Poszukiwanie rozpadu B± → φπ w eksperymencie Belle

U NIWERSYTET JAGIELLO ŃSKI
Karol Adamczyk
Poszukiwanie rozpadu B ± → φπ ±
w eksperymencie Belle
Praca Magisterska wykonana w
Instytucie Fizyki Jadrowej
˛
im.
H. Niewodniczańskiego Polskiej
Akademii Nauk w Krakowie
pod kierunkiem dr Andrzeja
Bożka
Kraków 2008
Chciałbym bardzo serdecznie podzi˛ekować Panu dr Andrzejowi Bożkowi za pomoc i opiek˛e naukowa˛ w trakcie pisania
tej pracy.
Spis treści
1 Wst˛ep teoretyczny
1.1 Łamanie symetrii dyskretnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Łamanie CP w sektorze mezonów B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Rozpad B ± → φπ ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
7
2 Eksperyment Belle
2.1 Akcelerator KEKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Detektor Belle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Zbieranie, przetwarzanie i przygotowanie danych do analizy . . . . . . .
9
9
10
11
3 Rekonstrukcja i selekcja przypadków
3.1 Identyfikacja czastek
˛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Preselekcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 MC sygnału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 MC tła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Współczynnik wiarygodności dla sygnału i tła continuum
3.4.3 Tło od rozpadów rzadkich . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Konkluzje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
15
17
18
18
22
26
30
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Podsumowanie
31
A Dyskryminanta Fishera
32
B Warsztat
34
Rozdział 1
Wst˛ep teoretyczny
Rzadkie rozpady mezonów B stanowia˛ dogodne miejsce do testowania poprawności opisu
fizyki przez Model Standardowy (MS). Jest to miejsce potencjalnych obserwacji faktów
wykraczajacych
˛
poza MS, określanych jako efekty Nowej Fizyki. Testy MS w sektorze
mezonów B nastawione sa˛ na poszukiwanie efektów łamania symetrii CP, badanie rzadkich rozpadów (cz˛estość rozpadu ∼ 10−4 − 10−7 ) oraz precyzyjny pomiar parametrów
trójkata
˛ unitarności. W naszym przypadku głównym celem pracy było wyznaczenie lub
znalezienia ograniczenia na współczynnik rozgał˛ezienia rozpadu B ± → φ π ± . W pracy
ograniczono si˛e do przedstawienia metodyki i analizy na danych Monte Carlo (MC).
1.1 Łamanie symetrii dyskretnych
W fizyce każde prawo zachowania wia˛że si˛e z niezmienniczościa˛ równań, opisujacych
˛
dany układ fizyczny, wzgl˛edem przekształceń odpowiedniej symetrii. Zachowanie p˛edu
odpowiada niezmienniczości wobec translacji w przestrzeni, zachowanie momentu p˛edu niezmienniczości wobec obrotów, a zachowanie energii oznacza symetri˛e równań ze
wzgl˛edu na przesuni˛ecia w czasie. Znane z fizyki klasycznej transformacje ciagłe
˛ (translacje w przestrzeni, obroty, przesuni˛ecia w czasie) i dyskretne (inwersja wzgl˛edem środka
układu współrz˛ednych, zmiana znaku ładunku na przeciwny, odbicie w czasie) maja˛ również podstawowe znaczenie w fizyce czastek
˛
elementarnych. Transformacje dyskretne
wobec których oddziaływania moga˛ wykazywać niezmienniczość to: P(= inwersja przestrzenna), C(= sprz˛eżenia ładunkowego), T (= odbicie w czasie). Niezmienniczość oddziaływań wzgl˛edem transformacji dyskretnych określa si˛e jako zachowanie parzystości.
Parzystość definiuje si˛e jako wartość własna˛ operatora powiazanego
˛
z dana˛ transformacja˛
dyskretna.˛ Fizyczne znaczenie maja˛ tylko wartości własne operatorów Ĉ i P̂.
Operator Ĉ działajac
˛ na pole fizyczne (stowarzyszone z czastk
˛ a)
˛ zamienia liczby
kwantowe pola na przeciwne. W obrazie czastek
˛
odpowiada to zamianie czastek
˛
na ich
antyczastki
˛
tak, że dla oddziaływania zachowujacego
˛
symetri˛e C materia i antymateria
sa˛ nierozróżnialne. We wszystkich oddziaływania poza oddziaływaniami słabymi (OS)
parzystość ładunkowa˛ jest zachowana.
Z operacja˛ przestrzennej inwersji współrz˛ednych (x, y, z → −x, −y, −z) zmieniaja˛
ca˛ skr˛etności układu współrz˛ednych na przeciwna,˛ zwiazany
˛
jest operator parzystości P̂.
Działanie tego operatora na czastk˛
˛ e (stan kwantowy czastki)
˛
powoduje zmian˛e skr˛etności
1.1 Łamanie symetrii dyskretnych
4
czastki
˛
na przeciwna.˛ Skr˛etność czastki
˛
określa znak rzutu spinu czastki
˛
(np: jz = ± 12 h̄)
na kierunek ruchu czastki
˛
(odpowiednio: wzdłuż osi z)
H=
~s · p~
|~s||~p|
(1.1)
Stany o skr˛etności H = +1 określone sa˛ jako stany prawoskr˛etne, i analogicznie stany o
H = -1, to stany lewoskr˛etne. Traktowanie przez oddziaływania w taki sam sposób (nierozróżnianie) stanów prawo i lewoskr˛etnych oznacza symetri˛e oddziaływania wzgl˛edem
transformacji P (zachowanie parzystości przestrzennej). Jest tak dla oddziaływań elektromagnetycznych i silnych, których opis nie zmienia si˛e po odwróceniu wszystkich współrz˛ednych przestrzennych. OS łamie symetri˛e parzystości przestrzennej maksymalnie, dopuszczajac
˛ udział tylko czastek
˛
o wybranej skr˛etności; dla czastek
˛
bezmasowych albo
ultrarelatywistycznych: lewoskr˛etnych czastek
˛
i prawoskr˛etnych antyczastek.
˛
Czastki
˛
obdarzone masa˛ nie sa˛ stanami własnymi skr˛etności, ale pewnymi kombinacjami funkcji
odpowiadajacych
˛
dodatniej i ujemnej skr˛etności. Skr˛etność (polaryzacja podłużna) takich
czastek
˛
wynosi:
H=±
v
c
(1.2)
(+ - dla prawoskr˛etnych, – - dla lewoskr˛etnych)
Zastosowanie operatorów P̂ i Ĉ jednocześnie (kolejność działanie operatorów na stan
jest nieistotna) powoduje otrzymanie stanów (czastek),
˛
które można zaobserwować w
eksperymencie, co może z kolei oznaczać niezmienniczość OS wzgl˛edem sprz˛eżenia
CP. Przykład reakcji za która˛ odpowiada OS, a której obraz odbity w "lustrze P“ i ”lustrze C“ jednocześnie, daje reakcj˛e zachodzac
˛ a˛ w rzeczywistości może stanowić rozpad:
π ± → µ± ν̄µ . Wyprodukowane w powyższym rozpadzie (rys.1.1(a)) neutrino (antyneutrino) mionowe może być tylko lewoskr˛etne (prawoskr˛etne). Dlatego rozpady z rysunku
1.1(b) i (c) nie wyst˛epuja˛ w przyrodzie, co oznacza maksymalne łamanie symetrii: P dla
1.1(b) i C dla 1.1(c) przez OS. Złożenie obu transformacji zamienia lewoskr˛etne neutrino
mionowe w prawoskr˛etne antyneutrino mionowe, a wi˛ec obraz zgodny z rzeczywistościa˛
fizyczna.˛ Jednak obecność procesu π − → µ− νµ nie oznacza jeszcze, że OS jest symetryczne wzgl˛edem CP. Aby tak było cz˛estości rozpadów z rysunku 1.1(a) i 1.1(d) musza˛
być jednakowe, co dla powyższego rozpadu mionu zachodzi. Posłużenie si˛e powyższym
procesem w celu zdefiniowania, niezależnie od konwencji, a odwołujac
˛ si˛e jedynie do eksperymentu, który obiekt to czastka
˛
a który antyczastka
˛
nie daje odpowiedzi bez uciekania
si˛e do konwencji zwiazanej
˛
ze skr˛etnościa˛ (lewoskr˛etna czastka,
˛
prawoskr˛etna antyczast˛
ka).
Jakkolwiek w wi˛ekszości zbadanych do tej pory procesów zachodzacych
˛
przez OS
symetria CP obowiazuje,
˛
to zaobserwowano pewne rzadkie rozpady mezonów K lub B
w których
różnica cz˛estościrozpadu i jego sprz˛eżenia CP wynosiła od dziesiatych
˛
pro
Γ(KL →π + π − ) ∼
0
0
centa Γ(KS →π+ π− ) = 0.002 [1] do kilkudziesi˛eciu (dla B (B̄ ) → J/ψKS asymetria CP
wynosi około 70%)[2]. Przykładowo niezachowanie symetrii CP w leptonowym rozpa+
−
L →e νe π ) ∼
dzie mezonu KL jest rz˛edu 0.002 ( Γ(K
0.002) [3]. Wynikajaca
˛ stad
˛ asymetria
Γ(KL →e− ν̄e π + ) =
ładunkowa (dodatnio naładowany lepton wyst˛epujacy
˛ cz˛eściej to pozyton czyli antymateria) pozwala jednoznacznie rozróżnić mi˛edzy materia˛ a antymateria.˛ Majac
˛ definicj˛e
1.2 Łamanie CP w sektorze mezonów B
5
Rysunek 1.1: Reakcja π ± → µ± ν̄µ w ”lustrach“: C, P i CP
materii, wyżej wspomniany proces rozpadu pionu można wykorzystać do niezależnej definicji: prawy-lewy.[4]
W ramach MS z trzema rodzinami kwarków, źródłem łamanie CP jest obecność nieredukowalnej zespolonej fazy w macierzy CKM (macierz mieszania dla kwarków). Macierz
CKM opisuje zależności łacz
˛ ace
˛ stany własne masy (zapachu) ze stanami własnymi OS.
Wynika to z faktu, że kwarki dolne uczestnicza˛ w OS nie jako stany własne masy, ale jako
kombinacje liniowe tych stanów.

′





d
Vud Vus Vub
d
 ′ 




 s  = VCKM  s  , VCKM =  Vcd Vcs Vcb 
′
Vtd Vts Vtb
b
b
(1.3)
Łamanie symetrii CP stanowi jeden z warunków koniecznych bariogenezy. Jednak
wielkość tego efektu otrzymana w ramach macierzy CKM, okazuje si˛e być o kilka rz˛edów
za mała, by można go było bezpośrednio powiazać
˛
z obserwowana˛ we Wszechświecie
ilościowa˛ asymetria˛ materia-antymateria.[5] Owa niezgodność sugeruje, że w Przyrodzie
moga˛ wyst˛epować dodatkowe źródła łamania CP. Przyjmujac,
˛ że fundamentalna˛ symetri˛e
Przyrody stanowi symetria CPT[6], konsekwencja˛ łamania CP jest naruszenie symetrii
T(T̂: t → −t).
1.2 Łamanie CP w sektorze mezonów B
Choć po raz pierwszy łamanie symetrii CP zostało zaobserwowane w rozpadzie neutralnych mezonów K[1], to oszacowanie teoretyczne i eksperymenty potwierdzaja,˛ że skala
1.2 Łamanie CP w sektorze mezonów B
6
tego efektu w sektorze mezonów B jest dużo wi˛eksza. Mezony B (tabela 1.1) to stany zwiazane
˛
kwarku (antykwarku) b i lżejszego antykwarku (kwarku) z I lub II rodziny
kwarków. Duża masa kwarka b(mb ≈ 5GeV /c2 ) przekłada si˛e na znaczna˛ ilość kanałów
B + = b̄u
B − = bū
I(J P ) = 21 (0− )
mB± = 5279.0 ± 0.5MeV
τB± = (1.638 ± 0.011) · 10−12 s
B 0 = b̄d
B̄ 0 = bd¯
I(J P ) = 21 (0− )
mB0 = 5279.4 ± 0.5MeV
τB0 = (1.530 ± 0.009) · 10−12 s
Tabela 1.1: Podstawowe własności mezonów Bd0 i Bu±
rozpadu mezonów B. Dominujacy
˛ dla B sposób rozpadu zachodzi przez zmian˛e rodziny
(III → II, I), stad
˛ małe elementy macierzy CKM (|Vcb | ≈ 0.04, |Vub| ≈ 0.005) i tłumienie tych procesów. Umożliwia to obserwacj˛e rozpadów za zmiana˛ zapachu b → s, b → u,
b → d określanych jako rzadkie rozpady B.
Łamanie CP w rozpadach mezonów B może zachodzić na jeden z trzech sposobów:
Łamanie CP w rozpadach (ang. CPV in decay, direct CPV) naładowanych i neutralnych mezonów wyst˛epuje gdy amplitudy rozpadu i jego sprz˛eżenia CP nie sa˛ równe.Nazywane jest bezpośrednim naruszeniem CP.
Łamanie CP w oscylacjach (ang. CP violation in mixing) zachodzi tylko w rozpadach
neutralnych mezonów. Wynika z faktu, że rozpadajace
˛ si˛e w wynik OS stany własne
masy (nieznacznie) różnia˛ si˛e od stanów własnych CP. Nazywane jest pośrednim
naruszeniem CP.
Łamanie CP w interferencji rozpadów z i bez oscylacji (ang. CPV from interference
between decays with and without mixing) może wyst˛epować w rozpadach B 0 i B̄ 0
do tego samego stanu końcowego.
W rozpadach naładowanych mezonów B, tak jak np: w poszukiwanym rozpadzie B ± →
φπ ± , istnieje możliwość wystapienia
˛
tylko bezpośredniego łamania CP.
Niezależna,˛ od konwencji fazy, wielkościa˛ opisujac
˛ a˛ bezpośrednie łamanie CP jest
|Āf¯/Af |, gdzie
Af = hf |H|B + i
−
¯
i
Āf¯ = hf|H|B
(1.4)
(1.5)
to amplituda rozpadu B + do stanu końcowego f, i amplituda sprz˛eżenia CP tego rozpadu.
Amplitudy rozpadu zawieraja˛ dwa rodzaje faz: słaba˛ i silna.˛ Pierwsza, słaba faza, zmienia
znak przy sprz˛eżeniu CP i ma bezpośredni zwiazek
˛
z macierza˛ CKM. Druga, silna faza,
pojawiajaca
˛ si˛e z takim samym znakiem w amplitudzie i sprz˛eżeniu CP amplitudy, ma
zwiazek
˛
z procesami rozpraszania przez oddziaływania silne. Rozpisujac
˛ amplitudy na
przyczynki od różnych procesów rozpadu (wskaźnik i) z wyszczególnieniem modułów
(Ai ), słabych (eiφ ) i silnych (eiδ ) faz otrzymujemy:
Ā ¯ f
Af =
P
i(δi −φi ) i Ai e
P
i Ai ei(δi +φi ) (1.6)
1.3 Rozpad B ± → φπ ±
7
Jeśli istniej tylko jeden przyczynek do amplitudy rozpadu to:
Ā ¯ f
Af =
e−iφ +iφ e
=1
(1.7)
Warunkiem bezpośredniego łamania CP jest obecność przynajmniej dwóch (i , j ­ 2)
amplitud (procesów) o różnych słabych i silnych fazach.
2
2
|Af | − |Āf¯| = −2
X
i,j
Ai Aj sin(φi − δj )sin(δi − δj ) ⇒
Ā ¯ f
Af 6= 1
(1.8)
Teoretyczne wyliczenia asymetrii CP takich rozpadów (kilka przyczynków do amplitudy)
wymagaja˛ znajomości silnych faz i wielkości poszczególnych amplitud (patrz: 1.6), ale z
powodu długozasi˛egowych efektów silnych oddziaływań zawieraja˛ znaczne niepewności.
Pomiaru bezpośredniego łamania CP (tu dla naładowanych mezonów B) dokonuje si˛e
wyznaczajac
˛ asymetri˛e szerokości rozpadów:
af =
|Af |2 − |Āf¯|2
Γ(B + → f ) − Γ(B − → f¯)
=
¯
|Af |2 + |Āf¯|2
Γ(B + → f ) + Γ(B − → f)
(1.9)
W ten sposób eksperyment może być także metoda˛ poszukiwania dodatkowych, nieprzewidzianych przez MS, amplitud. Obserwacji znacznego efektu direct CPV można spodziewać si˛e w nieleptonowych rozpadach B, gdzie wyst˛epuja˛ przeważnie co najmniej
dwa porównywalnej wielkości przyczynki do amplitudy.
1.3 Rozpad B ± → φπ ±
Zgodnie z MS rozpady mezonów B takie jak B → φπ, czyli zawierajace
˛ przejście b →
ss̄d, moga˛ zachodzić tylko poprzez diagramy p˛etlowe.
Amplitud˛e rozpadu dla procesu b → qqq ′ można rozpisać jako sum˛e trzech składników z określonymi współczynnikami macierzy CKM:
∗
u
A(qqq ′ ) = Vtb Vtq∗′ Pqt′ + VcbVcq∗ ′ (Tccq′ δqc + Pqc′ ) + Vub Vuq
′ (Tuuq ′ δqu + Pq ′ )
(1.10)
gdzie Pqt,c,u to przyczynek od diagramów ”pingwinów“, a Tccq′ lub Tuuq′ od diagramów
”drzew“. W poszukiwanym rozpadzie B ± → φπ ± na poziomie kwarków zachodzi proces: b → ssd. Amplituda takiego rozpadu to:
∗
Pdu
A(ssd) = Vtb Vtd∗ Pdt + Vcb Vcd∗ Pdc + Vub Vud
(1.11)
∗
Wykorzystujac
˛ jeden z warunków unitarności macierzy CKM: Vub Vud
+ Vcb Vcd∗ + Vtb Vtd∗ =
0 amplitud˛e powyższego procesu można zapisać w prostszej postaci:
A(ssd) = Vtb Vtd∗ (Pdt − Pdu ) + Vcb Vcd∗ (Pdc − Pdu )
(1.12)
Wynika stad,
˛ że procesy mogace
˛ dać wkład do amplitudy szukanego rozpadu opisywane
sa˛ przez twz. ”silne pingwiny“ z kwarkami u,c,t w p˛etlach (rys. 1.2).[7] Oba czynnki tej
1.3 Rozpad B ± → φπ ±
8
Rysunek 1.2: ”silny pingwin“: diagram rozpadu kwarka b.
amplitudy sa˛ tego samego rz˛edu wielkości (Vtb Vtd∗ = −Aλ3 , VcbVcd∗ = Aλ3 (1 − ρ + iη)),
jednak drugi jest tłumiony przez mechanizm GIM. Oznacza to, że w granicy równości mas
kwarków u i c przewidywana w tym procesie asymetria znika. W przypadku obecności
drugiego czynnika oszacowania teoretyczne wskazuja˛ na asymetri˛e siegajac
˛ a˛ 10%[8].
W ramach MS używajac
˛ faktoryzacji QCD wartość współczynnika rozgał˛ezienia (BF
- ang. branching fraction lub Br - ang. branching ratio) poszukiwanego rozpadu oszacowano na:
Br M S (B − → φ π − ) = 4.45 × 10−9
(1.13)
Przyczynki od Nowej Fizyki moga˛ mieć wpływ na wzrost BF o 2 rz˛edy wielkości, co
stanowi granic˛e teraźniejszych możliwości eksperymentalnych.[9] Obecnie znane (zmierzone) górne ograniczenie na wartość współczynnika rozgał˛ezienia wynosi[10]:
Br(B − → φ π − ) < 0.24 × 10−6
(1.14)
Rozdział 2
Eksperyment Belle
Głównym celem eksperymentu Belle prowadzonego w laboratorium KEK w Tsukubie
(Japonia) jest obserwacja łamania symetrii CP w rozpadach mezonów B, a tym samym
lepsze zrozumienie tego zjawiska. W eksperymencie który rozpoczał˛ zbieranie danych w
czerwcu 1999 roku bierze udział około 300 fizyków z ponad 50 ośrodków naukowych. Pomiar współczynników rozgał˛ezienia i możliwych efektów łamania CP w rzadkich rozpadach mezonów B wymaga "dużych“ (> 107 par B B̄) próbek danych i wysokosprawnego
detektora. Produkcja (przy niskim tle) i rejestracja rozpadów tej wielkiej ilości mezonów
B odbywa si˛e w tzw. asymetrycznych fabrykach B, a w tym przypadku w skład fabryki B
wchodza:
˛ akcelerator KEKB i detektor Belle.
