plik PDF

Anna Tomaszewska
Jedno małe ziarenko...
Często poszukujemy zadań, które nie
tylko sprawdzą podstawowe umiejętności uczniów, ale także ich zainteresują.
Niełatwo znaleźć zbiory zadań mniej typowych, ale za to ciekawych i inspirujących ucznia do dalszych poszukiwań.
Chciałabym polecić zadanie pochodzące
z maleńkiego zbioru Ziarenka matematyczne 31 . W książce nosi ono tytuł „Patio”. Tutaj ma trochę zmienioną treść.
woduje, że zostaną dodane co najmniej
dwie długości boków płytki. Najdłuższy
brzeg uzyskam, jeśli ułożę płytki tak,
aby brzeg figury był sumą obwodów całych płytek. Tak się stanie, gdy płytki
nie będą się stykać brzegami, a wyłącznie wierzchołkami. Można to osiągnąć
na wiele sposobów, trzy z nich przedstawiono na poniższych rysunkach.
Zadanie
Mamy sześć płytek o wymiarach
1 dm × 1 dm i chcemy nimi wyłożyć
część ogrodu tak, aby wykorzystać
wszystkie, i aby stykały się chociaż
wierzchołkami.
Jeśli ułożymy je tak jak na rysunku 1,
to otrzymamy figurę o brzegu długości
12 decymetrów, wzdłuż którego trzeba
będzie regularnie strzyc trawę.
Jeśli ułożymy je tak jak na rysunku 2, to
brzeg będzie mierzył 14 decymetrów.
Przy jakim układzie płytek brzeg będzie
najkrótszy i jaka wówczas będzie jego
długość? A przy jakim układzie płytek
brzeg będzie najdłuższy? Jakie najmniejsze, a jakie największe długości brzegów
można otrzymać, układając różną liczbę
płytek?
Rozwiązanie zadania
Brzeg ułożonej z płytek figury będzie
najkrótszy i będzie wynosić 10 decymetrów, jeśli płytki ułożę w kształcie
prostokąta o wymiarach 3 płytki na 2
płytki. Każde inne ułożenie płytek spo-
Brzeg będzie miał wówczas długość
6×4 dm = 24 dm. Zastanówmy się, jak to
będzie wyglądać dla innej liczby płytek.
Najmniejszą długość brzegu otrzymam,
gdy ułożę płytki tak, aby otrzymać kwadrat. Jest to ułożenie najbardziej „ścisłe”: boki tych płytek, które do siebie
przylegają, nie będą wliczone do obwodu
– im więcej par boków zostanie „sklejonych”, tym krótszy będzie brzeg. Jeśli liczba płytek nie pozwala na ułożenie kwadratu, wówczas układamy figurę
„zbliżoną do kwadratu”.
W tym miejscu można by zapytać się
o to, jakimi liczbami mogą być długości
obwodów powstałych figur w zależności od liczby płytek. Pytanie w zadaniu
dotyczy obwodów największych i najmniejszych. Obwody największe, jak już
wspomniałam, otrzymuje się przez pomnożenie liczby płytek przez 4. A jaka
jest długość najmniejszego obwodu?
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
Ms31 str. 13
13
Oznaczmy przez n liczbę płytek, a przez
L – najmniejszy obwód otrzymanej figury (w dm).
Jeśli n = 8, to L = 12. Taki obwód mają
na przykład następujące figury:
liczbą płytek a najmniejszym obwodem. Zacznijmy od kwadratu. Oznaczmy
przez k liczbę płytek wzdłuż jednego
boku figury. Wtedy L(n) = 4 · k.
Teraz dokładamy płytki, zaczynając na
przykład z prawej strony kwadratu.
Jeśli n = 9, to mamy kwadrat i L = 4·3 =
= 12.
Dokładając jedną płytkę, zwiększamy
obwód o 2 (zob. poniższy rysunek).
Jeżeli dołożymy kolejne dwie, to nie
zwiększymy obwodu. Dopiero dołożenie
czwartej płytki (można to zrobić na dwa
sposoby, zob. poniższe rysunki) powoduje ponowne zwiększenie obwodu o 2.
