WPPT, Analiza Matematyczna

WPPT, Analiza Matematyczna - Lista 8
1
1
x
91.
Czy równanie 4 x = 2 x + 2 + 1 ma dodatnie pierwiastki?
92.
Czy równania
93.
x ln x = 2 i x8 (1
x5 ) = 1 maj¡ rozwi¡zania w R?
Pokaza¢, »e funkcja monotoniczna na (a; b), maj¡ca na tym przedziale wªasno±¢ Darboux jest na (a; b)
ci¡gªa.
94.
Zbada¢ ci¡gªo±¢ jednostajn¡ funkcji na podanym zbiorze
h(x) = sin x2 ,
b) u(x) = ln x,
a)
95.
i)
i)
I
I
= [0; 7 ],
ii)
= (0; 1]
ii)
I
I
=
R;
= [1;
I:
1)
Wykaza¢, »e suma funkcji ci¡gªych jednostajnie na
I
jest funkcj¡ ci¡gª¡ jednostanie na
I . Czy twierdzenie
takie jest prawdziwe dla iloczynu? Rozpatrzy¢ przypadki:
a)
b)
96.
I
I
domkni¦ty i ograniczony;
=
R.
Funkcja
na [a;
f
1)?
jest ci¡gªa na póªprostej [a;
1) i ma sko«czon¡ granic¦ xlim
!1 f (x). Czy f jest ci¡gªa jednostajn¡
97.
Czy funkcja ci¡gªa na (a; b) i ograniczona na tym odcinku musi by¢ na nim ci¡gªa jednostajnie?
98.
Funkcja
f
jest ci¡gªa na (a; b) i ma sko«czone granice
ci¡gªa na (a; b)?
99.
lim
x!a+
f (x)
i
f (x).
lim
x !b
Czy
f
jest jednostajnie
Zbada¢ istnienie pochodnej (pochodnych jednostronnych) w podanych przypadkach:
f (x) = xjxj,
p
b) g (x) = 3 x,
p
c) h(x) = sin x2 ,
( k
x sin x1
d) uk (x) =
a)
0
100.
Funkcja
f
x 6= 0
dla
x=0
,
x1 = 1;
x0 = 0;
k = 1; 2:
a i jest ci¡gªa w p
a. Czy funkcja g (x) = (x a)f (x)
a? Czy istnieje pochodna w punkcie a funkcji h(x) = 3 x af (x)?
jest okre±lona na pewnym otoczeniu punktu
ma pochodn¡ w
f
dla
x0 = 0;
x0 = 0,
x0 = 0;
101.
Funkcja
jest ró»niczkowalna w punkcie
102.
Poda¢ przykªad funkcji
tej granicy zapewnia istnienie f 0 (a)?
a. Czy istnieje granica
lim [n
n!1
f (a +
f : R 7! R, która ma pochodn¡ w punktach x1 =
1 i
1
n)
f (a)
]? Czy istnienie
x2 = 1 oraz jest nieci¡gªa
w pozostaªych punktach.
f 0 (x), f+0 (x), f 0 (x) dla funkcji f (x) = [x] sin x oraz f (x) = sin (x
103.
Znale¹¢
104.
Obliczy¢ pochodne (tam gdzie istniej¡) nst¦puj¡cych funkcji:
105.
p
a)
f (x) =
e)
v (x) = ln
x
4
x
2
;
arc cos
p1x
;
b)
g (x) = ln(x +
f)
u(x) = arc tg
p
1 + x2 );
x
;
1+x
1
[x]).
3
sin(3x +3)
c)
h(x) = 2
g)
z (x) = log2x (2x + x2 );
;
Korzystaj¡c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczy¢:
a)
c)
0
f 1 (3)
0
h 1 (1)
je±li
je±li
f (x) = x5 + x + 1;
h(x) = cos x 3x;
b)
d)
0
g 1 (e + 1)
0
u 1 (x)
je±li
je±li
g (x) = x + ln x;
u(x) = arc tg 3x:
d)
u(x) = logx 3;
h)
w(x) = x
px
: