Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej
Transkrypt
Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej
Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej Definicja 1. (odwzorowania liniowego) ( X , K , +, ⋅), (Y , K , +, ⋅) f : X →Y - przestrzenie wektorowe :⇔ jest odwzorowaniem liniowym 1 ∀ x1 , x2 ∈X : f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 ∀α∈K : ∀ x∈X : f (α x ) = α ⋅ f ( x ) WNIOSEK: Jeżeli f: X → Y jest liniowe to: 1 f ( 0x ) = 0 y 2 f (−x ) = − f ( x ) Twierdzenie 1. Z: ( X , K , +, ⋅), (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe T: f : X →Y ⇔ : f (α x1 + β x2 ) = α f ( x1 ) + β f ( x2 ) jest liniowe ∀ x1 , x2 ∈X : ∀α , β ∈K Twierdzenie 2. ( X , K , +, ⋅), (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe f : X → Y f jest liniowe ⇔ ∀α1 ,α 2, ...,α n ∈K : ∀ x1 , x2 ,..., xn ∈X : f (α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn ) = α1 f ( x1 ) + α 2 f ( x2 ) + ... + α n f ( xn ) Przykład 1. ( f 3 , , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa → 2 taka, że: ( ( x, y, z ) ) = ( x − y + 2 z, x + y + z,3x + 3 y + 3z ) Niech u = ( x1 , x2 , x3 ) v = ( y1 , y2 , y3 ) Czy 3 Sprawdźmy, czy jest to odwzorowanie liniowe α, β ∈ R f (α u + β v ) = α f ( u ) + β f ( v ) Wykład dr Magdaleny Sękowskiej ? strona 1 z 5 Część 5 –Odwzorowania liniowe f (α u + β v ) = f (α ( x1 , x2 , x3 ) + β ( y1 , y2 , y3 ) ) = = f ( (α x + β y ,α x 1 1 2 + β y2 ,α x3 + β y3 ) ) = = (α ( x1 − x2 + 2 x3 ) + β ( y1 − y2 + 2 y3 ) , α ( x1 + x2 + x3 ) + + β ( y1 + y2 + y3 ) ,α ( 3x1 + 3x2 + 3 x3 ) + β ( 3 y1 + 3 y2 + 3 y3 ) ) = = α ( x1 − x2 + 2 x3 , x1 + x2 + x3 ,3 x1 + 3 x2 + 3 x3 ) + β ( y1 − y2 + 2 y3 , y1 + y2 + y3 ,3 y1 + 3 y2 + 3 y3 ) = α f ( x1 , x2 , x3 ) + β f ( y1 , y2 , y3 ) = α f ( u ) + β f ( v ) Odwzorowanie f jest liniowe Definicja 2. ( X , K , +, ⋅ ) , ( Y , K , +, ⋅ ) - przestrzenie wektorowe f : X → Y jest liniowe Jądrem odwzorowania liniowego nazywamy ogół takich wektorów z przestrzeni X, których wartość jest wektorem zerowym przestrzeni Y Kerf := { x ∈ X : f ( x ) = 0 y } X Y 0y Ker f Obrazem odwzorowania f (przeciwdziedziną, zbiorem wartości) nazywamy zbiór Im f := { y ∈ Y : ∃x∈X : y = f ( x )} X Y Im f WNIOSEK: Kerf = f −1 {0} Im f = { f ( x ) : x ∈ X } Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 5 Część 5 –Odwzorowania liniowe Twierdzenie 3. - przestrzenie wektorowe ( X , K , +, ⋅ ) , ( Y , K , +, ⋅ ) f : X →Y i f liniowe T1 : ( Kerf , K , +, ⋅) podprzestrzeń przestrzeni X T2 : ( Im f , K , +, ⋅) podprzestrzeń przestrzeni Y Twierdzenie 4. Z: ( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe T: f : X → Y jest liniowe dim X = dim Kerf + dim Im f Definicja 3. ( X , K , +, ⋅ ) , ( Y , K , +, ⋅ ) , f : X → Y f – liniowe Wymiar obrazu nazywamy rzędem odwzorowania liniowego dim Im f = rf Definicja 4. ( X , K , +, ⋅ ) , ( Y , K , +, ⋅ ) - przestrzenie wektorowe f : X →Y • • • Odwzorowanie nazywamy monomorfizmem, jeżeli jest liniowe i injektywne (różnowartościowe) Odwzorowanie nazywamy epimorfizmem, jeżeli jest linowe i surrjektywne (Im f=Y) Odwzorowanie nazywamy izomorfizmem, jeżeli jest liniowe i bijektywne Twierdzenie 5. Z: ( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe f : X →Y f - liniowe T: f jest injektywne ⇔ Kerf = {0} Twierdzenie 6. Z : ( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe f : X → Y , f − monomorfizm dim X = n T : dim Im f = n Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 5 Część 5 –Odwzorowania liniowe Definicja 5. ( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe Mówimy, że X i Y są przestrzeniami izomorficznymi X ∼ Y :⇔ ∃f : X → Y i f - izomorfizm WNIOSEK: X ∼ Y ⇒ dim X = dim Y Twierdzenie 7. Z : ( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe T : X ∼ Y ⇔ dim X = dim Y Definicja 6. ( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe L ( X , Y ) := { f : f : X → Y ∧ f - liniowe } Twierdzenie 7. Z : ( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe T : (L ( X , Y ) , K , ⊕, ) Jest przestrzenią wektorową Gdzie ⊕ - dodawanie odwzorowań - mnożenie odwzorowań przez skalary z ciała K Definicja 7. ( X , K , +, ⋅ ) f :X →X ∧ f - liniowe Odwzorowanie liniowe przestrzeni w samą siebie nazywamy endomorfizmem UWAGA Z : ( X , K , +, ⋅) , (U , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe f ∈ L ( X , U ) ∧ g ∈ L (U , Y ) T : g f ∈ L ( X ,Y ) Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 5 Część 5 –Odwzorowania liniowe Definicja 8. ( X , K , +, ⋅ ) ( K , K , +, ⋅ ) Każde ciało może być traktowane jako przestrzeń wektorowa nad samym sobą Odwzorowanie liniowe f: X -> K nazywamy formą liniową WNIOSEK ( L ( X , U ) , K , +, ⋅) Zbiór form liniowych z dodawaniem i mnożeniem odwzorowań przez skalar z ciała K jest przestrzenią wektorową Definicja 9. ( L ( X , U ) , K , +, ⋅) = X ' ( X ', K , +, ⋅) - przestrzeń dualna do przestrzeni X (przestrzeń form liniowych określonych nad przestrzenią X) Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 5 Część 5 –Odwzorowania liniowe