Własności asymptotyczne oraz własności Szego dla

Transkrypt

Uniwersytet Jagielloński
Instytut Matematyki
PRACA DOKTORSKA
WŁASNOŚCI ASYMPTOTYCZNE
ORAZ WŁASNOŚCI SZEGÖ
DLA WYBRANYCH KLAS OPERATORÓW
OGRANICZONYCH
Autor:
mgr Patryk Pagacz
Promotor:
dr hab. Marek Kosiek
Kraków 2014
Podziękowania
Pragnę serdecznie podziękować mojemu promotorowi dr. hab. Markowi Kosiekowi za zainteresowanie mnie tematyką asymptotycznych
własności operatorów oraz współpracę nad tematyką związaną z własnościami Szegö. Chciałbym jednocześnie wyrazić szczególną wdzięczność za wielką życzliwość, wyrozumiałość i cierpliwość okazywaną mi
podczas całych moich studiów doktoranckich.
Panu prof. dr. hab. Jaroslavowi Zemankowi dziękuję za wszelkie
dyskusje matematyczne, w tym skierowanie mojej uwagi na operatory
potęgowo ograniczone. Dziękuję za ciepłą gościnność, która towarzyszyła mi zarówno podczas półrocznego stażu w Polskiej Akademii Nauk
w Warszawie jak i podczas seminarium ”Teoria Operatorów”.
Panom dr. Zbigniewowi Burdakowi oraz doc. dr. hab. Markowi Słocińskiemu dziękuję serdecznie za owocną współpracę nad wspólnym artykułem. Jestem również wdzięczny Panu dr. Zbigniewowi Burdakowi
za pomoc w redakcji rozprawy doktorskiej.
Panu dr. Michałowi Wojtylakowi dziękuję za zainteresowanie mnie
tematyką wykraczającą poza ramy rozprawy doktorskiej oraz wszelką
pozytywną motywację.
Serdecznie dziękuję Panu prof. dr. hab. Janowi Stochelowi za wykłady, które zdecydowały o kierunku moich zainteresowań matematycznych oraz za wszelką udzieloną mi pomoc w trakcie studiów doktoranckich.
Panu prof. dr. hab. Yuriemu Tomilovowi dziękuję za wskazanie mi
pominiętej literatury.
Dziękuję Pani mgr Ewie Jankowskiej oraz Panu mgr. Krzysztofowi
Wilguckiemu za skierowanie mnie na ścieżki matematyki.
Wreszcie pragnę podziękować całej mojej rodzine, a przede wszystkim moim wspaniałym rodzicom Teresie i Jarosławowi oraz siostrze
Małgorzacie.
Spis treści
Wstęp
3
Rozdział 1. Preliminaria
7
Rozdział 2. Własności asymptotyczne
2.1. Silna stabilność a klasa operatorów C0·
2.2. Ciągi wsteczne a asymptotyczne własności operatorów
potęgowo ograniczonych
2.3. Postać potęgowo ograniczonych operatorów o normowostałych ciągach wstecznych
2.4. Zastosowania w przypadku kontrakcji
2.5. Ograniczenia metody opartej na asymptocie izometrycznej
2.6. Klasa operatorów C·0 a własność Putnama-Fuglede
2.7. Które klasy operatorów posiadają własność PutnamaFuglede?
10
10
11
15
17
23
25
28
Rozdział 3. Rozkłady typu Szegö
3.1. Miary Szegö dla izometrii
3.2. Rozkłady typu Szegö
3.3. Opis rozkładu H = H0 ⊕ Hw
3.4. Przykład
3.5. Inny rozkład typu Szegö
3.6. Redukcja Problemu Podprzestrzeni Niezmienniczej
38
38
40
41
45
48
50
Bibliografia
53
2
Wstęp
Asymptotyka orbit operatorów ograniczonych na przestrzeniach Hilberta jest pojęciem często badanym zarówno z uwagi na samą Teorię
Operatorów jak i na jej zastosowania w innych dziedzinach matematyki.
W niniejszej rozprawie skupiliśmy się na dwóch aspektach asymptotyki
operatorów ograniczonych rozumianej zgodnie z Definicją 1.0.1.
Pierwszym z nich jest rozwinięcie idei Putnama z 1975 roku przedstawionej w pracy [49]. Putnam pokazał, że zupełnie nieunitarna część
hiponormalnej kontrakcji jest klasy C·0 . W ten sposób rozpoczęto badanie warunków normowych implikujących silną stabilność danej kontrakcji lub jej sprzężenia. Już w roku 1977 Okubo pokazał, że wynik
ten można rozszerzyć na paranormalne kontrakcje (zob. [43]). Następnie w pracach [16, 19] Duggal oraz Kubrusly przenieśli wynik Putnama na klasę kontrakcji k-paranormalnych, (p, 1)-quasihiponormalnyh
oraz (1, k)-quasihiponormalnych (zob. Definicje 2.4.2, 2.4.4). W rozprawie przedstawiono dalsze uogólnienia wyniku Putnama (zob. Podrozdział 2.4), m. in. na klasę n-hiperkontrakcji oraz (p, k)-quasinormalnych
kontrakcji. Jednak głównym celem pierwszego rozdziału nie jest rozszerzenie wyniku Putnama na kolejne klasy kontrakcji, ale podanie kryterium, które pozwala na prostą weryfikację asymptotyki danej klasy
operatorów. Narzędziem pozwalającym na skuteczą weryfikację warunków normowych definiujących klasy operatorów jest pojęcie tzw. ciągów
wstecznych.
Definicja 2.2.1. Dla operatora T ∈ B(H), ciąg {xn }n∈N ⊂ H
nazywamy ciągiem wstecznym (względem T ) wtedy i tylko wtedy, gdy
T xn+1 = xn , dla każdego n ∈ N.
Dodatkowo, jeżeli rozważany ciąg jest ograniczony, to nazwiemy go
ograniczonym ciągiem wstecznym.
Wspomniane powyżej narzędzie można przedstawić w formie następującego kryterium.
3
WSTĘP
4
Twierdzenie 2.4.1. Niech T ∈ B(H) będzie kontrakcją. Następujące warunki są równoważne :
• dla każdego ograniczonego ciągu wstecznego {xn }n∈N względem
T , ciąg jego norm {kxn k}n∈N jest stały,
• zupełnie nieunitarna część operatora T jest klasy C·0 .
2
Wynik ten poprzedziliśmy ogólniejszym rezultatem (zob. Twierdzenie 2.3.3) dotyczącym operatorów potęgowo ograniczonych. Jest to odpowiedź na pytanie Pana prof. dr. hab. Jaroslava Zemanka, dotyczące
uogólnienia Twierdzenia 2.4.1. W celu rozszerzenia kryterium na operatory potęgowo ograniczone posłużyliśmy się konstrukcją asymptoty
izometrycznej pochodzącą od Szökefalvi-Nagya (zob. [51]) rozwiniętą
dalej przez Kérchy’ego (zob. [29]).
Część rozważań stojąca u podstaw wykorzystania ciągów wstecznych w przypadku operatorów potęgowo ograniczonych ma swój odpowiednik dla ograniczonych ciągłych półgrup operatorów na przestrzeni
Banacha (zob. np. [11, 14, 54]). Ciągłym odpowiednikiem pojęcia ciągów wstecznych są tzw. zupełne trajektorie (zob. [54]). Dzięki uwagom
Pana prof. dr. hab. Yuria Tomilova fakt ten nie pozostał pominięty.
W tym miejscu pragnimy jednak zaznaczyć, że uzyskane wyniki dyskretne powstały bez wiedzy nt. przypadku ciągłego.
Ostatnim akcentem pierwszego rozdziału jest próba odniesienia uzyskanych rezultatów do ogólnego przypadku operatorów ograniczonych,
nie koniecznie potęgowo ograniczonych. Własność asymptotycznej zbieżności zastąpiliśmy słabszym warunkiem, tzw. własnością PutnamaFuglede (zob. Definicja 2.6.1) ściśle związanym z Twierdzeniem Putnama-Fuglede. Z uwagi na brak narzędzi odpowiadających asymptocie izometrycznej zdecydowaliśmy się na bezpośrednią weryfikację własności Putnama-Fuglede dla wcześniej rozpatrywanych klas operatorów. Między innymi ponownie wykorzystując technikę ciągów wstecznych pokazaliśmy, że operatory k ∗ -paranormalne posiadają własność
Putnama-Fuglede. Jednak najważniejszym rezultatem uzyskanym na
zakończenie pierwszego rozdziału jest przykład operatora paranormalnego nieposiadającego wspomnianej własności. Przykład ten przedstawia operator paranormalny S oraz operator unitarny U takie, że zachodzi SX = XU dla pewnego operatora X, ale jednocześnie nie zachodzi
WSTĘP
5
warunek S ∗ X = XU ∗ . W ten sposób pokazaliśmy, że żadna asymetryczna wersja Twierdzenia Putnama-Fuglede dla operatorów paranormalnych nie jest prawdziwa.
Zdecydowana większość wyników zawartych w pierwszym rozdziale
pochodzi z prac [44, 45, 46].
Drugim poruszanym aspektem własności asymptotycznych jest ich
wpływ na Problem Podprzestrzeni Niezmienniczych (Problem 3.6.1).
Problem ten w prosty sposób można sprowadzić do problemu dla kontrakcji klasy C10 oraz C00 (zob. Podrozdział 3.6). W świetle rezultatów
uzyskanych w drugim rozdziale rozprawy doktorskiej redukujemy przypadek kontrakcji klasy C10 do przypadku kontrakcji klasy C10 , której
asymptota izometryczna jest absolutnie ciągłym operatorem unitarnym
bez wektorów wędrujących (zob. Twierdzenie 3.6.2), gdzie wektory wędrujące definujemy jak następuje.
Definicja 3.1.3. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią. Wektor w nazwiemy wędrującym jeśli
hV n w, wi = 0,
dla dowolnego n ∈ N+ .
Treść drugiego rozdziału rozprawy doktorskiej jest kontynuacją idei
przedstawionych przez Mlaka, Foiaşa oraz Suciu dotyczących miar Szegö
(zob. [21, 39, 40]). Skupiamy się w nim na rozkładach izometrii reprezentujących własności Szegö miar spektralnych. Tego typu rozkłady
nazywamy rozkładami typu Szegö (zob. Definicja 3.2.1). Istotę rozważań prowadzonych w tym rozdziale zajmuje rozkład typu Szegö powstały dzięki domkniętemu liniowemu rozpięciu wszystkich wektorów
wędrujących dla danej izometrii. Głównym rezultatem uzyskanym w tej
części rozprawy doktorskiej jest opis rozważanego rozkładu w języku
klasycznego rozkładu Lebesgue’a dla operatorów unitarnych. Wynik
ten został opublikowany w pracy [13].
Twierdzenie (por. Twierdzenia 3.3.7, 3.2.3). Niech V ∈ B(H)
będzie izometrią oraz niech Hw będzie domkniętą podprzestrzenią rozpinaną przez wszystkie wektory wędrujące dla V .
Wtedy Hw jest podprzestrzenią redukującą izometrię V oraz rozkład
H = H0 ⊕ Hw można opisać jak następuje:
• Jeśli V jest operatorem unitarnym nieposiadającym wektorów
wędrujących, to H0 = H,
WSTĘP
6
• w przeciwnym przypadku, mamy H0 = Hsing
oraz Hw = Hac ⊕ Hs .
2
Dodatkowo podaliśmy inny rozkład typu Szegö (zob. Twierdzenie
3.5.2) oraz zaprezentowaliśmy jego częściowy opis (zob. Twierdzenie
3.5.3). Pytaniem otwartym pozostaje prawdziwość tego opisu w sytuacji ogólnej (zob. Problem 3.5.4).
ROZDZIAŁ 1
Preliminaria
Symbole N, N+ , Z, R i C będą oznaczać odpowiednio zbiór liczb
całkowitych nieujemnych, zbiór liczb całkowitych dodatnich, zbiór liczb
całkowitych, zbiór liczb rzeczywistych oraz zbiór liczb zespolonych.
Symbole H oraz K rezerwujemy dla zespolonych przestrzeni Hilberta. Przestrzeń zespolonych ciągów sumowalnych z kwadratem będziemy oznaczać przez l2 . Symbol L2 (σ, µ) rezerwujemy dla przestrzeni
generowanej przez funkcje całkowalne z kwadratem względem miary
µ o nośniku σ. Ponadto L2 (µ) := L2 (T, µ), gdzie przez T oznaczamy okrąg jednostkowy. Domknięcie w L2 (µ) algebry wszystkich wielomianów analitycznych oznaczamy przez H 2 (µ). Jeśli m jest miarą
Lebesgue’a na okręgu jednostkowym, to H 2 := H 2 (m) jest klasyczną
przestrzenią Hardy’ego.
Domknięcie liniowego rozpięcia podzbioru A przestrzeni H będziemy oznaczać przez span A.
Przez operator ograniczony na H rozumiemy liniowe odwzorowanie T : H → H ograniczone na kuli jednostkowej, tzn. sup kT (x)k <
kxk=1
∞. Przeciwobraz zera nazywamy jądrem operatora T oraz oznaczamy
przez N (T ). Obraz operatora T będzie oznaczać przez R(T ). Algebrę
operatorów ograniczonych na danej przestrzeni Hilberta H oznaczamy
przez B(H). Podprzestrzeń M ⊂ H nazywamy redukującą dla operatora T ∈ B(H), gdy M jest niezmiennicza dla T oraz dla T ∗ , gdzie
T ∗ oznacza operator sprzężony do operatora T . Operator T nazwiemy normalnym(unitarnym), jeśli zachodzi T ∗ T = T T ∗ (odp. T ∗ T =
Id = T T ∗ ). Dalej, operator T nazwiemy kontrakcją(izometrią), jeśli
kT k ¬ 1 (odp. T*T=Id ). Klasą operatorów zachowującą wiele własności kontrakcji są tzw. operatory potęgowo ograniczone, gdzie operator
T ∈ B(H) nazywamy potęgowo ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy
sup kT n k < ∞. Operator T ∈ B(H) nazywamy dodatnim(ozn. T 0),
n∈N
gdy hT x, xi 0 dla x ∈ H.
7
1. PRELIMINARIA
8
Spośród wszystkich operatorów ograniczonych możemy wyróżnić
kilka klas operatorów posiadających szczególe własności asymptotyczne.
Definicja 1.0.1. Operator T ∈ B(H) nazywamy
• operatorem klasy C0· wtedy i tylko wtedy, gdy inf kT n xk = 0,
n∈N
dla dowolnego x ∈ H,
• operatorem klasy C1· wtedy i tylko wtedy, gdy inf kT n xk > 0,
n∈N
dla dowolnego x ∈ H,
• operatorem klasy C·0 wtedy i tylko wtedy, gdy T ∗ jest klasy C0· ,
• operatorem klasy C·1 wtedy i tylko wtedy, gdy T ∗ jest klasy C1· ,
• operatorem klasy Cij wtedy i tylko wtedy, gdy T jest operatorem
klasy Ci· oraz C·j , dla i, j ∈ {0, 1}.
Symbole σ(T ), σp (T ) oraz σap (T ) oznaczają odpowiednio widmo,
widmo punktowe oraz widmo aproksymatywne operatora T . Dokładniej λ ∈ σ(T ) wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje ograniczony operator
odwrotny do λ−T . Dalej λ ∈ σp (T ), gdy istnieje niezerowy x ∈ H taki,
że T x = λx oraz λ ∈ σap (T ), gdy istnieje ciąg wektorów xn ∈ H takich,
że kxn k = 1 oraz k(λ − T )xn k → 0 dla n → ∞.
Przypomnijmy dwa klasyczne rozkłady.
Twierdzenie 1.0.2 (Wold [56]). Niech V ∈ B(H) będzie izometrią.
Wtedy istnieje jedyny redukujący rozkład H = Hu ⊕ Hs taki, że V |Hu
jest operatorem unitarnym, a V |Hs jest przesunięciem jednostronnym.
Ponadto,
Hu =
\
n∈N
V n H,
Hs =
M
V n (H V H).
n∈N
2
Dla izometrii V operator V |Hu nazywamy częścią unitarną operatora V , a V |Hs nazywamy częścią przesunięcia jednostronnego operatora
V.
Niech E oznacza miarę spektralną minimalnego unitarnego rozszerzenia izometrii V ∈ B(H). Wtedy nieujemną miarę borelowską na
okręgu jednostkowym B(T) 3 ω 7→ hE(ω)x, xi nazywamy miarą elementarną. Twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie miary (zob. [23]) mówi
o tym, że każdą nieujemną miarę µ można zapisać jako sumę miary
absolutnie ciągłej względem miary Lebesgue’a oraz miary singularnej
1. PRELIMINARIA
9
względem miary Lebesgue’a. W konsekwencji otrzymujemy rozkład Lebesgue’a dla operatorów unitarnych.
Twierdzenie 1.0.3 (Lebesgue). Niech V ∈ B(H) będzie operatorem unitarnym. Wtedy istnieje jedyny rozkład H = Hac ⊕ Hsing redukujący V taki, że
• przestrzeń Hac składa się z wektorów, których miary elementarne są absolutnie ciągłe względem miary Lebesgue’a,
• przestrzeń Hsing składa się z wektorów, których miary elementarne są singularne względem miary Lebesgue’a.
2
Dla operatora unitarnego V operator V |Hac nazywamy częścią absolutnie ciągłą operatora V , a V |Hsing nazywamy częścią singularną
operatora V .
ROZDZIAŁ 2
Własności asymptotyczne
Ten rozdział rozprawy będzie głównie poświęcony własnościom asymptotycznym operatorów ograniczonych zaprezentowanym w Definicji 1.0.1.
2.1. Silna stabilność a klasa operatorów C0·
Silna stabilność operatora T ∈ B(H) (tzn. ciąg operatorów {T n }n∈N
jest zbieżny do 0 w silnej topologii operatorowej) implikuje przynależność do klasy operatorów C0· . Przeciwna implikacja nie jest jednak
prawdziwa. Co więcej każda orbita operatora klasy C0· , może nie być
zbieżna do zera. Aby to zobaczyć przyjrzyjmy się poniższemu przykładowi.
Przykład 2.1.1. Niech {Nk }k∈N będzie ciągiem liczb naturalnych takim, że
(
N1 = 1
Nk+1 = 3Nk + 2Nk2 , dla k ∈ N+ .
Rozpatrzmy przesunięcie ważone S z wagami w1 , w2 , ... (tzn.
S : l2 3 (x1 , x2 , ...) 7→ (0, w1 x1 , w2 x2 , ...) ∈ l2 ), gdzie




w1 = 1
wi = 21 , dla i = Nk + 1, Nk + 2, ..., 3Nk



wi = 2 Nk , dla i = 3Nk + 1, 3Nk + 2, ..., Nk+1 .
1
Przy tak określonych wagach otrzymujemy wNk +1 wNk +2 · · · · · wNk+1 = 1
dla każdego k ∈ N+ .
Niech {en }n∈N oznacza bazę kanoniczną w l2 . Dla niezerowego elementu x = (x1 , x2 , ...) ∈ l2 istnieje indeks i0 taki, że xi0 6= 0. Na mocy definicji operatora S otrzymujemy S Nk e1 = eNk +1 , dla dowolnego
1
|xi0 |. Ostateczk ∈ N. Zatem kS Nk −i0 xk kS Nk −i0 xi0 ei0 k = w1 w2 ·...·w
i0
n
nie, S x 6→ 0, dla dowolnego niezerowego elementu x ∈ l2 . Czyli S jest
zupełnie nie silnie stabilny.
Wykażemy, że jest to operator klasy C0· . Aby się o tym przekonać
ustalmy x = (x1 , x2 , ...) ∈ l2 , ε > 0 oraz bez straty dla ogólności
10
2.2. CIĄGI WSTECZNE A ASYMPTOTYCZNE WŁASNOŚCI...
11
rozumowania załóżmy, że kxk = 1. Ciąg {Nk }k∈N jest silnie rosnący,
∞
P
więc istnieje N ∈ {Nk |k = 1, 2, ...} takie, że
|xi |2 <
i=N +1
1
2N
2
N
X
|xj |2 kS 2N ej k2 =
j=N +1
|xi |2 kS N (wi wi+1 ...wi+N −1 ei+N )k2 +
i=1
N
X
∞
X
|xi |2 kS 2N ei k2 +
i=1
N
X
oraz
< 2ε . Dzięki temu otrzymujemy:
kS 2N xk2 =
=
ε
32
∞
X
|xj |2 |wj wj+1 ...wj+2N −1 |2 ¬
j=N +1
i−1
1
¬
|xi | kwi wi+1 ·...·wN ·
2
i=1
2
¬
N
X
i=1
|xi |2 k
N
1
2
N
2
S ei+N k +
ei+2N k2 +
∞
X
j=N +1
1
1
1
|xj |2 | 2| N 2 N {z
· ... · 2 N} |2 ¬
2N
ε ε
ε
16 ¬ kxk + = ε. 32
2 2
Jednak kontrakcje klasy C0· są operatorami silnie stabilnymi. Podobnie, operator potęgowo ograniczony jest klasy C0· wtedy i tylko
wtedy, gdy jest operatorem silnie stabilnym.
Rzeczywiście, jeśli T ∈ B(H) jest operatorem klasy C0· , to dla ustalonego x ∈ H oraz ε > 0 istnieje k ∈ N takie, że kT k xk < ε. Zatem dla
dowolnego m > k otrzymujemy
kT m xk = kT m−k T k xk ¬ kT m−k kkT k xk ¬ ε sup kT n k.
n∈N
2.2. Ciągi wsteczne a asymptotyczne własności operatorów
potęgowo ograniczonych
W ninejszym podrozdziale zaprezentujemy narzędzie, pozwalające
na użyteczną charakteryzację asymptotycznych własności operatorów,
czyli tzw. ograniczone ciągi wsteczne.
Definicja 2.2.1. Dla operatora T ∈ B(H), ciąg {xn }n∈N ⊂ H
nazywamy ciągiem wstecznym (względem T ) wtedy i tylko wtedy, gdy
T xn+1 = xn , dla każdego n ∈ N.
Dodatkowo, jeżeli rozważany ciąg jest ograniczony, to nazwiemy go
ograniczonym ciągiem wstecznym.
Większość rozważań prowadzonych w tym podrozdziale może, a nawet powinna być widziana jako dyskretna wersja rezultatów znanych
dla ograniczonych ciągłych półgrup operatorów na przestrzeni Banacha
(zob. np. [11, 14, 54]). Tak ciągłym odpowiednikiem pojęcia ciągów
12
wstecznych są tzw. zupełne trajektorie (zob. [54]). Stabilność ciągłych
półgrup operatorów jest tematem licznych prac. Pracą pozwalającą na
zapoznanie się z tą tematyką jest przeglądowy artykuł [14]. W tym
miejscu pragniemy jednak zaznaczyć, że uzyskane wyniki dyskretne
powstały bez wiedzy nt. przypadku ciągłego.
Zanim przejdziemy do charakteryzacji operatorów potęgowo ograniczonych klasy C·0 oraz C·1 , przypomnijmy konstrukcję pochodzącą
od Szökefalvi-Nagya [51] (zob. również [29]).
Ustalmy przestrzeń Hilberta H oraz operator potęgowo ograniczony
T ∈ B(H). Dla ustalonej granicy Banacha φ forma półtoraliniowa
[x, y] := φ({hT ∗n x, T ∗n yi}n∈N )
jest semi-iloczynem skalarnym. Przestrzeń ilorazowa H/H0 , gdzie H0 :=
{x ∈ H : [x, x] = 0} wyposażona w iloczyn skalarny [x + H0 , y + H0 ] =
[x, y] jest przestrzenią unitarną. Niech K oznacza przestrzeń Hilberta,
która jest uzupełnieniem przestrzeni H/H0 oraz niech X oznacza naturalny operator rzutowania, tzn. X : H 3 x 7→ x + H0 ∈ K. Wtedy
dla dowolnego x ∈ H otrzymujemy
kXxk = kXT ∗ xk.
Wobec tego istnieje izometria V : K → K taka, że V X = XT ∗ .
Izometria V nazywana jest asymptotą izometryczną operatora T ∗ .
Poniższy lemat pokazuje związek pomiędzy ciągami wstecznymi,
a powyższą konstrukcją. Przyjmijmy oznaczenie O(T ) := {x ∈ H :
istnieje {xn }n∈N ograniczony ciąg wsteczny względem T taki, że x =
x0 }.
Lemat 2.2.2. Niech T ∈ B(H) będzie operatorem potęgowo ograniczonym. Wtedy
X ∗ (K) = O(T ),
gdzie X oznacza operator rzutowania zdefiniowany w powyższej konstrukcji.
Dowód. Ustalmy x ∈ K. Niech xn := X ∗ V n x, gdzie V jest asymptotą izometryczną operatora T ∗ . Wtedy wobec równości X ∗ V ∗ = T X ∗ ,
dla dowolnego n ∈ N, zachodzi
T xn+1 = T X ∗ V n+1 x = X ∗ V ∗ V n+1 x = xn .
Co więcej kxn k ¬ kX ∗ kkV n xk = kXkkxk. Zatem X ∗ x = x0 ∈ O(T ).
Wobec dowolności wyboru x ∈ K otrzymujemy X ∗ (K) ⊂ O(T ).
13
Dla dowodu przeciwnej inkluzji ustalmy x ∈ O(T ). Z definicji zbioru O(T ) wynika, że istnieje ograniczony ciąg wsteczny {xn }n∈N rozpoczynający się od x. Niech y ∈ H, wówczas
|hx, yi| = |hT n xn , yi| = |hxn , T ∗n yi| ¬ kxn kkT ∗n yk
dla n ∈ N. Zatem |hx, yi| ¬ sup kxn k lim
inf kT ∗n yk ¬ sup kxn kkXyk,
n→∞
n∈N
n∈N
więc na mocy Twierdzenia 1 z [50] otrzymujemy że x ∈ X ∗ (K).
Uwaga 2.2.3. Operator X jest jednoznaczy z dokładnością do wyboru granicy Banacha, jednak obraz X ∗ (K) nie jest zależny od wyboru
granicy Banacha.
Jak wspomnieliśmy we wcześniejszym podrozdziale dla operatora
potęgowo ograniczonego T ∈ B(H) oraz ustalonego x ∈ H, zachodzi
kT n xk → 0 ⇐⇒ inf kT n xk = 0.
n∈N
Wobec tego dla operatora potęgowo ograniczonego T oraz X pochodzącego z konstrukcji asymptoty izometrycznej mamy N (X) = {x ∈
H : T ∗n x → 0}. Zatem na mocy rozkładu H = N (X) ⊕ X ∗ (K) otrzymujemy:
Wniosek 2.2.4. Niech T ∈ B(H) będzie operatorem potęgowo ograniczonym, wówczas
H = {x ∈ H : T ∗n x → 0} ⊕ O(T ).
Na mocy powyższego wniosku otrzymujemy następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.2.5. Potęgowo ograniczony operator T ∈ B(H) jest
2
klasy C·1 wtedy i tylko wtedy, gdy O(T ) = H.
Prostym jest fakt, że zbioru O(T ) nie da się zastąpić zbiorem wszystkich początków ciągów wstecznych. Ciekawszym jest fakt, że rozważany zbiór O(T ) może być istotnie mniejszy od zbioru początków ciągów
wstecznych nawet w przypadku gdy ich domknięcia są równe (czyli
w przypadku operatorów klasy C·1 ). Aby się o tym upewnić przyjrzyjmy się poniższemu przykładowi.
Przykład 2.2.6. Niech H = l2 . Rozważmy ośrodkową przestrzeń HilP
berta H := l2 (H) = {{xn }n∈N ⊂ H|
kxn k2 < ∞} z normą zadaną
n∈N
w naturalny sposób k{xn }n∈N k :=
rP
n∈N
będziemy oznaczać przez
L
14
kxn k2 . Elementy przestrzeni H
xn .
n∈N
Niech Sw oznacza ważone przesunięcie wsteczne z wagami w =
(w1 , w2 , ...), tzn. Sw : H 3 (x1 , x2 , ...) 7→ (w1 x2 , w2 x3 ...) ∈ H. Jeśli weź1
1
miemy win = ( n1 ) i−1 − i dla wszystkich n ∈ N, i > 2 oraz w1n = w2n = 1
L
dla wszystkich n ∈ N+ , to T =
Swn jest kontrakcją klasy C·1 .
Istotnie, mamy T m =
n∈N
L
n∈N
Swmn (x1 , x2 , x3 , ...)
=
(w1n w2n
Swmn , gdzie
n
n
· ... · wm
xm+1 , w2n w3n · ... · wm+1
xm+2 , ...)
1
1
n
oraz lim w1n w2n · ... · wm
= lim ( n1 ) 2 − m = √1n > 0.
m→∞
Lm→∞
Rozważmy teraz x =
( n1 , 0, 0, ...) ∈ H. Element x jest początkiem
n∈N
ciągu wstecznego {an }n∈N , gdzie am =
L
n∈N+
1
1
(0, 0, ..., 0, ( n1 ) 2 + m , 0, 0, ...) ∈
|
{z
m
}
H dla m ∈ N. Załóżmy teraz nie wprost, że {bm }m∈N ⊂ H jest ciągiem wstecznym o początku w x. Wtedy x = T m bm , a zatem mamy
L
1
1
bm =
(q1 , q2 , ..., qm , ( n1 ) 2 + m , 0, 0, ...) dla pewnych zespolonych liczb
n∈N
q1 , q2 , ..., qm . Czyli kam k ¬ kbm k, ale kam k2 =
P 1 2( 1 + 1 )
( ) 2 m
n∈N
m → ∞). Ostatecznie x 6∈ O(T ).
n
→ ∞ (dla
2
Kolejną ważną konsekwencją Wniosku 2.2.4 jest następujące, znane
wcześniej, twierdzenie.
Twierdzenie 2.2.7 (Vũ, [55]). Potęgowo ograniczony operator T ∈
B(H) jest klasy C·0 wtedy i tylko wtedy, gdy O(T ) = {0}.
2
Inny dowód tego twierdzenia (w przypadku operatorów potęgowo
ograniczonych na przestrzeni Banacha) oraz analogicznej wersji w przypadku ciągłych półgrup można znaleść w pracy [55].
Wniosek 2.2.8. Niech T ∈ B(H) będzie odwracalnym, potęgowo
ograniczonym operatorem. Wówczas T ∗n x → 0 dla każdego x ∈ H
wtedy i tylko wtedy gdy kT −n xk → ∞ dla każdego x ∈ H.
Dowód. Operator T ∗ jest potęgowo ograniczony. Dla dowodu pierwszej implikacji załóżmy, że T ∗ jest operatorem silnie stabilnym, czyli
operatorem klasy C0· . Na mocy Twierdzenia 2.2.7 otrzymujemy, że każdy nietrywialny ciąg wsteczny operatora T ∗ jest nieograniczony. Dla
2.3. POSTAĆ POTĘGOWO OGRANICZONYCH OPERATORÓW...
15
dowolnego x ∈ H ciąg xn = T −n x jest ciągiem wstecznym. Zatem
sup kT −n xk = ∞ dla każdego x ∈ H.
n∈N
Teraz jeśliby dla jakiegoś x ∈ H istniał wstępujący ciąg {nk }k∈N
taki, że sup kT −nk xk < N , to dla dowolnego n ∈ N otrzymalibyśmy
k∈N
kT −n xk = kT nk −n T −nk xk ¬ kT nk −n kkT −nk xk ¬ N sup kT n k,
n∈N
gdyż nk > n dla pewnego k ∈ N. W konsekwencji dla każdego x ∈ H
mamy kT −n xk = ∞.
Przeciwna implikacja jest automatyczną konsekwencją Twierdzenia
2.2.7.
2.3. Postać potęgowo ograniczonych operatorów o
normowo-stałych ciągach wstecznych
Do prezentacji centralnego wyniku tego rozdziału będziemy potrzebować następującego wyniku, który jest uogólnieniem Stwierdzenia
VII.3.4 z [52].
Lemat 2.3.1 (Kérchy, [29]). Jeśli T ∈ B(H) jest operatorem potęgowo ograniczonym, to T może być przedstawione w następującej postaci
"
(2.3.1)
#
T11 T21
,
0 T22
gdzie T11 , T22 są potęgowo ograniczone, T11 jest klasy C0· oraz T22 jest
klasy C1· .
Dowód powyższego lematu można znaleźć w pracy [29], nie mniej
jednak zaprezentujemy tu odrębne rozumowanie.
Dowód. Oznaczmy N := {x ∈ H| T n x → 0}. Wtedy przestrzeń
N , z uwagi na potęgową ograniczoność T , jest domknięta. Ponadto
przestrzeń ta jest niezmiennicza dla T . Zatem postać macierzowa operatora T względem rozkładu H = N ⊕ N ⊥ jest postaci (2.3.1). Wobec tego operator T11 = T |N jest operatorem (potęgowo ograniczonym) klasy C0· . Przestrzeń N ⊥ jest niezmiennicza dla T ∗ oraz zacho∗
∗
dzi T22
= T ∗ |N ⊥ . Zatem T22
jest operatorem potęgowo ograniczonym,
a więc T22 jest potęgowo ograniczony.
Pozostało nam do wykazania, że T22 jest operatorem klasy C1· . Aby
n
się o tym przekonać załóżmy, że T22
f → 0 dla pewnego f ∈ N ⊥ . Zatem
2.3. POSTAĆ POTĘGOWO OGRANICZONYCH OPERATORÓW...
16
dla dowolnie ustalonego ε > 0 istnieje n0 ∈ N takie, że
ε
n0
,
kT22
fk <
2M
gdzie M := sup kT n k. Z definicji T22 mamy (T −T22 )x = PN T x ∈ N dla
n∈N
każdego x⊥N . Stąd dla dowolnego k ∈ {1, 2, 3, ..., n0 } istnieje mk ∈ N
takie, że
ε
0
n0 −k
m0 +k−1
n0 −k
kT m +k−1 (T − T22 )T22
f k = kT11
(T − T22 )T22
fk ¬
2n0
dla wszystkich m0 mk . Ostatecznie dla m := max{mk | k = 1, 2, ..., n0 }
otrzymujemy
2
+ ... +
kT m+n0 f k = kT m (T n0 − T n0 −1 T22 + T n0 −1 T22 − T n0 −2 T22
n0 −1
n0
n0
+T T22
−T22
+T22
)f k = k
¬
n0
P
k=1
kT
m+k−1
(T −
n0
P
n0 −k
n0
T m+k−1 (T −T22 )T22
f +T m T22
fk ¬
k=1
n0 −k
T22 )T22 f k
n0
ε
= ε.
f k ¬ n0 2nε 0 + M 2M
+ kT m T22
Zatem T n f → 0, co wobec f ∈ N ⊥ oznacza, że f = 0.
Ostatecznie T22 jest klasy C1· .
Uwaga 2.3.2. Powyższy lemat nie daje żadnych informacji o operatorze T21 .
#
"
0 2
∈ B(C2 ) pokazuje, że operator T21
Przykład operatora T =
0 1
nie musi być operatorem potęgowo ogranicznym.
Co więcej, nie dla każdego potęgowo ograniczonego operatora T21
operator T zadany poprzez równość "(2.3.1) jest
# operatorem potęgowo
∗ 1
S 2 Id
ograniczonym. Istotnie, niech T =
∈ B(l2 ⊕ l2 ), gdzie S
0
S
oznacza przesunięcie jednostronne. Operator T21 jest potęgowo ograniczonym operatorem klasy C0· (a nawet silną kontrakcją), jednak
kT n (0 ⊕ (1, 0, 0, ...))k → ∞ (dla n → ∞).
W oparciu o Lemat 2.3.1 udowodnijmy następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.3.3. Niech T ∈ B(H) będzie operatorem potęgowo
ograniczonym. Wówczas następujące warunki są równoważne:
• dla każdego ograniczonego ciągu wstecznego {xn }n∈N , ciąg jego
norm {kxn k}n∈N jest stały,