2.1 Akcelerator KEKB
KEKB[11] zderza ze soba˛ wiazki
˛ elektronów (8 GeV) i pozytonów (3.5 GeV), w wyniku czego formuje si˛e niestabilny stan Υ(4S) (mΥ(4S) = 10.58GeV /c2 ) rozpadajacy
˛ si˛e
0 0
+ −
w ok.96% na par˛e B B̄ lub B B . W szczególności masa układu B B̄ jest tylko nieco
mniejsza od masy Υ(4S), tak wi˛ec w jego układzie spoczynkowym krótkożyciowe mezony B rozpadałyby si˛e bardzo blisko siebie, utrudniajac
˛ identyfikacj˛e wierzchołków rozpadu czy pomiar asymetrii CP zależnej od czasu. Dzi˛eki asymetrycznym energiom zderzanych wiazek
˛
czas rozpadu powstałych B wydłuża si˛e o czynnik Lorentza (βγ ≃ 0.425),
przez co średnia odległość wierzchołków wzrasta do około 200µm.
Akcelerator KEKB (rys.2.1) składa si˛e z dwóch, leżacych
˛
obok siebie, pierścieni:
HER (ang. high energy ring) na elektrony i LER (ang. low energy ring) na pozytony
umieszczonych w tunelu o obwodzie 3 km, oraz akceleratora liniowego (tzw. liniak). W
liniaku elektrony i pozytony przyspieszane sa˛ odpowiednio do 8 i 3.5 GeV, po czym
wstrzykiwane do pierścieni, gdzie nast˛epuje formowanie wiazek.
˛
Wiazki
˛ przecinaja˛ si˛e
po katem
˛
22 mrad i tuż przed zderzeniem obracane sa˛ w tzw. wn˛ekach kraba, tak aby zachodziły tylko “czołowe” zderzenia “paczek“. Stabilność wiazek
˛
utrzymywana jest przy
pomocy wn˛ek rezonansowych, tłumiacych
˛
wyższe mody, i systemów sprz˛eżenia zwrotnego.
Konstrukcyjna wartość świetlności (L), parametru opisujacy
˛ wydajność kolejdera, dla
KEKB wynosi 1034 cm−2 s−1 i została osiagni˛
˛ eta w maju 2003. Praca z taka˛ świetlnościa˛
zapewnia produkcj˛e około 108 stanów Υ(4S) rocznie, co czyni zderzacz KEKB rekordzi-
2.2 Detektor Belle
10
Rysunek 2.1: Schemat akceleratora KEKB
sta˛ pod wzgl˛edem osiaganej
˛
świetlności. Aktualna (30 czerwca 2008) wartość całkowitej
scałkowanej świetlności wynosi: 853.75 f b−1 (1f b−1 ∼
= 106 B B̄).[12]
2.2 Detektor Belle
Belle (rys.2.2)[11][13] to detektor cylindryczny, składajacy
˛ si˛e z 7 detektorów składowych i nadprzewodzacego
˛
solenoidu. Najważniejsze elementy detektora to:
SVD (ang. silicon vertex detector) - krzemowy detektor wierzchołka. Położony jest najbliżej obszaru zderzeń wiazek.
˛
Precyzyjnie mierzy tory czastek
˛
dostarczajac
˛ dane
do rekonstrukcji wierzchołków rozpadów. Szczególnie ważny przy pomiarze asymetrii CP zależnej od czasu, gdzie współrz˛edna z miejsca rozpadu B musi być dokładnie znana.
CDC (ang. central drift chamber) - centralna komora dryfowa. Zanurzona jest w polu magnetycznym solenoidu. Umożliwia rekonstrukcj˛e torów oraz pomiar p˛edów
czastek
˛
naładowanych.
˛
mierzac
˛
Stanowi także cz˛eść systemu identyfikacji czastek,
dE
depozyty energii dx .
2.3 Zbieranie, przetwarzanie i przygotowanie danych do analizy
11
ACC (ang. aerogel Čerenkov counter) - aerożelowy progowy licznik Czerenkowa. Służy do identyfikacji czastek,
˛
w tym przypadku zoptymalizowany do rozróżniania
kaonów i pionów o p˛edach od 1.2 do 3.5 GeV/c.
TOF (ang. time-of-flight counter ) - licznik czasu przelotu. Stanowi uzupełnienie dla
ACC, przy rozróżnianiu czastek
˛
o p˛edach mniejszych niż 1.2 GeV/c.
ECL (ang. electromagnetic calorimeter) - kalorymetr elektromagnetyczny. Główne funkcje to detekcja i identyfikacja fotonów i elektronów.
KLM (ang. KL and muon detector) - detektor mionów i mezonów KL .
ECF (ang. extreme forward calorimeter) - kalorymetr elektromagnetyczny pracujacy
˛ w
obszarze małych katów.
˛
Umożliwia ciagły
˛ monitoring aktualnej wartości świetlności akceleratora wykorzystujac
˛ efekt rozpraszania Bhabha, oraz "znacznikowanie”
zdarzeń z udziałem dwóch fotonów.
SOL - chłodzony ciekłym helem nadprzewodzacy
˛ solenoid wytwarzajacy
˛ pole magnetyczne o indukcji 1.5 T.
Obszary na jakie można podzielić detektor to: “beczka” - cz˛eść równoległa do osi z, oraz
przednia i tylna "pokrywa“, które razem obejmuja˛ katowo
˛
zakres: 170 < Θ < 1500 (91%
4π). Przesuni˛ecie elementów układu ”do przodu” (na rysunku w lewo) wzgl˛edem osi z
wynika z asymetrii energii wiazek,
˛
co przekłada si˛e na boost Υ(4S).
2.3 Zbieranie, przetwarzanie i przygotowanie danych do
analizy
System wyzwalania zapisu (ang. trigger) decyduje kiedy zarejestrowane w detektorze sygnały sa˛ odczytywane. Zdarzenia(surowe dane reprezentujace
˛ zderzenia czastek)
˛
spełniajace
˛ kryteria zespołu triggerów sprz˛etowych i programowych (na farmie komputerów[14])
sa˛ na bieżaco
˛ zapisywane i archiwizowane. Zarchiwizowane surowe dane poddawane sa˛
rekonstrukcji, polegajacej
˛ na przekształceniu i zapisaniu ich do odpowiednich struktur danych, reprezentujacych
˛
neutralne i naładowane czastki
˛
wraz z ich właściwościami (m.in.
1
masa, ładunek, czterop˛ed, PID ). Zapisywane sa˛ na dyskach jako pliki .dst(ang. data
summary tapes). Końcowy “produkt” to pliki w formacie .mdst (miniDST), zawieraja˛
ce wybrany zestaw zdarzeń (skim), np: hadronowych, które stanowia˛ dane wejściowe dla
modułów do analizy.
Przygotowanie do analizy obejmuje również wygenerowanie próbek danych Monte
Carlo (MC), stanowiacych
˛
wyniki symulacji zarejestrowania przez detektor szukanych
procesów. Dane MC pozwalaja˛ zorientować si˛e jak b˛edzie wygladał
˛ sygnał i tło szukanego rozpadu, oszacować wydajność rekonstrukcji oraz kontrolować niepewności systematyczne. Przy generacji MC, jak i całym procesie poczawszy
˛
od akwizycji aż do analizy
danych wykorzystuje si˛e dedykowane dla eksperymentu Belle oprogramowanie BASF
(Belle AnaliySis Framework). Generacja MC przebiega dwuetapowo: szybka produkcja
1
ang. particle spices identification - identyfikacja rodzaju czastki
˛
2.3 Zbieranie, przetwarzanie i przygotowanie danych do analizy
12
Rysunek 2.2: Przekrój poprzeczny detektora Belle z zaznaczeniem poszczególnych detektorów
składowych (ang. subdetectors). W rogu skala i definicja układu współrz˛ednych zwiazanego
˛
z
detektorem.
2.3 Zbieranie, przetwarzanie i przygotowanie danych do analizy
13
zadanego kanału rozpadu B przy użyciu generatora EvtGen[15] (moduł BASF) i dość czasochłonna symulacja rejestracji zdarzeń w detektorze przy użyciu modułu GSIM. Wyniki
symulacji, podobnie jak ma to miejsce dla rzeczywistych surowych danych, poddawane
sa˛ rekonstrukcji i zapisywane sa˛ w pliku o formacie .mdst.
Funkcjonalność systemu BASF można rozszerzać poprzez dopisywanie modułów, w
tym modułu do analizy danych, budowanych jako biblioteki współdzielone.
Rozdział 3
Rekonstrukcja i selekcja przypadków
Badanie czy mezon B ± rozpada si˛e w pewien określony sposób rozpocz˛eto od przeprowadzenia analizy na wygenerowanej, przy użyciu generatorów Monte Carlo (MC), próbce
danych poszukiwanego rozpadu i oczekiwanego tła. Szukany rozpad B ± → φ π ± przebiega dwuetapowo:
B ± →φ π ±
φ → K +K −
(3.1)
tak, że stan końcowy rozpadu stanowia˛ 3 naładowane czastki
˛
(π ± , K + , K − ), których ślady może zarejestrować detektor. W przypadku tej analizy istotna była wi˛ec dobra identyfikacja pionów i kaonów.
3.1 Identyfikacja czastek
˛
Do identyfikacji czastek
˛
naładowanych (K ± , π ± , p) wykorzystuje si˛e jednocześnie informacje z trzech detektorów (CDC+ACC+TOF), uzyskujac
˛ wartości wiarygodności (L), że
dany ślad pochodzi od konkretnej czastki.
˛
Przykładowo wiarygodność, że ślad zostawił
kaon b˛edzie równa:
LK = LCDC
× LACC
× LTKOF
K
K
(3.2)
Zakładajac
˛ że, sygnał stanowia˛ kaony a tło piony, to dla każdego śladu wyznaczany jest
współczynnik wiarygodności (ang. likelihood ratio), opisujacy
˛ identyfikacj˛e czastki
˛
(PID
- ang. particle identification).
LK
LK + Lπ
= 1 − LK:π
P ID(K) = LK:π =
(3.3)
P ID(π) = Lπ:K
(3.4)
Współczynnik wiarygodności można potraktować jako prawdopodobieństwo1 tego, że dany ślad jest śladem kaonu (pionu) pod warunkiem, że może być śladem albo kaonu albo
1
b˛edzie to prawda˛ pod warunkiem, gdy identyfikowana czastka
˛
o zapachu i pochodzi z próbki w której
z założenia znajduje si˛e równa ilość czastek
˛
o zapachu i i j
3.2 Preselekcja
15
Ilosc przypadkow na bin
pionu. W przypadku braku informacji o identyfikacji zapachu (pion czy kaon) danego śladu współczynnik wiarygodności (LK:π ) przyjmuje wartość 0.5. W programie do analizy
współczynnik wiarygodności dost˛epny jest poprzez moduł atc_pid[16].
W naszej analizie zastosowano nast˛epujacy
˛ mechanizm identyfikacji: wszystkie czast˛
ki zaliczono do zbioru pionów, a dodatkowo te dla których LK:π ­ 0.6 wpisano do zbioru
kaonów (rys.3.1).
