METODY ANALIZY SYGNAŁÓW WIBROAKUSTYCZNYCH

INSTYTUT KONSTRUKCJI MASZYN
LABORATORIUM
METODY ANALIZY SYGNAŁÓW
WIBROAKUSTYCZNYCH
Methods of analyzing vibro-acoustics signal
Zakres ćwiczenia:
1. Rodzaje sygnałów.
2. Metody analizy sygnałów w dziedzinie czasu.
3. Metody analizy sygnałów w dziedzinie częstotliwości.
Do wykonania przez studentów:
1. Wykonać pomiary i analizy wybranych typów sygnałów w dziedzinie czasu.
2. Wykonać pomiary i analizy wybranych typów sygnałów w dziedzinie częstotliwości.
3. Wykonać sprawozdanie.
4. Zaliczyć ćwiczenie.
1. OGÓLNY PODZIAŁ SYGNAŁÓW
1.1. Rejestracja i przetwarzanie sygnałów wibroakustycznych
Wibroakustyka praktyczna (eksperymentalna) opiera się na pomiarach i rejestracji sygnałów
drgań i hałasu generowanych przez maszyny. Sygnały wibroakustyczne w postaci pierwotnej stanowią
określone wielkości mechaniczne i aby mogły zostać zarejestrowane podlegają przetworzeniu na
wielkości elektryczne. W budowie przetworników wykorzystuje się fizyczne analogie elektro –
mechaniczne np. zjawisko piezoelektryczne.
Przetworzony sygnał wejściowy jest najczęściej słabym sygnałem napięciowym, który musi
być odpowiednio wzmocniony. W analizatorach cyfrowych sygnał próbkowany jest w dyskretnych
odstępach czasu. Następnie sygnał podlega kodowaniu, czyli zamianie postaci analogowej na
cyfrową, która jest zapamiętywana przez urządzenie rejestrujące. Przesyłanie sygnałów w postaci
cyfrowej jest najmniej podatne na zakłócenia. Przewaga cyfrowego przetwarzania sygnału na
przetwarzaniem analogowym ujawnia się przy stosowaniu bardziej zaawansowanych technik analizy
sygnału, gdzie w niektórych przypadkach nie istnieją w ogóle analogowe sposoby przetwarzania
Rys. 1. Próbkowanie i odtwarzanie sygnałów analogowych: a) schemat blokowy układu próbkującego i
odtwarzającego sygnał analogowy, b) przebieg czasowy sygnału i jego próbkowanie, c) przebieg czasowy będący
odtworzeniem sygnału
Częstotliwość próbkowania sygnału musi zostać dobrana przy uwzględnieniu twierdzenia
Shannona: JeŜeli sygnał ciągły ma ograniczone widmo, czyli nie zawiera składowych częstotliwości
wyŜszych niŜ fg, to taki sygnał moŜe być odtworzony bez zniekształceń z próbek pobieranych z
częstotliwością nie mniejsza niŜ 2fg.
Gdy powyŜsza zaleŜność jest niespełniona pojawia się zjawisko aliasingu, polegające na tym
Ŝe w sygnale po przetworzeniu w przetworniku A/C pojawiają się składowe których nie ma w sygnale
wejściowym. Częstotliwości tych składowych są kombinacją częstotliwości sygnału wejściowego i
częstotliwości próbkowania. Aby moŜna było być pewnym Ŝe podczas próbkowania nie wystąpiło
zjawisko aliasingu stosuje się na wejściu przetworników A/C analogowe dolnoprzepustowe filtry
anyaliasingowe. Zadaniem tych filtrów jest usunięcie z próbkowanego sygnału składowych o
częstotliwościach większych niŜ połowa częstotliwości próbkowania.
2
1.2. Klasyfikacja sygnałów zdeterminowanych
Sygnały wielkości fizycznych moŜna zaliczyć do dwóch głównych grup - sygnałów
zdeterminowanych i sygnałów losowych. Klasyfikacja taka przedstawiona jest schematycznie na
rysunku poniŜej.
Rys. 2. Klasyfikacja sygnałów zdeterminowanych
Sygnały zdeterminowane to takie, których przebiegi moŜna w sposób jednoznaczny opisać
za pomocą funkcji matematycznych, przy czym opis ten nie moŜe zawierać wielkości losowych
Sygnały okresowe – to takie, które w dziedzinie czasu moŜna opisać funkcją x(t) taką, Ŝe
istnieje T naleŜące do przedziału 0<T<+∞, Ŝe dla kaŜdej chwili czasu t zachodzi równość:
x(t+T) = x(t), przy czym wartość T nazywa się okresem sygnału.