2.4. ZASTOSOWANIA W PRZYPADKU KONTRAKCJI
"
17
#
T
0
• operator T możne być przedstawiony jako T = 11
, gdzie
T21 U
U jest operatorem unitarnym, a T11 jest operatorem klasy C·0 .
Dowód.
Stosując
Lemat 2.3.1 do operatora T ∗ możemy przyjąć,
"
#
T
0
że T = 11
, gdzie operatory T11 , T22 są potęgowo ograniczone,
T21 T22
T11 ∈ B(H1 ) jest klasy C·0 oraz T22 ∈ B(H2 ) jest klasy C·1 . Przy czym
H2 jest przestrzenią niezmienniczą dla T oraz T22 = T |H2 . Stąd każdy
ograniczony ciąg wsteczny względem T22 jest ograniczonym ciągiem
wstecznym względem T .
Zakładając, że każdy ciąg norm ograniczonego ciągu wstecznego
jest stały otrzymujemy, że T22 jest izometrią na O(T22 ). Ale dzięki
Twierdzeniu 2.2.5 zachodzi O(T22 ) = H2 . Zatem T22 jest izometrią.
Na mocy rozkładu Wolda T22 = U ⊕ S, gdzie U jest częścią unitarną
T22 oraz S jest przesunięciem jednostronnym. Ale T22 jest operatorem
klasy C·1 , więc T22 = U .
Dla dowodu przeciwnej implikacji załóżmy, że {xn }n∈N jest ograniczonym ciągiem wstecznym względem T . Niech xn = an + bn , gdzie
an ∈ H1 oraz bn ∈ H2 . Otrzymujemy
T11 an+1 + (T21 an+1 + U bn+1 ) = T an+1 + T bn+1 = T xn+1 = xn = an + bn .
Zatem T11 an+1 = an oraz kan k ¬ kxn k. Co oznacza, że {an }n∈N jest
ograniczonym ciągiem wstecznym względem T11 , ale T11 jest operatorem klasy C·0 . Na mocy Twierdzenia 2.2.7 otrzymujemy an ≡ 0. Stąd
kxn+1 k = kbn+1 k = kU bn+1 k = kbn k = kxn k.
2.4. Zastosowania w przypadku kontrakcji
Motywacją powyżeszego twierdzenia może być jego zastosowanie do
badania asymptotycznych własności znanych klas kontrakcji. Twierdzenie 2.3.3 w przypadku kontrakcji przyjmuje nastepujacą postać.
Twierdzenie 2.4.1. Niech T ∈ B(H) będzie kontrakcją. Następujące warunki są równoważne :
• dla każdego ograniczonego ciągu wstecznego {xn }n∈N względem
• zupełnie nieunitarna część operatora T jest kontrakcją klasy
C·0 .
18
Dowód. Na mocy Twierdzenia 2.3.3 operator"T może# być przedT
0
stawiony w odpowiedniej postaci macierzowej T = 11
, względem
T21 U
∗
xk2 + kU ∗ xk2 =
rozkładu H = H1 ⊕ H2 . Ale kxk2 kT ∗ xk2 = kT21
∗
kT21
xk2 + kxk2 dla dowolnego x ∈ H2 . Zatem T21 = 0.
W roku 1975 Putnam pokazał (zob. [49]), że zupełnie nieunitarna
część hiponormalnej kontrakcji jest kontrakcją klasy C·0 . Wynik ten
został rozszerzony na paranormalne kontrakcje w pracy [43]. W pracach [16, 19] Duggal oraz Kubrusly przenieśli wynik Putnama na klasę
kontrakcji k-paranormalnych, p-hiponormalnych oraz na klasę kontrakcji (1, k)-quasihiponormalnych.
Powyższe twierdzenie jest narzędziem, które może być z powodzeniem użyte do rozstrzygnięcia czy część zupełnie nieunitarna kontrakcji
spełniającej dany warunek normowy jest klasy C·0 .
Zaprezentujmy często rozważane w literaturze klasy operatorów(zob.
np. [1, 6, 15, 16, 19, 20, 22, 25, 26, 27, 36, 47, 53]).
Definicja 2.4.2. Operator T ∈ B(H) spełniający warunek
T ∗k ((T ∗ T )p − (T T ∗ )p )T k 0
dla p > 0 oraz dla k ∈ N, nazywany jest (p, k)-quasihiponormalnym.
Operatory (p, 0)-quasihiponormalne są nazywane również operatorami p-hiponormalnymi. Kolejnym uogólnieniem klasy operatorów hiponormalnych są operatory k∗-paranormalne oraz k-paranormalne (dla
k = 2 nazywane odpowiednio operatorami ∗-paranormalnymi oraz paranormalnymi ).
Definicja 2.4.3. Operator T ∈ B(H) nazywany jest operatorem
k∗-paranormalnym jeśli
kT ∗ xkk ¬ kT k xkkxkk−1
dla każdego x ∈ H.
k-paranormalnym jeśli
kT xkk ¬ kT k xkkxkk−1
Agler w pracy [1] postawił następującą definicję.
19
Definicja 2.4.5. Niech n ∈ N+ . Kontrakcja T ∈ B(H) nazywana
jest n-hiperkontrakcją jeśli
n
X
!
k
(−1)
k=0
n ∗k k
T T 0.
k
Autorzy pracy [20] badają następującą klasę operatorów.
klasy Q jeśli
kT 2 xk2 + kxk2
kT xk2 ¬
2
Zwróćmy uwagę, że kontrakcje klasy Q są 2-hiperkontrakcjami.
Aronszajn w pracy [4] wykazał, że operator ograniczony może zostać
rozszerzony do przesunięcia wstecznego na przestrzeni Bergmana (z jądrem reprodukującym K(z, w) = (1 − zw)−2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy
jest on 2-hiperkontrakcją klasy C0· . Wynik ten został uogólniony przez
Aglera (zob. [1]). Mianowicie, operator ograniczony może zostać rozszerzony do przesunięcia wstecznego na przestrzeni Bergmana z jądrem
reprodukującym K(z, w) := (1 − zw)−n wtedy i tylko wtedy, gdy jest
on silnie stabilną n-hiperkontrakcją.
Przyjrzyjmy się teraz zależnością pomiędzy wspomnianymi klasami
operatorów. Dla p q > 0 każdy p-hiponormalny operator jest qhiponormalny (zob. [2]). Wynika stąd, że każdy (p, k)-quasihiponormalny operator jest operatorem (q, l)-quasihiponormalnym, jeśli tylko
p q oraz k ¬ l. Dalej dzięki pracy [53] widzimy, że każdy p-hiponormalny operator jest paranormalny. Każdy operator paranormalny jest
operatorem k-paranormalnym (zob. [26]). Operator hiponormalny jest
zatem k-paranormalny, a więc w prosty sposób i k∗- paranormalny.
Uwaga 2.4.7. Jeśli T ∈ B(H) jest operatorem k∗-paranormalnym,
to otrzymujemy
kT xk2k = hT ∗ T x, xik ¬ kT ∗ T xkk kxkk ¬ kT k (T x)kkT xkk−1 kxkk
Co prowadzi do kT xkk+1 ¬ kT k+1 xkkxkk , czyli T jest (k + 1)-paranormalny.
Dzięki nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną, a średnią geometryczną operatory paranormalne są również operatorami klasy Q.
20
Poniższy diagram ilustruję inkluzję pomiędzy rozważanymi klasami
operatorów (w istotnym przypadku p ∈ (0, 1]).
k ∗ -paranormalny
- k + 1-paranormalny
-
hiponormalny
- p-hiponormalny
?
(p, k)-quasihiponormalny
- paranormalny
?
klasy Q
Przejdźmy teraz do wykazania asymptotycznych własności kontrakcji należących do rozważanych klas.
Twierdzenie 2.4.8. Część zupełnie nieunitarna kontrakcji (p, k)quasihiponormalnej jest operatorem klasy C·0 .
Dowód. Niech T ∈ B(H) będzie (p, k)-quasihiponormalną zupełnie nieunitarną kontrakcją. Dzięki pracy [16] część zupełnie nieunitarna p-hiponormalnej kontrakcji spełnia tezę. Załóżmy teraz, że k ∈ N+ .
Na mocy Twierdzenia 4 z [53] T spełnia nierówność
kT k xk2 ¬ kT k+1 xkkT k−1 xk
dla wszystkich x ∈ H takich, że kxk = 1. Zgodnie z Twierdzeniem 2.4.1
ustalmy ograniczony ciąg wsteczny {xn }n∈N ⊂ H. Dzięki powyższej
nierówności otrzymujemy
xn+k
xn+k
xn+k 2
k ¬ kxn+k k2 kT k+1
kkT k−1
k=
kxn k2 = kxn+k k2 kT k
kxn+k k
kxn+k k
kxn+k k
!2
kxn−1 k + kxn+1 k
= kT k+1 xn+k kkT k−1 xn+k k = kxn−1 kkxn+1 k ¬
2
dla wszystkich n ∈ N+ . Wynika stąd, że ciąg αn+1 := kxn+1 k−kxn k jest
niemalejący. Gdyby jednak αi > 0 dla pewnego i ∈ N, to {kxn k}n∈N nie
byłby ograniczony. Zatem {kxn k}n∈N jest ciągiem stałym. Ostatecznie
na mocy Twierdzenia 2.4.1 otrzymujemy tezę.
Zupełnie nieunitarne k-paranormalne kontrakcje również są operatorami klasy C·0 . Wynika to z ogólniejszego twierdzenia.
Twierdzenie 2.4.9. Ustalmy N ∈ N. Niech T ∈ B(H) będzie
kontrakcją spełniającą następujący warunek:
21
dla dowolnego x ∈ H istnieje k ∈ {2, 3, ..., N } takie, że
kT xkk ¬ kT k xkkxkk−1 .
Wtedy zupełnie nieunitarna część kontrakcji T jest klasy C·0 .
Dowód. Ustalmy ograniczony wsteczny względem T ciąg {xn }n∈N .
W naturalny sposób możemy rozszerzyć ten ciąg na wszystkie liczby
całkowice kładąc x−n := T n x0 dla n ∈ N. Otrzymujemy teraz T xn+1 =
xn dla dowolnego n ∈ Z. Wówczas na mocy założeń dla dowolnego
n ∈ Z istnieje kn ∈ {2, 3, · · · , N } takie, że
1
kxn k = kT xn+1 k ¬ (kT kn xn+1 kkxn+1 kkn −1 ) kn =
1
= (kxn+1−kn kkxn+1 kkn −1 ) kn .
Stąd w oparciu o nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną otrzymujemy
1
kxn k ¬ (kxn−kn +1 kkxn+1 kkn −1 ) kn ¬
kxn−kn +1 k + (kn − 1)kxn+1 k
.
kn
Czyli
kxn k − kxn−kn +1 k ¬ (kn − 1)(kxn+1 k − kxn k).
Zatem dla pomocniczego ciągu αn := kxn k − kxn−1 k, zachodzi
(2.4.1)
αn + αn−1 + · · · + αn−kn
¬ αn+1 .
kn − 1
Z drugiej strony {kxn k}n∈Z jest ograniczonym ciągiem rosnącym, a więc
αn 0 oraz αn → 0 dla dowolnego n ∈ Z. Na mocy Twierdzenia
2.4.1 pozostaje wykazać, że αn = 0 dla każdego n ∈ Z. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że istnieje i ∈ N takie, że αi > 0. Wtedy
dzięki nierówności (2.4.1) dla n = i, i + 1, · · · , i + N − 2 otrzymujemy αi+1 , αi+2 , αi+3 , . . . , αi+N −1 > 0. Zatem istnieje ε > 0 taki, że
αi , αi+1 , . . . , αi+N −1 > ε. Ponownie dzięki (2.4.1), możemy indukcyjnie
wykazać, że αn > ε dla wszystkich n > i, co jest sprzeczne ze zbieżnością ciągu an do 0.
Na zakończenie bieżącego paragrafu wykażmy, że zupełnie nieunitarna n-hiperkontrakcja jest operatorem klasy C·0 . Jak już wspomnieliśmy praca [1] zawiera charakteryzację n-hiperkontrakcji klasy C0· .
Najpierw pokażmy następujący techniczny lemat.
22
Lemat 2.4.10. Niech n 2. Jeśli ograniczony ciąg dwustronny liczb
rzeczywistych {am }m∈Z spełnia nierówność
n
X
(2.4.2)
!
k
(−1)
k=0
n
ak+m 0,
k
dla dowolnego m ∈ Z, to jest on ciągiem stałym.
Dowód. Przeprowadźmy dowód indukcyjny. Dla n = 2 nierówność
(2.4.2) oznacza, że ciąg {am }m∈Z jest wypukły, a wobec ograniczoności
stały. Dla n = 3, połóżmy bm = am+1 − am , dla m ∈ Z. Zatem nierówność (2.4.2) przyjmuje postać bm+2 − 2bm+1 + bm 0. Stąd oraz
z ograniczoności ciągu {bm }m∈Z jest on stały. Zatem dla wszystkich
m ∈ Z otrzymujemy am+1 = am + c, dla pewnego c ∈ R. Czyli, wobec
ograniczoności ciągu {an }n∈Z , dostajemy c = 0.
Ustalmy n > 3 i załóżmy, że teza naszego lematu jest spełniona
dla 2, 3, . . . , n − 1. Przyjmijmy, analogicznie jak wcześniej, że bm =
n−2
P
(−1)k
n
k
k=0
ak+m . Wówczas nierówność (2.4.2) przyjmuje postać
bm+2 − 2bm+1 + bm 0.
Ponadto, |bm | ¬ 2n−2 sup |ak |. Czyli {bm }m∈Z jest ciągiem wypukłym
k∈Z
i ograniczonym, a zatem stałym. W zależności od znaku stałej dostajemy
n−2
X
k
(−1)
k=0
!
!
n−2
X
n
k n
(−1)
− ak+m 0.
ak+m 0 lub
k
k
k=0
Zatem na mocy założenia dla n − 2 otrzymujemy tezę.
Przejdźmy teraz do dowodu zapowiedzianej własności.
Twierdzenie 2.4.11. Ustalmy dowolne n 2. Część zupełnie nieunitarna n-hiperkontrakcji jest operatorem klasy C·0 .
Dowód. Ustalmy n-hiperkontrakcję T ∈ B(H). Zgodnie z Twierdzeniem 2.4.1 ustalmy ograniczony ciąg wsteczny {xn }n∈N . Rozszerzmy
nasz ciąg w sposób naturalny kładąc x−k := T k x0 dla k ∈ N. Z definicji
n-hiperkontrakcji dla dowolnego m ∈ Z dostajemy
n
X
!
k
(−1)
k=0
n
kT k xm k2 0.
k
2.5. OGRANICZENIA METODY OPARTEJ NA ASYMPTOCIE...
23
Czyli
n
X
!
(−1)k
k=0
n
kxm−k k2 0.
n−k
Zatem na mocy Lematu 2.4.10 ciąg {kxn k}n∈N jest stały, co zgodnie
z Twierdzeniem 2.4.1 kończy dowód.
Powyższa własność n-hiperkontrakcji w przypadku n = 2 przyjmuje
następującą postać.
Wniosek 2.4.12. Część zupełnie nieunitarna kontrakcji klasy Q
jest operatorem klasy C·0 .
2.5. Ograniczenia metody opartej na asymptocie
izometrycznej
Wcześniejsze rozważania pokazują, że pojęcie ograniczonych ciągów wstecznych może być użytecznym narzędziem badania asymptotycznych własności operatorów potęgowo ograniczonych. Dzieje się tak
dzięki istnieniu asymptoty izometrycznej oraz dzięki Lematowi 2.2.2.
Zatem w celu rozszerzenia tej metody naturalnym krokiem jest uogólnienie asymptoty izometrycznej na przypadek operatorów niekoniecznie potęgowo ograniczonych.
Prosty przykład operatora skalarnego λId, gdzie |λ| > 1 pokazuje,
że w odróżnieniu od sytuacji potęgowo ograniczonej istnieją operatory
należące do klasy operatorów C·1 dla których nie istnieje nietrywialna
para (V, X) izometrii i operatora ograniczonego taka, że Xλ = V X.
Co więcej, bez trudu możemy wskazać przykład operatora T takiego,
że: widmo punktowe jego sprzężenia jest puste (σp (T ∗ ) = ∅), dla T nie
istnieje nietrywialna asymptota izometryczna oraz T nie jest operatorem klasy C·0 . Zdefiniujmy operator S na przestrzeni Hilberta H z bazą
ortonormalną {e} ∪ {fn }n∈N+ ∪ {gn }n∈N+ jak następuje



