Modele niezawodnościowe elementów i systemów wykorzystujące
Transkrypt
Modele niezawodnościowe elementów i systemów wykorzystujące
Modele niezawodnoś niezawodnościowe elementó elementów i systemó systemów wykorzystują wykorzystujące teorię teorię procesó procesów stochastycznych 1. Stany niezawodnoś niezawodnościowe systemu, graf stanó ó w stan 2. Stan systemu jako proces stochastyczny dr inż inż. Jacek Jarnicki 2 Element 1 w chwili począ początkowej (t = 0) jest sprawny, dział działa i po upł upływie pewnego czasu, któ którego rozkł rozkład okreś określa funkcja R1(t), ulega uszkodzeniu. W chwili uszkodzenia elementu 1 zostaje włą czony do pracy element 2, dział włączony działa on przez czas, któ którego rozkł rozkład okreś określa funkcja R2(t). Po uszkodzeniu elementu 2, system staje się się niesprawny. W czasie gdy pracuje element 1 element 2 nie moż może się się uszkodzić uszkodzić. S1 W grafie wę węzły (kolorowe kó kółka) reprezentują reprezentują stany niezawodnoś niezawodnościowe, natomiast łuk (biał (biała strzał strzałka) zwany przejś przejściem odpowiada zdarzeniu, w tym przypadku uszkodzeniu elementu. Moż Można wyró wyróżnić nić nastę następują pujące stany niezawodnoś niezawodnościowe: Przykł Przykład 2: 2: System nienaprawialny (rezerwa zimna) S0 - element 1 pracuje, S1 - element 2 pracuje, element 1 uszkodzony, S2 - oba elementy uszkodzone. R2(t) R1(t) dr inż inż. Jacek Jarnicki R(t) S0 - element sprawny S1 - element uszkodzony Proces zmian stanó stanów elementu moż można przedstawić przedstawić przy pomocy nastę następują pującego grafu uszkodzenie Przykł Przykład 1: 1: Element nienaprawialny Element w chwili począ początkowej (t = 0) jest sprawny, dział działa i po upł upływie pewnego czasu, któ którego rozkł rozkład okreś określa funkcja R(t), R(t), staje się się niesprawny. Podczas obserwacji zachowania się się elementu moż można wyró wyróżnić nić dwa stany niezawodnoś niezawodnościowe: 3. Wyznaczanie charakterystyk procesu stochastycznego, procesy Markowa 4. Algorytm obliczenia prawdopodobień prawdopodobieństw dla procesu Markowa S0 1. Stany niezawodnoś niezawodnościowe systemu, graf stanó stanów 3 dr inż inż. Jacek Jarnicki 4 1 Proces zmian stanó stanów elementu moż można przedstawić przedstawić przy pomocy bardzo prostego grafu: S0 uszkodzenie el 1 S1 uszkodzenie el 2 Element w chwili począ początkowej (t = 0) jest sprawny, dział działa i po upł upływie pewnego czasu, któ którego rozkł rozkład okreś określa funkcją funkcją F(t), F(t), staje się się niesprawny. Rozpoczyna się się naprawa, któ której czas trwania opisany jest zmienną zmienną losową losową o dystrybuancie G(t). G(t). Po zakoń zakończeniu naprawy element znowu staje się się sprawny i cykl powtarza się się. Stany niezawodnoś ś ciowe elementu moż ż na okreś niezawodno mo określić lić nastę następują pująco: S2 Stan S0 jest stanem począ początkowym, stan S2 koń końcowym. Przykł Przykład 3: 3: Element naprawialny F(t), F(t), G(t) G(t) S0 - element sprawny S1 - element uszkodzony (naprawiany) F(t) F(t) – dystrybuanta rozkł rozkładu czasu życia elementu, Proces zmian stanó stanów elementu moż można w tym przypadku przedstawić przedstawić przy pomocy grafu G(t) G(t) – dystrybuanta rozkł rozkładu czasu naprawy