Sygnały nieokresowe – sygnały, dla których nie jest spełniony warunek okresowości.
Sygnały harmoniczne
Sygnałami harmonicznymi (sinusoidalnymi) nazywa się takie sygnały okresowe, które mogą
być opisane następującą funkcją czasu:
x(t ) = A ⋅ sin(2 ⋅ π ⋅ f o ⋅ t + ϕ )
(1)
gdzie: A – amplituda sygnału, fo – częstotliwość (w Hz, czyli liczbie cykli na sekundę),
2πfo = ωo – częstotliwość kątowa (w rad/s), ϕ - przesunięcie fazowe (rad),
t -rozpatrywana chwila czasu (s).
ZaleŜność ta moŜe być przedstawiona w formie wykresu w funkcji zmiennej np. czas lub w
interpretacji amplitudowo-częstotliwościowej (widmowej).
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
ms
Rys. 3. Przebieg sygnały sinusoidalnego i jego widmo
Jest to sinusoida o okresie T = 1/f. Oznacza to, Ŝe sygnał harmoniczny jest ruchem
okresowym, dla którego T jest czasem realizacji jednego pełnego cyklu.
Z zaleŜności tej wynika, Ŝe kaŜdy sygnał harmoniczny jest jednoznacznie określony
wielkościami: X, fo i ϕ . Warto zauwaŜyć, Ŝe przedstawione na wykresie widmo częstotliwości składa
się z jednego składnika amplitudowego (prąŜka) przy danej częstotliwości w przeciwieństwie do
ciągłego rozkładu amplitud na osi częstotliwości.
3
Sygnały poliharmoniczne
Sygnały poliharmoniczne – to takie, które są kombinacją liniową co najmniej dwóch sygnałów
harmonicznych, zwanych sygnałami składowymi. Liczba składowych sygnału poliharmonicznego
moŜe być w ogólnym przypadku nieskończona. PoniŜej przedstawiono przykład opisu
matematycznego sygnału poliharmonicznego złoŜonego z sumy dwóch składowych harmonicznych:
x(t ) = A1 ⋅ cos(2 ⋅ π ⋅ f 01 ⋅ t + ϕ1 ) + A2 ⋅ sin(2 ⋅ π ⋅ f 02 ⋅ t + ϕ 2 )
(2)
Sygnały harmoniczne stanowią szczególny przypadek sygnałów poliharmonicznych. Aby
sygnał mógł być uznany za poliharmoniczny, częstotliwość kaŜdej jego składowej musi być całkowitą
wielokrotnością pewnej częstotliwości f zwanej częstotliwością podstawową.
12,5
10,0
7,5
5,0
2,5
0,0
-2,5
-5,0
-7,5
-10,0
-12,5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
ms
Rys. 4. Przebieg sygnału poliharmonicznego i jego widmo
Sygnały prawie okresowe
Sygnały prawie okresowe są to takie sygnały nieokresowe, które mogą być zdefiniowane
matematycznie za pomocą funkcji czasu o następującej postaci:
∞
x ( t ) = ∑ X n ⋅ sin ( 2π ⋅ f n ⋅t + Θ n )
(3)
n=1
Sygnały, które powstały w wyniku sumowania dwóch lub więcej fal sinusoidalnych o dowolnych
częstotliwościach, nie są na ogół sygnałami okresowymi. Mówiąc dokładniej, suma dwóch lub więcej fal
sinusoidalnych tworzy sygnał okresowy tylko w tym przypadku, gdy stosunki wszystkich moŜliwych par
częstotliwości wyraŜają się liczbami wymiernymi.
Jedną z waŜniejszych właściwości sygnałów prawie okresowych jest to, widmo prąŜkowe jest
analogiczne do widma sygnału poliharmonicznego. Jedyna róŜnica polega na tym, Ŝe
częstotliwości prąŜków jak wynika z rys. 5 nie są względem siebie współmierne, czyli nie są równo od
siebie oddalone.
12,5
10,0
7,5
5,0
2,5
0,0
-2,5
-5,0
-7,5
-10,0
-12,5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450 500
ms
Rys. 5. Przebieg sygnału prawie okresowego i jego widmo
4
1.3. Klasyfikacja sygnałów losowych
Sygnały odpowiadające losowym zjawiskom fizycznym nie mogą być opisane dokładnymi
zaleŜnościami matematycznymi, poniewaŜ wynik kaŜdej obserwacji sygnału jest jedyny
(nieodtwarzalny). Pojedyncza funkcja czasu, opisująca zjawisko losowe, nazywa się funkcją losową lub
realizacją, a przy skończonym przedziale czasu - sygnałem obserwowanym.