S(e)


= f 1 + g1 ,
S(f ) = αk fk+1 , k ∈ N+ ,
k



S(g )
k
=
1
g ,
αk k+1
k ∈ N+ ,
gdzie
αk =

2,
gdy k ∈ (2n2 − n; 2n2 + n], n ∈ N+ ,
1,
gdy k ∈ (2n2 − 3n + 1; 2n2 − n], n ∈ N+ .
2
2.5. OGRANICZENIA METODY OPARTEJ NA ASYMPTOCIE...
24
Pokażmy, że operator T := S ∗ posiada postulowane własności. Operator S nie jest klasy C0· . Istotnie kS n ek2 = |α1 α2 · · · · · αn−1 |2 +
1
| α1 α2 ·····α
|2 > 1, dla wszystkich n ∈ N+ . Dalej nie istnieje nietrywialn−1
na asymptota izometryczna dla operatora S. Nie wprost, niech dla pewnej izometrii V oraz operatora X zachodzi związek XS = V X. Dzięki
definicji αi mamy (α1 , α2 , α3 , . . . ) = ( 12 , 2, 2, 21 , 21 , 12 , 2, 2, 2, 2, . . . ), a za2
2
1
tem S 2k −k f1 = 21k f2k2 −k+1 . Wobec tego kXS 2k −k fi k ¬ kXk 2k−i
dla
dowolnych k, i ∈ N. Zatem
0 = inf kXS n fi k = kXfi k
n∈N
dla dowolnego i ∈ N+ . Analogicznie Xgi = 0, dla dowolnego i ∈ N+ .
Zatem V Xe = XSe = 0. Ostatecznie X = 0. Dodatkowo z definicji S
wynika, że σp (S) = ∅.
W pracy [30](zob. również [31]) L. Kérchy podaje konstrukcję asymptoty izometrycznej w przypadku tzw. operatorów normowo-regularnych.
Zanim podamy definicję operatorów normowo-regularnych wprowadźmy następującą definicję.
Definicja 2.5.1 ([38]). Powiemy, że ograniczony ciąg ξ jest prawie
zbieżny do c, jeśli
n+k−1
1 X
lim sup ξ(j) − c
k→∞
n∈N
k
= 0.
j=n
Ponadto, powiemy że ξ jest prawie zbieżny w silnym sensie do c, jeśli
ciąg |ξ − c1| jest prawie zbieżny do 0, gdzie 1 = (1, 1, 1, . . . ).
Operatory normowo-regularne definiujemy jak następuje.
Definicja 2.5.2. Operator T nazwiemy normowo-regularnym jeśli
istnieje funkcja p : N → (0, ∞) taka, że kT n k ¬ p(n) dla n ∈ N oraz
istnieje c > 0 takie, że ciąg p(n+1)
jest prawie zbieżny w silnym sensie
p(n)
do c.
Jednak w kolejnej pracy (zob. [32]) L. Kérchy oraz V. Müller wskazali przykład ciągu {ρn }n∈N takiego, że ważnone przesunięcie jednostronne o wagach {ρn }n∈N klasy C1· nie jest operatorem normoworegularnym.
Z drugiej strony dla dowolnego ważonego przesunięcia jednostornnego Sω o wagach {ωn }n∈N+ należącego do klasy operatorów C1· zachodzi XSω = SX, gdzie S jest przesunięciem jednostronnym, a X jest
2.6. KLASA OPERATORÓW C·0 A WŁASNOŚĆ...
25
operatorem diagonalnym takim, że Xen = ω0 ω1 ω21·····ωn−1 en , dla n ∈ N+ ,
jeśli przyjmiemy ω0 = 1.
Zatem uogólnienie podanych twierdzeń opierające się na powyższej
konstrukcji byłoby tylko częściowe. Wedle naszej wiedzy nie istnieje
efektywna konstrukcja asymptoty izometrycznej w przypadku operatorów niepotęgowo ograniczonych.
2.6. Klasa operatorów C·0 a własność Putnama-Fuglede
Twierdzenie Putnama-Fuglede (zob. [48]) głosi, że dla dowolnych
ograniczonych operatorów normalnych A, B oraz dowolnego operatora ograniczonego X takiego, że AX = XB, zachodzi równość A∗ X =
XB ∗ . Twierdzenie pozostaje prawdziwe, gdy założymy jedynie, że operatory A oraz B ∗ są operatorami M -hiponormalnymi (zob. [42]). Przy
czym operator T ∈ B(H) nazywamy M -hiponormalnym, gdy zachodzi kT ∗ xk ¬ M kT xk dla dowolnego x ∈ H. Klasa operatorów M hiponormalnych uogólnia pojęcie operatorów hiponormalnych, ale różni się od klas rozpatrywanych w podrozdziale 2.4.
∞
L
W szczególności nie trudno się przekonać, że operator T :=
Sn ,
n=1
gdzie Sn : l2 3 (x1 , x2 , x3 , . . . ) 7→ (0, n1 x1 , n12 x2 , x3 , x4 , . . . ) ∈ l2 jest operatorem ∗-paranormalnym, jak i operatorem (p, 1)−quasihiponormalnym,
ale nie jest operatorem M -hiponormalnym.
Rozważmy za [17] własność odnoszącą się do twierdzenia PutnamaFuglede, a jednocześnie ściśle związaną z własnościami asymptotycznymi operatorów.
Definicja 2.6.1. Operator T ∈ B(H) ma własność Putnama-Fuglede
(w skrócie własność PF ) wtedy i tylko wtedy, gdy równość T ∗ X = XJ
zachodzi dla wszystkich X ∈ B(K, H) oraz dla wszystkich izometrii
J ∈ B(K) takich, że T X = XJ ∗ .
Lemat 1 z pracy [17] charakteryzuje kontrakcje posiadające własność PF jako kontrakcje, których zupełnie nieunitarna część jest klasy
C·0 . Zatem stosowane w poprzednim rozdziale Twierdzenie 2.4.1 może
być zapisane w następującej formie.
Twierdzenie 2.6.2. Niech T ∈ B(H) będzie kontrakcją. Następujące warunki są równoważne:
(1) dla każdego ograniczonego ciągu wstecznego {xn }n∈N względem
26
(2) zupełnie nieunitarna część operatora T jest klasy C·0
(3) operator T ma własność PF.
2
W przypadku operatorów nie będących kontrakcją warunki 1. i 2.
w powyższym twierdzeniu nie są równoważne, aby to "zobaczyć
wystar#
0 0
czy rozpatrzyć operator (potęgowo ograniczony) T =
działający
1 1
na C2 .
Warunki 2. i 3. pozostają równoważne w przypadku operatorów
potęgowo ograniczonych. Zanim jednak przejdziemy do dowodu odpowiedniego twierdzenia, przypomnijmy następujący lemat.
Lemat 2.6.3 ([18]). Niech T ∈ B(H). Jeśli istnieje podprzestrzeń
redukująca operator T do nieunitarnej koizometrii, to T nie ma własności PF. W szczególności jeśli koizometria ma własność PF, to jest
operatorem unitarnym.
Dowód. Jeśli istnieje podprzestrzeń redukująca T do nieunitarnej koizometrii, to dzięki rozkładowi Wolda istnieje operator T 0 oraz
przesunięcie jednostronne S takie, że T = S ∗ ⊕ T 0 . Przyjmijmy teraz
J = S ⊕ Id oraz X = S ∗ ⊕ 0. Wtedy T X = S ∗2 ⊕ 0 = XJ ∗ , ale
T ∗ X = SS ∗ ⊕ 0 6= Id ⊕ 0 = S ∗ S ⊕ 0 = XJ. Zatem T nie ma własności
PF.
Przejdźmy teraz do sformułowania i dowodu zapowiedzianego twierdzenia.
Twierdzenie 2.6.4. Operator potęgowo ograniczony T ∈ B(H) posiada własność PF wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą prostą operatora
unitarnego oraz operatora klasy C·0 .
Dowód. Załóżmy, że T posiada własność PF. Na mocy konstrukcji
asymptoty izometrycznej (zob. Podrozdział 2.2), istnieją: przestrzeń K,
izometria V ∈ B(K) oraz operator Q ∈ B(H, K), takie, że
QT ∗ = V Q.
Dodatkowo Q(H) jest gęste w K. Zatem dzięki własności PF otrzymujemy
QT ∗ = V Q ⇐⇒ T Q∗ = Q∗ V ∗ =⇒ T ∗ Q∗ = Q∗ V ⇐⇒ QT = V ∗ Q.
27
Stąd, R(Q∗ ) jest podprzestrzenią niezmienniczą dla T oraz T ∗ . Czyli
przestrzeń R(Q∗ ) jest redukująca dla T .
Zauważmy, że dla dowolnych x, y ∈ H, mamy
(2.6.1)
hQx, QyiK = hV n Qx, QT ∗n yiK =
hQ∗ V n Qx, T ∗n yiH = hT ∗n Q∗ Qx, T ∗n yiH .
Na mocy definicji operatora Q (zob. Podrozdział 2.2) otrzymujemy
(2.6.2)
φ({hT ∗n Q∗ Qx, T ∗n yiH }n∈N ) = hQQ∗ Qx, QyiK ,
gdzie φ jest granicą Banacha ustaloną w trakcie konstrukcji asymptoty izometrycznej. Równości (2.6.1) oraz (2.6.2) prowadzą do równości
hQx, QyiK = hQ(Q∗ Qx), QyiK . Skoro R(Q) jest przestrzenią gęstą w K,
to Q = QQ∗ Q. Zatem (Q∗ Q)2 = Q∗ Q. Czyli P := Q∗ Q jest projekcją
ortogonalną. Dodatkowo dzięki (2.6.1) otrzymujemy QQ∗ = IdK . Zatem, R(Q∗ ) = R(Q∗ QQ∗ ) ⊂ R(Q∗ Q) ⊂ R(Q∗ ). A więc otrzymujemy
R(P ) = R(Q∗ ). Z drugiej strony dla dowolnego x ∈ H, mamy
kQxk2K = hQx, QxiK = hQ∗ Qx, xiH = hP x, xiH = kP xk2H .
Zatem N (P ) = H0 := {x ∈ H : φ({kT ∗n xkH }n∈N ) = 0}. Stąd mamy
H = N (P ) ⊕ R(P ) = H0 ⊕ R(Q∗ ). Ustalmy x ∈ R(Q∗ ). Wówczas
T ∗ x ∈ R(Q∗ ), ponieważ R(Q∗ ) redukuje operator T . Zatem
kT ∗ xkH = kP T ∗ xkH = kQT ∗ xkK = kQxkK = kP xkH = kxkH .
Oznacza to, że T ∗ jest izometrią na R(Q∗ ), więc na mocy Lematu 2.6.3
operator T jest unitarny na R(Q∗ ).
Pozostaje wykazać, że operator T |H0 jest klasy C·0 . Jako, że jest
to operator potęgowo ograniczony jest to równoważne temu, że T ∗ jest
silnie stabliny na H0 . Ustalmy x ∈ H0 . Wówczas lim inf kT ∗n xk2H ¬
n→∞
φ({kT ∗n xk2H }n∈N ) = 0. Zatem dla każdego ε > 0 istnieje k ∈ N takie,
że kT k xkH < ε, więc dla wszystkich m > k mamy
kT m xkH = kT m−k T k xkH ¬ kT m−k kkT k xkH ¬ ε sup kT n k.
n∈N
∗n
Czyli, lim kT xkH = 0.
n→∞
Dla dowodu przeciwnej implikacji załóżmy, że T = U ⊕ T1 , gdzie
U ∈ B(HU ) jest operatorem unitarnym, a operator T1 ∈ B(HT1 ) jest
klasy C·0 . Ustalmy dowolną izometrię J ∈ B(K) oraz dowolny operator
X ∈ B(K, H) takie, że T X = XJ ∗ . Z rozkładu Wolda dla izometrii
J otrzymujemy K = KS ⊕ KV , gdzie J|KS =: S jest przesunięciem
2.7. KTÓRE KLASY OPERATORÓW POSIADAJĄ WŁASNOŚĆ...
"
28
#
X11 X12
jednostronnym oraz J|KV =: V jest unitarny. Niech X =
X21 X22
będzie macierzą reprezentującą X odpowiadającą rozkładom K = KS ⊕
KV oraz H = HU ⊕ HT1 . Wtedy równość T X = XJ ∗ jest równoważna
warunkowi

∗


U X11 = X11 S ,



U X
12
= X12 V ∗ ,


T1 X21




T X
1
22
= X21 S ∗ ,
= X22 V ∗ .
Z pierwszej równości wynika, że U ∗ X11 = U ∗ X11 S ∗ S = U ∗ U X11 S =
X11 S. Analogicznie dostajemy U ∗ X12 = X12 V . Z trzeciej równości wy∗
∗
∗
∗
kkT1∗n xk dla
xk ¬ kX21
xk, czyli kX21
T1∗n xk = kS n X21
nika, że kX21
dowolnego x ∈ HT1 . Ale inf kT1∗n xk = 0. Zatem X21 = 0. Analogicznie,
n∈N
X22 = 0.
Zatem

∗


U X11 = X11 S,



U ∗ X
12


T1∗ X21




T ∗ X
1
22
= X12 V,
= X21 S,
= X22 V.
Czyli T ∗ X = XJ. Co kończy dowód.
Uwaga 2.6.5. Dowód drugiej implikacji pochodzi z pracy [18] i nie
wykorzystuje założenia o potęgowej ograniczoności rozważanego operatora.
Jeśli rozważymy operator skalarny T = 2IdH , to widzimy, że posiada on własność PF oraz nie jest operatorem klasy C·0 . Zatem powyższe
twierdzenie nie jest prawdziwe dla operatorów nie potęgowo ograniczonych.
2.7. Które klasy operatorów posiadają własność
Putnama-Fuglede?
Zgodnie z Twierdzeniem 2.6.2 oraz Podrozdziałem 2.4 widzimy, że
kontrakcje k∗-paranormalne, k-paranormalne, (p, k)-quasihiponormalne
oraz n-hiperkontrakcje (w szczególności kontrakcje klasy Q) posiadają własność PF. Operatory potęgowo ograniczone należące do którejś
z powyższych klas są automatycznie kontrakcjami. Zatem w przypadku
29
operatorów należących do którejkolwiek z powyższych klas Twierdzenie 2.6.4 nie daje nowych rezultatów. Naturalnym problemem w rozważaniu własności PF oraz w analizie poszczególnych klas operatorów
jest rozstrzygnięcie, który z warunków normowych definiujących rozpatrywane klasy operatorów niezależnie od kontrakcyjności implikuje
własność PF.
Z Twierdzenia 11 w pracy [34] bezpośrednio wynika, że każdy operator p-hiponormalny ma własność PF.
Przypomnijmy Lemat 1 z pracy [33].
Lemat 2.7.1 (Kim, [33]). Ustalmy p ∈ (0, 1] oraz k ∈ N. Jeśli T ∈
B(H) jest operatorem (p, k)-quasihiponormalnym, to względem rozkładu
H = R(T k )⊕N (T ∗k ) posiada on następującą reprezentację macierzową
"
#
T T
T = 1 2 ,
0 T3
gdzie T1 jest operatorem p-hiponormalnym oraz T3k = 0.
Korzystając z powyższego lematu możemy uzyskać następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.7.2. Ustalmy p > 0 oraz k ∈ N. Dowolny operator
(p, k)-quasihiponormalny ma własność PF.
Dowód. Wystarczy ograniczyć się do przypadku p ∈ (0, 1]. Ustalmy operator (p, k)-quasihiponormalny T ∈ B(H). Dla sprawdzenia własności PF ustalmy izometrię V ∈ B(K) oraz operator X ∈ B(K, H),
spełniające równanie
(2.7.1)
T X = XV ∗ .
Na mocy Lematu 2.7.1 operator T jest postaci
"
#
T T
T = 1 2 ,
0 T3
gdzie T1 jest operatorem p-hiponormalnym oraz T3k = 0. Na mocy
rozkładu Wolda izometria V jest postaci V = S ⊕ U , gdzie S jest
przesunięciem jednostronnym oraz U jest operatorem unitarnym. Niech
"
#
X11 X12
X=
,
X21 X22
30
będzie macierzową reprezentacją operatora X ze względu na powyższe
rozkłady dotyczące przestrzeni H i K. Wtedy równanie (2.7.1) jest
równoważne warunkom


T1 X11






+ T2 X21 = X11 S ∗ ,


T3 X21




T X
= X21 S ∗ ,
T1 X12 + T2 X22 = X12 U ∗ ,
3
22
= X22 U ∗ .
Wobec surjektywności operatora S ∗k oraz równości 0 = T3k X21 =
X21 S ∗k , otrzymujemy że X21 = 0. Analogicznie, dostajemy X22 = 0.
W konsekwencji dwie pierwsze równości upraszczają się. Następnie,
dzięki Twierdzeniu 11 z pracy [34] wiemy, że operatory p-hiponormalne
posidają własność PF, zatem otrzymujemy

T ∗ X
1
11
= X11 S,
T ∗ X
12
= X12 U.
1
Czyli zachodzi równość T ∗ X = XV , co dowodzi własność PF.
Używając metody ograniczonych ciągów wstecznych pokażmy teraz
następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.7.3. Każdy k∗-paranormalny operator posiada własność PF.
Dowód. Ustalmy liczbę naturalną k 2. Niech T ∈ B(H) będzie (k − 1)∗-paranormalnym operatorem. Dla dowodu własności PF
przypuśćmy, że X ∈ B(K, H) oraz izometria V ∈ B(K) są takie, że
(2.7.2)
T X = XV ∗ .
Przyjmijmy x0 ∈ R(X). Wtedy istnieje x ∈ K takie, że x0 = Xx.
Zdefiniujmy ciąg {xn }n∈Z jak następuje:

XV n x,
xn := 
XV ∗−n x,
n > 0,
n < 0.
Dzięki (2.7.2) natychmiast otrzymujemy, że T xn+1 = xn . Dodatkowo
zachodzi
kxn k ¬ max{kXV |n| xk, kXV ∗|n| xk} ¬ kXkkxk =: M,
n ∈ Z.
31
Zatem ciąg {kxn k}n∈Z jest ograniczony przez M . Na mocy Uwagi 2.4.7
operator T jest k-paranormalny. Stąd
kxn kk = kT xn+1 kk ¬ kT k xn+1 kkxn+1 kk−1 = kxn−k+1 kkxn+1 kk−1 ,
n ∈ Z.
Korzystając z nierówności między średnia arytmetyczna, a geometryczną oraz kładąc n + k − 1 zamiast n otrzymujemy
kxn k + (k − 1)kxn+k k
, n ∈ Z.
k
Następnie mnożąc obie strony nierówności przez k i odejmując
kxn+k−1 k ¬
kxn k + kxn+1 k + kxn+2 k + ... + kxn+k−1 k,
(2.7.3)
otrzymujemy
− kxn k − kxn+1 k − kxn+2 k + ... − kxn+k−2 k + (k − 1)kxn+k−1 k ¬
¬ −kxn+1 k − kxn+2 k − kxn+3 k + ... − kxn+k−1 k + (k − 1)kxn+k k.
Zatem ciąg {An }n∈Z , gdzie
An := −kxn k−kxn+1 k−kxn+2 k+...−kxn+k−2 k+(k−1)kxn+k−1 k, n ∈ Z,
jest rosnący. Pokażmy teraz, że ciąg {An }n∈Z jest stale równy 0. Zauważmy, że dla dostatecznie małego l oraz dostatecznie dużego m otrzymujemy
X
m
A
n
n=l
X
m
= n=l
(−kxn k − kxn+1 k + ... − kxn+k−2 k + (k − 1)kxn+k−1 k) =
= |(k − 1)kxm+k−1 k + (k − 2)kxm+k−2 k + ... + kxm+1 k−
−(kxl k + 2kxl+1 k + 3kxl+2 k + ... + (k − 1)kxl+k−2 k)| ¬ M k(k − 1).
Stąd
(m − l + 1)Al =
m
X
Al ¬
n=l
m
X
An ¬ M k(k − 1).
n=l
Zatem
m−l+1
M k(k − 1)
Al ¬ lim
= 0.
m→∞
m
m
Podobnie wnioskujemy, że
Al = lim
m→∞
(m − l + 1)Am =
m
X
n=l
Am
m
X
An −M k(k − 1).
n=l
W konsekwencji,
Am = lim
l→−∞
−M k(k − 1)
m−l+1
Am lim
= 0.
l→−∞
−l
−l
32
Stąd An = 0, czyli
− kxn k − kxn+1 k − kxn+2 k + ... − kxn+k−2 k + (k − 1)kxn+k−1 k =
= −kxn+1 k − kxn+2 k − kxn+3 k + ... − kxn+k−1 k + (k − 1)kxn+k k.
Teraz obustronnie dodając wyrażenie (2.7.3) oraz dzieląc przez k
otrzymujemy
kxn+k−1 k =
(2.7.4)
kxn k + (k − 1)kxn+k k
.
k
Z drugiej strony
kxn k + (k − 1)kxn+k k q
k kxn kkxn+k kk−1 kxn+k−1 k,
k
zatem otrzymujemy równość w nierówności między średnia arytmetyczną, a średnią geometryczną. Czyli kxn k = kxn+k k, więc ponownie dzięki
(2.7.4) wnioskujemy, że kxn k = kxn+1 k dla każdego n ∈ N. W szczególności kT x0 k = kx−1 k = kx0 k. Zatem kT x0 k = kx0 k dla każdego
x0 ∈ R(X). To oznacza, że T w restrykcji do przestrzeni niezmienniczej R(X) jest izometrią.
Dzięki T X = XV ∗ otrzymujemy, że T |R(X) jest surjekcją, więc jest
operatorem unitarnym. Zapiszmy operator T w postaci macierzowej
jak następuje
#
"
T11 T21
,
T =
0 T22
gdzie T11 = T |R(X) , T21 ∈ B(N (X ∗ ), R(X)) oraz T21 ∈ B(N (X ∗ )).
Stąd
#
"
∗
T11
0
∗
T = ∗
∗ .
T21 T22
Biorąc pod uwagę, że T jest operatorem (k−1)∗-paranormalnym, otrzymujemy
∗
∗
(1 + kT21
xk2 )k−1 = (kxk2 + kT21
xk2 )k−1 = kT ∗ (x, 0)k2k−2 ¬
k−1
¬ kT k−1 (x, 0)k2 = kT11
xk2 = kxk2 = 1
dla każdego x ∈ R(X) takiego, że kxk = 1. W rezultacie T21 = 0 oraz
T = T11 ⊕ T22 . Zatem skoro T X = XV ∗ , to otrzymujemy
∗
XV = Id |R(X) XV = T11
T11 XV = T ∗ T XV = T ∗ XV ∗ V = T ∗ X.
Co kończy dowód.
33
Twierdzenia 2.7.2, 2.7.3 uogólniają wcześniejesze wyniki na dowolne
operatory (p, k)-quasihiponormalne i k∗-paranormalne, niekoniecznie
będące kontrakcjami. Nie mniej jednak operatory paranormalne nie
muszą posiadać własności PF. Zanim przejdziemy do odpowiedniego
przykładu pokażemy następujący lemat.
Lemat 2.7.4. Istnieją ograniczone rzeczywiste ciągi {xn }n∈N+ oraz
{yn }n∈N+ takie, że

x
y
n
n ∈ N+ ,
= yn xn+1 ,
n+1
= (x2n+1 + 1)yn ,
n ∈ N+ .
Dowód. Zdefiniujmy ciąg {yn }n∈N+ jak następuje

y
1
y
n+2
= 1, y2 = 2,
=
yn+1 −yn +yn yn+1
,
yn
n ∈ N+ .
Jeśli przekształcimy drugie równanie do postaci
yn+1 − yn
, n ∈ N+ ,
(2.7.5)
yn+2 − yn+1 =
yn
to indukcyjnie możemy udowodnić, że ciąg {yn }n∈N+ jest dodatni oraz
rosnący. Stąd natychmiast yn 2 dla n 2. Ponadto, y3 − y2 =
3 − 2 = 1, więc ponownie korzystając z (2.7.5) możemy wykazać, że
yn+1 − yn ¬
1
2n−2
dla n 2. Zatem yn =
n
P
(yi − yi−1 ) + y1 ¬ 4. Wynika
i=2
stąd, że dodatni ciąg {yn }n∈N+ jest ograniczony.
Definiując teraz

x1
x
= 1,
n+1
=
q
yn+1
yn
− 1,
n ∈ N+ ,
widzimy, że ciąg {xn }n∈N również jest dodatni oraz ograniczony. Bezpośrednie przeliczenie pokazuje, że tak zdefiniowane ciągi {xn }n∈N+ oraz
{yn }n∈N+ spełniają postulowany warunek.
Przejdźmy teraz do obiecanego przykładu.
Przykład 2.7.5. Niech H będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną {en }n∈Z ∪ {fi }i∈N+ . Niech S ∈ B(H) będzie operatorem zdefiniowanym przez następującą formułę