4500
4000
B±→ φ π±
B±→ φ K±
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
PID(K)
Rysunek 3.1: Rozkład współczynnik wiarygodności dla próbek MC: sygnału i tła od rozpadu
B ± → φK ± z zaznaczeniem ci˛ecia P ID(K) ­ 0.6.
3.2 Preselekcja
Przy wyborze zdarzeń poszukiwanego rozpadu zastosowano kolejno nast˛epujace
˛ kryteria:
1. HadronB[17] jest to selekcja usuwajaca
˛ zdarzenia niehadronowe (np: e+ e− →
e+ e− , µ+ µ− , τ + τ − , γγ), pozostawiajac
˛ przypadki typu: B B̄ i continuum2. Wymagania które musi spełniać zdarzenie aby przejść t˛e selekcj˛e to:
• Zdarzenie musi zawierać co najmniej 3 dobrej jakości ślady (naładowanych
czastek),
˛
to jest spełniajace
˛ warunki: (i) PT > 100MeV /c, (ii) |dr| < 2.0cm,
(iii) |dz| < 4.0cm
|dr| to odległość śladu od punktu oddziaływania (zrekonstruowanego wierzchołka) w płaszczyźnie x-y
2
rodzaj tła - opisany w rozdziale 3.4
3.2 Preselekcja
16
|dz| to odległość śladu od punktu oddziaływania (składowa z)
|PT | to p˛ed poprzeczny (składowa z)
• Zrekonstruowany z dobrej jakości śladów wierzchołek musi spełniać warunki:
(i) |dz| < 3.5cm, (ii) dr < 1.5cm.
• Zdarzenie zarejestrowane w obszarze beczki detektora ECL musi posiadać
co najmniej 2 dobrej jakości klastry tj. takie z depozytem energii wi˛ekszym
niż 100 MeV. Dobrej jakości fotonami określa si˛e te, które zostawiły depozyt
energii w dobrej jakości klastrach.
√
• Evis ­ 0.2 s
Evis - energia widzialna - jest to suma energii dobrej jakości śladów i fotonów
w zdarzeniu zdeponowana w CDC i ECL.
• 0.1 < E√sum
< 0.8
s
Esum - to suma energii zdeponowanej w dobrej jakości klastrach.
√
P
• | Pz | < 0.5 s
P
Pz - to suma po p˛edach (składowe z) dobrej jakości śladów i fotonów.
•
•
MHJ
Evis
> 0.25 ∪ MHJ > 1.8GeV /c2
MHJ (ang. the heavy jet mass) - wielkość obliczana nast˛epujaco:
(i) używajac
˛ dobrej jakości śladów i fotonów znajduje si˛e tzw. “oś thrustu”3
(ii) zbiór dobrej jakości śladów i fotonów dzieli si˛e na na dwie półsfery osia˛
prostopadła˛ do “osi thrustu“
(iii) MHJ = max(M1 , M2 ), gdzie M1 , M2 to masy niezmiennicze półsfer
przyjmujac
˛ hipotez˛e że wszystkie naładowane ślady to piony
Esum
NECL
< 1.0GeV
NECL - ilość dobrej jakości klastrów
2. Selekcja śladów (torów) czastek
˛
naładowanych. Wszystkie ślady w zdarzeniu musza˛ spełniać poniższe wymagania:
• |dr| < 0.2cm
• |dz| < 2.0cm
• |PT | ­ 100MeV /c
Celem selekcji jest usuni˛ecie śladów złej jakości lub tła pochodzacego
˛
z oddziaływań wiazki
˛ z rura˛ akceleratora.
3. “Luźne” ci˛ecia na ∆E i Mbc . Do identyfikacji zrekonstruowanych kandydatów na
mezony B używa si˛e dwóch zmiennych kinematycznych:
Mbc ≡
q
cms 2
2
(Ebeam
) − (pcms
B )
cms
∆E ≡ EBcms − Ebeam
3
thrust axis - wielkość opisana w rozdziale 3.4
(3.5)
(3.6)
3.3 MC sygnału
17
cms
Ebeam
- energia
˛ w układzie
środka masy rezonansu Υ(4S); połowa całkowi
√ wiazki
s
tej energii 2 = 5.29 GeV ;
cms
Ebeam
, pcms
- energia i p˛ed zrekonstruowanego kandydata na B w układzie środka
B
masy rezonansu Υ(4S)
cms
jako wi˛ez zmienna Mbc oddaje rozkład p˛edów kandydaTraktujac
˛ wartość Ebeam
tów na B, natomiast ∆E rozkład ich energii. Dokładna znajomość energii wiazki
˛
przekłada si˛e na uzyskanie wysokiej rozdzielczości dla Mbc i ∆E, odpowiednio ∼3
i ∼12 MeV.
Wartości “luźnych“ ci˛eć ustawione w module do analizy:
5.195GeV /c2 ¬ Mbc ¬ 5.35GeV /c2
|∆E| ¬ 0.35GeV
R2 4 < 0.5
3.3 MC sygnału
Mezon wektorowy φ rozpada si˛e w ∼ 50% przypadków na par˛e kaonów: K + i K − . Rekonstrukcja czastki
˛
φ polegała na znalezieniu takich par K + i K − , których sumaryczna
masa niezmiennicza byłby, z dokładnościa˛ do 0.150 GeV (arbitralny wybór), równa mφ
= 1.020 GeV. Zrekonstruowane czastki
˛
φ poddano tzw. "wierzchołkowaniu”, czyli wyznaczeniu wspólnego punktu przez który przechodza˛ ślady produktów rozpadu. Celem
wierzchołkowania była korekcja p˛edów, co przekłada si˛e na dokładniejsze wyznaczenie
masy zrekonstruowanej czastki.
˛
±
Kandydatów na B (oddzielnie dla dodatnich i ujemnych) zrekonstruowano wyszukujac
˛ w zdarzeniu takie układy φ i π ± , aby ich masa niezmiennicza była z dokładnościa˛
do 0.350 GeV (arbitralny wybór), równa mB± = 5.279 GeV. Ze zbioru kandydatów na
B + wybierano nast˛epnie najlepszy B + , tj. taki który zawierał najlepszy pion, czyli pion
o najwi˛ekszym PID(π). To samo powtórzono na zbiorze z B − . Majac
˛ najlepszych kan+
−
dydatów na B i B ostatecznie wybierano tylko jednego, tego z najlepszym pionem, i
poddawano wierzchołkowaniu.
Zrekonstruowane mezony B pochodzace
˛ z szukanego rozpadu zidentyfikowano używajac
˛ zmiennych kinematycznych: Mbc i ∆E. Rysunek3.2 przedstawia rozkłady zmienych Mbc , ∆E oraz płaszczyzn˛eMbc ∆E z zaznaczonym oknem sygnałowym dla próbki
MC. Z dwuwymiarowego dopasowania funkcji gaussa5 do rozkładów zmiennych Mbc i
∆E otrzymano:
Zmienna
Mbc [MeV/c2 ]
∆E [MeV]
µ
σ
5278.920 ± 0.039 2.556 ± 0.027
1.55 ± 0.21
13.7 ± 0.15
Okno sygnałowe zdefiniowano jako µ ± 3σ dla każdej zmiennej:
5.271 GeV /c2 ¬ Mbc ¬ 5.287 GeV /c2
−0.0396 GeV ¬ ∆E ¬ 0.0427 GeV
4
R2 - zmienna kształtu
2
5 √1
exp(− (x−µ)
2σ2 )
σ 2π
opisana w rozdziale 3.4
18
Ilosc przypadkow / 14 [MeV]
∆ E [GeV]
3.4 MC tła
0.3
2500
0.2
2000
0.1
1500
0
-0.1
1000
-0.2
500
-0.3
5.22
5.24
5.26
5.28
5.3
M bc [GeV/c2]
5.22
5.24
5.26
5.28
5.3
M bc [GeV/c2]
0
-0.2
0
0.2
∆ E [GeV]
2
Ilosc przypadkow / 4 [MeV/c ]
5.2
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
5.2
Rysunek 3.2: Płaszczyzna Mbc ∆E z naniesionym sygnałem MC.
3.4 MC tła
Dominujace
˛ źródło tła dla rzadkich rozpadów B stanowia˛ zdarzenia continuum. Dla szukanego rozpadu przeanalizowano również tło pochodzace
˛ od innych dwuciałowych rozpadów rzadkich bez powabu zawierajacych
˛
w stanie końcowym mezon φ.
3.4.1 Continuum
Zdarzenia continuum to reakcje typu: e+ e− → q q̄, gdzie q q̄ to układ lekkiego kwarku
i antykwarku (np: uū, dd̄, ss̄, cc̄). Przekrój czynny procesów continuum w porównaniu
do przekroju na rozpad B B̄ wynosi: σσqq̄ ≃ 3. Sposobem na rozróżnienie przypadków
B B̄
continuum od sygnału jest kształt zdarzenia. W układzie zwiazanym
˛
z Υ(4S) mezony B
rozpadaja˛ si˛e prawie w miejscu, stad
˛ izotropowy rozrzut produktów rozpadu. Hadrony
wyprodukowane w procesie e+ e− → q q̄ → hadrony sa˛ skolimowane w dwóch przeciwnie skierowanych strugach, tzw.“dżetach“. Najcz˛eściej wi˛ec rozpady na B B̄ maja˛ kształt
sferyczny a zdarzenia continuum dżetowy (rys.3.3).
Klasyfikacja zdarzeń: sygnał czy tło przeprowadzana jest w oparciu o kształt zdarzenia, wykorzystujac
˛ w tym celu zmienne: thrust, sferyczność, momenty Foxa-Wolframa.
3.4 MC tła
19
Rysunek 3.3: Pogladowy
˛
szkic (a) sferycznego: e+ e− → Υ(4S) → B B̄ i (b) dżetowego:
e+ e− → q q̄ zdarzenia.
3.4 MC tła
20
Thrust[18]
T = max
|~
n|=1
P
i
|~n · p~i |
pi |
i |~
P
0.5 ¬ T ¬ 1
(3.7)
gdzie:
~n - tzw. “oś trustu“ dla której T jest maksymalne; p~i - p˛ed czastki
˛
i
Dla zdarzenia 2-dżetowego: T ≈ 1, a dla zdarzenia sferycznego: T ≈ 0.5.
