zastosowanie metody macierzy przeniesienia w obliczeniu drgań

zastosowanie metody macierzy przeniesienia w obliczeniu drgań

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I STOSOWANA 2, 14 (1976) Z A S T O S O W A N I E M E T O D Y M A C I E R Z Y P R Z E N I E S I E N I A W O B L I C Z E N I U D R G A Ń U K Ł A D U F R A N C I S Z E K J A R Z Y Ń
W Ł A S N Y C H B E L K O W O ­ L I N O W E G O S K I, N G U Y E N V A N T I N H ( P O Z N A Ń ) Wstęp Metoda macierzy przeniesienia jest znana i była dotychczas stosowana w zagadnieniach statycznych i dynamicznych obliczenia belek, ram i kratownic [1, 2, 3]. W artykule ni­
niniejszym omówiono obliczenie drgań własnych układu belkowo­linowego przy założ eniu stałej sztywnoś ci belki na zginanie. W zakoń czeniu podano przykład liczbowy. Wyniki otrzymane są zbież ne z wynikami uzyskanymi z wzorów podanych w [4]. 1. Przypadek belki Rozpatrzmy układ belkowo­linowy (rys. 1). Dzieląc belkę na przę sła i wę zły oraz zakładają c, że masy układu są zaczepione tylko w wę złach 1, 2,..., и (rys. 2), na mocy [1] dla przę sła i—l, i mamy (rys. 3): x Rys. 2 Rys. 3 I 254 F . J A R Z Y Ń S K, I N G U Y E N V A N T I N H W­i + acpU + W? = 2EJ Mf_i + 6EJ TU, (1) ML, Mi +a TU, TL, Tt oraz dla wę zła i (rys. 4) we = wt, = <PI
(2) t f , Mf = A / ,
Ł
, 2
7 / = Tt~m co W, t
+ P,(W). Rys. 4 Równania (1) i (2) moż emy zapisać w postaci 2 £ 7 + 6£У aMLi a TLi EJ (3) a M / ; £ 7 " aMLi EJ 2
l 2EJ 2
+ a TL, EJ £ 7 oraz (4) EJ a " • "' EJ EJ N a podstawie równań (3) i (4) napiszemy równania równowagi przę sła i wę zła w sposób nastę pują cy
: L — w 1 1 1 1 2 6 9 0 1 o M 0 0 f 1 _ i — w J _ 2 9 1 1 M (5) 0 0 0 1 0 ,y
albo Z f = F | Z f _
f 1 | f 255 ZASTOSOWANE
I METODY MACE
IRZY PRZENE
ISE
INA
I 1 0 0 0 — w Ł (6) M — w 0 1 0 0 4> 0 0 1 0 M Ъ 0 0 1 Pr 0 1 T albo Z f = K , Z f , i w których: — W a q> = q>, M = M т
EJ' т
=ш ' EJ Pt, 2 4t = m <» EJ t
F, jest macierzą przę sła, K — macierzą wę zła, co — czę stoś ą ci drgań własnych układu, f
щ = fia; p — masą jednostki długoś ci układu, P, ­ siłą, pochodzą ca od kabla, działają cą na wę zeł i belki. Analogicznie moż emy napisać równania dla innych wę złów i przę seł. W taki sposób otrzymamy zależ ność mię dzy Zg (dla punktu A) i Z% (dla punktu B) + г
(8) gdzie Z * _ , = U Z S | (9) U = F
n + 1
K F „ . . . F K " F . n
2
1
1
Obliczając iloczyn macierzy (9) moż emy pominąć kolumny 1 i 3 macierzy F , ponieważ W = M = 0. Otrzymamy wówczas A
A
— w «12 «11^1+«12/72+ • • +U*nPn~ " <P ' «2 1 «22 «21^1+«22^2+ • • +U*nPn (10) " 3 1 « 4 1 _
« 3 2 « 3 1 ^ 1 + « 3 2 ^ 2 + • « 4 2 f 4> • +u$ p„ . 1 ­ 0 == M « 4 l P l + « * 2 P 2 + • • + « 4 л Л , T 1 1 0 « O' 9* « j b « . * Ф
n
u
Ji albo 1Ш
( П ) т ] Z + i n
1 gdzie P = С о 1 { Л ( и ; ) , Р
(12) U = 2
( . у ) , . . . , Р » } , U ( 4 , 2), U * = U*(4, n). Macierze U i U * są funkcjami czę stoś i ci zależą od parametrów geometrycznych belki. Ponieważ M = W — 0, ze wzoru (11) otrzymujemy B
B
(13) U
1
3
Z + U * P = o, 0
3
gdzie ^ . Г « 1 1 « 1 2 l
1 3 =
u L « 3 1 u
« 3 2 j U
*
3
[ " l i =
\u* • • « 1 . П ­ 1 u* L « 3 1 • • « З . п ­ l «*nl u* « 3 n J 256 F . J A R Z Y Ń S K, I N G U Y E N V A N T I N H 2. Przypadek liny Stosując ten sam tok postę powania, co w pracy [5], znajdujemy (14) P = A W , gdzie W = C o l {W , W , ..., W„} jest wektorem ugięć wę złów liny i równocześ nie wę złów belki. Macierz A jest macierzą kwadratową, symetryczną i okreś loną równaniem 1
2
tf . " a
2
e
A
6Af E F
\n+l) a e k
P
+
s
3
k ° ' w którym 2 1 ­ 1 •1 1 1 2 ­ 1 ­ 1 1 1 1 2 E F ~ sztywność liny, k
k
£ = 1 + 16 Г 3 /
2 2 i
Н д ~sr — pozioma składowa nacią gu statycznego liny, oj g — cię ż r ajednostki długoś ci układu. Te same równanie (14) moż na zapisać w postaci g
=
(16) EJ W a EJ^ Z równania (7) i (16) mamy (17) P = A W, gdzie (18) A
= Ł 7
A
­
3. Macierz współczynników wpływowych Wyznaczamy Z jako funkcję wektora sił nastę pują co
: 0
(19) Zo = [ ^ ] = « ( Q ­ P ) , i 257 ZASTOSOWANIE METODY MACIERZY PRZENIESIENIA gdzie Q jest wektorem sil bezwładnoś ci okreś lonym wzorem (20) Q = M W , m
7 et = a(2, n) jest macierzą wpływową mię dzy Z i siłami P, Q , a oznacza kąt nachylenia przekroju w punkcie A pod działaniem siły jednostkowej w punkcie /' belki, <x oznacza reakcję w punkcie A, gdy siła jednostkowa działa na punkt i belki. 0
u
2i
«2i L­(n*1)a Rys. 5 Rozpatrzmy belkę AB o stałym przekroju (rys. 5). Korzystając ze statycznych równań łatwo znajdujemy af(2L­af)(L­af) 6LEJ (21) a
2i L­af L ' Podstawiając L = a(n+1), af = i­a do (21) otrzymamy 2
a i[{2n + 2­i)(n+l­i)] a = ­ EJ 6(n+l) u
(22) a = 2i
n+l­i n +1 0' = 1, 2, . . . , « ) . N a podstawie (17), (18), (19), (20) oraz (22) łatwo zauważ yć, że (23) 5 Mechanika Teoretyczna Z = a ( Q ­ P ) = a ( q W ­ A W ) 0
258 F . J A R Z Y Ń S K, I N G U Y E N V A N T I N H gdzie EJ M , г [ ( 2 и + 2 ­ р ( и + (24) a,, = ­
«•21 = « 2 i 1­/) 6(л +1У ~ И + 1 ­ / ' = /7+1 Po podstawieniu (17), (23) do (13) znajdujemy (25) U [ o ( q W ­ A W ) ] + U ? A W = 0. 1 3
3
r
Po pomnoż eniu lewostronnie (25) przez ot otrzymujemy (26) ( C ­ B + D ) W = 0, gdzie В , C, D są to macierze kwadratowe okreś lone wzorami: r
B = a U
1 3
a A , r
С = a U , a q , (27) 3
r
D = a U ? A . 3
Dzię ki równaniu (26) wyznacznik czę stoś i cjest okreś lony (28) d e t ( C ­ B + D ) = 0. Stosując zależ ność (26) moż emy okreś lić wektory drgań własnych układu. Przykład. Wyznaczyć czę stoś
ć podstawową drgań gię tnych belki układu podanego na rys. 1, z umieszczonymi na niej symetrycznie dwiema masami skupionymi m, = m = = m = ц а . 2
p D a n e : 6
L = 1,5 m; 2
4
E = 2,1 х 10 k G c m ~ ; 2
J — 20,8 c m , E k =
L 2 ' 1
0,1 c m , ^ = 2 k G m ­ . Proces eliminacji (8) jest okreś lony wzorem Z = F S K ^ F J K ^ F J Z , 3
0
ską d: , 3
+
2
5 _ J q
q 9 36 2 +
3
a = +
5 _ 3* 1 3 6 * +
_ 5 ~9 4 " 9 2 3 j _ У 2
+ 3
a 2
EJ \ WEF
k
5
2
k
5
3
k 3
3 a e 64f E F
3 a e k + 1 _ 1 " 3 6 * 6 1 _ 2 + ­
Г * a
2Я , a = +
„ 4g+ g V 4 y
1 4 . 9 ' 2 1 6 « +
