Modele niezawodnościowe elementów i systemów wykorzystujące

Modele niezawodnoś
niezawodnościowe
elementó
elementów i systemó
systemów
wykorzystują
wykorzystujące teorię
teorię procesó
procesów
stochastycznych
1. Stany niezawodnoś
niezawodnościowe systemu, graf
stanó
ó
w
stan
2. Stan systemu jako proces stochastyczny
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
2
Element 1 w chwili począ
początkowej (t = 0) jest sprawny,
dział
działa i po upł
upływie pewnego czasu, któ
którego rozkł
rozkład okreś
określa
funkcja R1(t), ulega uszkodzeniu. W chwili uszkodzenia
elementu 1 zostaje włą
czony do pracy element 2, dział
włączony
działa on
przez czas, któ
którego rozkł
rozkład okreś
określa funkcja R2(t). Po
uszkodzeniu elementu 2, system staje się
się niesprawny.
W czasie gdy pracuje element 1 element 2 nie moż
może się
się
uszkodzić
uszkodzić.
S1
W grafie wę
węzły (kolorowe kó
kółka) reprezentują
reprezentują stany
niezawodnoś
niezawodnościowe, natomiast łuk (biał
(biała strzał
strzałka) zwany
przejś
przejściem odpowiada zdarzeniu, w tym przypadku
uszkodzeniu elementu.
Moż
Można wyró
wyróżnić
nić nastę
następują
pujące stany niezawodnoś
niezawodnościowe:
Przykł
Przykład 2:
2: System nienaprawialny (rezerwa zimna)
S0 - element 1 pracuje,
S1 - element 2 pracuje, element 1 uszkodzony,
S2 - oba elementy uszkodzone.
R2(t)
R1(t)
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
R(t)
S0 - element sprawny
S1 - element uszkodzony
Proces zmian stanó
stanów elementu moż
można przedstawić
przedstawić przy
pomocy nastę
następują
pującego grafu
uszkodzenie
Przykł
Przykład 1:
1: Element nienaprawialny
Element w chwili począ
początkowej (t = 0) jest sprawny, dział
działa
i po upł
upływie pewnego czasu, któ
którego rozkł
rozkład okreś
określa funkcja
R(t),
R(t), staje się
się niesprawny. Podczas obserwacji zachowania
się
się elementu moż
można wyró
wyróżnić
nić dwa stany niezawodnoś
niezawodnościowe:
3. Wyznaczanie charakterystyk procesu
stochastycznego, procesy Markowa
4. Algorytm obliczenia prawdopodobień
prawdopodobieństw
dla procesu Markowa
S0
1. Stany niezawodnoś
niezawodnościowe systemu,
graf stanó
stanów
3
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
4
1
Proces zmian stanó
stanów elementu moż
można przedstawić
przedstawić przy
pomocy bardzo prostego grafu:
S0
uszkodzenie el 1
S1
uszkodzenie el 2
Element w chwili począ
początkowej (t = 0) jest sprawny,
dział
działa i po upł
upływie pewnego czasu, któ
którego rozkł
rozkład
okreś
określa funkcją
funkcją F(t),
F(t), staje się
się niesprawny. Rozpoczyna się
się
naprawa, któ
której czas trwania opisany jest zmienną
zmienną losową
losową
o dystrybuancie G(t).
G(t). Po zakoń
zakończeniu naprawy element
znowu staje się
się sprawny i cykl powtarza się
się.
Stany niezawodnoś
ś
ciowe
elementu
moż
ż
na
okreś
niezawodno
mo
określić
lić
nastę
następują
pująco:
S2
Stan S0 jest stanem począ
początkowym, stan S2 koń
końcowym.
Przykł
Przykład 3:
3: Element naprawialny
F(t),
F(t), G(t)
G(t)
S0 - element sprawny
S1 - element uszkodzony (naprawiany)
F(t)
F(t) – dystrybuanta rozkł
rozkładu czasu życia elementu,
Proces zmian stanó
stanów elementu moż
można w tym przypadku
przedstawić
przedstawić przy pomocy grafu
G(t)
G(t) – dystrybuanta rozkł
rozkładu czasu naprawy elementu,
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
6
W chwili począ
początkowej (t
(t = 0)
0) dział
działają
ają oba elementy.
Dalej każ
każdy z nich pracuje tak jak element naprawialny
opisany w poprzednim przykł
przykładzie. System jest sprawny,
gdy sprawny jest co najmniej jeden element.
uszkodzenie
S0
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
5
S1
naprawa
W grafie stan S0 jest stanem począ
początkowym, lecz
w odró
odróżnieniu od dwó
dwóch poprzednich przypadkó
przypadków nie
wystę
występuje stan koń
końcowy.