Wielkości powiazane
˛
z trusetem:
θT - kat
˛ pomi˛edzy osia˛ thrustu zrekonstruowanego mezonu B i osia˛ thrustu pozostałych
śladów w zdarzeniu
˛ pomi˛edzy osia˛ thrustu zrekonstruowanego mezonu B i osia˛ z
θTz - kat
Sferyczność[18]
3
S = (λ2 + λ3 )
2
0¬S¬1
(3.8)
gdzie:
P
pα pβ
λ2 , λ3 - wartości własne tensora sferyczności: S αβ = Pi |pi~i|2i
i
p - czterop˛ed; p~i - p˛ed; α, β = x, y, z
Wartości własne S αβ spełniaja˛ warunki: (i) λ1 ¬ λ2 ¬ λ3 ; (ii) λ1 + λ2 + λ3 = 1.
Sferyczność jest miara˛ sumy kwadratów p˛edu poprzecznego w stosunku do osi zdarzeń.
Dla zdarzenia 2-dżetowego: S ≈ 0, a dla zdarzenia sferyczngo: S ≈ 1.
Momenty Foxa-Wolframa[18][19]
Hl =
X
i,j
|~pi ||~pj |
Pl (cosθij )
2
Evis
l = 0, 1, 2, . . .
(3.9)
gdzie:
p~i,j - p˛ed czastki
˛
i
θij - kat
˛ pomi˛edzy wektorami p~i i ~pj
Evis - całkowita energia widzialna zdarzenia
Pl - wielomian Legendre’a
Znormalizowane momenty Foxa-Wolframa zdefiniowano jako: Rl = Hl /H0 . Przykładowo dla zdarzenia 2-dżetowego: R2 ≈ 1, a dla zdarzenia idealnie sferycznego: R2 ≈ 0.
Popraw˛e wydajności rozróżniania przypadków można uzyskać wykorzystujac
˛ informacje o śladach nie używanych do rekonstrukcji B. Dzielac
˛ ślady ze zdarzenia na dwie
grupy: S - ślady używane do rekonstrukcji mezonu B oraz O - pozostałe ślady, wyznacza
si˛e dla nich zmodyfikowane momenty Fox-Wolframa:
RlSS
=
P
α,β
|~pα ||~pβ |Pl (cosθα,β )
P
pα ||~pβ |
α,β |~
(3.10)
3.4 MC tła
21
RlSO
RlOO
=
P
=
P
α,i
i,j
|~pα ||~pi |Pl (cosθα,i )
P
pα ||~pi |
α,i |~
(3.11)
|~pi ||~pj |Pl (cosθi,j )
P
pi||~pj |
i,j |~
(3.12)
gdzie:
α, β - wskaźniki po śladach używanych do rekonstrukcji B
i, j - wskaźniki po pozostałych śladach
P˛edy używane do wyliczenia RlSS używane sa˛ również do wyliczenia Mbc i ∆E, stad
˛
RlSS i zmienne kinematyczne sa˛ skorelowane. Momenty R1SO , R3SO i R1OO skorelowane
sa˛ również w jakiś sposób ze zmienna˛ Mbc . Z pozostałych momentów konstruuje si˛e
zmienna˛ SFW (Super Fox-Wolfram):
SF W =
X
l=2,4
αl RlSO +
X
βl RlOO
(3.13)
l=2,3,4
Dla uzyskanie lepszej separacji pomi˛edzy sygnałem i tłem niż daja˛ to pojedyńczo
zmienne kształtu, wykorzystano kombinacj˛e liniowa˛ tych zmiennych, tworzac
˛ zmienna˛
F:
F = SF W + α6 cos(θT ) + α7 cos(θTz ) + α8 S
(3.14)
Zmienna F (dyskryminanta Fishera) bierze swoja˛ nazw˛e od metody jaka˛ wyznaczane sa˛
współczynniki (αi i βi ), metody liniowej dyskryminanty Fishera6 . Współczynniki dyskriminanty wyznaczono przy użyciu zbiorów z MC sygnału i MC continuum.
Do rozróżnienia sygnału od tła można także użyć zmiennych: θB i θh , zwiazanych
˛
z
rozkładami katowymi
˛
produktów rozpadu.
Kierunek lotu B
θB jest to kat
˛ jaki tworzy kierunek lotu zrekonstruowanego mezon B z osia˛ z. Mezon
wektorowy Υ(4S) (J P = 1− ) rozpada si˛e na dwa pseudoskalarne mezony B (J P = 0− ),
których rozkład katowy
˛
opisywany jest zależnościa:
˛ 1 - cos2 θB = sin2 θB . Tło kombinatoryczne, od śladów przypadkowo składajacych
˛
si˛e do B, nie zależy od θB i jest płaskie.
Zatem rozkład g˛estości prawdopodobieństwa zmiennej cosθB również może być użyty do
"wygaszenia” continuum.
Skr˛etność mezonu φ
θh jest to kat
˛ pomi˛edzy kierunkiem lotu K + (z rozpadu φ) w układzie spoczynkowym φ, a
kierunkiem lotu φ w układzie spoczynkowym mezonu B. Mezon wektorowy φ (J P = 1− )
rozpada si˛e na par˛e K + K − (J P = 0− ), których rozkłady katowe
˛
opisywane sa˛ zależnościa:
˛ cos2 θh . Zmienna cosθh dla continuum ma rozkład płaski.
6
metod˛e omówiono dokładniej w dodatku A
3.4 MC tła
22
3.4.2 Współczynnik wiarygodności dla sygnału i tła continuum
Dysponujac
˛ rozkładami trzech zmiennych (F , cosθB , cosθH ) dla sygnału i tła continuum,
można zastosować dwie odmienne techniki klasyfikacji zdarzeń.
• Pierwszy sposób to zastosowanie ostrych ci˛eć na każda˛ zmienna˛ oddzielnie. Problemem w tym przypadku jest optymalny dobór ci˛eć, tak by znaczacość
˛
sygnału
były maksymalna. Znaczacość
˛
sygnału (S) zdefiniowano jako:
S=√
NS
NS + NB
(3.15)
gdzie:
NS - ilość zdarzeń sygnału (po ci˛eciach)
NB - ilość zdarzeń tła (po ci˛eciach)
• Drugi sposób to połaczenie
˛
trzech nieskorelowanych zmiennych w jedna˛ yL (i), na
której dokonuje si˛e ci˛ecia maksymalizujacego
˛
znaczacość
˛
sygnału. Ta pojedyńcza
zmienna to współczynnik wiarygodności dla zdarzenia i, że zdarzenie reprezentuje
sygnał (S), pod warunkiem że może być tłem (B). Metoda znana jest w literaturze
jako: Projective Likelihood Estimator (PLE) [20].
yL (i) =
LS (i)
LS (i) + LB (i)
(3.16)
Współczynniki wiarygodności sygnału i tła utworzono z funkcji g˛estości prawdopodobieństwa zmiennych: F , cosθB , cosθH .
cosθB
H
LS (i) = pF
(xcosθB (i)) × pcosθ
(xcosθH (i))
S
S (xF (i)) × pS
cosθB
cosθH
F
LB (i) = pB (xF (i)) × pB (xcosθB (i)) × pB (xcosθH (i))
(3.17)
(3.18)
Ponieważ analityczne postacie funkcji g˛estości prawdopodobieństwa nie sa˛ znane,
to ich kształty aproksymowane sa˛ z rozkładów zmiennych w próbce MC. Funkcje
g˛estości prawdopodobieństwa dla poszczególnych zmiennych znormalizowane sa˛
do 1.
Z
+∞
−∞
pkS(B) (xk )dk = 1
k = F , cosθB , cosθH
(3.19)
W przypadku gdy zmienne sa˛ w jakiś sposób skorelowane, współczynnik wiarygodności nie może być bezpośrednio utożsamiany z prawdopodobieństwem, że zdarzenie reprezentuje sygnał (tło). Mimo to metoda dalej zapewnia klasyfikacj˛e zdarzeń,
lecz nie jest optymalna.
W analizie zastosowano implementacj˛e metody PLE z pakietu TMVA[20]. Zakresy
zmienności zmiennych: F , cosθB , cosθH znormalizowano do przedziału [0,1]. Dane wejściowe analizy stanowiły próbki MC z sygnałem i tłem7 z okna sygnałowego. Próbki
zostały podzielone losowo na dwa równoliczne zbiory: treningowy i testowy. Do histogramów z rozkładami trzech zmiennych wypełnionymi danymi treningowymi dla sygnału
i tła (rys.3.4) zastosowano interpolacj˛e funkcjami sklejanymi rz˛edu 2 (rys.3.5). Z otrzy-
3.4 MC tła
23
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
fisherN
0.8
2.5
U/O-flow (S,B): (0.0, 0.0)% / (0.0, 0.0)%
Background
U/O-flow (S,B): (0.0, 0.0)% / (0.0, 0.0)%
Signal
TMVA Input Variable: coshN
Normalised
TMVA Input Variable: cosbN
Normalised
5
U/O-flow (S,B): (0.0, 0.0)% / (0.0, 0.0)%
Normalised
TMVA Input Variable: fisherN
2
1.5
1
0.5
0
1
0.2
0.4
0.6
cosbN
0.8
1
coshN
Rysunek 3.4: Rozkłady zmiennych: F, cosθB , cosθH dla sygnału i tła
fisherN signal training
fisherN background training
300
Input data (signal)
240
Input data (backgr.)
Estimated PDF (norm. signal)
220
Estimated PDF (norm. backgr.)
250
200
180
200
160
140
150
120
100
100
80
60
50
40
20
0
0
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
cosbN signal training
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
cosbN background training
90
200
Input data (signal)
180
Estimated PDF (norm. signal)
80
160
70
140
60
120
Input data (backgr.)
Estimated PDF (norm. backgr.)
50
100
40
80
30
60
20
40
10
20
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
1
coshN signal training
1
coshN background training
Input data (signal)
300
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
80
Input data (backgr.)
Estimated PDF (norm. backgr.)
Estimated PDF (norm. signal)
70
250
60
200
50
40
150
30
100
20
50
0
Rysunek
3.5:
F, cosθB , cosθH
10
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Wykresy
funkcji
1
sklejanych
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
dopasowane
do
1
rozkładów
zmiennych
3.4 MC tła
24
manych funkcji g˛estości prawdopodobieństwa zormalizowanych do 1 utworzono klasyfikator yL . Ponieważ zmienne tworzace
˛ klasyfikator nie sa˛ ze soba˛ skorelowane, co pokazano na rys.3.6, to zmienna yL zapewnia optymalna˛ separacj˛e zdarzeń sygnału od tła
continuum. Rozkład zmiennej yL dla danych treningowych i testowych przedstawiono na
rysunku 3.7.
