,01,
(h) log64 16,
(k) log√2 2,
√
(l) log5 5 5,
(a) log 1 x = −3,
(e) log 1 x = −2,
(i) logx 64 = 3,
(m) logx
(b) log2 x = 5,
(f ) log0,01 x = −1,
(j) logx 8 = 21 ,
(n) logx 0,125 = −2,
(c) log√2 x = 4,
(g) log9 x = 12 ,
(k) logx
(d) log3 x = −3,
(h) log16 x = − 14 ,
(l) logx 4 = −2,
(p) logx 1 = 5.
(a) 2log2 32 ,
(c) 4log4 3 ,
(e) 49log7 2 ,
(g) 23−log2 3 ,
(b) 3log3 5 ,
(d) 102+2 log 7 ,
(f ) 16log2 3 ,
(h) 81−log2 3 .
3
(m) log √2 8,
4 √
(n) log 1 3 3 3,
2
3
9
(p) log11 11.
9.2. Znajdź liczbę x, jeżeli:
2
2
1
81
= 4,
1
8
= 32 ,
(o) logx 625 = 34 ,
9.3. Oblicz:
9.4. Wyznacz dziedzinę funkcji (p >0, p 6= 1):
(a) y = logp (2x + 1),
(d) y = logp (x2 + 1),
(g) y = logp (x2 + 2x + 3),
(b) y = logp (1 − x),
(e) y = logp |x|,
(h) y = logp (2x − 8),
(c) y = logp (x2 ),
(f ) y = logp (x2 − 1),
(i) y = logp
(j) y = log2 [1 − log 12 (x2 − 5x + 6)],
(k) y =
q
x+3
,
2−x
log0,1 (2x − 1) − log0,1 (5 − 3x).
9.5. Naszkicuj wykresy funkcji:
(a) y = log2 |x|,
(c) y = log2 (x − 2),
(e) y = log3 (1 − x),
(b) y = | log2 x|,
(d) y = 2 + log2 x,
(f ) y = log 1 x3 .
2
Dla każdej z tych funkcji podaj: dziedzinę, zbiór wartości i przedziały monotoniczności.
9.6. Rozwiąż graficznie równanie:
(a) log2 x = −2x,
(b) log2 x = −x2 + 1,
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
(c) log 1 x = −x3 + 3.
2
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
rok ak. 2009/2010
Automatyka i Robotyka, stacjonarne, sem. I
9.7. Określ znak liczby:
(a)
log3 5−log5 3
,
log0,3 4−log0,3 3
(c) log5 21 + log2
(b)
1
3
log4 3−log2 5
,
log0,5 6+log0,5 2
· log 1 5 − log 1 0,5 .
2
2
9.8. Oblicz bez użycia tablic:
(a) log√6 3 · log3 36,
(c) log 5 · log 20 + (log 2)2 ,
(b) log√3 8 · log4 81,
(d) log9 5 · log25 27.
9.9. Korzystając z definicji logarytmu rozwiąż równanie:
(a) log4 [log3 (log2 x)] = 0,
(b) log2 [log3 (log2 x)] =
(c) log(x−2) 9 = 2,
1
,
2
(d) log2 (x2 + 6x + 17) = 3.
9.10. Rozwiąż nierówności:
(a) log2 (x + 1) > 3,
(d) log 1 |x − 3| < −2,
(b) log 1 (2x − 5) < −4,
(e) logx 4 < 2,
(c) log3 (x2 + 2) > 3,
(f ) logx
4
2
2x−1
x−1
> 1.
9.11. Rozwiąż równania:
(a) log4 {2 log3 [1 + log2 (1 + log2 x)]} = 12 ,
log x
(b) 3
=
1
,
27
(c) log(3x + 3) + log(x + 8) = 2,
(d) log(3x − 91) − log(30 − x) = 1.
9.12. Rozwiąż równania:
(a)
2 log x
log(5x−4)
(e) log(2x + 14) + log(x + 12) = 3,
= 1,
(b) 2 log x + log(6 − x2 ) = 0,
(f )
(c) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8,
(g)
1
2
(d) log(x − 5) − log 2 = log(3x − 20),
log 2x
= 2,
log(4x−15)
log x
= −1,
log(x+1)
(g) log |2x − 3| − log |3x − 2| = 1.
9.13. Rozwiąż nierówności:
1
log x
1
1−log x
(a) log 1 [log4 (x2 − 5)] > 0,
(e)
(b) logx (x3 − 3) − logx (x − 1) > 1,
(f ) |3 log x − 1| < 2,
3
(c) 2 log 1 x
2
(d)
2
log(35−x3 )
log(5−x)
− 9 log 1 x + 4 > 0,
(b)
(h) log(2x−3) (3x2 − 7x + 3) < 2.
> 3,
1
4
+ 1+log
= 3,
5−4 log x
x
2
3
log3 x − log3 x + 2 =
log x
(c) x
> 1,
(g) log(2x−3) x > 1,
2
9.14. Rozwiąż równania:
(a)
+
√
(d) 4 − log x = 3 log x,
(e) log16 x + log4 x + log2 x = 7,
0,
(d) xlog x + 10x− log x = 11.
= 100x,
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17