Przykł
Przykład 4:
4: System naprawialny (ró
(równoległ
wnoległy)
F1(t), G1(t)
Stany niezawodnoś
niezawodnościowe elementu moż
można opisać
opisać tak:
S0
S1
S2
S3
-
oba elementy sprawne,
element 1 sprawny, element 2 uszkodzony,
element 2 sprawny, element 1 uszkodzony,
oba elementy uszkodzone
Natomiast graf stanó
stanów wyglą
wygląda tak:
F2(t), G2(t)
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
7
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
8
2
S1
uszk. e2
napr. e2
2. Stan systemu jako proces
stochastyczny
uszk. e1
Przedstawione w poprzednich przykł
przykładach grafy stanó
stanów
niezawodnoś
niezawodnościowych opisywał
opisywały jedynie "logikę
"logikę" dział
działania
systemó
systemów. W modelach nie był
był uwzglę
uwzględniony czas. Jeś
Jeśli
dał
dało by się
się przeprowadzić
przeprowadzić obserwację
obserwację zmian stanu
przykł
przykładowego systemu (np
(np.. z poprzedniego przykł
przykładu)
w czasie moż
można by zaobserwować
zaobserwować wykres podobny do
pokazanego niż
niżej.
napr. e1
S0
S3
uszk. e1
napr. e1
uszk. e2
S2
napr. e2
stan s(t)
W grafie ukryte został
zostało dodatkowe zał
założenie, mó
mówi ono
że w stanie S0 nie mogą
mogą uszkodzić
uszkodzić się
się jednocześ
jednocześnie oba
elementy a w stanie S3 oba nie mogą
mogą być
być jednocześ
jednocześnie
naprawione.
S3
S2
S1
S0
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
10
Definicja 1
• Wykres pokazuje jeden wynik obserwacji zmiany
stanu systemu w czasie.
Nieprzeliczalny zbió
zbiór zmiennych losowych S(t),
S(t), opisują
opisujących
stan systemu w chwili t nazywamy procesem stochastycznym.
• Okresy czasu jakie system przebywa w poszczegó
poszczególnych
stanach i przejś
przejścia pomię
pomiędzy stanami są
są losowe.
Definicja 2
• Jeś
Jeśli dokonamy kolejnej obserwacji zarejestrujemy
prawdopodobnie inny wykres.
• W danej chwili czasu t system znajduje się
się w jednym
ze stanó
cym do skoń
stanów należą
należącym
skończonego zbioru stanó
stanów.
Zarejestrowany przebieg czasowy s(t),
s(t), zmiany stanu
systemu nazywany realizacją
realizacją procesu stochastycznego.
Cel dalszych rozważ
rozważań ( wyjaś
wyjaśniony na przykł
przykładzie):
• Jeś
Jeśli dla wielu obserwacji wykresu bę
będziemy badali
stan systemu w ustalonej chwili czasu t , bę
będzie on
zmienną
zmienną losową
losową.
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
t
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
9
Dla systemu ró
równoległ
wnoległego, naprawialnego o dwó
dwóch
elementach i czterech stanach niezawodnoś
niezawodnościowych
S0, S1, S2, S3 , aby w peł
pełni okreś
określić
lić proces stochastyczny
opisują
opisujący zmiany stanu systemu w czasie, należ
należy wyznaczyć
wyznaczyć
cztery funkcje
11
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
12
3
3. Problem wyznaczenia charakterystyk
