zredukowana modelu

USTALENIA WSTĘPNE
Zmienne z góry ustalone
Zmienne egzogeniczne
Zmienne łącznie współzależne
Opóźnione zmienne endogeniczne
Bieżące zmienne endogeniczne
POSTACIE MODELU O RÓWNANIACH WSPÓŁZALEŻNYCH
POSTAĆ STRUKTURALNA MODELU o równaniach współzależnych w:
A. zapisie skalarnym, dla określonego t
B. zapisie macierzowym
 y1t   21 y 2t   31 y 3t  ....   G1 y Gt   11 x1t   21 x 2t   31 x 3t  ....   k1 x kt   1t
  y  y   y  ....   y   x   x   x  ....   x  
 12 1t
2t
32 3t
G 2 Gt
12 1t
22 2 t
32 3t
k 2 kt
2t

..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.

  1G y1t   2G y 2t   3G y 3t  ....  y Gt   1G x1t   2G x 2t   3G x 3t  ....   kG x kt   Gt
YB  XΓ  ε
POSTAĆ ZREDUKOWANA MODELU o równaniach współzależnych w:
A. zapisie skalarnym, dla określonego t
B. zapisie macierzowym
 y1t   11 x1t   21 x 2t   31 x 3t  ....   k1 x kt   1t
 y   x   x   x  ....   x  
 2t
12 1t
22 2 t
32 3t
k 2 kt
2t

.......................................................

 y Gt   1G x1t   2G x 2t   3G x 3t  ....   kG x kt   Gt
Y  XΠ  V
PROBLEM IDENTYFIKOWALNOŚCI
G*
– liczba zmiennych łącznie współzależnych występujących w j-tym równaniu
G**
– liczba zmiennych łącznie współzależnych nie występujących w j-tym równaniu
G = G* + G**
k*
– liczba zmiennych z góry ustalonych występujących w j-tym równaniu
k**
– liczba zmiennych z góry ustalonych nie występujących w j-tym równaniu
k = k* + k**
Warunek wymiaru
(konieczny, ale niewystarczający):
k** = G* – 1
k** > G* – 1
 równanie jednoznacznie identyfikowalne
(estymacja PMNK lub 2MNK)
 równanie niejednoznacznie identyfikowalne
(estymacja 2MNK)
PMNK – Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów
stosowana do – równań jednoznacznie identyfikowalnych
2MNK – Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów (w naszym przypadku nie należy jej mylić z Dwustopniową
Metodą Najmniejszych Kwadratów);
stosowana do – równań jednoznacznie identyfikowalnych (takie same szacunki jak przy PMNK)
– równań niejednoznacznie identyfikowalnych
Ideą jest wprowadzenie do niejednoznacznie identyfikowalnego równania modelu oszacowanych (teoretycznych)
wartości zmiennych łącznie współzależnych, które w danym równaniu pełnią funkcję zmiennych objaśniających.
MODELE
 I t  10  11 I t 1  12 Rt  1t

 Et   20   21 Et 1   22 I t   23 Pt   24t   2t
R     R   I   E  
30
31 t 1
32 t
33 t 1
3t
 t
Y  XΠ  V
I
(t)
E (t) R (t)

 1
 0

 12
  22
1
0
1
1
  32 
0   1 I (t 1) E (t 1) P(t) t R (t 1)
1 


1
 10
 
 11
 0

 0
 0

 0
  20
0
  21
  23
  24
0
4
2
  30 
0 
  33 
  ε (1t) ε (2t) ε (3t)
0 
0 

  31 


3
Identyfikowalność:
4>1 – równanie niejednoznacznie identyfikowalne
1.
2>1 – równanie niejednoznacznie identyfikowalne
2.
3>1 – równanie niejednoznacznie identyfikowalne
3.
Wniosek: parametry wszystkich trzech równań można estymować 2MNK
M t  10  11Yt  12t  1t
Z     M   Z  
 t
20
21
t
22 t 1
2t

 Rt   30   31Wt 1   32t   3t
Wt   40   41Z t   42 Rt   43Wt 1   4t
M
(t)
Z (t) R (t) W(t)

1   21
0
1

0
0

0
0
0
1
0
0 
0   41 
 1 Y(t) t Z (t 1) W(t 1)
1   42 

0
1 

0
2

 10
 
 11
 12

 0
 0
2
  20
  30
0
0
0
  32
  22
0
0
  31
3
2
Identyfikowalność:
2>0 – równanie niejednoznacznie identyfikowalne
1.
3>1 – równanie niejednoznacznie identyfikowalne
2.
2>0 – równanie niejednoznacznie identyfikowalne
3.
3>2 – równanie niejednoznacznie identyfikowalne
4.
Wniosek: parametry wszystkich czterech równań można estymować 2MNK
Modele dodatkowe:
 y1t   0  1 y 2t 1   2tt   1t

 y 2t  1 y3t  2 x1t  3 x2t 1  0   2t
y     y   y   x  
0
1 2t
2 1t  2
3 2t
3t
 3t
 I t  11 x1t  12 y1t  13 I t 1   1t

 Lt   21 I t 1   22 K t   23 x1t   2t
K   y   L   x  
31 1t
32 t
33 1t
3t
 t
  40 
0 
0   ε (1t) ε (2t) ε (3t) ε (4t)

0 
  43 
3


POŚREDNIA ORAZ PODWÓJNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (PMNK ORAZ 2MNK)
 y1t   21 y 2 t   11 x1t   1t
,

 y 2 t  12 y1t   22 x 2 t   2 t
2
 2
 0
0


 1 0
Y

  3  1
 1 0


  1  1
Model:
 1 0
 0
0


0
 0
dane: X  

  1 0
 0  1


1
 0
 12 
 1
 
B
Γ   11

1 
  21
 0
0 
  22 
pierwotny zapis postaci strukturalnej
Macierze parametrów dla powyższego przykładu
 12 
 y1t   11 x1t   21 x 2 t  v1t

Π   11
zapis postaci zredukowanej


 y 2 t   12 x1t   22 x 2 t  v 2 t
 21  22 
K * *  G * 1 pokazała, że każde równanie jest jednoznacznie identyfikowalne,
Ponieważ identyfikowalność
dlatego można szacować parametry PMNK oraz 2MNK.
Najpierw szacujemy PMNK
ˆ 1  X T X 1 X T y 1
Π
ˆ 2  X T X 1 X T y 2
Π
X X   20
T

0
2

X X 
T
1

1 1 0
,
2 0 1
5
X T y1   
  2
 p  1 1 0  5  2,5
P1   11   
  
 p 21  2 0 1  2   1
 p  1 1 0  3   1,5 
3
P2   12   
XTy2   
   

  1
 p22  2 0 1   1   0,5
 yˆ1t  2,5 x1t  x2 t

 yˆ 2 t  1,5 x1t  0,5 x2 t
 y1t  2,5 x1t  x2 t  e1t

 y2 t  1,5 x1t  0,5 x2 t  e2 t
ΠB   Γ
2,5  1,5b21  c11
 2,5b  1,5  0

12

 1  0,5b21  0
b12  0,5  c22
 yˆ1t  2 y2 t  0,5 x1t
,

 yˆ 2 t  0,6 y1t  0,1x2 t


proponowane zapisy
oszacowanej postaci zredukowanej
Pb  c
1,5  1
 2,5
 1
 0,5  b21

c11  0,5
1,5
b12 
 0,6
2,5
b21  2
 b12 
 c11


 0
1 

0 
 c22 
c22  0,1
 yˆ1t  2 y2 t  0,5 x1t  0

 0,6 y1t  yˆ 2 t  0,1x2 t  0
proponowane zapisy
oszacowanej postaci strukturalnej
Szacowanie na tym samym przykładzie 2MNK
y1t   21 yˆ 2 t   11 x1t   1t
Szacujemy kolejno równanie, zaczynając od pierwszego:
Z 1  yˆ 2
x1 
1
 1,5
 0
0


