Warsztaty metod zyki teoretycznej

Warsztaty metod zyki teoretycznej
Zestaw 10
Grupa renormalizacji
Marek Rams, Marek Tylutki, Adam Wo jciechowski
07-14.05.2009
Kilka zestawów temu zobaczyli±my, »e 'klasyczne' perturbacyjne metody nie wystarczaªy do
wyja±nienia zachowania ukªadów zªo»onych w okolicy punktów krytycznych. Nietrywialne prawa
skalowania wymagaªy heurystycznego przyj¦cia zaªo»e« o zachowaniu energii swobodnej. Teori¡
która pozwala wytªumaczy¢ zachowanie systemu w okolicy punktu krytycznego jest grupa renormalizacji za wkªad w rozwój której Kenneth G. Wilson w 1982r. dostaª nagrod¦ Nobla. Nale»y tu
równie» wspomnie¢ takich zyków jak M.E. Fisher, L. Kadano, B. Widom.
W tym zestawie najpierw rozwi¡»emy klasyczny jednowymiarowy model Isinga, a nast¦pnie na
jego przykªadzie zobaczymy podstawowe idee stoj¡ce za renormalizacj¡.
1
Wst¦p: Model Isinga
Rozwa» jednowymiarowy model Isinga. Klasyczne spiny si gdzie i = 1 . . . N mog¡ przyjmowa¢
warto±ci ±1. Hamiltonian jest dany przez:
HN = −J
N
X
si si+1 − H
i=1
N
X
(1)
si
i=1
gdzie zaªo»yli±my periodyczne warunki brzegowe N + 1 ≡ 1. Model ten - akademicki, ale jeden z
najprostszy model w zyce statystycznej - zostaª po raz pierwszy rozwi¡zany metodami kombinatorycznymi przez E. Isinga w jego pracy doktorskiej w 1925r.
a) Znajd¹ funkcje rozdziaªu ZN dla tego modelu.
ZN =
X
...
s1
X
(2)
exp(−βHN )
sN
Skorzystaj z tzw. metody macierzy transferu. Metoda ta mo»e by¢ wykorzystana np. do rozwi¡zania modelu Isinga w 2D, oraz jest u»ywana w wielu innych problemach. W tym celu przedstaw
funkcje rozdziaªu w postaci:
ZN = T r ΛN
(3)
gdzie Λ jest macierz¡ (transferu) 2x2.
b) Przejd¹ do granicy termodynamicznej i poka», »e zredukowana energia swobodna
f (T, H) = lim N −1 ln ZN = ln cosh h +
N →∞
1
q
sinh2 h + x + ln 2 + 2βJ
(4)
gdzie wprowadzili±my nowe zmienne h = Hβ i x = exp (−4Jβ). W dalszej cz¦±ci mo»emy pomin¡¢
ln 2 + 2βJ co odpowiada po prostu przesuni¦ciu energii stanu podstawowego.
c) Zobacz, »e ten model nie ma przej±cia fazowego w sko«czonej temperaturze. Okazuje si¦, »e
ogólnie (klasyczne) jednowymiarowe modele z oddziaªywaniem spin-spin o sko«czonym zasi¦gu nie
maj¡ przej±cia fazowego w sko«czonej temperaturze.
d)Model Isinga w 1D ma dla T = 0 i H = 0 przej±cie które mo»emy traktowa¢ jak punkt
krytyczny. Sprawd¹ to u»ywaj¡c zamiast temperatury zmiennej x (i od tej pory b¦dziemy u»ywa¢
x w miejsce T. Zauwa», »e x → 0 gdy T →0). ∼ |x|−γ jest równy 21 .
Poka» »e wykªadnik γ : χ(x, H = 0) = dM
dH T
Figure 1: Magnetyzacja w modelu Isinga 1D, rysunek z [1]
2
Renormalizacja modelu Isinga
Zapiszmy 'zredukowany' Hamiltonian w postaci
H̄ = −βH = K
X
si si+1 + h
i
X
si + C
i
X
1
(5)
i
Gdzie dodali±my dodatkowy czªon CN . Zastanów si¦,czy ma on jakie± znaczenie zyczne. Zauwa»my, »e znajomo±¢ (K,h,C) w ogólno±ci - w granicy termodynamicznej - pozwala jednoznacznie
wyznaczy¢ energi¦ swobodn¡, a co za tym idzie niesie caª¡ informacje o systemie. Dlatego mo»emy
zmieni¢ punkt widzenia i rozpatrywa¢ Hamiltonian jako punkt w przestrzeni parametrów K,h,C.
Jeden z pierwszych sposobów patrzenia na grup¦ renormalizacji to traktowanie jej jako specycznego sposobu obliczania funkcji rozdziaªu.
ZN [H̄] =
1 X X
...
exp(H̄N )
2N s1
sN
(6)
Dla wygody znormalizowali±my funkcj¦ rozdziaªu co nie ma zycznych konsekwencji. Pomysª polega
na tym, »e zamiast sumowa¢ po wszystkich spinach jednocze±nie powinni±my najpierw wysumowa¢
po cz¦±ci spinów w taki sposób »eby po wysumowaniu system wygl¡daª mo»liwie podobnie co na
pocz¡tku i tak »eby zmieniªa si¦ skala dªugo±ci.
Jak na rysunku powy»ej wykonaj cz¦±ciowy ±lad po co drugim spinie. Powinni±my uzyska¢ nowy
hamiltonian H̄N0 0 . Przedstaw nowe parametry K',h',C' przy pomocy K,h,C. W tym celu wykonaj
sum¦ po s0 (Fig.2),»eby uzyska¢ cz¦±¢ zrenormalizowanego hamiltonianu zawieraj¡c¡ sprz¦»enie
mi¦dzy s+ a s− .
2
Figure 2: Schemat decymacji w modelu Isinga w 1D. Wykonujemy cz¦±ciowy ±lad po spinach
zaznaczonych kwadratami, rysunek z [1]
Zapisujemy
H̄ 0 = <b [H̄]
(7)
Parametr b opisuje przeskalowanie przestrzenne i w naszym przypadku po prostu b=2. N 0 = N/(bd )
- d liczba wymiarów przestrzennych.
3
Funkcje korelacji
W wyj±ciowym problemie spiny byªy odlegªe o staªa sieci a. Po wyeliminowaniu co drugiego
spinu pozostaªe le»¡ w odlegªo±ci 2a. Chc¡c by zrenormalizowany model wygl¡daª jak najbardziej
podobnie do wyj±ciowego musimy przeskalowa¢ odlegªo±ci tak, »eby nowa staªa sieci a0 byªa równa
starej. (Fig. 2) Jak przeskaluje si¦ dowolna odlegªo±¢ R w orginalnej sieci na odpowiadaj¡c¡ jej
odlegªo±¢ R0 w nowej sieci gdy mierzymy j¡ w jednostkach staªej sieci. Zastanów si¦ jak b¦dzie si¦
zachowywa¢ dªugo±¢ korelacji ξ[H̄ 0 ] wzgl¦dem ξ[H̄].
Jedn¡ z gªównych wªasno±ci punktów krytycznych jest to, »e dªugo±¢ korelacji ro±nie do niesko«czono±ci gdy zbli»amy si¦ do punktu krytycznego. Bior¡c pod uwag¦ relacj¦ miedzy orginaln¡ i
zrenormalizowan¡ dªugo±ci¡ korelacji zastanów si¦ jak mo»na byªoby znale¹¢ punkt krytyczny i
znajd¹ go dla modelu Isinga.
4
Zachowanie wokóª punktu krytycznego
Poka», »e podczas renormalizacji
f [H̄] = b−d f [H̄ 0 ]
(8)
gdzie d jest liczb¡ wymiarów w problemie która u nas równa si¦ 1. Ponadto mamy:
K 0 = <K (K, h)
h0 = <h (K, h)
C 0 = bd C + <C (K, h)
3
(9)
(10)
Punkt staªy jest w T ∗ = 0 u»yj zmiennej x = e−4K zamiast T. Zbadaj zachowanie równa«
renormalizacji w okolicy punktu staªego. W tym celu zlinearyzuj te równania, »eby dosta¢:
dx0
dh0
!
dx
dh
=L
!
(11)
gdzie
L=
d<h
dx
d<h
dh
d<x
dx
d<x
dh
!
(12)
x∗ ,h∗
Znajd¹ warto±ci wªasne Λ1 = bλ1 i Λ2 = bλ2 oraz wektory wªasne tej macierzy. Poka», »e po
wykonaniu renormalizacji l razy (zakªadaj¡c, »e przybli»enie liniowe ci¡gle b¦dzie dziaªaªo)
f (x, h) = b−dl f (bλx l x, bλh l h).
(13)
To pozwala nam znale¹¢ wykªadniki krytyczne. Wykorzystaj swobod¦ wyboru l, »eby uzyska¢
posta¢
2−αx
fs (x, H) ≈ |x|
F̂
h
|x|∆
x
!
(14)
Jest to posta¢ energii swobodnej któr¡ zakªadali±my w zestawie o prawach skalowania. Policz
wykªadniki krytyczne α i ∆. Jak wida¢, jeste±my w stanie wyznaczy¢ wykªadniki krytyczne bez
konieczno±ci 'rozwiazywania modelu' czyli bez znajdowania peªnej postaci energii swobodnej.
Figure 3: Zachowanie grupy renormalizacji dla modelu Isinga [1]
4
5
Uniwersalno±¢
Figure 4: Reprezentacja przestrzeni Hamiltonianów. Trajektorie krytyczne s¡ zaznaczone grubymi
strzaªkami. Spadaj¡ one na punkt staªy
Na rysunku 4 pokazano przykªad przestrzeni Hamiltonianów. 'Podprzestrze« zyczn¡' opisuje
nieznormalizowany Hamiltonian H̄ (0) z zycznym punktem krytycznym. Okazuje si¦, »e w ogólno±ci
krytyczny Hamiltonian Hc(0) nie musi by¢ punktem staªym grupy renormalizacji. Pod wpªywem
grupy renormalizacji dostaniemy now¡ podprzestrze« gdzie w szczególno±ci <(Hc(0) ) = Hc(1) - zastanów si¦ dlaczego to te» jest punkt krytyczny. Dostaniemy trajektorie punktów krytycznych które to zakªadamy - w ko«cu l¡duj¡ w punkcie staªym H̄ ∗ . Renormalizacja punktów krytycznych innych
'podprzestrzeni zycznych' te» mo»e prowadzi¢ do tego samego punktu staªego. Uwzgl¦dniaj¡c
f (H̄) = b−dl f [H̄ (l) ]
(15)
gdzie zakªadamy 'gªadko±¢' t.j. H̄ le»y blisko punktu krytycznego w podprzestrzeni zycznej a H̄ ( l)
le»y blisko punktu staªego, zastanów si¦ co to oznacza.
References
[1] Fisher M. E., Scaling, Universality and Renormalization Grup Theory. Lecture Notes in Physics
Vol. 186, Critical Phenomena, edited by F.J.W. Hahne(Springer, Berlin), pp.1-139.
[2] Fisher M.E., Renormalization group theory: Its basis and formulation in statistical physics Rev.
Mod. Phys. 70 653 (1998).
5
[3] Stanley H.E., Scaling, universality, and renormalization: Three pillars of modern critical phenomena Rev. Mod. Phys. 71 S358 (1999).
[4] D. R. Nelson M.E. Fisher Ann.
Phys. (N.Y.)
91 226 (1975).
6
6
Rozwiazania
6.1) a) Mozna pokaza¢, ze:
Λ=
eβ(J+H) e−βJ
e−βJ
eβ(J−H)
!
(16)
b) Przechodz¡c do granicy termodynamicznej wystarczy znale¹¢ najwi¦ksz¡ warto±¢ wªasn¡ Λ.
Gdzie± po drodze warto skorzysta¢ z jedynki trygonometrycznej dla funkcji hiperbolicznych.
c) Energia swobodna jest funkcj¡ analityczn¡ dla T>0. Mo»na te» przykªad popatrze¢ na
df
magnetyzacj¦. M = dH
.
d) Znowu patrz¡c na magnetyzacj¦ - mamy skos magnetyzacji dla T=0 i H=0.
6.2) Czªon C N to po prostu przesuni¦cie energii i nie ma znaczenia. Mimo to zostawiamy go
bo matematycznie b¦dzie przydatny podczas renormalizacji, oraz pozwoli nam zobaczy¢ jeden z
problemów na które mo»emy si¦ natkn¡¢ - tutaj bez konsekwencji.