procesu stochastycznego, Procesy
Markowa
P0 ( t ) = Pr { S ( t ) = S0 }
S1
uszk. e2
napr. e2
P1 ( t ) = Pr { S ( t ) = S1 }
uszk. e1
napr. e1
S0
S3
uszk. e1
napr. e1
uszk. e2
S2
P2 ( t ) = Pr { S ( t ) = S 2 }
napr. e2
Zmiany stanu procesu moż
można w ogó
ogólnej postaci
opisać
opisać przy pomocy ukł
układu ró
równań
wnań
Pr {S ( t + ∆t ) = S j } =
P3 ( t ) = Pr { S ( t ) = S 3 }
i=n
= ∑ Pr { S ( t ) = S i } Pr {S ( t + ∆t ) = S j S ( t ) = Si } (*)
przy czym
i =0
P0 ( t ) + P1 ( t ) + P2 ( t ) + P3 ( t ) = 1
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
j = 0 ,1,2 ,..., n
S1
napr. e2
Pi ( t ) = Pr{ S ( t ) = Si }
Pij ( t ,t + ∆t ) = Pr {S ( t + ∆t ) = S j S ( t ) = S i }
oraz jeś
jeśli zał
założyć, że prawdopodobień
prawdopodobieństwa Pij(t,
(t, t+Δ
t+Δt)
nie zależą
zależą od chwili czasu t a jedynie od dł
długoś
ugości
przedział
przedziału Δt, (mó
(mówimy wtedy o braku pamię
pamięci
S3
uszk. e1
napr. e1
uszk. e2
S2
napr. e2
to
procesu), to moż
możemy napisać
napisać, że
Pr { S ( t + ∆t ) = S 3 } =
Pij ( t ,t + ∆t ) = Pij ( ∆t )
= Pr { S ( t ) = S1 }Pr { S ( t + ∆t ) = S 3 S ( t ) = S 1 } +
+ Pr { S ( t ) = S 2 }Pr { S ( t + ∆t ) = S 3 S ( t ) = S 2 }
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
i = 0 ,1,2 ,...n
i
uszk. e1
napr. e1
S0
14
Jeś
Jeśli wprowadzić
wprowadzić oznaczenia
Dla przykł
przykładu jeś
jeśli graf stanó
stanów systemu wyglą
wygląda tak
(system ró
równoległ
wnoległy z dwoma elementami)
uszk. e2
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
13
i dalej , podstawiają
podstawiając Pi(t)
(t) i Pij(t,
(t, t+Δ
t+Δt) do ró
równania (*)
otrzymujemy prostszą
prostszą jego formę
formę w postaci
15
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
16
4
i =n
Jest ono moż
możliwe do przeprowadzenia przy zał
założeniach, że
istnieją
istnieją granice wyraż
wyrażeń
Pj ( t + ∆t ) = ∑ Pi ( t )Pij ( ∆t )
i =0
Pozostaje do rozwią
rozwiązania problem, jak a powyż
powyższego
równania wyliczyć
wyliczyć funkcje Pi(t)
(t) ?
Pierwszym krokiem jest przekształ
przekształcenie ró
równania do postaci
i =n
Pj ( t + ∆t ) − Pj ( t )
P ( ∆t )
1
= − Pj ( t ) + ∑ Pi ( t ) ij
∆t
∆t
∆t
i =0
lim
j = 0 ,1,2 ,...,n
18
Przykł
Przykład 5
Dla naprawialnego systemu ró
równoległ
wnoległego zbudowanego z
dwó
dwóch elementó
elementów, opisanego w przykł
przykładzie 4 graf stanó
stanów
systemu moż
można zmodyfikować
zmodyfikować do postaci pokazanej na
nastę
następnym rysunku. Modyfikacja polega na przypisaniu
poszczegó
poszczególnym łukom i wę
węzłom grafu odpowiednich
intensywnoś
intensywności przejść
przejść..
Pi 0 ( ∆t ) + Pi1 ( ∆t ) + ... + Pin ( ∆t ) = 1
któ
który moż
można interpretować
interpretować tak, że w jeś
jeśli system
znajduje się
się w stanie Si to w przedziale czasu Δt albo
w tym stanie pozostanie albo przejdzie do innego stanu.