elementu, dr inż inż. Jacek Jarnicki 6 W chwili począ początkowej (t (t = 0) 0) dział działają ają oba elementy. Dalej każ każdy z nich pracuje tak jak element naprawialny opisany w poprzednim przykł przykładzie. System jest sprawny, gdy sprawny jest co najmniej jeden element. uszkodzenie S0 dr inż inż. Jacek Jarnicki 5 S1 naprawa W grafie stan S0 jest stanem począ początkowym, lecz w odró odróżnieniu od dwó dwóch poprzednich przypadkó przypadków nie wystę występuje stan koń końcowy. Przykł Przykład 4: 4: System naprawialny (ró (równoległ wnoległy) F1(t), G1(t) Stany niezawodnoś niezawodnościowe elementu moż można opisać opisać tak: S0 S1 S2 S3 - oba elementy sprawne, element 1 sprawny, element 2 uszkodzony, element 2 sprawny, element 1 uszkodzony, oba elementy uszkodzone Natomiast graf stanó stanów wyglą wygląda tak: F2(t), G2(t) dr inż inż. Jacek Jarnicki 7 dr inż inż. Jacek Jarnicki 8 2 S1 uszk. e2 napr. e2 2. Stan systemu jako proces stochastyczny uszk. e1 Przedstawione w poprzednich przykł przykładach grafy stanó stanów niezawodnoś niezawodnościowych opisywał opisywały jedynie "logikę "logikę" dział działania systemó systemów. W modelach nie był był uwzglę uwzględniony czas. Jeś Jeśli dał dało by się się przeprowadzić przeprowadzić obserwację obserwację zmian stanu przykł przykładowego systemu (np (np.. z poprzedniego przykł przykładu) w czasie moż można by zaobserwować zaobserwować wykres podobny do pokazanego niż niżej. napr. e1 S0 S3 uszk. e1 napr. e1 uszk. e2 S2 napr. e2 stan s(t) W grafie ukryte został zostało dodatkowe zał założenie, mó mówi ono że w stanie S0 nie mogą mogą uszkodzić uszkodzić się się jednocześ jednocześnie oba elementy a w stanie S3 oba nie mogą mogą być być jednocześ jednocześnie naprawione. S3 S2 S1 S0 dr inż inż. Jacek Jarnicki 10 Definicja 1 • Wykres pokazuje jeden wynik obserwacji zmiany stanu systemu w czasie. Nieprzeliczalny zbió zbiór zmiennych losowych S(t), S(t), opisują opisujących stan systemu w chwili t nazywamy procesem stochastycznym. • Okresy czasu jakie system przebywa w poszczegó poszczególnych stanach i przejś przejścia pomię pomiędzy stanami są są losowe. Definicja 2 • Jeś Jeśli dokonamy kolejnej obserwacji zarejestrujemy prawdopodobnie inny wykres. • W danej chwili czasu t system znajduje się się w jednym ze stanó cym do skoń stanów należą należącym skończonego zbioru stanó stanów. Zarejestrowany przebieg czasowy s(t), s(t), zmiany stanu systemu nazywany realizacją realizacją procesu stochastycznego. Cel dalszych rozważ rozważań ( wyjaś wyjaśniony na przykł przykładzie): • Jeś Jeśli dla wielu obserwacji wykresu bę będziemy badali stan systemu w ustalonej chwili czasu t , bę będzie on zmienną zmienną losową losową. dr inż inż. Jacek Jarnicki t dr inż inż. Jacek Jarnicki 9 Dla systemu ró równoległ wnoległego, naprawialnego o dwó dwóch elementach i czterech stanach niezawodnoś niezawodnościowych S0, S1, S2, S3 , aby w peł pełni okreś określić lić proces stochastyczny opisują opisujący zmiany stanu systemu w czasie, należ należy wyznaczyć wyznaczyć cztery funkcje 11 dr inż inż. Jacek Jarnicki 12 3 3. Problem wyznaczenia charakterystyk procesu stochastycznego, Procesy Markowa P0 ( t ) = Pr { S ( t ) = S0 } S1 uszk. e2 napr. e2 P1 ( t ) = Pr { S ( t ) = S1 } uszk. e1 napr. e1 S0 S3 uszk. e1 napr. e1 uszk. e2 S2 P2 ( t ) = Pr { S ( t ) = S 2 } napr. e2 Zmiany stanu procesu moż można w ogó ogólnej postaci opisać opisać przy pomocy ukł układu ró równań wnań Pr {S ( t + ∆t ) = S j } = P3 ( t ) = Pr { S ( t ) = S 3 } i=n = ∑ Pr { S ( t ) = S i } Pr {S ( t + ∆t ) = S j S ( t ) = Si } (*) przy czym i =0 P0 ( t ) + P1 ( t ) + P2 ( t ) + P3 ( t ) = 1 dr inż inż. Jacek Jarnicki j = 0 ,1,2 ,..., n S1 napr. e2 Pi ( t ) = Pr{ S ( t ) = Si } Pij ( t ,t + ∆t ) = Pr {S ( t + ∆t ) = S j S ( t ) = S i } oraz jeś jeśli zał założyć, że prawdopodobień prawdopodobieństwa Pij(t, (t, t+Δ t+Δt) nie zależą zależą od chwili czasu t a jedynie od dł długoś ugości przedział przedziału Δt, (mó (mówimy wtedy o braku pamię pamięci S3 uszk. e1 napr. e1 uszk. e2 S2 napr. e2 to procesu), to moż możemy napisać napisać, że Pr { S ( t + ∆t ) = S 3 } = Pij ( t ,t + ∆t ) = Pij ( ∆t ) = Pr { S ( t ) = S1 }Pr { S ( t + ∆t ) = S 3 S ( t ) = S 1 } + + Pr { S ( t ) = S 2 }Pr { S ( t + ∆t ) = S 3 S ( t ) = S 2 } dr inż inż. Jacek Jarnicki i = 0 ,1,2 ,...n i uszk. e1 napr. e1 S0 14 Jeś Jeśli wprowadzić wprowadzić oznaczenia Dla przykł przykładu jeś jeśli graf stanó stanów systemu wyglą wygląda tak (system ró równoległ wnoległy z dwoma elementami) uszk. e2 dr inż inż. Jacek Jarnicki 13 i dalej , podstawiają podstawiając Pi(t) (t) i Pij(t, (t, t+Δ t+Δt) do ró równania (*) otrzymujemy prostszą prostszą jego formę formę w postaci 15 dr inż inż. Jacek Jarnicki 16 4 i =n Jest ono moż możliwe do przeprowadzenia przy zał założeniach, że istnieją istnieją granice wyraż wyrażeń Pj ( t + ∆t ) = ∑ Pi ( t )Pij ( ∆t ) i =0 Pozostaje do rozwią rozwiązania problem, jak a powyż powyższego równania wyliczyć wyliczyć funkcje Pi(t) (t) ? Pierwszym krokiem jest przekształ przekształcenie ró równania do postaci i =n Pj ( t + ∆t ) − Pj ( t ) P ( ∆t ) 1 = − Pj ( t ) + ∑ Pi ( t ) ij ∆t ∆t ∆t i =0 lim j = 0 ,1,2 ,...,n 18 Przykł Przykład 5 Dla naprawialnego systemu ró równoległ wnoległego zbudowanego z dwó dwóch elementó elementów, opisanego w przykł przykładzie 4 graf stanó stanów systemu moż można zmodyfikować zmodyfikować do postaci pokazanej na nastę następnym rysunku. Modyfikacja polega na przypisaniu poszczegó poszczególnym łukom i wę węzłom grafu odpowiednich intensywnoś intensywności przejść przejść.. Pi 0 ( ∆t ) + Pi1 ( ∆t ) + ... + Pin ( ∆t ) = 1 któ który moż można interpretować interpretować tak, że w jeś jeśli system znajduje się się w stanie Si to w przedziale czasu Δt albo w tym stanie pozostanie albo przejdzie do innego stanu. Jeś Jeśli po pewnym przekształ przekształceniu poprzedniej zależ zależnoś ności, wykonać wykonać przejś przejście graniczne q11 P ( ∆t ) P ( ∆t ) − 1 P ( ∆t ) lim i 0 + ... + ii + ... + in =0 ∆t →0 ∆t ∆t ∆t S1 q01 q00 otrzymuje się się zwią związek pomię pomiędzy intensywnoś intensywnościami przejść ść dla stanu S przej i ∑ qij = 0 Pii ( ∆t ) − 1 = qii ∆t dr inż inż. Jacek Jarnicki 17 Ponadto oczywisty jest związek, j =n lim ∆t →0 i =n d Pj ( t ) = ∑ qij Pi ( t ) dt i =0 j = 0 ,1,2 ,...,n dr inż inż. Jacek Jarnicki i≠ j Liczby qij zwane są są intensywnoś intensywnościami przejś przejścia ze stanu i do stanu j, natomiast qii intensywnoś intensywnościami pozostawania w stanie i. Po wykonaniu przejś przejścia granicznego otrzymuje się się ostatecznie zwią związek mię między prawdopodobień prawdopodobieństwami Pj(t) (t) w postaci ukł układu liniowych ró równań wnań różniczkowych Kolejnym etapem natomiast wykonanie obustronnego przejś przejścia granicznego Pj ( t + ∆t ) − Pj ( t ) = ∆t →0 ∆t i=n P ( ∆t ) 1 = lim − Pj ( t ) + ∑ Pi ( t ) ij ∆t →0 ∆t i =0 ∆t Pij ( ∆t ) = qij ∆t →0 ∆t lim q02 q20 i = 0 ,1,2 ,...,n q31 q10 S0 q13 S3 q23 S2 q33 q32 q22 j =0 dr inż inż. Jacek Jarnicki 19 dr inż inż. Jacek Jarnicki 20 5 któ która odpowiada ukł układowi ró równań wnań różniczkowych d P0 ( t ) = q00 P0 ( t ) + q10 P1( t ) + q20 P2 ( t ) dt d P1( t ) = q01P0 ( t ) + q11P1( t ) + q31P3 ( t ) dt d P2 ( t ) = q02 P0 ( t ) + q22 P2 ( t ) + q32 P3 ( t ) dt d P3 ( t ) = q13 P1( t ) + q23 P2 ( t ) + q33 P3 ( t ) dt q20 + q22 + q23 = 0 q10 + q11 + q13 = 0 q31 + q32 + q33 = 0 Zaprezentowana w przykł przykładzie forma zapisu ukł układu ró równań wnań różniczkowych jest dość dość niewygodna. Moż Można ją ją znacznie uproś uprościć cić posł posługują ugując się się zapisem macierzowym. Jeś Jeśli wprowadzić wprowadzić wektor P( t ) = [P0 ( t ), P1 ( t ), P2 ( t ),P3 ( t )] oraz macierz ponadto zachodzą zachodzą nastę następują pujące zwią związki pomię pomiędzy intensywnoś intensywnościami przejść przejść dr inż inż. Jacek Jarnicki q00 + q01 + q02 = 0 q00 q 10 Q= q20 0 q02 0 q22 q32 0 q13 q23 q33 dr inż inż. Jacek Jarnicki 21 to zapisany powyż powyżej ukł układ ró równań wnań różniczkowych przyjmuje postać postać q01 q11 0 q31 22 W ogó ogólnoś lności model procesu zapisany jest przy pomocy trzech ró równań wnań P′( t ) = P( t ) × Q P′( t ) = P( t ) × Q Jeś Jeśli chodzi o wewnę wewnętrzną trzną strukturę strukturę macierzy Q moż można okreś określić lić pewne zasady: j =n ∑qij = 0 • W wierszach macierzy (odpowiadają (odpowiadają one kolejnym stanom) wpisane są są intensywnoś intensywności przejść przejść do innych stanó stanów. i = 0,1,2,...,n j =0 n • Jeś Jeśli w grafie stanó stanów niezawodnoś niezawodnościowych pomię pomiędzy dwoma stanami nie ma łuku, to w odpowiednim miejscu macierzy znajduje się się 0. ∑ Pi ( t ) = 1 i =1 • Suma intensywnoś intensywności w wierszu macierzy wynosi 0. dr inż inż. Jacek Jarnicki 23 dr inż inż. Jacek Jarnicki 24 6 Algorytm postę postępowania Aby przeanalizować przeanalizować niezawodność niezawodność systemu przy pomocy metody opartej o analizę analizę stanu, należ należy wykonać wykonać nastę następują pujące czynnoś czynności: • W oparciu o opis dział działania systemu, zbudować zbudować graf stanó stanów niezawodnoś niezawodnościowych (okreś (określić lić zbió zbiór stanó stanów i podać podać przejś przejścia pomię pomiędzy ich parami). • Na podstawie danych o rozkł rozkładach zmiennych losowych, któ które odpowiadają odpowiadają przejś przejściom w grafie stanó stanów niezawodnoś niezawodnościowych, okreś określić lić intensywnoś intensywności przejść przejść pomię pomiędzy stanami. • Zapisać cy Zapisać ukł układ ró równań wnań różniczkowych wiążą wiążący prawdopodobień prawdopodobieństwa przebywania w systemu w stanach. • Okreś Określić lić stan począ początkowy systemu i rozwią rozwiązać zać ukł układ. dr inż inż. Jacek Jarnicki 25 7