Niezawodność systemów nienaprawialnych

Transkrypt

1. Analiza systemó
systemów nienaprawialnych
Niezawodność
Niezawodność systemó
systemów
nienaprawialnych
System nienaprawialny jest to system zbudowany
z elementó
elementów nienaprawialnych. System dział
działa tak dł
długo, aż
aż
zostanie osią
osiągnię
gnięty warunek okreś
określają
lający niesprawność
niesprawność..
1. Analiza systemó
systemów nienaprawialnych
Model i- tego elementu - dodatnia zmienna losowa Ti ,
okreś
określają
lająca czas życia elementu
2. Systemy nienaprawialne - przykł
przykładowe
struktury niezawodnoś
niezawodnościowe
• funkcja gę
gęstoś
stości rozkł
rozkładu fi(t)
(t)
3. Systemy nienaprawialne - przykł
przykłady
analizy
• dystrybuanta rozkł
rozkładu Fi(t)
(t)
• funkcja niezawodnoś
niezawodności Ri(t)
(t)
• funkcja intensywnoś
intensywności uszkodzeń
uszkodzeń λi(t)
(t)
dr inż
inż. Jacek Jarnicki
Rozwią
Rozwiązanie zadania polega na:
Model systemu - dodatnia zmienna losowa T, okreś
określają
lająca
czas życia systemu
• okreś
określeniu warunku niesprawnoś
niesprawności systemu
• funkcja gę
gęstoś
stości rozkł
rozkładu f(t)
f(t)
• znalezieniu dla okreś
określonego warunku zwią
związku
pomię
(t) a R(t).
R(t).
pomiędzy R1(t), R2(t), ... , Rn(t)
• dystrybuanta rozkł
rozkładu F(t)
F(t)
• funkcja niezawodnoś
niezawodności R(t)
R(t)
Najczęś
ciej stosowana metoda - rachunek zdarzeń
Najczęściej
zdarzeń
• funkcja intensywnoś
uszkodzeń λ(t)
2. System nienaprawialny – przykł
przykładowe
struktury niezawodnoś
niezawodnościowe
Przykł
Przykładowe zadanie - dla systemu zbudowanego
z n elementó
elementów, z któ
których każ
każdy opisany jest funkcją
funkcją
niezawodnoś
niezawodności Ri(t)
(t), wyznaczyć
wyznaczyć funkcję
funkcję niezawodnoś
niezawodności
systemu R(t).
R(t).
dr inż
2
•
•
•
•
3
system szeregowy,
system ró
równoległ
wnoległy,
system k z n,
system o strukturze dynamicznej.
dr inż
4
1
Równoważ
wnoważna postać
postać warunku
System szeregowy
T = min{T1 ,T2 ,... ,Ti ,... ,Tn }
• Schemat
Ri(t)
R1(t)
• Cel analizy
Rn(t)
Wyznaczenie funkcji niezawodnoś
niezawodności systemu, czyli
...
...
R( t ) = Pr {T ≥ t }
• Dane i zał
założenia
1. Ri ( t ) = Pr {Ti ≥ t }
• Przebieg analizy
i = 1,2 ,...,n
Okreś
Określenie zdarzenia
2. Zmienne losowe Ti są niezależ
niezależne
{T ≥ t }= {T1 ≥ t } ∩ {T2 ≥ t} ∩ ...∩ {Tn ≥ t }
• Warunek niesprawnoś
Obliczenie prawdopodobień
prawdopodobieństwa tego zdarzenia
System ulega uszkodzeniu po uszkodzeniu pierwszego
elementu.
dr inż
Pr {T ≥ t }= Pr {T1 ≥ t} ⋅ Pr {T2 ≥ t }... Pr {Tn ≥ t }
dr inż
5
λ( t ) = −
Ską
Skąd, na podstawie danych
stą
stąd
R ( t ) = R1 ( t ) ⋅ R 2 ( t ) ... R n ( t )
λ( t ) = −
Wyliczenie funkcji intensywnoś
uszkodzeń systemu
szeregowego.
Ogó
ca funkcję
Ogólna zależ
zależność
ność wiążą
wiążąca
funkcję niezawodnoś
niezawodności
z funkcją
funkcją intensywnoś
uszkodzeń jest nastę
następują
pująca
λ( t ) = −
d
ln[ R1( t ) ⋅ R2 ( t ) ... Rn ( t )]
dt
d
[ln R1( t ) + ln R2 ( t ) + ... + ln Rn ( t )]
dt
czyli, ostatecznie
λ( t )= λ1( t )+ λ2( t )+ ...+ λn ( t )
d
ln R( t )
dt
Funkcja niezawodnoś
niezawodności systemu szeregowego jest iloczynem
funkcji niezawodnoś
niezawodności jego elementó
elementów.
a wię
więc dla systemu szeregowego
dr inż
6
Funkcja intensywnoś
uszkodzeń w systemie szeregowym
jest sumą
sumą funkcji intensywnoś
uszkodzeń jego elementó
elementów.
7
dr inż
8
2
System ró
równoległ
wnoległy
System ulega uszkodzeniu po uszkodzeniu ostatniego
elementu.
• Schemat
R1(t)
Równoważ
wnoważna postać
postać warunku
...
Ri(t)
• Cel analizy
...
T = max{T1 ,T2 ,... ,Ti ,... ,Tn }
Rn(t)
R( t ) = Pr {T ≥ t }
• Dane i zał
założenia
1. Ri ( t ) = Pr {Ti ≥ t }
Okreś
i = 1,2 ,...,n
{T ≥ t }= {T1 ≥ t } ∪ {T2 ≥ t } ∪ ...∪ {Tn ≥ t }
niezależne
dr inż
dr inż
9
Okreś
Określenie przeciwnego (dopeł
(dopełniają
niającego)
10
Wyliczenie funkcji intensywnoś
uszkodzeń systemu
równoległ
wnoległego
{T < t }= {T1 < t } ∩ {T2 < t } ∩ ...∩ {Tn < t }
Obliczenie prawdopodobień
prawdopodobieństwa zdarzenia
λ( t ) = −
Pr {T < t }= Pr {T1 < t }⋅ Pr {T2 < t}... Pr {Tn < t }
d
1 − R( t ) n
ln R( t ) =
⋅ ∑C ( t )
dt
R( t ) i = 1 i
gdzie
czyli
1 − R( t ) = [1 − R1 ( t )] ⋅ [1 − R2 ( t )] ⋅ ... ⋅ [1 − Rn ( t )]
Ci ( t ) =
i ostatecznie
Ri ( t )
λi ( t )
1 − Ri ( t )
R( t ) = 1 − [1 − R1( t )] ⋅ [1 − R2 ( t )] ⋅ ... ⋅ [1 − Rn ( t )]
dr inż
11
dr inż
12
3
System progowy k z n
System ulega uszkodzeniu jeś
jeśli wię
więcej niż
niż k elementó
elementów
zostaje uszkodzonych.
• Schemat
R1(t)
• Cel analizy
...
Ri(t)
R( t ) = Pr {T ≥ t }
k#n
...
Rn(t)
Okreś
• Dane i zał
założenia
1. Ri ( t ) = Pr {Ti ≥ t }
i = 1,2 ,...,n
{T ≥ t } =
niezależne
dr inż
U
{T ≥ t }∩{T
i1 ,i2 ,...ip ∈{1,2,...,n}
i1
i2
{
≥ t }∩...∩ Tip ≥ t
}
p ≥k
dr inż
13
Dalsza analiza prowadzi do stosunkowo skomplikowanych
wyraż
wyrażeń i nie bę
będzie prowadzona.
Znacznie prostszy wynik moż
można uzyskać
uzyskać, jeś
jeśli zał
założyć, że
wszystkie elementy systemu mają
mają ten sam rozkł
rozkład czasu
życia, wtedy
14
System ze strukturą
strukturą dynamiczną
dynamiczną (prosty przykł
przykład)
• Schemat
R2(t)
R1(t)
n  n
Rk # n ( t ) = ∑   R i ( t )[1 − R( t )] n −i
 