0
 0
Z1  

  1,5  1 
 0,5
0


0
  0,5
0
1
 1,5
0

 0 
0




0   1,5   0 
0
yˆ 2  XP2  

    1,5

1
0

0
,
5

 



 0  1
 0,5




1
0
  0,5
Z
1
T

5 3
Z1  

3 2 

Z
1
T
Z1

1
 2  3

,
 3 5 
8,5
T
Z1 y 1   
5
b21   2  3 8,5  2 
 c     3 5   5     0,5
  

 11  
yˆ 1t  2 y 2 t  0,5 x1t
Drugie równanie:
y 2 t  12 yˆ 1t   22 x 2 t   2 t
Z 2  yˆ 1
 2 ,5
 0 


 0 
yˆ 1  XP1  

  2 ,5
 1 


 1 
x2 
0
 2,5
 0
0


0
 0
Z2  
,
0
  2,5
 1
1 


1
 1
Z
2
T

14,5  2
Z2  

2 2 

Z
2
T
Z2

1

1 2 2 
25 2 14,5
 b12  1 2 2  8,5 0,6
c   25 2 14,5   1   0,1

   
 22 
yˆ 2 t  0,6 y1t  0,1x 2 t
8,5
T
Z2 y 2   
  1
PRZYKŁAD – PMNK ORAZ 2MNK (SZCZEGÓŁOWA ANALIZA)
Rozważany jest następujący model o równaniach współzależnych:
 y1t  1 y 2t   1 x1t   2 x2t   1t

 2 y1t  y 2t   3 x3t   2t
Na podstawie przedstawionych w tabeli danych statystycznych należy oszacować parametry strukturalne tego modelu.
t
yt1
1
2
3
4
5
2
2
0
1
1
yt 2
1
1
0
1
2
xt1
2
1
2
0
2
xt 2
1
1
1
1
1
xt 3
0
2
0
1
1
ROZWIĄZANIE
Postać strukturalna modelu:
Zapis postaci strukturalnej modelu dla t - tej obserwacji
Krok 1.
y1t  1 y 2t   1 x1t   2 x2t  0 x3t   1t
 2 y1t  y2t  0 x1t  0 x2t   3 x3t   2t
Krok 2.
 y1t  1 y2t   1 x1t   2 x2t  0 x3t
Krok 3.
 y1t  1 y2t
 2 y1t  y2t  0 x1t  0 x2t   3 x3t    1t  2t 
 2 y1t  y2t    1 x1t   2 x2t  0 x3t
1
y 2t 
 1
2 
Krok 4.
 y1t
 x1t
1 
Krok 5.
y T(t ) B  xT(t ) Γ  ε T(t )
x2 t
 1
x3t  2
 0
0 x1t  0 x2t   3 x3t    1t
0
0    1t
 3 
 2t 
Zapis postaci strukturalnej modelu dla n obserwacji
Krok 6.
YB  XΓ  Ε
Ostatecznie uzyskujemy następującą postać strukturalną rozważanego modelu:
YB  XΓ  Ε

2
2

0

1
1
1
1 
1
0 
  1
1
2
2
1
2  
 2
1  
0
2
1
1
1
1
1
0
2   1
0  2

1   0
1 
 1
0   12
0    13

 3   14
 15
 21 
 22 
 23 

 24 
 25 
 2t 
Postać zredukowana modelu:
Krok 1.
YB  XΓ  Ε
Krok 2.
YB  X( Γ)  Ε
Krok 3.
Y  X ( ΓB 1 )  ΕB 1
Krok 4.
Y  XΠ  V
Ostatecznie uzyskujemy następującą postać zredukowaną rozważanego modelu:
 11  12 
Y  XΠ  V , gdzie Π   21  22 
 31  32 
zapis dla n obserwacji:
y1t   11 x1t   21 x2t   31 x3t  v1t
zapis dla t – tej obserwacji:
y 2t   12 x1t   22 x2t   32 x3t  v2t
Szacowanie parametrów strukturalnych pierwszego równania modelu
Zauważamy, że parametry strukturalne pierwszego równania modelu są identyfikowalne jednoznacznie, tzn. spełnionych
jest warunek wymiarów:
liczba zmiennych z góry ustalonych nie występujących w równaniu jest równa liczbie zmiennych łącznie
współzależnych występujących w tym równaniu pomniejszonej o 1, co zapisujemy:
K **  G *  1
Oznacza to, że parametry tego równania mogą zostać oszacowane PMNK oraz 2MNK.
PMNK (pierwsze równanie modelu)
Krok 1. Szacujemy parametry strukturalne postaci zredukowanej modelu:

ˆ  XT X
Estymator: Π


1
XT Y
13 7 4
X T X   7 5 4
 4 4 6
X T X  13  5  6  7  4  4  4  7  4  13  4  4  7  7  6  4  5  4

X T X  390  112  112  208  294  80
X T X  32

 5

 4
1
1  7
XT X 

32  4
 7
 5



4
6
4
6
4
4
7

4
13

4
13

7
4
6
4
6
4
4
7

4
13

4
13

7
5

4
7
4 
7
5 
T
T
8
0,25
 14  26
 0,44  0,81
1
1 


T
X X 
 26
62  24    0,81
1,94  0,75

32
 8  24
 0,25  0,75
16
0,50




8 7 
X Y  6 5
6 5
T
0,25 8 7   0,125 0,250
 0,44  0,81

 p   0,81
1,94  0,75 6 5   0,625 0,250

 0,25  0,75
0,50 6 5  0,500 0,500
Oszacowana postać zredukowana modelu:
yˆ t1  0,125 x1t  0,625 x2t  0,500 x3t
yˆ t 2  0,250 x1t  0,250 x2t  0,500 x3t
Krok 2. Szacujemy parametry strukturalne pierwszego równania postaci strukturalnej modelu:
Na podstawie równości:
pb  c
 0,125 0,250
  c1
 0,625 0,250  1 b2    c

 b 1   2
  0
 0,500 0,500  1

0 
0 
 c3 
Wyprowadzamy układ równań dla parametrów pierwszego równania modelu:
 0,125  0,250b1  c1

0,625  0,250b1  c2
 0,500  0,500b  0
1

którego rozwiązaniem są następujące wartości:
b1  1
c1  0,125
c2  0,375
Oszacowana postać pierwszego równania:
yˆ1t  y 2t  0,125 x1t  0,375 x2t  0
2MNK (pierwsze równanie modelu)
Ogólny schemat:
Szacujemy parametry strukturalne równania:
y1t   1 yˆ 2t   1 x1t   2 x2t  1t
y1  yˆ 2
  1 
x 2     1   ξ1
   2 
x1
y1  Z1β1  ξ1
korzystając z estymatora KMNK:

T
B1  Z1 Z1

1
Z1 y 1
Krok 1. Wyznaczamy wektor wartości teoretycznych ŷ 2
Korzystając z oszacowanej postaci zredukowanej modelu otrzymujemy:
ˆ  Xp
Y
yˆ 1
yˆ 2   Xp1 p 2 
a więc:
yˆ 2  Xp2
2
1

yˆ 2  2

0
2
1
1
1
1
1
0
0,75

2 0,25 0,50
0 0,25  0,75



1  0,50 0,75
1,25 
1 
Krok 2. Wyznaczamy macierz Z1 oraz wektor y1
Z1  yˆ 2
x1
0,75
0,50

x 2   0,75

0,75
 1,25
2
1
2
0
2
1
1
1

1
1
 2
 2
 
y 1  0 
 
1 
1
Krok 3. Wyznaczamy wektor ocen
  b1   5,50 7,00
b1    c1    7,00 13,00
 c2   5,00 7,00
5,00
7,00
5,00
Oszacowana postać równania:
yˆ t1  yt 2  0,125 xt1  0,375 xt 2  0
1
0,00  2,00 6,50  1,000
6,50  2,00
8,00    0,00
0,31  0,44 8,00    0,125

 
6,00  2,00  0,44
2,81 6,00  0,375