Jeś
Jeśli po pewnym przekształ
przekształceniu poprzedniej zależ
zależnoś
ności,
wykonać
wykonać przejś
przejście graniczne
q11
P ( ∆t )
P ( ∆t ) − 1
P ( ∆t )
lim  i 0
+ ... + ii
+ ... + in
=0
∆t →0 
∆t
∆t
∆t 
S1
q01
q00
otrzymuje się
się zwią
związek pomię
pomiędzy intensywnoś
intensywnościami
przejść
ść
dla
stanu
S
przej
i
∑ qij = 0
Pii ( ∆t ) − 1
= qii
∆t
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
17
Ponadto oczywisty jest związek,
j =n
lim
∆t →0
i =n
d
Pj ( t ) = ∑ qij Pi ( t )
dt
i =0
j = 0 ,1,2 ,...,n
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
i≠ j
Liczby qij zwane są
są intensywnoś
intensywnościami przejś
przejścia ze stanu i
do stanu j, natomiast qii intensywnoś
intensywnościami pozostawania
w stanie i. Po wykonaniu przejś
przejścia granicznego otrzymuje
się
się ostatecznie zwią
związek mię
między prawdopodobień
prawdopodobieństwami
Pj(t)
(t) w postaci ukł
układu liniowych ró
równań
wnań różniczkowych
Kolejnym etapem natomiast wykonanie obustronnego
przejś
przejścia granicznego
Pj ( t + ∆t ) − Pj ( t )
=
∆t →0
∆t
i=n
P ( ∆t )
 1
= lim − Pj ( t ) + ∑ Pi ( t ) ij
∆t →0
∆t 
i =0
 ∆t
Pij ( ∆t )
= qij
∆t →0
∆t
lim
q02
q20
i = 0 ,1,2 ,...,n
q31
q10
S0
q13
S3
q23
S2
q33
q32
q22
j =0
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
19
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
20
5
któ
która odpowiada ukł
układowi ró
równań
wnań różniczkowych
d
P0 ( t ) = q00 P0 ( t ) + q10 P1( t ) + q20 P2 ( t )
dt
d
P1( t ) = q01P0 ( t ) + q11P1( t ) + q31P3 ( t )
dt
d
P2 ( t ) = q02 P0 ( t ) + q22 P2 ( t ) + q32 P3 ( t )
dt
d
P3 ( t ) = q13 P1( t ) + q23 P2 ( t ) + q33 P3 ( t )
dt
q20 + q22 + q23 = 0
q10 + q11 + q13 = 0
q31 + q32 + q33 = 0
Zaprezentowana w przykł
przykładzie forma zapisu ukł
układu ró
równań
wnań
różniczkowych jest dość
dość niewygodna. Moż
Można ją
ją znacznie
uproś
uprościć
cić posł
posługują
ugując się
się zapisem macierzowym.
Jeś
Jeśli wprowadzić
wprowadzić wektor
P( t ) = [P0 ( t ), P1 ( t ), P2 ( t ),P3 ( t )]
oraz macierz
ponadto zachodzą
zachodzą nastę
następują
pujące zwią
związki pomię
pomiędzy
intensywnoś
intensywnościami przejść
przejść
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
q00 + q01 + q02 = 0
 q00
q
10
Q=
 q20
0

q02
0
q22
q32
0 
q13 

q23 
q33 
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
21
to zapisany powyż
powyżej ukł
układ ró
równań
wnań różniczkowych
przyjmuje postać
postać
q01
q11
0
q31
22
W ogó
ogólnoś
lności model procesu zapisany jest przy pomocy
trzech ró
równań
wnań
P′( t ) = P( t ) × Q
P′( t ) = P( t ) × Q
Jeś
Jeśli chodzi o wewnę
wewnętrzną
trzną strukturę
strukturę macierzy Q moż
można
okreś
określić
lić pewne zasady:
j =n
∑qij = 0
• W wierszach macierzy (odpowiadają
(odpowiadają one kolejnym
stanom) wpisane są
są intensywnoś
intensywności przejść
przejść do innych
stanó
stanów.
i = 0,1,2,...,n
j =0
n
• Jeś
Jeśli w grafie stanó
stanów niezawodnoś
niezawodnościowych pomię
pomiędzy
dwoma stanami nie ma łuku, to w odpowiednim miejscu
macierzy znajduje się
się 0.
∑ Pi ( t ) = 1
i =1
• Suma intensywnoś
intensywności w wierszu macierzy wynosi 0.
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
23
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
24
6
Algorytm postę
postępowania
Aby przeanalizować
przeanalizować niezawodność
niezawodność systemu przy pomocy
metody opartej o analizę
analizę stanu, należ
należy wykonać
wykonać
nastę
następują
pujące czynnoś
czynności:
•
W oparciu o opis dział
działania systemu, zbudować
zbudować graf
stanó
stanów niezawodnoś
niezawodnościowych (okreś
(określić
lić zbió
zbiór stanó
stanów
i podać
podać przejś
przejścia pomię
pomiędzy ich parami).
•
Na podstawie danych o rozkł
rozkładach zmiennych losowych,
któ
które odpowiadają
odpowiadają przejś
przejściom w grafie stanó
stanów
niezawodnoś
niezawodnościowych, okreś
określić
lić intensywnoś
intensywności przejść
przejść
pomię
pomiędzy stanami.
•
Zapisać
cy
Zapisać ukł
układ ró
równań
wnań różniczkowych wiążą
wiążący
prawdopodobień
prawdopodobieństwa przebywania w systemu w stanach.
•
Okreś
Określić
lić stan począ
początkowy systemu i rozwią
rozwiązać
zać ukł
układ.
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
25
7