S(e
k)
S(f
k)
= ek+1 ,
k ∈ Z,
= xk ek + yk fk+1 , k ∈ N+ ,
34
gdzie {xn }n∈N+ oraz {yn }n∈N+ są ciągami spełniającymi tezę Lemmatu
2.7.4.
Skoro ciągi {xn }n∈N+ oraz {yn }n∈N+ są ograniczone, operator S jest
ograniczony.
Na podstawie pracy [3] wiemy, że operator T ∈ B(H) jest paranormalny wtedy i tylko wtedy, gdy
kT 2 hk2 − 2λkT hk2 + λ2 khk2 0
dla wszystkich λ > 0 oraz h ∈ H. Korzystając z powyższego warunku
pokażemy, że S jest operatorem paranormalnym. Ustalmy w tym celu
P
P
dowolne h =
αn e n +
βk fk ∈ H oraz λ > 0. Zapiszmy h w postaci
n∈Z
k∈N+
sumy ortogonalnych elementów h =
P
P
hn + g, gdzie g :=
n∈N
αk e k
k∈Z\N
oraz hn := αn en +βn+1 fn+1 . Zauważmy, że kS 2 gk = kSgk = kgk. Zatem
kS 2 gk2 − 2λkSgk2 + λ2 kgk2 = (λ − 1)2 kgk2 . Następnie pamiętając, że
yn+1 xn+2 = xn+1 przeprowadźmy przekształcenia:
kS 2 hn k2 − 2λkShn k2 + λ2 khn k2 = kS 2 (αn en + βn+1 fn+1 )k2 −
− 2λkS(αn en + βn+1 fn+1 )k2 + λ2 k(αn en + βn+1 fn+1 )k2 =
= k(2xn+1 βn+1 + αn )en+2 + yn+1 yn+2 βn+1 fn+3 k2 −
− 2λk(xn+1 βn+1 + αn )en+1 + yn+1 βn+1 fn+2 k2 +
+ λ2 k(αn en + βn+1 fn+1 )k2 =
2
2
= |2xn+1 βn+1 + αn |2 + |βn+1 |2 yn+1
yn+2
−
− 2λ(|xn+1 βn+1 + αn |2 + |yn+1 βn+1 |2 ) + λ2 (|αn |2 + |βn+1 |2 ) =
= |(1 − λ)αn + 2xn+1 βn+1 |2 +
2
2
2
+ |βn+1 |2 λ2 − 2λ(x2n+1 + yn+1
) + yn+1
yn+2
=
= |(1 − λ)αn + 2xn+1 βn+1 |2 +
2
2
2
2
+ |βn+1 |2 (λ − (x2n+1 + yn+1
))2 + yn+1
yn+2
− (x2n+1 + yn+1
)2 =
2
= |(1 − λ)αn + 2xn+1 βn+1 |2 + |βn+1 |2 (λ − (x2n+1 + yn+1
))2 +
2
2
2
+ |βn+1 |2 yn+1
yn+2
− (x2n+1 + yn+1
)2 .
Ponownie korzystając z doboru ciągów {xn }n∈N+ oraz {yn }n∈N+ (zob.
Lemat 2.7.4) zauważmy, że
2
2
2
2
= x2n+2 yn+1
+ yn+1
= yn+1
(x2n+2 + 1) = yn+1 yn+2 .
x2n+1 + yn+1
35
Zatem ostatni składnik powyższej sumy jest równy 0. Stąd
kS 2 hn k2 − 2λkShn k2 + λ2 khn k2 0.
Ostatecznie zauważmy, że ciągi {g} ∪ {hn }n∈N , {Sg} ∪ {Shn }n∈N oraz
{S 2 g} ∪ {S 2 hn }n∈N są ortogonalne. Zatem
kS 2 hk2 − 2λkShk2 + λ2 khk2 =
2
2
2
X
(kS 2 hn k2 − 2λkShn k2 + λ2 khn k2 )+
n∈N
2
+ kS gk − 2λkSgk + λ kgk2 0.
Czyli S jest operatorem paranormalnym.
Pozostaje wykazać, że operator S nie posiada własności PF. Rzeczywiście, S spełnia równość SP = P U ∗ , gdzie P jest ortogonalną
projekcją na E := span{en |n ∈ Z} oraz U jest sumą prostą wstecznego
przesunięcia dwustronnego na E oraz identyczności. Z drugiej strony
mamy
P Sf1 = x1 e1 6= 0 = U ∗ P f1 .
Czyli S ∗ P 6= P U .
Twierdzenie 7.1.7 z [28] mówi, że każdy paranormalny operator jest
k-paranormalny dla ustalonego k 2. W związku z tym operator S
z powyższego przykładu jest jednocześnie k-paranormalny dla dowolnego k = 2, 3, . . . . Operator S jest również operatorem klasy Q.
Uwaga 2.7.6. Operatory klasy Q jak i operatory k-paranormalne
mogą nie posiadać własności PF.
Operator paranormalny S z przykładu 2.7.5 ma również tę własność, że zawężenie S do nietrywialnej podprzestrzeni E jest operatorem unitarnym, jednak E nie jest podprzestrzenią redukującą S.
Natomiast operatory ∗-paranormalne mają następującą własność.
Stwierdzenie 2.7.7. Niech T ∈ B(H) będzie operatorem ∗-paranormalnym oraz niech M będzie podprzestrzenią niezmienniczą dla T
taką, że T |M jest operatorem normalnym. Wtedy M redukuje T .
Dowód. Zaprezentujmy konstrukcję Berberiana z pracy [9].
Ustalmy granicę Banacha φ. Oznaczmy
l∞ (H) := {{xn }n∈N ⊂ H : sup kxn k < ∞}
n∈N
oraz wprowadźmy na l∞ (H) semi-iloczyn skalarny
h{xn }n∈N , {yn }n∈N i := φ({hxn , yn i}n∈N ).
36
Przestrzeń ilorazowa l∞ (H)/N (H), gdzie
N (H) := {{xn }n∈N ⊂ H : φ({kxn k2 }n∈N ) = 0}
jest przestrzenią unitarną wyposażoną w iloczyn skalarny
hs, ti := φ({hxn , yn i}n∈N ),
gdzie s, t są odpowiednio klasami abstrakcji ciągów {xn }n∈N , {yn }n∈N .
Niech K oznacza przestrzeń Hilberta powstałą przez uzupełnienie przestrzeni ilorazowej l∞ (H)/N (H).
Dowolny operator S ∈ B(H) generuje operator S ◦ ∈ B(K) taki,
że S ◦ ([{xn }n∈N ]) = [{Sxn }n∈N ], gdzie [{xn }n∈N ] oznacza klasę abstrakcji ciągu {xn }n∈N ⊂ l∞ (H). Przy czym odwzorowanie B(H) 3 S 7→
S ◦ ∈ B(K) jest izometrycznym ∗-izomorfizmem (zob. [9]). Na mocy
Twierdzenia 1 z pracy [9] otrzymujemy σap (S) = σap (S ◦ ) = σp (S ◦ ), dla
dowolnego operatora S ∈ B(H).
Dalej zauważmy, że podprzestrzeń M ⊂ H generuje podprzestrzeń
◦
M := l∞ (M)/N (M) niezmienniczą dla T ◦ . Rozkład H = M ⊕ M⊥
generuje rozkład K = M◦ ⊕ (M⊥ )◦ .
Rozważmy rozkład macierzowy operatora T względem rozkładu
H = M ⊕ M⊥
#
"
N A
,
T =
0 B
gdzie T |M = N .
Operator T jest ∗-paranormalny, zatem zachodzi
kN ∗ xk2 + kA∗ xk2 = kT ∗ xk2 ¬ kT 2 xkkxk = kN 2 xkkxk,
dla dowolnego x ∈ M.
Stąd dla dowolnego s = [{xn }n∈N ] ∈ l∞ (M)/N (M), na mocy nierówności Cauchy’ego-Schwarza otrzymujemy
kN ◦ sk2 + k(A∗ )◦ sk2 = k(T ∗ )◦ sk2 = φ(kT ∗ xn k2 ) ¬
(2.7.6)
1
1
¬ φ(kT 2 xn kkxn k) ¬ (φ(kT 2 xn k2 ) 2 (φ(kxn k2 )) 2 =
= k(T ◦ )2 skksk = k(N ◦ )2 skksk.
Na mocy nierówności (2.7.6) dostajemy (A∗ )◦ s = 0 dla dowolnego
s ∈ K wektora własnego N ◦ . Widmo operatora normalnego jest równe
widmu aproksymatywnemu. Zatem na mocy Twierdzenia 1 z pracy [9]
dostajemy σ(N ◦ ) = σap (N ◦ ) = σp (N ◦ ). Wobec tego zbiór wektorów
37
własnych N ◦ rozpina przestrzeń M. Stąd (A∗ )◦ = 0, czyli A◦ = 0.
Ostatecznie A = 0.
ROZDZIAŁ 3
Rozkłady typu Szegö
3.1. Miary Szegö dla izometrii
Niech µ będzie nieujemną regularną miarą borelowską na okręgu
jednostkowym T. Oznaczmy przez χω funkcję charakterystyczną zbioru
ω oraz przypomnijmy, że H 2 (µ) oznacza domknięcie w L2 (µ) algebry
wszystkich wielomianów analitycznych.
Definicja 3.1.1 ([21]). Niech µ będzie nieujemną regularną miarą
borelowską na okręgu jednostkowym T.
Powiemy, że µ jest miarą Szegö, gdy dla każdego zbioru borelowskiego ω ⊂ T, zachodzi µ(ω) = 0, jeśli tylko χω L2 (µ) ⊂ H 2 (µ).
Dodatkowo miarę µ nazywamy Szegö singularną, gdy H 2 (µ) = L2 (µ).
W książce [24] (zob. również [21]) miary Szegö zostały scharakteryzowne przez następujące warunki:
Stwierdzenie 3.1.2. Miara µ jest Szegö wtedy i tylko wtedy, gdy
(1) µ jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a m na T,
dµ
jest całkowalna w sensie Lebesgue’a.
(2) funkcja log dm
Zanim przejdziemy do własności Szegö spektralnych miar elementarnych przypomnijmy pomocniczą definicję.
Definicja 3.1.3. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią. Wektor w nazwiemy wędrującym jeśli
hV n w, wi = 0,
dla dowolnego n ∈ N+ .
Stwierdzenie 3.1.4. Niech V ∈ B(H) będzie izomertią. Jeśli wektor 0 6= w ∈ H jest wędrujący, to miara elementarna µw := hE(·)w, wi
pochodząca od miary spektralnej E najmniejszego unitarnego rozszerzenia V , jest miarą Szegö.
38
3.1. MIARY SZEGÖ DLA IZOMETRII
39
Dowód. Ustalmy wektor wędrujący w ∈ H. Zauważmy, że podprzestrzeń span{Vb n w : n ∈ Z}, gdzie Vb jest minimalnym rozszerzeniem
izometrii V , redukuje Vb do przesunięcia dwustronnego. Zatem miara
µw jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a m. Zauważmy, że
na mocy Twierdzenia Szegö (zob. [24]) mamy
exp
Z
dµw
log
dm
!
!
dm = inf
p∈A0
Z
|1 − p|2 dµw ,
gdzie A0 oznacza algebrę wszystkich wielomianów analitycznych znikających w 0. Dalej dostajemy
inf
Z
p∈A0
|1 − p|2 dµw = inf h(Id − p(V ∗ ))(Id − p(V ))w, wi =
p∈A0
= inf k(Id − p(V ))wk2 = inf kw − p(V )wk2 .
p∈A0
p∈A0
Skoro jednak w jest wędrujący mamy
inf kw − p(V )wk2 = kwk2 + inf kp(V )wk2 = kwk2 > 0
p∈A0
p∈A0
Stąd i na mocy Stwierdzenia 3.1.2 miara µw jest miarą Szegö.
Stwierdzenie 3.1.5. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią. Niech F
będzie podprzestrzenią redukującą dla V . Wówczas każda V -niezmiennicza
podprzestrzeń F jest redukująca wtedy i tylko wtedy, gdy każda miara
elementarna µx dla x ∈ F jest miarą Szegö singularną.
Dowód. Dla dowodu pierwszej implikacji załóżmy, że każda V niezmiennicza podprzestrzeń F jest redukująca. Zatem F redukuje izometrię V do operatora unitarnego. Wobec tego każda V -niezmiennicza
podprzestrzeń F jest redukująca dla Vb , minimalnego unitarnego rozszerzenia V .
Niech f będzie dowolnie ustalonym wielomianem złożonym z jednomianów o nieujemnych oraz ujemnych wykładnikach. Wtedy otrzymujemy
(3.1.1)
kf (Vb )x − p(V )xk2 =
Z
|f − p|2 dµx ,
dla x ∈ F oraz dla dowolnego wielomianu analitycznego p. Przestrzeń
rozpięta przez wektory postaci p(V )x, gdzie p są wielomianami analitycznymi o nieujemnych wykładnikach, jest Vb -niezmiennicza, a jako
podprzestrzeń F jest Vb redukująca. W konsekwencji wektor f (Vb )x
można aproksymować elementami postaci p(V )x. Zatem infimum po
wszystkich wielomianach analitycznych lewej strony równości (3.1.1)
3.2. ROZKŁADY TYPU SZEGÖ
40
wynosi 0. Stąd f ∈ H 2 (µx ). Skoro jednak wielomian f został ustalony
dowolnie, otrzymujemy H 2 (µx ) = L2 (µx ). W konsekwencji miara µx
jest Szegö singularna.
Dla dowodu drugiej implikacji załóżmy, że dla każdego x ∈ F miara
µx jest Szegö singularna. Jeśli M jest V -niezmienniczą podprzestrzenią
F , to wektor x ∈ M V M jest wędrujący, więc na mocy Stwierdzenia
3.1.4 mamy x = 0.
3.2. Rozkłady typu Szegö
Ninejszy podrozdział rozpocznijmy od definicji, która wiąże izometrię z Szegö własnością miar.
Definicja 3.2.1. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią. Rozkład H =
H1 ⊕ H2 , redukujący dla V , nazwiemy rozkładem typu Szegö, gdy
wszystkie miary elementarne pochodzące od wektorów H1 są Szegö singularne oraz H2 jest rozpięta przez wektory, których miary elementarne
są miarami Szegö.
Ponadto, przestrzeń H2 będziemy nazywać podprzestrzenią typu
Szegö.
W tym podrozdziale wykażemy, że dla każdej izometrii istnieje rozkład typu Szegö, choć nie musi on być jednoznaczny.
Przykład 3.2.2. Niech H1 := H3 := L2 (T+ ) oraz H2 := L2 (T− ),
gdzie T+ := {z ∈ T : =z 0}, T− := {z ∈ T : =z < 0}. Niech Mz
będzie operatorem mnożenia przez zmienną niezależną 00 z 00 działającym
na przestrzeni H := H1 ⊕ H2 ⊕ H3 .
Operatory Mz |H1 ⊕H2 , Mz |H2 ⊕H3 są unitarnie równoważne przesunięciu dwustronnemu. Zatem przestrzenie H1 ⊕ H2 oraz H2 ⊕ H3 są
rozpięte przez wektory wędrujące. Wobec tego na mocy Stwierdzenia
3.1.4 są one rozpinane przez wektory, których miary są Szegö. Z kolei
widmo operatorów unitarnych Mz |H3 oraz Mz |H1 wynosi T+ . Zatem,
żadna z przestrzeni H3 , H1 nie zawierają wektorów wędrujących. Wobec Stwierdzenia 3.1.5 przestrzenie H3 oraz H1 składają się z wektorów,
których miary elementarne są Szegö singularne.
Ostatecznie rozkłady H = (H1 ⊕H2 )⊕H3 oraz H = H1 ⊕(H2 ⊕H3 )
są dwoma różnymi rozkładami typu Szegö.
Twierdzenie 3.2.3. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią. Oznaczmy
przez Hw domknięcie podprzestrzeni rozpiętej przez wszystkie wektory
wędrujące dla V . Przyjmijmy H0 := (Hw )⊥ .
3.3. OPIS ROZKŁADU H = H0 ⊕ Hw
41
Wtedy przestrzeń Hw jest redukująca dla V oraz H = H0 ⊕ Hw jest
rozkładem typu Szegö.
Dowód. Wykażmy, że Hw jest podprzestrzenią redukującą dla V .
Zbiór wektorów wędrujących jest niezmienniczy dla V . Zatem V Hw ⊂
Hw . Dla potrzeb dowodu V ∗ -niezmienniczości rozważmy rozkład Wolda
H = Hu ⊕ Hs , gdzie V |Hu jest operatorem unitarnym, a V |Hs jest
przesunięciem jednostronnym. Niech Pu oraz Ps oznaczają projekcje
ortogonalne odpowiednio na Hu oraz Hs . Ustalmy wektor wędrujący
v ∈ Hw , wtedy dla dowolnego n ∈ N+ mamy
0 = hV n v, vi = hPu V n v, Pu vi + hPs V n v, Ps vi =
= hV ∗ Pu V n v, V ∗ Pu vi + hPs V n v, Ps vi =
= hV n Pu V ∗ v, Pu V ∗ vi + hPs V n v, Ps vi = hV n v 0 , v 0 i,
gdzie v 0 = Pu V ∗ v + Ps v. Zatem v 0 jest wektorem wędrującym. Zauważmy, że Hs ⊂ Hw . Stąd Pu V ∗ v = v 0 − Ps v ∈ Hw . Ostatecznie
V ∗ v = Pu V ∗ v + Ps V ∗ v ∈ Hw .
Na mocy Stwierdzenia 3.1.4 podprzestrzeń Hw jest rozpięta przez
wektory, których miary elementarne są Szegö. Jeśli F ⊂ H0 jest niezmienniczą podprzestrzenią dla V , to F V F jest zbiorem wektorów
wędrujących, zatem wobec definicji H0 mamy F V F = {0}. Na mocy
Stwierdzenia 3.1.5, podprzestrzeń H0 składa się z wektorów, których
miary miary elementarne są Szegö singularne.
Bezpośrednio z dowodu powyższego twierdzenia otrzymujemy następującą uwagę.
Uwaga 3.2.4. Każda niezmiennicza podprzestrzeń H0 jest redukująca.
3.3. Opis rozkładu H = H0 ⊕ Hw
Zanim przejdziemy do opisu podprzestrzeni Hw oraz H0 przypomnijmy znany wynik, którego postać dla operatora normalnego można
znaleźć m. in. w [7] (str. 267).
Stwierdzenie 3.3.1. Operator unitarny U jest ∗-cykliczny wtedy
i tylko wtedy, gdy U jest unitarnie równoważny Mµ operatorowi mnożenia przez zmienną niezależną 00 z 00 na przestrzeni L2 (µ), gdzie µ jest
miarą nieujemną na okręgu jednostrowym.
42
Uwaga 3.3.2. Jeśli e jest wektorem ∗-cyklicznym dla operatora unitarnego U , to miara µ (taka jak w powyższym stwierdzeniu) może być
wybrana jako miara elementarna e, tzn. µ(·) = hE(·)e, ei, gdzie E jest
miarą spektralną U .
Przypomnijmy jeszcze jeden znany wynik (zob. [24] str. 53).
Stwierdzenie 3.3.3. Niech h będzie nieujemną funkcją określoną
na okręgu jednostkowym T. Załóżmy, że h jest całkowalna w sensie
Lebesgue’a. Wtedy h jest postaci h = |f |2 , dla niezerowej funkcji f ∈
H 2 wtedy i tylko wtedy, gdy log h jest całkowalny w sensie Lebesgue’a.
Stwierdzenie 3.3.4. Niech µ będzie miarą nieujemną, skończoną,
absolutnie ciągłą względem miary Lebesgue’a m na okręgu jednostkowym T. Niech σ := suppµ.
Wtedy Mµ operator mnożenia przez zmienną niezależną ”z” na
przestrzeni L2 (σ, µ) jest unitarnie równoważny Mz operatorowi mnożenia przez zmienną niezależną ”z” na przestrzeni L2 (σ, m), gdzie m
jest miarą Lebesgue’a.
dµ
Dowód. Rozpatrzmy funkcje h := dm
. Dzięki skończoności miary µ widzimy, że dodatnia funkcja h jest całkowalna względem miary
Lebesgue’a.
Zatem istnieje dodatnia funkcja f ∈ L2 (σ, m) taka, że h = f 2 .
Rozważmy operator
Uf : L2 (σ, µ) 3 u → uf ∈ L2 (σ, m).
Ponieważ zachodzi f 2 =
Z
σ
dµ
,
dm
uf vf dm =
otrzymujemy
Z
σ
uvf 2 dm =
Z
uvdµ,
σ
dla u, v ∈ L2 (σ, µ). Zatem operator Uf jest dobrze określony na L2 (σ, µ)
oraz zachowuje iloczyn skalarny. Stąd Uf : L2 (σ, µ) → R(Uf ) jest
operatorem unitarnym. Aby wykazać, że R(Uf ) = L2 (σ, m) ustalmy
v ∈ L2 (σ, m). Wtedy funkcja fv jest dobrze określona prawie wszędzie
oraz
Z 2
Z
Z Z 2
v 2
v 2
v
2
|v| dm = f dm = f dm = dµ.
σ
σ f
σ f
σ f
v
2
Zatem v = uf , gdzie u = f ∈ L (σ, µ).
Ponadto, Mµ = Uf−1 Mz Uf , więc operator Uf wyznacza unitarną
równoważność operatorów Mµ oraz Mz .
43
Stosując rozkład Lebesgue’a do części unitarnej rozkładu Wolda
izometrii V ∈ B(H) otrzymujemy (zob. Rozdział 1)
(3.3.1)
H = Hs ⊕ Hac ⊕ Hsing ,
gdzie Hac ⊕ Hsing = Hu .
Przejdźmy teraz do opisu rozkładu izometrii nieunitarnej z Twierdzenia 3.2.3.
Twierdzenie 3.3.5. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią nieunitarną. Wtedy
Hw = Hac ⊕ Hs .
Dowód. Część singularna najmniejszego unitarnego rozszerzenia
c izometrii V jest równa części singularnej V |
∈ B(H)
Hsing części
unitarnej V . Dla wektora wędrującego w podprzestrzeń span{Vb n w :
n ∈ Z} redukuje Vb do przesunięcia dwustronnego. Zatem miara elementarna dowolnego wektora wędrującego dla V jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a. Stąd podprzestrzeń singularna Hsing
jest prostopadła do Hw . Ponieważ jest ona redukująca dla V bez straty dla ogólności rozumowania możemy założyć, że Hsing = {0}, czyli
H = Hac ⊕ Hs .
Rozważmy wektor x ∈ H prostopadły do Hw . Załóżmy dla dowodu
nie wprost, że x 6= 0. Podprzestrzeń Hx := span{V n x : n 0} ⊂ H0
jest niezmiennicza dla V . Zatem na mocy Uwagi 3.2.4 jest redukująca
dla V . Dalej wektor x jest cykliczny dla V |Hx . Zatem na mocy Stwierdzenia 3.3.1 operator V |Hx może być utożsamiony z operatorem możenia przez zmienną niezależną 00 z 00 na przestrzeni L2 (σ, µ), gdzie µ jest
skończoną miarą absolutnie ciągłą względem miary Lebesgue’a oraz
σ := suppµ. Na mocy Stwierdzenia 3.3.4 operator unitarny V |L2 (σ,µ)
jest unitarnie równoważny mnożeniu przez zmienną niezależną 00 z 00 na
przestrzeni L2 (σ, m). Po ewentualnym przejściu do podprzestrzeni redukującej możemy założyć, że zbiór T \ σ ma dodatnią miarę Lebesgue’a. Ustalmy funkcję
Vb
h(z) =