Correlation Matrix (signal)
Correlation Matrix (background)
cos
cosLinear correlation coefficients
in %
hN
bN
100
fish
erN
fish
cos
cosLinear correlation coefficients
in %
hN
bN
100
-3
-1
erN
80
100
1
coshN
80
coshN
coshN
60
100
coshN
60
40
40
20
20
cosbN
0
100
cosbN
cosbN
100
-1
cosbN
0
-1
-20
-20
-40
100
fisherN
-40
-60
1
fisherN
fisherN
100
-3
cos
cos
-60
-1
fisherN
-80
fish
hN
bN
erN
-80
-100
cos
cos
fish
-100
hN
bN
erN
Rysunek 3.6: Macierze korelacji zmiennych: F, cosθB , cosθH dla próbek MC sygnału i tła
6
TMVA overtraining check for classifier: Likelihood
Normalized
Normalized
TMVA response for classifier: Likelihood
Signal
Background
5
7
6
Signal (test sample)
Signal (training sample)
Background (test sample)
Background (training sample)
Kolmogorov-Smirnov test: signal (background) probability = 0.393 (0.806)
U/O-flow (S,B): (0.0, 0.0)% / (0.0, 0.0)%
3
2
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Likelihood response
U/O-flow (S,B): (0.0, 0.0)% / (0.0, 0.0)%
5
4
4
3
2
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Likelihood response
Rysunek 3.7: Rozkład zmiennej yL dla danych treningowych i testowych
Przy wyznaczeniu ci˛ecia na zmienna˛ yL rozważono dwie hipotezy co do współczynnika rozgał˛ezienia poszukiwanego rozpadu:
a Br(B ± → φπ ± ) = 0.1 · 10−6
b Br(B ± → φπ ± ) = 0.5 · 10−6
Na podstawie wykresów znaczacości
˛
w zależności od zmiennej yL (rys.3.8) dla obu hipotez przyj˛eto wartość ci˛ecia: yL = 0.7. Zwi˛ekszanie ci˛ecia nie przyczynia si˛e do wzrostu
znaczacości,
˛
wpływajac
˛ tylko na zmniejszenie ilości sygnału. Fluktuacje wartości znaczacości
˛
dla yL > 0.7 wynikaja˛ z małej ilości sygnału w stosunku do ilości tła.
¯ ss̄, z pomini˛eciem rozpadu na cc̄. W stanie końcowym nie ma
Tło od procesów e+ e− → uū, dd,
czastek
˛
z powabem.
7
25
Signal purity
Signal efficiency*purity
S / S+B
Signal efficiency
Efficiency (Purity)
Background efficiency
Significance
3.4 MC tła
0.45
1
0.4
0.35
0.8
0.3
0.6
0.25
0.2
0.4
0.15
0.2
0
0.1
For 5 signal and 1106 background
events the maximum S / S+B is
0.4355 when cutting at 0.9579
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.05
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
Signal purity
Signal efficiency*purity
S / S+B
Signal efficiency
Efficiency (Purity)
Background efficiency
1.6
1
1.4
0.8
1.2
Significance
Likelihood output
1
0.6
0.8
0.4
0.6
0.4
0.2
0
For 25 signal and 1106 background
events the maximum S / S+B is
1.5190 when cutting at 0.7621
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.2
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
Likelihood output
Rysunek 3.8: Wykresy znaczacości
˛
w zależności od ci˛ecia dla hipotezy a (górny) i b (dolny)
3.4 MC tła
26
3.4.3 Tło od rozpadów rzadkich
Rzadkie rozpady bez powabu stanowiace
˛ tło dla poszukiwanego rozpadu to: B ± →
φK[21] i B ± → φK ∗± [22]. Wpływ od tego typu rozpadów uwzgl˛ednia si˛e poprzez wyodr˛ebnienie danej składowej w rozkładzie zmiennej ∆E podczas dopasowywania funkcji.
Wygenerowane próbki (105 przypadków) MC z rozpadami rzadkimi przepuszczono
przez analiz˛e uzyskujac
˛ nast˛epujace
˛ wydajności rekonstrukcji (ǫM C ):
Rozpad
B ± → φπ ±
B ± → φK ±
B ± → φK ∗±
ǫM C (%)
7.47±0.09
7.25±0.02
0.23±0.02
W dalszej analizie nie uwzgl˛edniono wkładu od B ± → φK ∗± z uwagi na niewielka˛ wydajność rekonstrukcji. Zanieczyszczenie sygnału przypadkami z nierezonansowego rozpadu: B ± → K + K − π ± jest zaniedbywalne ze wzgl˛edu na mała˛ szerokość φ (∼ 5MeV ).
Strategi˛e poszukiwania rozpadu B ± → φπ ± (sygnał) oparto na założeniu, że jest on
co najmniej 20 razy rzadszy niż rozpad B ± → φK ± (tło). Z uwagi na przewidywana˛
niska˛ ilość sygnału zastosowano jednoczesne dopasowywanie funkcji do sygnału i tła.
Dysponujac
˛ próbka˛ MC z sygnałem i tłem przygotowano skrypt8 do równoczesnego dopasowywania dwuwymiarowej (Mbc , ∆E) funkcji dla dwóch próbek z ci˛eciami:
PID(K)­0.6 (rys.3.9) i PID(K)<0.6 (rys.3.10). Do rozkładów sygnału i tła w zmiennych
Mbc i ∆E dopasowano funkcje gaussa. W zmiennej ∆E wartość średnia gaussa dla tła
przesuni˛eta jest o ok. 45 MeV w lewo, w stosunku do średniej gausa dla sygnału. Wynika to z obecności kaonu zamiast pionu w stanie końcowym. Dopasowanie wykonano
dla ilości rozpadów B ± → φK ± ok.17 razy wi˛ekszej niż jest dost˛epna w eksperymencie. Znaczacość
˛
statystyczna˛ sygnału wynosiła ok. 36σ. Miar˛e znaczacości
˛
statystycznej
sygnału dla metody najwi˛ekszej wiarygodności zdefiniowano jako:
σ=
q
−2ln(L0 /LNs )
(3.20)
σ - odchylenie standardowe (wartość −2ln(L0 /LNs ) pochodzi z rozkładu χ2 )
L0 - wartość L przy ustawionej na 0 ilości sygnału
LNs - wartość L przy ilości sygnału ustawionej jako parametr dopasowywania
Dla ilości rozpadów B ± → φK ± wyliczonej na podstawie dost˛epnej ilości9 danych eksperymentalnych znaczacość
˛
sygnału wynosiła ok.12σ.
(B ± →φπ ± )
Przydatność opisanej metody sprawdzono dla NN(B
± →φK ± ) ∈ (0.01, 0.1). Wykres zależności stosunków cz˛estości rozpadu sygnału i tła od stosunków ilości zdarzeń sygnału i
tła przedstawiono na rys.3.11. Do zależności dopasowano prosta,˛ której wartości współczynników świadcza˛ o liniowości “fittera“ w badanym zakresie stosunków cz˛estości rozpadów. Jakość dopasowania prostej jest nieprawdziwa, ponieważ bł˛edy poszczególnych
punktów sa˛ skorelowane. Korelacje bł˛edów wynikaja˛ z używania tych samych próbek
zmieniajac
˛ tylko ich liczebność.
8
9
omówienie skryptu w dodatku B
NB B̄ = (656.725 ± 8.940) · 106 (dla eksperymentów: 7 - 55)
Events / ( 0.01 GeV )
3.4 MC tła
27
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-0.1
Events / ( 0.005 GeV )
BFphiK =
BFphipi =
0
152.7 +/- 1.8
0.1
∆ E [GeV]
-6
7.90 +/- 0.34
10
-6
10
c1_1 = -3.66 +/- 1.3 GeV^-1
5000
kappa_1 = -100.00 +/- 2.2
m2de_1 = -0.044561 +/- 0.00020 GeV
4000
3000
2000
mMbc_1 =
5.280105 +/- 0.000028 GeV
nbkg_1 =
46.8 +/- 8.1
nbkg_2 =
22.0 +/- 5.5
s1de_1 =
0.01245 +/- 0.00065 GeV
s1de_2 =
0.01229 +/- 0.00058 GeV
s2de_1 =
0.01516 +/- 0.00016 GeV
sMbc_1 =
0.002520 +/- 0.000020 GeV
5.25
5.26
1000
0
5.27
5.28
5.29
M bc [GeV/c2]
Rysunek 3.9: Dwuwymiarowe dopasowanie (Mbc , ∆E) dla sygnału i tła od B ± → φK ± z
ci˛eciem PID(K) ­ 0.6
Events / ( 0.01 GeV )
3.4 MC tła
28
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
-0.1
Events / ( 0.005 GeV )
BFphiK =
900
BFphipi =
0
152.7 +/- 1.8
0.1
∆ E [GeV]
-6
7.90 +/- 0.34
10
-6
10
c1_1 = -3.66 +/- 1.3 GeV^-1
800
700
600
500
kappa_1 = -100.00 +/- 2.2
m2de_1 = -0.044561 +/- 0.00020 GeV
mMbc_1 =
5.280105 +/- 0.000028 GeV
nbkg_1 =
46.8 +/- 8.1
nbkg_2 =
22.0 +/- 5.5
s1de_1 =
0.01245 +/- 0.00065 GeV
s1de_2 =
0.01229 +/- 0.00058 GeV
s2de_1 =
0.01516 +/- 0.00016 GeV
sMbc_1 =
0.002520 +/- 0.000020 GeV
5.25
5.26
400
300
200
100
0
5.27
5.28
5.29
M bc [GeV/c2]
Rysunek 3.10: Dwuwymiarowe dopasowanie (Mbc , ∆E) dla sygnału i tła od B ± → φK ± z
ci˛eciem PID(K) < 0.6
BFphipi/BFphiK po minimalizacji
3.4 MC tła
29
0.12
0.1
χ2 / ndf
1.088 / 17
p0
-0.001224 ± 0.002293
p1
0.9977 ± 0.09818
0.08
0.06
0.04
0.02
0.05
0.1
stosunek wielokosci probek phipi/phik
Rysunek 3.11: Zależność dopasowań BF (B ± → φπ ± ) i BF (B ± → φK ± ) od stosunków
wielkości próbek z rozpadami. Czerwona˛ strzałka˛ zaznaczono wartość stosunku ilości danych
1
) dla której wykonano rysunki 3.9 i 3.10
( 20
3.5 Konkluzje
30
3.5 Konkluzje
Po uwzgl˛ednieniu ci˛ecia: yL > 0.7 wydajności rekonstrukcji sygnału i tła rzadkiego dla
próbek MC wynosza:
˛
Rozpad
±
B → φπ ±
B ± → φK ±
ǫyMLC (%)
4.63±0.07
3,98±0.06
Przy dost˛epnej ilości par B B̄ znaczacość
˛
sygnału dla podanych hipotez wynosiłaby:
Hipoteza na Br(B ± → φπ ± ) S[σ]
0.1 · 10−6
∼ 0.3σ.
−6
0.5 · 10
∼ 1.5σ.
5
b
N S / sqrt(N
S
+ N B)
Dost˛epna obecnie statystyka par B B̄ nie pozwala przedstawiona˛ w pracy metoda˛ zaobserwować (S ­ 3σ) poszukiwanego rozpadu. Na rysunku 3.12 przedstawiono jaka
statystyka jest potrzebna, przy uwzgl˛ednieniu obu hipotez, aby możliwe było odkrycie
(S ­ 5σ) rozpadu B ± → φπ ± .
4
3
2
1
a
2000
4000
6000
8000
N BB [* 106]
Rysunek 3.12: Zależność znaczacości
˛
od ilości par B B̄ dla dwóch hipotez a) Br = 0.1 · 106 i b)
Br = 0.5 · 106
Rozdział 4
Podsumowanie
Oczekuj˛e, że metoda˛ opisana˛ w tej pracy możliwa byłaby obserwacja rozpadu B ± →
φπ ± przy statystyce ∼ 3.2 · 109 par B B̄, czyli 5 razy wi˛ekszej niż obecnie dost˛epna.
W oszacowaniu założono, że współczynnik rozgał˛ezienia wynosi: Br(B ± → φπ ± ) =
0.5 · 10−6 . Otrzymanie sygnału o znaczacości
˛
co najmniej 5σ wymagałoby statystyki
ok. 12 razy wi˛ekszej niż obecnie dost˛epna. Ewentualne odkrycie tego rozpadu możliwe
b˛edzie dopiero po uzyskaniu danych z ”super fabryki B“ (SuperKEKB) w eksperymencie
SuperBelle.
Poszukiwany rozpad był również tematem pracy [23], której autor wykonał analiz˛e
na danych o świetlności 375 f b−1 . Na podstawie swojej analizy wyznaczył On górne
ograniczenia na wartość współczynnika rozgał˛ezienia poszukiwanego rozpadu na: 0.22 ·
106 .
Dodatek A
Dyskryminanta Fishera
Dyskryminanta Fishera[24] (DF) to jedna z metod analizy wielowymiarowej[25], której
celem jest projekcja z wielowymiarowej przestrzeni cech na jeden kierunek (wektor wag
w),
~ a nast˛epnie separacja przypadków na dwie klasy (np: zdarzeń sygnału i tła). Wybrany
kierunek ma t˛e własność, że maksymalizuje odległość wartości średnich i minimalizuje
wariancj˛e każdej klasy. W liniowej DF klasyfikator y jest liniowa˛ funkcja˛ argumentu ~x,
tj. wektora wartości cech.
y = f (w
~ · ~x) = f
X
j
wj · xj
(A.1)
Funkcja f to funkcja progowa, która rzutuje wartości iloczynu argumentu ~x i wektora
wag w
~ na jedna˛ z dwóch klas. Klasyfikator liniowy ma zastosowanie w sytuacjach gdzie
istotna jest szybkość klasyfikacji, także przy wysokowymiarowej przestrzeni cech.
W przypadku tej analizy klasyfikator liniowej DF dany jest jako:
F=
X
i=1,8
λi · xi
(A.2)
gdzie:
xi - wybrane momenty Foxa-Wolframa, trust, sferyczność
λi - współczynniki ustalane na podstawie minimalizacji funkcji D(~λ):
S
λi (µB
i − µi )
D(~λ) = − qP i
B
S
i,j λi λj (Uij + Uij )
P
(A.3)
gdzie:
µSi , µB
i - wartości oczekiwane rozkładów sygnału (S) i tła (B) dla zmiennej xi
S
Uij , UijB - współczynniki macierzy kowariancji rozkładów sygnału (S) i tła (B) dla zmiennych xi i xj
Współczynniki λi minimalizujace
˛ funkcj˛e D maja˛ postać:
λi =
X
j
S
(UijB + UijS )−1 (µB
j − µj )
(A.4)
Wartości λi wyliczane sa˛ z rozkładów zmiennych xi na próbkach MC dla sygnału i continuum.
33
DF zapewnia optymalna˛ separacj˛e dla liniowo skorelowanych zmiennych o rozkładach normalnych. Parametry tych rozkładów musza˛ spełniać dwa warunki: różne wartości oczekiwane oraz podobne kształty (równe średnie kwadratowe (rms)). W przeciwnym
razie metoda nie zapewnia separacji.
Dodatek B
Warsztat
Z uwagi na niska˛ statystyk˛e zdarzeń do dopasowywania funkcji użyto rozszerzonej metody najwi˛ekszej wiarygodności na niebinowanych danych. W ten sposób otrzymuje si˛e
mniejsze niepewności dopasowywania niż dla danych zbinowanych, co jest ważne przy
małej próbce i wielowymiarowym dopasowywaniu. W rozszerzonej metodzie dopasowywana zależność normalizowana jest do estymowanej ilości zdarzeń sygnału (S(x)) i tła
(B(x)). Wartości te pochodza˛ z rozkładu Poissona, którego parametrem jest zaobserwowana ilość sygnału i tła (NS + NB ) dla próbki zawierajacej
˛ k przypadków. Stad
˛ norma
modelu też jest parametrem przy dopasowywaniu. Ogólna postać modelu ME (x) i minimalizowanej statystyki L(xi , pi ) to:
ME (x) =
NS (NS + NB )k e−NS −NB
NB S(x) +
B(x) +
NS + NB
NS + NB
k!
k
X
(NS + NB )k e−NS −NB
−logL(xi , pi) = −
logME (xi ) −
k!
i=dane
(B.1)
(B.2)
Metoda najwi˛ekszej wiarygodności w odróżnieniu od metody najmniejszych kwadratów
nie posiada miary jakości dopasowania[27].
Do dopasowywania funkcji użyto pakietu RooFit[26], stanowiacego
˛
zestaw narz˛edzi
do modelowania, wizualizacji i obliczania parametrów rozkładów zmiennych losowych.
Do minimalizacji i obliczania niepewności statystyk testowych w RooFicie wykorzystywany jest pakiet TMinuit z ROOTa[28].
Skrypt do równoczesnego dopasowywania dwuwymiarowej funkcji dla dwóch zbiorów danych:
#ifndef __CINT__
#include "RooGlobalFunc.h"
#endif
using namespace RooFit ;
void fit9a_mgr()
{
// Obserwable
35
RooRealVar pkzpi("pkzpi","pkzpi",0.0,0.0,1.0);
RooRealVar deltae("deltae","deltae",-0.15,0.15,"GeV");
RooRealVar Mbc("Mbc","Mbc",5.279,5.245,5.295,"GeV");
RooArgSet ntupleVarSet(pkzpi,deltae,Mbc);
// tło - phiK
TFile *file2 = new TFile("analiza_b_phik.root");
TTree *tree2 = file2->Get("h18");
Long64_t nentries2 = tree2->GetEntries(); // ~7000
// sygnał - phiPi
TFile *file1 = new TFile("analiza_b_phipi.root");
TTree *tree1 = file1->Get("h18");
Long64_t nentries1 = tree1->GetEntries(); // ~7000
tree1->SetEntries(nentries2/20); // 20 x mniej phipi niz phik
// kategorie - podzbiory danych
RooCategory sample("sample","title: sample");
sample.defineType("Fit1"); // (phiK + phipi) +
sample.defineType("Fit2"); // (phiK + phipi) +
ci˛
ecie: pkzpi => 0.6
ci˛
ecie: pkzpi < 0.6
// przygotowanie próbek !!!!
RooDataSet *dsphiktemp = new RooDataSet("dsphiktemp","dsphiktemp",
ntupleVarSet,Import(*tree2));
RooDataSet *dsphik1 = dsphiktemp->reduce(Cut("pkzpi >= 0.6"));
RooDataSet *dsphik2 = dsphiktemp->reduce(Cut("pkzpi < 0.6"));
RooDataSet *dsphipi = new RooDataSet("dsphipi","dsphipi",
ntupleVarSet,Import(*tree1));
dsphik1->append(*dsphipi);
dsphik2->append(*dsphipi);
RooDataSet dataSetAllFit("dataSetAllFit","",RooArgSet(deltae,Mbc),
Index(sample),Import("Fit1",*dsphik1),Import("Fit2",*dsphik2));
/********************************************************************/
// parametry modeli:
// Nsig_i = BF * eff_i * NBBar
// S1 = BFphipi * eff_phipi * NBBar
RooRealVar BFphipi("BFphipi","BFphipi",0.05,0.0,1000.0," 10^{-6}");
RooRealVar eff_phipi("eff_phi","eff_phipi",0.07,0.0,1.0);
eff_phipi.setVal(0.074); // wydajność rekonstrukcji rozpadu z MC
eff_phipi.setConstant();
RooRealVar NBBar("NBBar","NBBar",800.0,0.0,1000.0," 10^{6}");
NBBar.setVal(650);//Total N(BB) for Exp.7-55: (656.725+/-8.940)x10^6
NBBar.setConstant();
// S2 = BFphiK * eff_phik1 * NBBar
36
RooRealVar BFphiK("BFphiK","BFphiK",9.0,0.0,1000.0," 10^{-6}");
RooRealVar eff_phik1("eff_phik1","dla pkzpi >= 0.6",0.05,0.0,1.0);
eff_phik1.setVal(0.064); // wydajność rekonstrukcji rozpadu z MC
eff_phik1.setConstant();
// S3 = BFphiK * eff_phik2 * NBBar
RooRealVar eff_phik2("eff_phik2","dla pkzpi < 0.6",0.02,0.0,1.0);
eff_phik2.setVal(0.0079); // wydajność rekonstrukcji rozpadu z MC
eff_phik2.setConstant();
RooFormulaVar S1("S1","ilosc sygnalu w phipi","@0*@1*@2",
RooArgSet(BFphipi,eff_phipi,NBBar));
RooFormulaVar S2("S2","ilosc sygnalu w phik1","@0*@1*@2",
RooArgSet(BFphiK,eff_phik1,NBBar));
RooFormulaVar S3("S3","ilosc sygnalu w phipi2","@0*@1*@2",
RooArgSet(BFphiK,eff_phik2,NBBar));
// definicje dwóch modeli
// FIT 1
// SIGNAL
RooRealVar m1de_1("m1de_1","meanOfGauss",0.0,-0.2,0.2,"GeV");
m1de_1.setConstant(); // "zamrażamy" mean dla phipi !!!
