Prosty model kinetyki nawęglania stali

Prosty model kinetyki nawęglania stali
Wstęp
Rozpatrujemy nawęglanie z fazy gazowej. Nawęglanie jest w tym modelu limitowane przez dwa
procesy:
(i) transport węgla z atmosfery gazowej do ciała stałego przez granice faz;
(ii) szybkość węgla dyfuzji w stali.
Rozkład stężenia w stali ( x  0) w chwili t  0 jest opisany funkcją c( x, t ).
x
x=0
Dalej zakładamy, że procesem limitującym jest dyfuzja, co oznacza, że przyjmujemy stałe stężenie cP
węgla w fazie gazowej w pobliżu powierzchni stali. Nawęglanie będzie modelowane zatem drugim
prawem Ficka dla dyfuzji w stali oraz odpowiednim warunkiem brzegowym opisującym trasfer
poprzez granicę faz. Stała materiałowa opisująca dyfuzję to współczynnik dyfuzji, D( x, c), [m2 / s]
który w ogólnym przypadku może zależeć od położenia i stężenia węgla, natomiast dla transferu
przez brzeg jest to współczynnik transferu masy  , [m / s].
c  
c 
 t  x  D( x, c) x  , x [0, ), t  0,




  (c  c )   D c , t  0.
P
x 0
x 0

x x 0
(1)
Tak więc dwa główne parametry, które sterują nawęglaniem w tym modelu to wpółczynnik transferu
masy przez granicę (  ) oraz współczynnik dyfuzji w stali D( x, c). Dalej założymy, że oba te
parametry są stałe  nie zależą od położenia i stężenia składników, zatem układ (1) przyjmie postać
 c
 2c

D
, x  [0, ), t  0,

t
x 2

  (c  c(0, t ))   D c (0, t ), t  0.
P
x

(2)
Numeryka
Wprawadzamy jednorodną siatkę punktów odległych o x :
 x0  0,

 xi 1  xi  x, i  0,1, 2,
,
oraz następujące oznaczenia:
cit : c( xi , t ), cSt  c( x0 , t )  c0t .
Dyskretyzacja pochodnej przestrzennej na siatce równomiernej jest dokonana w oparciu o różnicę
centralną:
( 2c / x2 ) xi  (cit1  2cit  cit1 ) /(x)2 ,
(3)
natomiast pochodna czasowa będzie przybliżona zwykłym ilorazem „w przód” (uzyskujemy w ten
sposób jawną metodę Eulera):
(c / t ) xi  (cit t  cit ) / t.
(4)
Wyrażenia (3) i (4) wstawione do (2) dają następujący schemat obliczeniowy dla równania dyfuzji w
jednym wymiarze:
cit t  cit 
D  t t
(ci 1  2cit  cit1 ), dla i  1,2,
(x)2
(5)
Musimy jeszcze uwzględnić warunki brzegowe. Jeden ze sposobów jest następujący. Dyskretyzujemy
równanie na brzegu, tzn. dla x  x0 :
c0t t  c0t 
D  t t
(c1  2c0t  ct 1 ).
(x)2
(6)
Oczywiście c0t  cSt jest wartością, której szukamy (stężenie węgla na brzegu od strony stali), ale
wartość ct 1 jest stężeniem w fikcyjnym punkcie x  x1 (tzw. ghost point). Może się tej wartości
pozbyć dokonując także dyskretyzacji warunku brzgowego:
 (cP  c0t )   D
ct  ct
c
(0, t )   D 1 1 .
x
2x
(7)
W tym przypadku zastosowaliśmy różnicę centralną dla pierwszej pochodnej:
f ( x) 
f ( x  x)  f ( x  x)
.
2x
Łącząc wyrażenia (6) i (7) eliminujemy ct 1 i otrzymujemy równanie na brzegu
c0t t 
 (x)2

D  t  2x
 x  t
c

 2
 1 c0  2c1t   .


P
2
(x)  D
 D

 Dt

(8)
Podsumowując wyprowadzony schemta mamy następujące wzory
D  t t
 t t
t
t
t
ci  ci  (x)2 (ci 1  2ci  ci 1 ), dla i  1, 2, ,


2
ct t  D  t  2x c   (x)  2  x  1 ct  2ct   , dla i  0.


P
1 

 0
 0
(x)2  D
 D

 Dt


(9)
Innym sposobem uwzględnienia warunku brzegowego jest zastosowanie ilorazu róznicowego dla
pochodnej na brzego, ale jednostronnego. Mamy bowiem nastepujace przybliżenie drugiego rzędu
f ( x) 
3 f ( x)  4 f ( x  x)  f ( x  2x)
,
2x
co po zapisaniu dla funkcji c( x, t ) dla x  x0 i uwzględnieniu, że siatka jest jednorodna daje
3c0t  4c1t  c2t
c
( x0 , t ) 
.
x
(x)2
(10)
Możemy teraz wstawić to przyblizenie do warunku brzegowego z równania (2) i uzyskać równanie na
c0t :
 (cP  c( x0 , t ))   D
3c0t  4c1t  c2t
c
( x0 , t ) 
,
x
(x)2
co daje
c0t 
1
 (x)2  c p  4Dc1t  Dc2t .
3D  (x)2 
(11)