Para spinów s+ i s− mo»e przyj¡¢ cztery pary warto±ci (+1,+1), (1,-1), (+1,-1),(-1,+1). Wystarczy porówna¢ wyra»enia
1X
exp(Ks− s0 +h(s− +s0 )/2+C) exp(Ks0 s+ +h(s0 +s+ )/2+C) = exp(K 0 s− s+ +h0 (s− +s+ )/2+C 0 )
2 s0
(17)
dla tych 4 par. Dostaniemy :
0
e4K =
cosh(2K + h)cosh(2K − h)
cosh2 (h)
cosh(2K + h)
0
e2h = e2h
cosh(2K − h)
(18)
0
e4C = e8C cosh(2K + h)cosh(2K − h)cosh2 (h)
Widzimy, ze byªo konieczne wprowadzenie parametru C. W wi¦kszo±ci przypadków taki schemat
renormalizacji wyrzuca nas poza podprzestrze« parametrów naszego wyj±ciowego hamiltonianu tak jak tutaj musieli±my wprowadzi¢ 'staª¡' C. W ogólno±ci trzeba u»ywa¢ niesko«czenie wymiarowej przestrzeni parametrów H ≡ (C, K1, K2, . . .). Z tego powodu tylko nieliczne ukªady da si¦
rozwi¡za¢ przy pomocy grupy renormalizacji dokªadnie tj. bez robienia ró»nych przybli»e«.
6.3) Dostaniemy:
R0 = R/b
(19)
W przypadku funkcji korelacji wystarczy zauwa»y¢, »e < s000 s0R0 > jest równe < s0 sbR0 > i dostajemy
ξ[H̄] = bξ[H̄ 0 ]
(20)
Dªugo±¢ korelacji po przeskalowaniu si¦ zmniejsza. Bior¡c pod uwag¦ powy»sze równanie wida¢, »e
grupa renormalizacji prowadzi ukªad z dala od punktu krytycznego. Równanie to ma dwa punkty
staªe odpowiadaj¡ce dªugo±ci korelacji równej 0 (co jest trywialnym punktem) oraz ∞ co daje nam
punkt krytyczny. W modelu Isinga nietrywialny punkt staªy mamy dla T ∗ = H ∗ = 0.
6.4) Šatwo mo»na zauwa»y¢, »e ZN 0 [H̄ 0 ] = ZN [H̄] Z tego dostaniemy
f (H̄) =
1
N0 1
ln ZN [H̄] =
ln ZN 0 [H̄ 0 ] = b−d f [H̄ 0 ].
0
N
N N
7
(21)
Dalej dostaniemy :
L=
4 0
0 2
!
(22)
x∗ ,h∗
Czyli kierunki wªasne to x i h, a λx = 2 i λh = 1.
Skoro x0 = bλx x to x(l) = blλx x. Wystarczy teraz podstawi¢ do wzoru na renormalizacje energii
swobodnej, a nast¦pnie dobra¢ l. ∆x = 1/2 αx = 3/2
5) Równanie 15 oznacza, »e ukªady zyczne nale»¡ce do ró»nych 'podprzestrzeni zycznych',
które grupa renormalizacji prowadzi do tego samego punktu staªego maj¡ takie same zachowanie w
okolicach punktu krytycznego - czyli uzyskali±my uniwersalno±¢. Równowa»nie mo»emy zauwa»y¢,
»e gdy λj > 0 (co speªniaªy wszystkie zmienne w modelu Isinga 1D) to grupa renormalizacji
prowadzi nas w kierunku zwi¡zanym z t¡ warto±ci¡ wªasn¡ z dala od punktu krytycznego. Takie
zmienne nazywamy zmiennymi istotnymi. Gdy λj < 0 to stosowanie grupy renormalizacji powoduje
gwaªtowne zmniejszanie tej zmiennej, tak »e w granicy mo»emy w jej miejsce podªo»y¢ zero - grupa
renormalizacji prowadzi nas do punktu staªego. Takie zmienne to tzn parametry nieistotne. Ukªady
które ró»ni¡ si¦ tylko o zmienne nieistotne nale»¡ do tej samej klasy uniwersalno±ci. Zostaje jeszcze
λj = 0 przy którym trzeba u»y¢ wy»szych czªonów rozwini¦cia, ale generalnie zmienne te - tzw.
zmienne brzegowe - sªabo zmieniaj¡ si¦ pod dziaªaniem grupy renormalizacji.
8