1,
dla z ∈ T \ σ,
1,
dla z ∈ σ.
2
Na mocy Stwierdzenia 3.3.3 istnieje f ∈ H 2 takie, że |f |2 = h. Skoro
V jest nieunitarną izometrią to bez straty dla ogólności rozumowania
χσ
możemy założyć, że f ∈ H 2 ⊂ Hs . Ustalmy g = √
∈ H0 . Zauważmy,
2
44
że |f |2 + |g|2 = 1. (Funkcja g ∈ L2 (σ, m) ⊂ L2 (T, m) jest utożsamiana
z funkcją określoną na całym okręgu jednostkowym.) Skoro f ∈ Hs ⊂
Hw , to funkcja f jest prostopadła do g. Można sprawdzić, że
1 Z
1 Z
2
2
2
2
kf + gk = kf k + kgk =
|f | dm +
|g|2 dm =
2π T
2π T
m(σ)
m(σ)
=
+ m(T \ σ) +
= 1.
2
2
Podobnie,
hz n (f + g), f + gi = hz n f, f i + hz n g, gi =
1 Z n
1 Z n
2
2
=
z (|f | + |g| )dm =
z dm = 0,
2π T
2π T
dla n > 0. Zatem wektor f + g jest niezerowym wektorem wędrującym.
= kgk2 = hf +
Skoro g jest ortogonalne do Hw , to dostajemy m(σ)
2
g, gi = 0. Zatem otrzymujemy sprzeczność z niezerowością miary zbioru
σ.
Powyższe twierdzenie implikuje postać przestrzeni Hw dla części
operatorów unitarnych.
Wniosek 3.3.6. Niech V ∈ B(H) będzie operatorem unitarnym
takim, że Hw 6= {0}. Wtedy
Hw = Hac .
Dowód. Niech v ∈ Hw będzie niezerowym wektorem wędrującym.
Ustalmy L := span{v, V v, V 2 v, . . . }, M = {. . . , V ∗ v, v, V v, V 2 v, . . . }⊥
oraz K = L ⊕ M . Izometria V |L jest jednostronnym przesunięciem
oraz V |K jest nieunitarną izometrią. Na mocy Twierdzenia 3.3.5 mamy
Kw = L ⊕ Kac , gdzie podprzestrzenie są oznaczone analogicznie jak
w Twierdzeniu 3.3.5. Podobnie dla każdego Kn := V ∗n L ⊕ M mamy
Kwn = V ∗n L ⊕ Kac . Wektor wędrujący pozostaje wędrujący dla rozszerzenia izometrii. Stąd Kwn ⊂ Hw dla każdego n ∈ N. Ostatecznie
W
Hac = n∈N V ∗n L ⊕ Kac ⊂ Hw ⊂ Hac .
Powyższe wyniki pozawalają nam na opis rozkładu z Twierdzenia
3.2.3.
Twierdzenie 3.3.7. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią. Wtedy rozkład z Twierdzenia 3.2.3 można opisać jak następuje:
• Jeśli V jest operatorem unitarnym nieposiadającym wektorów
wędrujących, to H0 = H,
3.4. PRZYKŁAD
45
• w przeciwnym przypadku, mamy H0 = Hsing
oraz Hw = Hac ⊕ Hs .
2
Bezpośrednim wnioskiem z tego twierdzenia jest maksymalność rozkładu przestrzeni Hw w Twierdzeniu 3.2.3.
Ponadto z postaci przestrzeni H0 otrzymujemy następujący wniosek.
Wniosek 3.3.8. Wektory ortogonalne do wszystkich wektorów wędrujących dla V są ortogonalne do wszystkich wektorów wędrujących
dla minimalnego unitarnego rozszerzenia V .
Na mocy hiperredukowalności rozkładu Lebesgue’a (zob. [35], [41])
dostajemy następujący wniosek.
Wniosek 3.3.9. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią. Wtedy rozkład
H = H0 ⊕ Hw jest hiperredukujący, tzn. przestrzenie H0 , Hw redukują
dowolny operator przemienny z izometrią V .
3.4. Przykład
Twierdzenie 3.3.7 pokazuje w szczególności, że dla izometrii nieunitarnej takiej, że Hac 6= {0}, istnieją wektory wędrujące nie należące do
podprzestrzeni Hs .
W dowodzie Twierdzenia 3.3.5 konstruowaliśmy wektor wędrujący,
którego projekcja na przestrzeń części unitarnej oraz części przesunięcia
były niezerowe. Pokażmy teraz innym sposobem przykłady wektorów
wędrujących dla izometrii, której część unitarna nie posiada żadnego
wektora wędrującego.
Przykład 3.4.1. Oznaczmy T+ := {z ∈ C||z| = 1, =z 0} oraz µ jako miarę Lebesgue’a na T+ . Rozpatrzmy przestrzeń H := L2 (µ)⊕
oraz izometrię V := U ⊕
∞
L
∞
L
l2
n=0
S, gdzie S jest przesunięciem jednostron-
n=0
nym na l2 , a U ∈ B(L2 (T+ , µ)) jest operatorem mnożenia przez zmienną niezależną 00 z 00 .
Dla ustalonego k ∈ N+ rozważmy funkcję fk (z) := 1 − k1 (z 2 + z 4 +
... + z 2k ). Pokażmy, że
Z
1
1
ckn := hU n fk , fk i = z n |1 − (z 2 + z 4 + ... + z 2k )|2 dz = O 3 .
k
n
T+
3.4. PRZYKŁAD
46
Istotnie mamy
(3.4.1)
Z
Z
k
1 2
j 2j
1 X
n
4
2k 2
2j
n
z |1 − (z + z + ... + z )| dz = z 1 + −
(z + z ) dz.
k
k j=1 k 2
T+
T+
Dalej wobec

− 2
Z
(3.4.2)
z n dz =  1+n
0,
T+
,
dla 2|n,
dla 2 6 |n,
otrzymujemy, że całka (3.4.1) wynosi 0 dla n nieparzystych oraz
k
−2(1 + k1 ) X
j
2
2
+
+
2
1 + 2m
1 + 2(m − j) 1 + 2(m + j)
j=1 k
dla n = 2m. Powyższą sumę można zapisać jako
k
X
j
2
4
2
+
−
.
2
1 + 2(m − j) 1 + 2(m + j) 1 + 2m
j=1 k
Bezpośrednie rachunki ostatecznie pokazują, że
ck2n
k
X
j
16j 2
1
=O 3 .
=
2
n
j=1 k (1 + 2(2n − j))(1 + 2(2n + j))(1 + 4n)
P
Zatem momenty funkcji fk tworzą szereg zbieżny, tzn.
n∈N
|ckn | < ∞.
W konsekwencji poniższy wektor jest dobrze określony
q
q


 ck2
q

 ck3

0
− ck2
0
..
.
0
..
.
ck − ck1
q 1
bk =
..
.
0
q

0
···
0
q
· · ·



∈
− ck3 · · ·

..
...
.
∞
M
n=0
Ponadto łatwo możemy policzyć m-ty moment h
elementu bk . Mianowicie mamy
 m
z }| { q
0 . . . 0
ck

q 1

0 . . . 0
ck2

..
.
..
.
−
q
0
..
.
ck1
0
q
 q
ck1
· · ·
q

 
 ,  ck
2
· · ·
  .
− ck2
..
..
.
.
..
q
− ck1
0
..
.
l2 .
L∞
n=0
0
q
S m (bk ), bk i

· · · − ck2 · · ·

..
..
.
.