Rys. 6. Klasyfikacja sygnałów losowych
Do opisania głównych właściwości sygnałów losowych stosuje się cztery funkcje statystyczne:
• wartość średniokwadratową
• funkcję gęstości prawdopodobieństwa
• funkcję autokorelacji
• funkcję widmowej gęstości mocy
2. ANALIZA SYGNAŁÓW
2.1. Analiza w dziedzinie czasu
Wartości średnia, skuteczna i szczytowa stanowią podstawowe miary analizowanego sygnału,
wyliczenie tych wartości jest wymagane nawet w najbardziej podstawowych zastosowaniach.
Współczynnik szczytu jest miarą impulsowości sygnału.
Wartość średnia:
u=
1
T
T
∫ u (t ) dt ,
(4)
0
T
Wartość skuteczna:
Wartości szczytowe:
u RMS
1 2
=
u (t )dt ,
T ∫0
u peak + = max [u (t )] , u peak − = min [u (t )]
(5)
(6)
u P − P = u peak + − u peak −
Współczynnik szczytu:
CRF =
5
u peak
u RMS
,
(7)
2.2. Analiza w dziedzinie częstotliwości
Analiza Fouriera
Do przejścia z funkcji czasu na funkcję częstotliwości moŜna wykorzystać przekształcenie
Fouriera. Przekształcenie Fouriera opiera się na załoŜeniu, Ŝe kaŜdy sygnał spełniający tzw. warunki
Dirichleta (spełniają je między innymi wszystkie funkcje ciągłe), moŜna przedstawić jako sumę
szeregu sygnałów o róŜnych częstotliwościach:
x(t ) =
∞
1
⋅ Ao + ∑ [ An ⋅ cos(n ⋅ ωo ⋅ t ) + Bn ⋅ cos(n ⋅ ωo ⋅ t ) ]
2
n =1
(8)
Sygnały dyskretne (próbkowane) przeprowadza się z dziedziny czasu do dziedziny
częstotliwości za pomocą tzw. dyskretnej transformaty Fouriera, w której operacje całkowania są
zastąpione operacjami sumowania.
W rezultacie DFT otrzymuje się (1+ 2
M -1
T
Am =
N
) – elementowy wektor A:
2 M −1
∑v
k
k =0
⋅e
 2π 
− j  M ⋅ m  ⋅k
2

,
(9)
gdzie: m – numer elementu wektora A odpowiadający częstotliwości f(m) = m / T
Transformata Fouriera jest zawsze zespolona, stąd zawiera dwa rodzaje informacji: amplitudę
oraz fazę.
W celu wykonania analizy DFT dokonuje się „wycięcia” fragmentu przebiegu czasowego
sygnału (określonej liczby próbek). Najprostszym przypadkiem jest wycięcie sygnału za pomocą okna
prostokątnego odpowiadającego po porostu przedziałowi czasu o skończonej długości. UŜycie okna
prostokątnego powoduje jednak powstanie silnego efektu przecieku widma, objawiającego się przez
maskowanie słabszych prąŜków widma przez pobliskie prąŜki o większych amplitudach. Aby
zminimalizować to zjawisko stosuje się zamiast okna prostokątnego okna o innych kształtach, takich
aby wartości analizowanego ciągu próbek na początku i na końcu przedziału zmierzały gładko do
wartości minimalnej (rysunki 7 i 8). Najczęściej spotykane typy okien to okno Hanninga, Hamminga,
trójkątne, Czebyszewa, Blackmana.
5,0
2,5
0,0
-2,5
-5,0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
ms
Rys. 7. Sygnał wejściowy
7,5
5,0
2,5
0,0
-2,5
-5,0
-7,5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
ms
Rys. 8. Sygnał po okienkowaniu (Hanninga)
6
Rysunek 9 przedstawia widmo sygnału harmonicznego o częstotliwości 1000 Hz
okienkowanego oknem prostokątnym oraz oknem Hanninga.
0
-20
U [dB]
-40
-60
-80
-100
-120
500
600
700
800
900
1000
f [Hz]
1100
1200
1300
1400
1500
Rys. 9. Analiza widmowa sygnału prostokątnego zastosowaniem okna prostokątnego (linia czerwona) i okna
Hanninga (linia niebieska).