RooRealVar s1de_1("s1de_1","sigmaOfGauss",0.01,0.0,0.05,"GeV");
RooGaussian g1de_1("g1de_1","signalPeak",deltae,m1de_1,s1de_1);
RooRealVar m2de_1("m2de_1","meanOfGauss",-0.045,-0.2,0.2,"GeV");
RooRealVar s2de_1("s2de_1","sigmaOfGauss",0.01,0.0,0.05,"GeV");
RooGaussian g2de_1("g2de_1","signalPeak",deltae,m2de_1,s2de_1);
RooAddPdf g12de_1("g12de_1","g1de_1+g2de_1",
RooArgList(g1de_1,g2de_1),RooArgList(S1,S2));
RooRealVar mMbc_1("mMbc_1","meanOfGauss",5.279,5.265,5.295,"GeV");
RooRealVar sMbc_1("sMbc_1","sigmaOfGauss",0.01,0.0,0.05,"GeV");
RooGaussian gMbc_1("gMbc_1","signalPeak",Mbc,mMbc_1,sMbc_1);
RooProdPdf sig_1("sig_1","sig",RooArgList(g12de_1,gMbc_1));
// BACKGROUND
RooRealVar c1_1("c1_1","slopeOfBkgd",0.0,-1000,1000,"GeV^-1");
RooPolynomial bkgdeltae_1("bkgdeltae_1","linearFunctionForBkgd",
deltae,RooArgList(c1_1)); // f(deltae)=1.0+c1*deltae
RooRealVar massmax_1("massmax_1","massEndpoint",5.291);
RooRealVar kappa_1("kappa_1","#kappa: argusSlope",-30,-100,0);
RooArgusBG bkgMbc_1("bkgMbc_1","bkgMbc",Mbc,massmax_1,kappa_1);
RooProdPdf bkg_1("bkg_1","bkg",RooArgSet(bkgdeltae_1,bkgMbc_1));
// model
RooFormulaVar nsig_1("nsig_1","@0+@1",RooArgList(S1,S2)); //N=S1+S2
RooRealVar nbkg_1("nbkg_1","N(bkgd)",0,0,100000);
RooAddPdf totalPdf_1("totalPdf_1","sumOfSignalAndBkgd pdf’s",
RooArgList(sig_1,bkg_1),RooArgList(nsig_1,nbkg_1));
37
// FIT 2
// SIGNAL
RooRealVar m1de_2("m1de_2","meanOfGauss",0.0,-0.2,0.2,"GeV");
m1de_2.setConstant(); // "zamrażamy" mean dla phipi !!!
RooRealVar s1de_2("s1de_2","sigmaOfGauss",0.01,0.0,0.05,"GeV");
RooGaussian g1de_2("g1de_2","signalPeak",deltae,m1de_2,s1de_2);
RooGaussian g2de_2("g2de_2","signalPeak",deltae,m2de_1,s2de_1);//!!
RooAddPdf g12de_2("g12de_2","g1de_2+g2de_2",
RooArgList(g1de_2,g2de_2),RooArgList(S1,S3));
RooGaussian gMbc_2("gMbc_2","signalPeak",Mbc,mMbc_1,sMbc_1);//!!
RooProdPdf sig_2("sig_2","sig",RooArgList(g12de_2,gMbc_2));
// BACKGROUND - na obu fitach ten sam kształt tła, inna norma
// model
RooFormulaVar nsig_2("nsig_2","@0+@1",RooArgList(S1,S3)); //N=S1+S3
RooRealVar nbkg_2("nbkg_2","N(bkgd)",0,0,100000);
RooAddPdf totalPdf_2("totalPdf_2","sumOfSignalAndBkgd pdf’s",
RooArgList(sig_2,bkg_1),RooArgList(nsig_2,nbkg_2));
/********************************************************************/
// fitowanie
RooSimultaneous simPdf("simPdf","simultaneous Pdf",sample) ;
simPdf.addPdf(totalPdf_1,"Fit1");
simPdf.addPdf(totalPdf_2,"Fit2");
RooFitResult* fitLMax = simPdf.fitTo(dataSetAllFit,Minos(true),
Save(true),Extended(true));
/********************************************************************/
// rysunki
RooPlot* deltaeframe1 = deltae.frame(Bins(30),Name("deltae"),
Title("delta E of B candidates : pkzpi >= 0.6"));
dataSetAllFit.plotOn(deltaeframe1,Cut("sample==sample::Fit1"));
simPdf.plotOn(deltaeframe1,Slice(sample,"Fit1"),
ProjWData(sample,dataSetAllFit));
RooPlot* Mbcframe1 = Mbc.frame(Bins(10),Name("Mbc"),
Title("Mbc of B candidates : pkzpi >= 0.6"));
dataSetAllFit.plotOn(Mbcframe1,Cut("sample==sample::Fit1"));
simPdf.plotOn(Mbcframe1,Slice(sample,"Fit1"),
ProjWData(sample,dataSetAllFit));
simPdf.paramOn(Mbcframe1,Layout(0.15,0.50,1.0),
Format("NEU",AutoPrecision(2)));
38
Mbcframe1->getAttText()->SetTextFont(102);
Mbcframe1->getAttText()->SetTextSize(0.025);
RooPlot* deltaeframe2 = deltae.frame(Bins(30),Name("deltae"),
Title("delta E of B candidates : pkzpi < 0.6"));
dataSetAllFit.plotOn(deltaeframe2,Cut("sample==sample::Fit2"));
simPdf.plotOn(deltaeframe2,Slice(sample,"Fit2"),
ProjWData(sample,dataSetAllFit));
RooPlot* Mbcframe2 = Mbc.frame(Bins(10),Name("Mbc"),
Title("Mbc of B candidates : pkzpi < 0.6"));
dataSetAllFit.plotOn(Mbcframe2,Cut("sample==sample::Fit2"));
simPdf.plotOn(Mbcframe2,Slice(sample,"Fit2"),
ProjWData(sample,dataSetAllFit));
simPdf.paramOn(Mbcframe2,Layout(0.15,0.50,1.0),
Format("NEU",AutoPrecision(2)));
Mbcframe2->getAttText()->SetTextFont(102);
Mbcframe2->getAttText()->SetTextSize(0.025);
TCanvas *c = new TCanvas("c","c",1200,800);
c->Divide(2,2);
c->cd(1); deltaeframe1->Draw();
c->cd(2); Mbcframe1->Draw();
c->cd(3); deltaeframe2->Draw();
c->cd(4); Mbcframe2->Draw();
// Obliczenie znaczacości
˛
statystycznej(ang.significance) dla BFphipi
BFphipi.setVal(0.0); // => S1 = 0
BFphipi.setConstant();
RooFitResult* fitL0 = simPdf.fitTo(dataSetAllFit,Minos(true),
Save(true),Extended(true));
double LogMax = fabs(fitLMax->minNll());
double Log0
= fabs(fitL0->minNll());
double s = LogMax - Log0; // = - ln(L0/LMax)
double significance;
if(s < 0.0) {
std::cout << "Negative squared significance" << std::endl;
std::cout << LogMax << " " << Log0 << std::endl;
significance = 0.0;
} else {
significance = sqrt(2.0*s);
}
std::cout << "significance = " << significance << std::endl;
}
Bibliografia
[1] J.H.Christenson, J.W.Cronin, V.L.Fitch, R.Turlay: Phys. Rev. Lett. 13, 138 (1964)
[2] K.Abe et al., [Belle Collab.], Phys. Rev. Lett. 87, 091802 (2001)
[3] E. Barberio et al., [HFAG Collab.], arXiv:0704.3575 [hep-ex] (2007)
[4] G.C.Branco, L.Lavoura, J.P.Silva: CP Violation, Clarendon Press, Oxford (1999).
[5] A. Riotto: Theories of baryogenesis, arXiv:hep-ph/9807454 (1998)
[6] R.F.Streater, A.S.Wightman: PCT, Spin and Statistics and All That, Addison-Wesley,
New York (1989)
[7] P.F.Harrison, H.R.Quinn, editors [BABAR Collab.]: The BABAR physics book: Physics at an asymmetric B factory, SLAC-R-0504, (1998)
[8] R.Fleischer: Mixing-induced CP violation in the decay Bd → K 0 K̄ 0 within the
standard model, Phys. Lett. B, Vol. 341, 29 Dec. 1994, Pages 205-212
[9] B.Mawlong, R.Mohanta, A.K.Giri: Signature of new physics in B → φπ decay,
arXiv:0804.1231v3 [hep-ph] (2008)
[10] B.Aubert et al., [Babar Collaboration], Phys. Rev. D 74, 011102 (2006).
[11] F.Takasaki: Status of KEKB accelerator and detector BELLE, arXiv:hepex/9912004v1 (1999)
[12] Aktualne
dane
na
temat
świetlności
http://belle.kek.jp/bdocs/lum_record.html
akceleratora
KEKB:
[13] A. Abashian et al., The Belle Detector, Nucl. Instrum. Meth., A479:117–232, (2002)
[14] I.Adachi, T.Hibinoa, L.Hinzb, R.Itoh et al., Belle Computing System,
arXiv:cs/0403015v2 (2004)
[15] A.Ryd, D.Lange i inni, EvtGen, A Monte Carlo Generator for B-Physics, EvtGen
V00-11-06 (2004)
[16] KID group, T.Hamasaki, T.Iijima, et al: Kaon Identification at Belle, Belle Note 321,
ver. 3 (2000)
BIBLIOGRAFIA
40
[17] B.Casey: HadronB, Belle Note 390 (2001)
[18] T.Sjöstrand, S.Mrenna, P.Skands: Pythia 6.4, Physics and Manual (2006)
[19] G.C.Fox, S.Wolfram: Observables for the Analysis of Event Shapes in e+ e− Annihilation and Other Processes, Phys. Rev. Lett. 41 (1978)
[20] A.Höcker, P.Speckmayer et al.: TMVA - Toolkit for Multivariate Data Analysis with
ROOT - Users Guide, arXiv:physics/0703039v4 (2007)
[21] A.Bozek: Charmless B decays involving vector mesons in Belle, arXiv:hepex/0104041 (2001)
[22] K.F.Chen, A.Bozek, et al (the Belle Collaboration): Measurement of branching fractions and polarization in B → φK ∗ decays, arXiv:hep-ex/0307014v2 (2003)
[23] J.H.Kim, M.Nakao, Y.I.Choi: Study of B → φπ with 605 f b−1 , Belle Note 1040,
ver. 1.1 (2008)
[24] R.A.Fisher: The Use of Multiple Measurements in Taxonomic Problems, Annals Eugen., 7:179–188 (1936)
[25] M.Wolter: Multivariate analysis methods in physics, Physics of Particles and Nuclei,
Volume 38, Issue 2, pp.255-268 (2007)
[26] W.Verkerke, D.Kirkby: RooFit Users Manual v2.91-33
[27] J.Heinrich: Pitfalls of Goodness-of-Fit from Likelihood, arXiv:physics/0310167v1
(2003)
[28] The ROOT team: ROOT - Users Guide 5.21