= −ckm .
Zatem element v := fk ⊕ bk jest wektorem wędrującym, którego projekcja na przestrzeń Hu wynosi fk 6= 0 oraz projekcja na Hs wynosi
bk 6= 0.
3.4. PRZYKŁAD
47
Co więcej wektor v := z n fk ⊕ bk dla dowolnych n, k ∈ N jest również wektorem wędrującym. Przeprowadzając analogiczne obliczenia do
powyższych, na mocy równości (3.4.2) otrzymujemy, że
k1 − fk k2 =
Z 1
k
T+
+
k−1
X
(z 2j + z 2j )
j=1
k−1
X k−j
1
k − j
2
+
4
.
dz
=
−
2
2
2
k
k
4j − 1
j=1 k
Zatem fk → 1 w normie z przestrzeni L2 (T+ ), czyli z n fk → z n (k →
∞). Stąd zbiór projekcji wektorów wędrujących na przestrzeń unitarnej
części Hu jest liniowo gęsty w Hu .
2
Wykorzystując powyższy przykład możemy wykazać następujący
fakt.
Stwierdzenie 3.4.2. Niech U ∈ B(H) będzie singularnym operatorem unitarnym. Wtedy
∞
X
|hU n x, xi| = ∞
n=0
dla dowolnego x ∈ H.
Dowód. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że istnieje wektor f ∈ H
∞
∞
P
L
taki, że
|hU n f, f i| < ∞. Rozważmy wektor b ∈
l2 pochodzący
n=0
n=1
od momentów wektora f , taki jak w Przykładzie 3.4.1. Wtedy wektor
∞
∞
L
L
v = f +b ∈ H⊕
l2 jest wędrujący dla operatora V = U ⊕
S,
n=1
n=1
gdzie S jest przesunięciem jednostronnym o krotności 1.
Minimalne unitarne rozszerzenie izometrii V jest postaci Vb = U ⊕
∞
L b
S. Przy czym U jest częścią singularną operatora Vb . Zatem mamy
n=1
v∈
∞
L
l2 .
Czyli f = 0. Co daje sprzeczność z założeniem.
n=1
Dzięki Twierdzeniu 3.3.7 wiemy, że zbiór wektorów wędrujących dla
izometrii, której część unitarna jest absolutnie ciągła jest gęsty. Jeśli
odpowiedź na poniższe pytanie jest twierdząca, to możemy udowodnić
ten fakt bezpośrednio korzystając z konstrukcji z Przykładu 3.4.1.
Problem 3.4.3. Niech U ∈ B(H) będzie absolutnie ciągłym operatorem unitarnym. Czy zbiór {x ∈ H :
∞
P
n=0
|hU n x, xi| < ∞} jest gęsty?
3.5. INNY ROZKŁAD TYPU SZEGÖ
48
3.5. Inny rozkład typu Szegö
Podprzestrzeń H0 , rozważanego rozkładu typu Szegö H = H0 ⊕Hw ,
można dodatkowo scharakteryzować w następujący sposób.
Twierdzenie 3.5.1. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią. Wtedy
H0 =
\
gdzie M0 := {M ⊂ H : V M ⊂ M,
M0 ,
W
V ∗k M = H}.
k∈N
Dowód. Najpierw pokażmy, że M0 ⊂ H0 . Ustalmy wektor wędrujący v ∈ H oraz podprzestrzeń M := H {v, V ∗ v, V 2∗ v, V 3∗ v, ...}.
Podprzestrzeń M jest niezmiennicza dla V , gdyż jest dopełnieniem podprzestrzeni niezmieniczej dla V ∗ . Dalej skoro wektor v jest wędrujący,
to V v ∈ M . Stąd otrzymujemy V ∗k v = V ∗(k+1) V v ∈ V ∗(k+1) (M ). Czyli
W
V ∗k (M ) = H. Zatem M ∈ M oraz v⊥M . W konsekwencji podprzeT
k0
strzeń M0 jest ortogonalna do wszystkich wektorów wędrujących dla
T
V . Zatem M0 ⊂ H0 .
T
Pokażmy teraz przeciwną implikację H0 ⊂ M0 . W tym celu ustalmy M ∈ M0 . Niech M = Mu ⊕ Ms będzie rozkładem Wolda dla izometrii V |M . Skoro V |Mu jest operatorem unitarnym, to otrzymujemy
W
W
V ∗n Ms . Izometria V |Ms jest przesunięciem
V ∗n M = Mu ⊕
H=
T
n0
n0
jednostronnym, więc przestrzeń
W
V ∗n Ms jest rozpinana przez wekto-
n0
ry wędrujące dla V . Stąd H0 ⊂ Mu ⊂ M .
c oznacza jej miniUstalmy izometrię V ∈ B(H). Niech Vb ∈ B(H)
malne unitarne rozszerzenie. Zdefiniujmy
M := {M ⊂ H : V M ⊂ M,
_
c
Vb ∗k M = H}.
k∈N
Innymi słowy M jest rodziną podprzestrzeni niezmienniczych dla V
na tyle dużych, że minimalne unitarne rozszerzenie restrykcji V |M jest
równe Vb , minimalnemu unitarnemu rozszerzeniu V .
Twierdzenie 3.5.2. Dla izometrii V ∈ B(H) podprzestrzeń
redukuje H generując rozkład typu Szegö.
T
Ponadto, H0 ⊂ M.
T
M
Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego M ∈ M mamy V M ∈ M
T
T
T
T
oraz V M ⊂ M . Zatem M ⊂
V M ⊂ M, więc M redukuje
M ∈M
V.
3.5. INNY ROZKŁAD TYPU SZEGÖ
49
Wykażmy teraz, że dowolna niezmiennicza podprzestrzeń M jest
T
T
T
redukująca. Skoro M ⊂
V n M , dla pewnego M ∈ M, to M
T
n∈N
redukuje V do operatora unitarnego. Ustalmy niezmienniczą podprzeT
strzeń F ⊂ M oraz wektor wędrujący x ∈ F V F . Rozważmy
W
podprzestrzeń G :=
{V n x}, gdzie V n = V ∗|n| dla n < 0. Wobec
n∈Z
powyższego G redukuje V do przesunięcia dwustronnego. Niech Mn :=
W
T
T
(HG)⊕ {V n+k x} ∈ M. Wtedy x ∈ M ⊂
Mn = HG, czyli
n∈N
k∈N
x = 0. Stąd F V F = {0}. Ostatecznie podprzestrzeń F redukuje V .
T
Aby na mocy Stwierdzeń 3.1.4 oraz 3.1.5 uzyskać, że H = M ⊕
T
⊥
T
M jest rozkładem typu Szegö musimy wykazać, że H0 ⊂ M.
Wówczas na mocy inkluzji
T
T
M
⊥
⊂ Hw otrzymamy, że podprze-
⊥
strzeń
M jest rozpinana przez wektory wędrujące.
W tym celu ustalmy dowolny element x ∈ H0 oraz rozważmy
podprzestrzeń Lx := span{V n x : n ∈ N} niezmienniczą dla V . Mamy Lx ⊂ H0 , zatem na mocy Uwagi 3.2.4 podprzestrzeń Lx redukuje V . Dodatkowo dla ustalonego M ∈ M rozpatrzmy podprzestrzeń
T
HM :=
V n M ⊂ M . Ponieważ V (HM ) = HM , przestrzeń HM redun∈N
kuje V . Ponadto
Vb ∗k (M ) = HM ⊕
M
Vb n (M Vb (M )) ⊕
n∈N
M
Vb ∗n (M Vb (M )),
0¬n¬k
dla wszystkich k ∈ N. Na mocy Wniosku 3.3.8 przestrzeń Lx ⊂ H0 jest
L b ∗n
L bn
V (M Vb (M )) ⊕
V (M Vb (M )). Zatem
prostopadła do
n∈N
0¬n¬k
x ∈ Lx ⊂ HM ⊂ M . Czyli, wobec dowolności M ∈ M mamy x ∈
T
Ostatecznie H0 ⊂ M.
T
M.
Przejdźmy teraz do opisu związku pomiędzy dwoma wprowadzonyT
mi rozkładami typu Szegö. Porównajmy podprzestrzenie H0 oraz M.
Twierdzenie 3.5.3. Niech V ∈ B(H) będzie izometrią.
Jeśli istnieją wektory wędrujące dla V |Hu , części unitarnej V , to
\
M = H0 = Hsing .
Jeśli nie istnieją wektory wędrujące dla V |Hu oraz dim N (V ∗ ) < ∞,
to
\
M = Hu .
3.6. REDUKCJA PROBLEMU PODPRZESTRZENI NIEZMIENNICZEJ
50
Dowód. Załóżmy najpierw, że V posiada wektory wędrujące należące do Hu . Jeśli v ∈ Hu jest dowolnie ustalonym wektorem wędrują
cym, to zauważmy, że M := H {. . . , V ∗2 v, V ∗ v, v, V v, V 2 v, . . . } ⊕
T
span{V n v : n ∈ N+ } ∈ M oraz v⊥M . Zatem wobec Hs ⊥ M oraz
T
Wniosku 3.3.6 otrzymujemy Hw ⊥ M. Na mocy drugiej części TwierT
dzenia 3.5.2 dostajemy M = H0 .
Teraz przeciwnie, niech V nie posiada wektorów wędrujących należących do Hu . Ponadto niech V będzie operatorem, którego część przesunięcia jednostronnego V |Hs ma skończoną krotność. Ustalmy przestrzeń M ∈ M i rozważmy rozkłady Wolda: V = U ⊕ S oraz V |M =
U 0 ⊕ S 0 , gdzie U, U 0 są operatorami unitarnymi, a S, S 0 są przesunięciami jednostronnymi. Przestrzeń redukująca izometrię V |M do operatora unitarnego U 0 redukuje również izometrię V . Zatem U = U 0 ⊕ U 00
dla pewnego operatora unitarnego U 00 . Z definicji rodziny M otrzymujemy, że minimalne unitarne rozszerzenie Vb izometrii V jest zarazem minimalnym unitarnym rozszerzeniem Vd
|M izometrii V |M . Zatem
d
0 c0
b
b
b
c
0
U ⊕ S = V = V |M = U ⊕ S , gdzie S, S są minimalnymi przesunięciami
dwustronnymi rozszerzającymi odpowiednio przesunięcia jednostronne
c0 . Na mocy założeń
S i S 0 . Wobec tego zachodzi równość U 00 ⊕ Sb = S
przesunięcia jednostronne S oraz S 0 mają skończoną krotność. Zatem
funkcja krotności spektralnej operatorów S i S 0 jest stała na okręgu
jednostrowym. Dalej funkcja krotności spektralnej operatora U 00 jest
różnicą funkcji krotności S 0 oraz S. Wobec tego na mocy charakteryzacji operatorów unitarnych przy pomocy funkcji krotności spektralnych
(zob. [37] ) operator U 00 jest przesunięciem dwustronnym lub operatorem na {0}. Jeśli jednak Hu nie zawiera wektorów wędrujących, to
części unitarnej U nie można zredukować do przesunięcia dwustronnego. Zatem U 00 = 0. W konsekwencji Hu ⊂ M dla dowolnego M ∈ M.
T
Ostatecznie M = Hu .
Problem 3.5.4. Czy powyższe twierdzenie pozostanie prawdziwe
bez założenia o skończonej krotności części przesunięcia jednostronnego?
3.6. Redukcja Problemu Podprzestrzeni Niezmienniczej
Problem Podprzestrzeni Niezmienniczej jest obecnie najważniejszym nierozstrzygniętym problemem Teorii Operatorów na przestrzeni
Hilberta.
51
Problem 3.6.1. Czy każdy operator ograniczony na przestrzeni Hilberta posiada nietrywialną (domkniętą) podprzestrzeń niezmienniczą?
Jak dotąd uzyskano wiele częściowych wyników skupiających się
na pewnych klasach operatorów. Zaprezentujmy tu redukcję Problemu
3.6.1 ze względu na własności asymptotyczne kontrakcji dyskutowane
w Rozdziale 2.
Podprzestrzeń jest niezmiennicza dla operatora T wtedy i tylko
wtedy, gdy jest niezmiennicza dla kontrakcji kTT k . Zatem wystarczające jest rozstrzygnięcie pytania nt. istnienia podprzestrzeni niezmienniczych dla kontrakcji. Rozważając kontrakcję T ∈ B(H) widzimy, że
podprzestrzeń {x ∈ H : T n x → 0} jest domknięta i niezmienicza dla
T . Dalej podprzestrzeń H {x ∈ H : (T ∗ )n x → 0} również jest podprzestrzenią niezmienniczą dla T . Zatem Problem 3.6.1 pozostaje interesujący jedynie w przypadku kontrakcji klasy C00 , C01 , C10 lub C11 .
Kontrakcje klasy C11 są quasi-podobne do operatorów unitarnych, więc
zgodnie z konstrukcją przeprowadzoną w [52] posiadają nietrywialne
podprzestrzenie redukujące. Jeśli podprzestrzeń L jest niezmiennicza
dla kontrakcji T , to podprzestrzeń H L jest niezmiennicza dla T ∗ .
W konsekwencji Problem 3.6.1 można ograniczyć do kontrakcji klasy
C00 oraz C10 . Zupełnie nieunitarne kontrakcje będące operatorami normalnymi lub zwartymi są klasy C00 . Dla tych klas operatorów, dzięki
twierdzeniu spektralnemu oraz dzięki pracy [5] istnieją podprzestrzenie
niezmiennicze. Są to częściowe wyniki dotyczące kontrakcji klasy C00 .
Ogólne rozstrzygnięcie Problemu 3.6.1 dla kontrakcji klasy C00 oraz
C10 nie jest znane.
Nie mniej jednak możemy sformułować następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.6.2. Niech T ∈ B(H) będzie kontrakcją klasy C10 .
Wtedy część singularna asymptoty izometrycznej T jest zerowa. Ponadto jeśli asymptota izometryczna T posiada wektory wędrujące, to T
posiada nietrywialną podprzestrzeń niezmienniczą.
Dowód. Kontrakcja klasy C10 jest operatorem zupełnie nieunitarnym. Zatem na mocy Stwierdzenia XII.2.1 z [8] część singularna asymptoty izometrycznej jest zerowa.
Załóżmy teraz, że V , asymptota izometryczna T , posiada wektory
wędrujące. Izometria V zawiera część przesunięcia jednostronnego lub
jest unitarna. Jeśli izometria V jest unitarna, to dowolny wektor wędrujący w generuje przestrzeń span{V n : n ∈ Z}, która redukuje V
52
do przesunięcia dwustronnego. Zatem V zawiera w sobie przesunięcie
jedno lub dwustronne. Stąd T ⊂ σ(V ). Dalej na mocy Twierdzenia 4
z [29] dostajemy σ(V ) ⊂ σ(T ). Jednak każda kontrakcja, której widmo
zawiera okrąg jednostkowy posiada podprzestrzeń niezmienniczą(zob.
[10], [12]). Co kończy dowód.
Bibliografia
[1] J. Agler, Hypercontractions and subnormality, J. Operator Theory 13(1985),
203-217.
[2] A. Aluthge, On p-hyponormal operators for 0 < p < 1, Integral Equations
Operator Theory 13(1990), 307-315.
[3] T. Andô, Operators with a norm condition, Acta Sci. Math. (Szeged) 33(1972),
169-178.
[4] N. Aronszajn, Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc.
68(1950), 337-404.
[5] N. Aronszajn, K.T. Smith, Invariant subspaces of completely continuous operators, Ann. of Math. 60(1954), 345-350.
[6] S.C. Arora, J.K. Thukral, On a class of operators, Glas. Mat. Ser. III 21(1986),
381-386.
[7] J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Sceond Edition, SpringerVerlag, New York, Inc., 1990.
[8] B. Beauzamy, Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces,
North-Holland Mathematical Library, Amsterdam, New York, Oxford, Tokyo,
1988.
[9] S.K. Berberian, Approximate proper vectors, Proc. Amer. Math. Soc., 13(1962),
111-114.
[10] H. Bercovici, Notes on invariant subspaces, Bull. Amer. Math. Soc. 23(1990),
1-36.
[11] H. Bercovici, Commuting power-bounded operators, Acta Sci. Math. (Szeged)
57(1993), 55-65.
[12] S.W. Brown, B. Chevreau, C. Pearcy, On the structure of contraction operators.
II J. Funct. Anal. 76 (1988), 30-55.
[13] Z. Burdak, M. Kosiek, P. Pagacz, M. Słociński, Shift-type properties of commuting, completely non doubly commutiong pairs of isometries, praca przyjęta
do druku, Integral Equations Operator Theory, 2014.
[14] R. Chill, Y. Tomilov, Stability of operator semigroups ideas and results, Perspectives in operator theory, 71-109, Banach Center Publ., 75, Polish Acad.
Sci., Warsaw, 2007.
[15] R. Curto, P. Muhly, D. Xia, A trace estimate for p-hyponormal operators,
Integral Equations and Operator Theory, 6(1983), 507-514.
[16] B.P. Duggal, On unitary parts of contractions, Indiana J. pure appl. Math.
25(1994), 1243-1247.
53
BIBLIOGRAFIA
54
[17] B.P. Duggal, On characterising contractions with C10 pure part, Integral Equations and Operator Theory 27(1997), 314-323.
[18] B.P. Duggal, C.S. Kubrusly, Contractions with C·0 direct summands, Adv.
Math. Sci. Appl. 11(2001), 593-601.
[19] B.P. Duggal, C.S. Kubrusly, Paranormal contractions have property PF, Far
East J. Math. 14(2004), 237-249.
[20] B.P. Duggal, C.S. Kubrusly, N. Levan, Contractions of class Q and invariant
subspaces, Bull. Korean Math. Soc. 42(2005), 169-177.
[21] C. Foiaş, I. Suciu, Szegö-measures and spectral theory in Hilbert spaces, Rev.
Roumaine Math. Pures Appl. 11(1966), 147-159.
[22] T. Furuta, On the class of Paranormal operators, Proc. Japan Acad. 43(1967),
594-598.
[23] P.R. Halmos, Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics 18, New York,
Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1974.
[24] K. Hoffman, Banach spaces of analytic functions, Prentice Hall, Inc., N. J.,
1962.
[25] V.I. Istrǎţescu, T. Saitô, T. Yoshino, On a class of operators, Tôhoku Math.
J. 18(1966), 410-413.
[26] I. Istrǎţescu, V. Istrǎţescu, On some classes of operators I, Proc. Japan Acad.
43(1967), 605-606.
[27] I. Istrǎţescu, V. Istrǎţescu, On some classes of operators II, Proc. Japan Acad.
43(1967), 957-959.
[28] V.I. Istrǎţescu, Introduction to Linear Operator Theory, Marcel Dekker Inc.,
New York, Basel, 1981.
[29] L. Kérchy, Isometric Asymptotes of Power Bounded Operators, Indiana Univ.
Math. J. 38(1989), 173-188.
[30] L. Kérchy, Operators with regular norm-sequences, Acta Sci. Math. (Szeged)
63(1997), 571-605.
[31] L. Kérchy, Criteria of regularity for norm-sequences, Integral Equations Operator Theory 34(1999), 458-477.
[32] L. Kérchy, V. Müller, Criteria of regularity for norm-sequences II, Acta Sci.
Math. (Szeged) 65(1999), 131-138.
[33] I.H. Kim On (p, k)-quasihyponormal operators Math. Inequal. Appl. 7(2004),
629-638.
[34] I.H. Kim, The Fulglede-Putnam theorem for (p, k)-quasihyponormal operators,
J. Inequal. Appl. Art. ID 47481 (2006), 7 pp.
[35] M. Kosiek, Fuglede-type decompositions of representations, Studia Math.
151(2002), 87-98.
[36] M.Y. Lee, S.H. Lee, C.S. Rhoo, Some remarks on the structure of k ∗ paranormal operators, Kyungpook Math. J. 35(1995), 205-211.
[37] M. Lemańczyk, Teoria spektralna dla ergodyków, 2010, wykład dostępny na
stronie http://www-users.mat.umk.pl/ mlem/didactics.php
[38] G.G. Lorentz, A contribution to the theory of divergent sequences, Acta Math.
80(1948), 167-190.
BIBLIOGRAFIA
55
[39] W.Mlak, Characterization of completely non-unitary contractions in Hilbert
spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 11(1963), 111113.
[40] W. Mlak, A note on Szegö type properties of semi-spectral measures, Studia
Math. 31(1968), 241–251.
[41] W. Mlak, Intertwinning operators, Studia Math. 43(1972), 219–233.
[42] R.L. Moore, D.D. Rogers, T. T. Trent, A note on intertwining M-hyponormal
operators, Proc. Amer. Math. Soc. 83 (1981), 514-516.
[43] K. Okubo, The unitary part of paranormal operators, Hokkaido Math. J.
6(1977), 273-275.
[44] P. Pagacz, On Wold-type decomposition, Linear Algebra Appl. 436(2012), 30653071.
[45] P. Pagacz, The Putnam-Fuglede property for paranormal and *-paranormal
operators, Opuscula Math. 33(2013), 565-574.
[46] P. Pagacz, On the power-bounded operators of classes C0· and C1· ,
arXiv:1206.0492v1.
[47] S.M. Patel, Contributions to the study of spectraliod operators, Rozprawa doktorska, Delhi University 1974.
[48] C.R. Putnam, On normal operators in Hilbert space, Amer. J. Math. 73(1951),
357-362.
[49] C.R. Putnam, Hyponormal contractions and strong power convergence, Pacific
J. Math. 57(1975), 531-538.
[50] Z. Sebestyén, On range of adjoint operators in Hilbert space, Acta Sci. Math.
(Szeged) 46(1983), 295-298.
[51] B. Sz.-Nagy, On uniformly bounded linear transformations in Hilbert space,
Acta Sci. Math. (Szeged) 11(1947), 152-157.
[52] B. Sz.-Nagy, C. Foiaş, Harmonic Analysis of operators on Hilbert space, NorthHolland, Amsterdam, London, 1970.
[53] K. Tanahashi, A. Uchiyama, M. Cho, Isolated points of spectrum of (p,k)quasihyponormal operators, Linear Algebra Appl. 382(2004), 221-229.
[54] Q. P. Vũ, On the spectrum, complete trajectories and asymptotic stability of
linear semidynamical systems, J. Differential Equations 105(1993), 30-45.
[55] Q. P. Vũ, Almost periodic and strongly stable semigroups of operators, Linear
Operators (Warsaw, 1994), Banach Center Publ., vol. 38, Polish Acad. Sci.,
Warsaw, 1997, pp. 401-426.
[56] H. Wold, A study in the analysis of stationary time series, Almkvist and Wiksell, Stockholm, 1954.

Własności asymptotyczne oraz własności Szego dla

Transkrypt

Podobne dokumenty

T* t`.t`6tt""=.t-tAt"

Lista 5 - IM PAN

Praca Poglądowa Review Article

Agencja Pracy Tymczasowej RANDSTAD

Giełda pracy - operator wtryskarki, operator druku

Targi pracy Danone Plakat

141lista instytucji finansowych

Powiatowy Urząd Pracy w Wejherowie