Filtracja sygnału
Podczas analizy sygnałów wibroakustycznych często zachodzi potrzeba znajomości wartości
sygnału w określonym paśmie częstotliwości. Aby wykonać tego typu analizę konieczna jest filtracja
sygnału przy wykorzystaniu odpowiednio dobranych filtrów. RozróŜnia się kilka podstawowych typów
filtrów:
• filtr dolno-przepustowy (tłumiący sygnały o częstotliwościach wyŜszych niŜ częstotliwość
graniczna),
• filtr górno-przepustowy (tłumiący sygnały o częstotliwościach niŜszych niŜ częstotliwość
graniczna),
• filtr pasmowo-przepustowy (tłumiący sygnały o częstotliwościach innych niŜ zdefiniowane
pasmo filtra),
• filtr pasmowo – zaporowy (tłumiący sygnały o częstotliwościach takich jak zdefiniowane pasmo
filtra).
Filtry pasmowo-przepustowe i pasmowo – zaporowe buduje się poprzez odpowiednie złoŜenie
filtrów dolno i górno-przepustowych.
NajwaŜniejszymi parametrami filtrów są częstotliwość graniczna i stromość nachylenia
charakterystyki filtra poza pasmem przepustowym.
Częstotliwość graniczna określana jest najczęściej dla punktu charakterystyki w którym
tłumienie sygnału osiąga 3 dB (rysunek 10).
0
-3
-3
Tłumienie [dB]
Tłumienie [dB]
0
fgran
Częstotliwość
fgran
Rys. 10. Charakterystyki filtrów dolno-przepustowego i górno-przepustowego
7
Częstotliwość
Nachylenie charakterystyki filtra decyduje o wielkości tłumienia sygnałów poza pasmem
przepustowym, im bardziej stromo opada charakterystyka tym filtr jest bardziej zbliŜony do idealnego.
Stromość nachylania określa się w jednostkach dB/okt (przykładowo nachylenie 24 dB/okt oznacza Ŝe
dwukrotna zmiana częstotliwości sygnału powoduje stłumienie go o 24 dB ).
W przypadku filtrów pasmowych (przepustowych i zaporowych)podstawowymi parametrami są
częstotliwość środkowa pasma i szerokość pasma czyli róŜnica posiedzi częstotliwościami
granicznymi górną i dolną. RozróŜnia się dwa typy filtrów pasmowych:
• filtry o stałej szerokości pasma,
• filtry o stałej względnej szerokości pasma.
0
Tłumienie [dB]
-3
B
fd
fśr
fg
Częstotliwość
Rys. 11. Charakterystyka filtra pasmowo-przepustowego
Filtry o stałej częstotliwości pasma B charakteryzują się tym Ŝe ich szerokość nie zmienia się
przy zmianie częstotliwości środkowej (przestrajaniu filtra). Przykładowo pasmo filtra o szerokości
pasma 10 Hz i częstotliwości środkowej fśr =100 Hz zawiera się w granicach fd=95Hz do fg=105Hz a
takiego samego filtra o częstotliwości środkowej fśr =1000 Hz zawiera się w granicach fd=995Hz do
fg=1005Hz.
W przypadku filtrów o stałej względnej szerokości pasma relacja pomiędzy szerokością pasma
B i częstotliwością środkową fsr jest wielkości stałą (filtry o wyŜszych częstotliwościach środkowych
mają większą szerokość pasma). Do tego typu filtrów naleŜą wykorzystywane bardzo często podczas
pomiarów wibroakustycznych filtry oktawowe i 1/3 – oktawowe. W przypadku filtrów oktawowych
wartość relacji B/fsr wynosi 1 2 , a dla filtrów 1/3 – oktawowych 1 3 2 . Częstotliwości środkowe
filtrów oktawowych zachowują relację równą 2 (np. …,.31,5Hz, 63Hz, 125Hz, …..). W paśmie jednego
filtra oktawowego mieszczą się pasma 3 filtrów 1/3 – oktawowych (np. do filtra oktawowego 63Hz –
filtry tercjowe 50Hz, 63Hz i 80Hz). Po przefiltrowaniu sygnału w poszczególnych pasmach dla
kaŜdego pasma obliczana jest wartość skuteczna sygnału (bądź szczytowa) i w razie potrzeby jego
poziom. Analizę oktawową przedstawia się na wykresach w zaleŜności od częstotliwości (przykładową
analizę poziomu ciśnienia akustycznego przedstawia rysunek 12).