Po dołożeniu kolejnych dwóch płytek obwód pozostaje taki sam.
Pierwsza płytka zwiększa obwód o 2, następnych k−1 płytek nie zmienia obwodu
figury, dopiero k + 1 zwiększa go o 2,
czyli:
jeśli n = k2 , to L = 4k,
jeśli n = k2 + l i l k, to L = 4k + 2,
Spróbujmy znaleźć zależność między
14
jeśli n = k2 + l i k < l 2k, to L = 4k + 4.
Wykorzystując powyższe wzory, można
sporządzić wykres zależności najkrótszego obwodu figury od liczby płytek.
Oto wykres dla n 64.
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
Ms31 str. 14
Zaproponowane zadanie można wykorzystać już w szkole podstawowej jako
zadanie podsumowujące i utrwalające
pojęcie figury płaskiej i obwodu figury. Jest to zadanie kształtujące wyobraźnię geometryczną oraz rozwijające
umiejętności budowania modeli matematycznych w odniesieniu do sytuacji
życiowych. Treść zadania może też posłużyć jako pretekst do wykonania pracy
badawczej przez uczniów gimnazjum.
Badaniem można objąć zarówno kształt
figury, jak i jej obwodów w zależności
od liczby płytek. Jeżeli ważne są dla nas
zagadnienia z geometrii płaskiej, można
dla zadanej konkretnej liczby płytek (i na
przykład innej dla każdego ucznia) rozważać budowanie różnych figur (niekoniecznie wypukłych). Można skupić się
tylko na projektowaniu figur lub poszukiwać najmniejszego (czy największego)
obwodu.
Uczniowie, którzy znają pojęcie funkcji, mogą badać zależność najmniejszego obwodu od liczby płytek. Uczniowie bardziej ambitni mogliby ten temat rozważać ogólnie, a pozostałych
można podzielić na grupy i wybrać
dla nich konkretne przypadki do analizy, np. dla liczby płytek ze zbioru
{1, 4, 9, 25, 36, 49, 64, 81, 100} lub dla
liczb podzielnych przez 4 itp.
1
Ziarenka matematyczne 3, tłumaczenie
zespołowe z j. ang. pod redakcją Mirosława Dąbrowskiego, WSiP, Warszawa
1992. O Ziarenkach piszemy też na s. 12.
Pytacie, odpowiadamy
Zadawanie pytań to domena małych
dzieci. Potem z pytaniami jest już trochę
gorzej – nie zawsze wypada lub można
zapytać, trzeba też uważać, żeby pytanie
nie było głupie.
Do końca czerwca bieżącego roku w ramach konkursu „Kto pyta, nie błądzi”
Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe czekało na pytania nauczycieli matematyki
i fizyki uczących w szkołach podstawowych i gimnazjach oraz na pytania ich
uczniów. Miały one dotyczyć problemów
matematycznych bądź fizycznych. Wydawnictwo otrzymało 3741 pytań. Będziemy odpowiadać na niektóre z nich.
Oto pierwsze trzy odpowiedzi, które
przygotowała Agnieszka Piecewska-Łoś.
Od kiedy człowiek posługuje się
liczbami?
Początek umiejętności liczenia ginie
gdzieś w najodleglejszej przeszłości.
Wiemy dość dokładnie, jak byli zbudowani nasi przodkowie, zachowały się bowiem ich kości. Znamy z wykopalisk
pierwsze narzędzia i ozdoby, nie mamy
jednak źródeł, które mogłyby wyjaśnić,
jak kształtowała się mowa, a wraz z nią
– nazywanie liczb. Gdy powstało pismo,
od razu służyło do zapisu liczb (dopiero potem – słów). System sumeryjski (w Mezopotamii) pojawił się około
5000 lat temu, a egipski jeszcze wcześniej. Jednak pierwszy zapis liczby ma
aż 30 000 lat i nie ma nic wspólnego
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
Ms31 str. 15
15