i =k
i
• Dane i zał
założenia
1. Ri ( t ) = Pr {Ti ≥ t }
i = 1,2 ,...,n
niezależne
3. Począ
Początkowo pracuje tylko element 1, po jego
uszkodzeniu zostaje włą
czony do pracy element 2.
włączony
Gdy element 2 nie pracuje nie moż
może się
się uszkodzić
uszkodzić.
dr inż
15
dr inż
16
4
Wynik ogó
ogólny jaki udaje się
się uzyskać
uzyskać wyglą
wygląda tak:
System ulega uszkodzeniu jeś
jeśli oba elementy zostają
zostają
uszkodzone.
t
R( t ) = R1 ( t ) + ∫ R2 ( t − u ) dR1 ( u )
Równoważ
wnoważna postać
postać warunku
0
T = T1 + T2
2. System nienaprawialny – przykł
przykłady
analizy
• Cel analizy
R( t ) = Pr {T ≥ t }
System szeregowy (rozkł
(rozkłady wykł
wykładnicze)
• Zał
Założenie
Wykorzystanie znanych z literatury probabilistycznej
zależ
zależnoś
ności, pozwalają
pozwalających na obliczanie rozkł
rozkładó
adów
sum zmiennych losowych.
dr inż
Ri ( t ) = exp( −λit )
dr inż
17
• Wyniki analizy
i = 1,2 ,... ,n
18
• Wyniki analizy
 n 
R( t ) = exp[ − ∑ λi  ⋅ t ]
 i=1 
R( t ) = 1 − [1 − R1 ( t )] ⋅ [1 − R2 ( t )]
R( t ) = R1 ( t ) + R2 ( t ) − R1 ( t ) R2 ( t )
n
λ ( t ) = ∑ λi
i =1
∞
 n 
TFF = ∫ R( t ) dt =  ∑ λi 
 i =1 
0
R( t ) = exp( −λ1t ) + exp( −λ2 t ) − exp[ −( λ1 + λ2 )t ]
−1
R1 ( t )[1 − R2 ( t )]
+
[
1 − 1 − R1 ( t )] ⋅ [1 − R2 ( t )]
R2 ( t )[1 − R1 ( t )]
+ λ2
1 − [1 − R1 ( t )] ⋅ [1 − R2 ( t )]
λ( t ) = λ1
System ró
równoległ
wnoległy (2 elementy, rozkł
rozkłady wykł
wykładnicze)
• Zał
Założenie
Ri ( t ) = exp( −λit )
dr inż
i = 1,2 ,... ,n
19
dr inż
20
5
∞
TFF = ∫ R( t ) dt =
0
Elementy systemu mają
mają rozkł
rozkłady wykł
wykładnicze a wię
więc
funkcje intensywnoś
uszkodzeń elementó
elementów jako
stał
stałe, są
są w oczywisty sposó
sposób niemaleją
niemalejące.
1 1
1
+ −
λ1 λ2 λ1 + λ2
• Przykł
Przykład liczbowy
Jak widać
widać na rysunku, funkcja
uszkodzeń
uszkodzeń systemu jednak maleje.
λ1 = 1, λ2 = 0.1
Funkcja intensywnoś
intensywności
uszkodzeń
uszkodzeń dla systemu
wyglą
wygląda tak jak na
rysunku:
System zbudowany z elementó
elementów, któ
które się
się nie
starzeją
starzeją, starzeje się
się.
λ(t)
Wynik wydaje się
się
dość
dość " podejrzany "
intensywnoś
intensywności
t
dr inż
21
System szeregowo - równoległ
wnoległy
R1(t)
dr inż
22
2) Obliczyć
Obliczyć R34 (t) wedł
według wzoró
wzorów dla sytemu
równoległ
wnoległego zbudowanego z dwó
dwóch elementó
elementów
R3(t)
o funkcjach niezawodnoś
niezawodności R3 (t) i R4 (t).
R2(t)
R4(t)
3) Obliczyć
Obliczyć R(t)
R(t) wedł
według wzoró
wzorów dla sytemu szeregowego
zbudowanego z dwó
dwóch elementó
elementów o funkcjach
• Algorytm obliczania funkcji niezawodnoś
niezawodności systemu
niezawodnoś
1) Obliczyć
Obliczyć R12 (t) wedł
według wzoró
wzorów dla sytemu
równoległ
wnoległego zbudowanego z dwó
dwóch elementó
elementów
o funkcjach niezawodnoś
dr inż
23
dr inż
24
6

Niezawodność systemów nienaprawialnych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Niezawodność i diagnostyka systemów

Modele niezawodnościowe elementów i systemów wykorzystujące

Komputerowe generatory liczb losowych

Tweetnij Cześć! Mam na imię Jacek. Moją największą pasją jest

Jacek Bacz

Zadania domowe Ćwiczenie 2 Rysowanie obiektów 2

Jacek KRZYŻANIAK, Pedagogika, semestr V W wolnym czasie

Oficjalna lista wszystkich gości

Roman Gajewski