8
30
25
LpA [dB]
20
15
10
5
0
-5
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
315
400
500
630
800
1000
1250
1600
2000
2500
3150
4000
5000
6300
8000
10000
12500
16000
-10
f [Hz]
Rys. 12. Analiza FFT sygnału wejściowego i okienkowanego (krzywa wyŜsza)
Na podstawie informacji o wartościach skutecznych (ew. poziomach) w poszczególnych
oktawach moŜna obliczyć wartość skuteczną (poziom) analizowanego sygnału.
X sum =
∑X
2
okt
Lsum = 10 ⋅ log ∑10 0,1⋅Lokt
9
(10)
(11)
3. WYKONANIE ĆWICZENIA
• Badanie podstawowych estymat czasowych sygnału.
Badanie polega na określeniu wartości średniej, skutecznej, szczytowej oraz współczynnika
szczytu wybranych sygnałów. Wykorzystując układ pomiarowy (np. taki jak przedstawiony na rysunku)
naleŜy zarejestrować przebiegi czasowe wygenerowanych sygnałów.
1
2
3
Rys. 13. Schemat stanowiska pomiarowego (1 – generator sygnału, 2 - przetwornik A/C, 3 - komputer z
oprogramowaniem do akwizycji i analizy sygnałów)
Zarejestrowane wybrane sygnały a następnie dokonać obliczeń (zaleŜności 4 – 7)
podstawowych estymat sygnałów.
Tabela 1 Analiza estymat czasowych sygnałów
L.p.
Wykres fragmentu przebiegu
czasowego badanego sygnału
Wartość
średnia
[ ]
10
Wartość
skuteczna
[ ]
Wartość
szczytowa
[ ]
Współczynnik
szczytu
Opisać analizowany przebieg (kształt, okresowość, inne uwagi)
Dokonać porównania wartości mierzonych estymat pomiędzy poszczególnymi
sygnałami – wyciągnąć wnioski.
Dla wszystkich przebiegów okresowych określić częstotliwość.
Dla przebiegu harmonicznego określić długość okresu i częstotliwość oraz podać
minimalną częstotliwość próbkowania.
• Analiza sygnału w dziedzinie częstotliwości.
Wykonać analizy częstotliwościowe sygnałów przedstawionych w tabeli 1. Dokonać
identyfikacji podstawowych składowych widma (częstotliwość, amplituda) - uzupełnić tabelę 2
Tabel 2 Analiza widmowa
L.p.
Analiza widmowa badanego sygnału
11
Identyfikacja
składowych
(częstotliwość
/ amplituda)
Opisać otrzymane widma sygnału, dokonać identyfikacji składowych
Dokonać kwalifikacji badanych sygnał zgodnie z rys 2 i rys 7
Obliczyć relację pomiędzy częstotliwościami składowych analizowanego sygnału –
wyciągnąć wnioski
• Dla wybranego przebiegu wykonać analizę widmową z zastosowaniem okna Hanninga i z
zastosowaniem okna prostokątnego..
Tabela 3 Wpływ zastosowania okna wygładzającego na widmo analizowanego sygnału
Widmo sygnału (okno prostokątne)
Przebieg czasowy (okno Hanninga)
Porównać otrzymane analizy – wyciągnąć wnioski dotyczące wpływu zastosowania
okna wygładzającego.
• Na podstawie zarejestrowanego widma sygnału naszkicować jego przybliŜony przebieg
czasowy (z zaznaczeniem wartości i jednostek na osiach).
Tabela 4 Identyfikacja przebiegu czasowego na podstawie widma sygnału
Widmo mierzonego sygnału
Przebieg czasowy
12
• Filtracja sygnału
Wykonać analizę oktawową wybranego sygnału, określić poszczególnych zanotować wartości
w poszczególnych oktawach, narysować wykres (patrz rys 12).
Tabela 5 Analiza oktawowa
Analiza oktawowa sygnału typu …………..
Sumaryczny
poziom
sygnału
Napisać wnioski dotyczące wzajemnych relacji wartości sygnału w poszczególnych
oktawach.
• Wnioski
4. LITERATURA.
[1] Cempel Czesław „Wibroakustyka stosowana" PWN, Warszawa 1989 r.
[2] Engel Zbigniew "Ochrona środowiska przed drganiami i hałasem" PWN, Warszawa 2001 r.
[3] Bendat, Piersol „Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych ”PWN, Warszawa 1976 r.
[4] Lyons „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów” WKŁ, Warszawa 2000 r.
13