I Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych

IX Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2015
(proszę pamiętać o zadaniach z poprzedniej listy)
Zadanie 54.
Należy wskazać, które z poniższych zależności między funkcjami komutacyjnymi, są
prawdziwe.
a) C x  vDx  Dx1 ,
b) M x  Dx  dN x ,
c) Rx  N x  dS x .
Zadanie 55.
Pokazać następujące zależności:

a) Ax  v a x  a x ,

b) A1 x:n  v a x:n  a x:n ,

c) Ax:n  v a x:n  a x:n 1 .
Zadanie 56.
Za tę samą składkę jednorazową netto SJN można kupić jedną z następujących polis
emerytalnych dla (65): (i) E1 wypłaca na początku każdego roku E > 0, aż do śmierci, przy
czym wypłat będzie co najmniej 10 (nawet, gdy umrze przed wiekiem 74); (ii) E2 wypłaca E
na początku każdego roku, aż do śmierci lub do dożycia wieku 75 (w zależności od tego co
nastąpi wcześniej); począwszy od wieku 75 wypłaca E + E, aż do śmierci (E ma charakter
dodatku pielęgnacyjnego). Oblicz E/E jeśli dane są: i = 5%, D65 = 2676,52; N65 = 24896,14;
N75 = 6543,13.
Zadanie 57.
Potraktujmy wielkości Ax oraz a x jako funkcje technicznej intensywności oprocentowania
 . Przyjmijmy, że pochodne tych wielkości względem tej intensywności są następujące:
dAx
da x
 ,
 .
d
d
Wyrazić sumę Ax  a x za pomocą  ,  oraz  .
Zadanie 58.
Dożywotnia renta dla (x) wypłaca w sposób ciągły świadczenie z intensywnością 1000 zł na
rok. Ubezpieczyciel gwarantuje, że wypłaty będą trwały tak długo, aż suma świadczeń (bez
oprocentowania) osiągnie 2/3 wartości aktuarialnej renty. Podaj wartość jednorazowej składki
netto za to ubezpieczenie, jeśli (x) jest z populacji o wykładniczym rozkładzie trwania życia
z µ = 0,05 oraz δ = 0,05.