Ul a 2 1 u? Fi — ZASTOSOWANIE METODY MACIERZY PRZENIESIENIA 259 Wykonując obliczenia (27), (28), oraz po obliczeniu a , , a otrzymamy 2
2
427 804,1 \q ­8 247 115,69?+16 548 537,18 = 0, skąd mamy dwa pierwiastki q = 2,27, q = 17. Wobec tego czę stoś i c podstawowe układu bę dą 1
2
1
h
= 1,508^­j^s­ , co = 4 , 1 2 0 т / EJ c ­ l 4 ' 2
11
Metodą zastosowaną w pracy [4] otrzymano / EJ 1
^ = '
4
7
0
S
1
" | / ^ ­ ' 4
^= '
3
6
/
" | / ­ ^ 1
s . W układzie bez liny a, = a = 0, mamy rуwnanie 2
2
9 + 18­16<7 = 0, skąd 1
co, = 1,095 ­^/­—s­ , ' EJ w = 3 , 8 4 ­ | / 2
1
4TS" . Wyniki te są zgodne z rezultatem podanym w [6]. 4. Wnioski Metoda macierzy przeniesienia w zastosowaniu do układu belkowo­linowego o małej rozpię toś i cjest bardziej efektywna w porуwnaniu z innymi metodami, ponieważ pozwala na pełne wykorzystanie elektronicznej techniki obliczeniowej. Głуwną jej zaletą jest to, że obliczenie ogranicza się w zasadzie do mnoż enia macierzy. Metoda ta może rуwnież służ yć do obliczenia drgań własnych układu belkowo­linowego o duż ej rozpię toś . ciWуwczas jednak macierze wystę pują e c w rуwnaniu (28) bę dą bardziej skomplikowane i należ ałoby je rozwią zywać drogą prуb za pomocą E M C . Literatura cytowana w tekś cie 1. E . C . PESTEL, F . A . LECKIE, Matrix methods in elastomechanics, McGraw­Hill Book Company, Inc. New York, San Francisco 1963. 2. G . R AKOWSKI , Zastosowanie macierzy do analizy statycznej i dynamicznej prę tów prostych, Warszawa 1968. 3. E . ŚWITOŃ SKI
, Zastosowanie metody macierzy przeniesienia do analizy dynamicznej prę tów cienkoś ciennych, Mech. Teoret. Stos. 4, 12 (1974). 4. И
М
. И
. Г О Л Ь Д Е Н Б Л А Т , К р а с ч ё т у в и с я ч и х м о с т о в и г а з о п р о в о д о в н а в е т р о в ы е и с е й с м и ч е с к и е н а г р у з к и , о с к в а 1962. 5. A . F . SMIRNOW, Obliczenie konstrukcji za pomocą maszyn cyfrowych, Arkady, Warszawa 1970. 6. K . PISZCZEK, J . W ALCZAK, Drgania w budowie maszyn, Warszawa 1972. 5" 260 F. JARZYŃ , N
SKIGUYEN VAN TINH Р
П Р И М
е з ю
м
е Е Н Е Н И Е М Е Т О Д А М А Т Р И Ц П Е Р Е Н О С А Д Л Я Р А С Ч Е Т А С В О Б О Д Н Ы
К О Л Е Б А Н И Й В В А Л О Ч Н О ­Т Р О С О В О Й С И С Т Е М Е Х З а д а ч а с в о б о д н ы х к о л е б а н и й в б а л о ч н о ­т р о с о в о й с и с т е м е р е ш а е т с я с п о м о щ ь ю м е т о д а м а т р и ц п е р е н о с а . П р и в о д и т с я ч и с л е н н ы й п р и м е р , п о к а з ы в а ю щ и й х о р о ш у ю с х о д и м о с т ь п р и н я т ы х ф у н к ц и й . S u m m a r y A P L I C A T I O N O F T H E T R A N S F E R M A T R I X M E T H O D T O T H E C A L C U L A T I O N O F F R E E V I B R A T I O N I N A B E A M — C A B L E S Y S T E M Problem of free vibration in a beam — cable system is solved by using the transfer matrix method. Numerical example is given and the results show a good convergence of the functions assumed. POLT
IECHNK
IA POZNAŃA SK
Praca została złoż ona w Redakcji dnia 2 czerwca 1975 r.