Kierunek: BUDOWNICTWO

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne drugiego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: : ANALIZA FUNKCJONALNA
Rok studiów:
Semestr:
I
1
Rodzaj zajęć:
Liczba godzin w semestrze:
ECTS: 7
W
30
Ć
S
L
30
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
1. Analiza matematyczna / rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej i wielu zmiennych.
2. Algebra liniowa / przestrzenie liniowe i operatory w nich.
3. Topologia / podstawowe pojęcia.
Założenia i cele przedmiotu
Dokonanie przeglądu podstawowych zagadnień analizy funkcjonalnej. Nauczanie obliczania normy,
rozwiązywania równań operatorowych, znajdowania widma.
Metody dydaktyczne
Tradycyjne wykłady i ćwiczenia audytoryjne.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu: Ocena aktywnego udziału w ćwiczeniach, pisemne
sprawdzanie bieżącego przygotowania z wykładów, kolokwium końcowe, egzamin pisemny i ustny.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
Wstęp.
1. Przestrzenie.
a) Przestrzenie Banacha, przestrzenie ciągów i przestrzenie funkcyjne.
b) Przestrzenie skończenie wymiarowe (tw. Bolzano-Weierstrassa).
c) Przestrzenie unitarne, przestrzeń Hilberta, zagadnienie najlepszej aproksymacji.
d) Bazy ortogonalne, szeregi Fouriera
2. Operatory.
a) Operatory liniowe (przykłady: macierz, operator całkowy, operator różniczkowy), ciągłość
a ograniczoność, norma, rozszerzenie operatora z podprzestrzeni gęstej, działania na
operatorach, przestrzeń L(X,Y).
b) Niektóre klasy operatorów (izomeria, izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe i pełnociągłe).
c) Ciągi operatorów.
d) Operator odwrotny.
e) Twierdzenie o wykresie domkniętym.
f) Szereg von Neumanna, zastosowania do równań całkowych.
3. Funkcjonały.
a) Funkcjonały liniowe i ograniczone na przestrzeniach unormowanych (przykłady funkcjonałów
i obliczenia ich normy, jądro funkcjonału).
b) Twierdzenie Hahna-Banacha.
c) Przestrzeń sprężona, przykłady.
d) Słaba i słaba* zbieżność twierdzenie Banacha-Alaoglu.
e) Przestrzeń druga sprzężona, refleksywność.
f) Operator sprzężony, operator sprzężony w przestrzeni Hiberta.
4. Widma.
a) Widmo operatora liniowego.
b) Widmo operatora pełnociągłego.
c) Twierdzenie spektralne Hilberta.
d) Teoria Fredholma.
5. Zastosowanie aparatu analizy funkcjonalnej.
Ćwiczenia audytoryjne:
1. Przestrzenie Banacha.
2. Przestrzenie unitarne oraz Hilberta i bazy w nich.
3. Operatory liniowe ograniczone, obliczania norm.
4. Niektóre klasy operatorów (Izomeria, Izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe i pełnociągłe).
5. Ciągi operatorów.
6. Szereg von Neumanna, zastosowania do równań całkowych.
7. Funkcjonały liniowe i ograniczone na przestrzeniach unormowanych.
8. Przestrzeń sprężona, słaba i słaba* zbieżność.
9. Operator sprzężony, operator sprzężony w przestrzeni Hiberta.
10. Widmo operatora liniowego.
11. Zastosowanie aparatu analizy funkcjonalnej.
Laboratorium:
Wykaz literatury podstawowej:
[1] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa, 2001.
[2] J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa, 1976.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] J. Dieudonne, Foundations of modern analysis, Academic Press, New York and London, 1960.
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
prof. dr hab. Anatolij PLICZKO
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK