(ERRATA 2005) Struktury minimalne systemów rzeczywistych i ich

Jacek NOWAK*
POPRAWIONE TWIERDZENIA O LICZBIE STRUKTUR
MINIMALNYCH SYSTEMÓW RZECZYWISTYCH
We wcześniejszym artykule autora, [Nowak, 2003], do dowodów trzech twierdzeń, a mianowicie
twierdzeń nr 8, 9 i 10, dotyczących liczby minimalnych struktur systemów rzeczywistych, wkradły
się istotne przeoczenia i błędy. Niniejsza praca stanowi krytyczną analizę i poprawę dowodów tych
trzech twierdzeń. W wyniku autor otrzymuje poprawione i istotnie zmienione te trzy twierdzenia.
1. KRYTYCZNA ANALIZA ORAZ POPRAWA DOWODU I TWIERDZENIA 8
W dowodzie twierdzenia 8 nie uwzględniono pewnych warunków wypływających
z aksjomatów 3 i 4 charakteryzujących struktury systemów rzeczywistych. Mówiąc
konkretniej, przeoczono warunki, że każdy układ n-1 par xy (wejście, wyjście) winien
zawierać wszystkie elementy zbioru wejść oraz wszystkie elementy zbioru wyjść.
Sposób konstrukcji struktur, przedstawiony w tym dowodzie, nie zapewnia spełnienia
tych warunków.
Przypomnijmy podstawowe oznaczenia:
m – liczba wejść systemu,
n – liczba stanów systemu,
p – liczba wyjść systemu.
Poprawiony dowód twierdzenia 8.
Dla każdej rodziny struktur minimalnych należy układowi n-1 łuków przyporządkować z jednej strony układ n-1 wejść (zawierający wszystkie m elementów zbioru
wejść), zaś z drugiej strony układ n-1 wyjść (zawierający wszystkie p elementów
zbioru wyjść). Tych przyporządkowań wejść będzie tyle, ile funkcji od (n-1)elementowego zbioru na m-elementowy zbiór, co wyraża wzór1:
__________
*
1
Szkoła Wyższa im. B. Jańskiego w Warszawie; [email protected]
Por. np. Flachsmeyer [1977], s. 80.
2
Jacek J. Nowak
R’(m) =
m
∑ ( −1) i
i =0
m
 ( m − i ) n −1 .
i
 
(1)
Z kolei przyporządkowań wyjść będzie tyle, ile funkcji od (n-1)-elementowego
zbioru na p-elementowy zbiór, co wyraża analogiczny wzór:
p
R’(P) =
∑ (−1)i
i =0
 p
 ( p − i ) n −1 .
i
 
(2)
Przemnożenie przez siebie obu uzyskanych wyżej liczb przyporządkowań określa
liczbę potencjalnych struktur minimalnych, które mogą być utworzone na podstawie
danej (bazowej) rodziny struktur. Ponieważ (bazowych) rodzin struktur jest nn-1 (w
sytuacji, gdy n>m oraz n>p), to poprawione twierdzenie 8 ma następującą postać:
TWIERDZENIE 8. Jeśli stopień złożoności struktury Z = n-1, to liczba struktur minimalnych L’(m,n,p) dla ustalonych m wejść, n stanów i p wyjść wynosi
L’(m,n,p) = R’n ⋅R’(m)⋅R’(p),
(10)
albo
p
 p
m
L’(m,n,p) = nn-1 ⋅ ∑ ( − 1) i  ( m − i ) n −1 . ∑ (−1) i  ( p − i ) n −1 .
i
i
i =0
i =0
m
 
 
(11)
Określenia liczby struktur minimalnych dla analogicznych, jak w poprawianym artykule, przykładów systemów rzeczywistych dają następujące wyniki (w nawiasach
podano dla porównania wyniki otrzymane poprzednio, tj. według wzorów z krytykowanych twierdzeń):
L’(2,3,2) = 36
(poprzednio 108).
L’(3,4,3) = 2304 (poprzednio 32 256).
L’(9,10,9) = 109·131 681 894 400 (poprzednio 109·948 748 932 892 800 000).
Poprawione liczby są mniejsze, ale również ogromne.
2. KRYTYCZNA ANALIZA ORAZ POPRAWA DOWODU I TWIERDZENIA 9.
Twierdzenia nr 9 i 10 dotyczą sytuacji, w której n ≤ m oraz n ≤ p. Wtedy stopień
złożoności struktur minimalnych jest wyznaczony nie przez liczbę stanów, ale przez
liczbę wejść, m (albo liczbę wyjść, p). Dla dowodu przyjmujemy, że liczba wejść, m,
będzie wyznaczać ten stopień złożoności.
Poprawione twierdzenia o liczbie struktur minimalnych systemów rzeczywistych
3
Poprawiony dowód twierdzenia 9.
Konstrukcja struktur minimalnych (a na początku rodzin struktur), które winny
charakteryzować się stopniem złożoności m, odbywa się tu na podstawie drzew rozpływu o złożoności (n-1) < m. Aby więc otrzymać rodzinę struktur minimalnych w tej
sytuacji, należy dołączyć do tego układu n-1 łuków dowolny układ m-n+1 łuków.
Słowo „dowolny” oznacza tu dowolną kombinację (a nie wariację, jak w krytykowanym dowodzie) z powtórzeniami m-n+1 łuków wybraną ze zbioru n2 potencjalnych
łuków dla grafu tej struktury.
Liczbę takich kombinacji z powtórzeniami po m-n+1 elementów spośród n2 elementów, Cpowt(m-n+1, n2) - a więc tym samym liczbę rodzin struktur minimalnych
utworzonych na podstawie jednego, wybranego drzewa rozpływu - określa wzór2:
 n2 + m − n
 .
(m-n+1, n ) = 
−
+
1
m
n


powt
C
2
(3)
Niestety, tak tworzone rodziny struktur na podstawie bazowych rodzin struktur minimalnych, będą w pewnej liczbie przypadków się powtarzały. Nie znaleźliśmy w literaturze, ani nie znamy w chwili obecnej formuły określającej liczbę struktur, które nie
będą się powtarzały. Możemy obecnie jedynie oszacować krańce przedziału, w którym mieści się szukana liczba różnych, nie powtarzających się rodzin struktur.
Różnych drzew rozpływu opisujących bazową strukturę minimalną systemu o n
stanach jest nn-1. Co najmniej jedna z powstałych na podstawie każdego takiego drzewa rozpływu rodzina struktur minimalnych będzie różna od wszystkich innych. Tak
więc dolny kraniec szukanego przedziału określi suma:
Cpowt(m-n+1, n2) + nn-1 – 1,
zaś górny kraniec szukanego przedziału określi z kolei iloczyn:
nn-1· Cpowt(m-n+1, n2).
Stąd poprawione twierdzenie 9 ma następującą, dwuczłonową postać:
__________
2
44.
Zgodnie ze wzorem na liczbę kombinacji z powtórzeniami, por. np. Gerstenkorn i Śródka [1972], s.
4
Jacek J. Nowak
TWIERDZENIE 9. Jeśli stopień złożoności Z = m, to liczba R(m,n) możliwych rodzin struktur minimalnych jest
a) większa od liczby (m-n+1)-elementowych kombinacji z powtórzeniami z n2 elementów powiększonej o nn-1 - 1, tj.
R(m,n) > Cpowt(m-n+1, n2) + nn-1 – 1,
(12a)
tj.
 n 2 + m − n  n-1
 + n – 1,
R(m,n) > 
 m − n +1 
b) mniejsza od iloczynu Cpowt(m-n+1, n2), a konkretniej:
 n2 + m − n
 .
 m − n +1 
R(m,n) < nn-1· 
(12b)
3. KRYTYCZNA ANALIZA ORAZ POPRAWA DOWODU I TWIERDZENIA 10
Człon ΣiPi(m;n1,n2,...,np) we wzorze (13):
1) obejmuje także układy, które mogą się powtarzać w strukturach powstałych na
bazie innych rodzin struktur,
2) nie uwzględnia liczby różnych przyporządkowań m wejść m łukom, których
liczba wynosi, ogólnie, m! W przypadku jednakże paralelnych łuków pomiędzy tą samą parą wierzchołków (a takie występują w grafach struktur minimalnych, gdy m > n), część z tych przyporządkowań będzie się powtarzać.
Z powyższych uwag oraz z poprawionego oszacowania liczby rodzin struktur
(twierdzenie 9) wynika konieczność poprawy wzoru (13).
Wyprowadzenie skomplikowanych wzorów na dokładną liczbę możliwych struktur
minimalnych, ale nie powtarzających się, tworzących się na podstawie danej rodziny
struktur, a co więcej, na podstawie wszystkich możliwych rodzin struktur minimalnych, jest bardzo żmudne. Ponieważ autor nie mógł wykonać takiego zadania w podanym czasie, skupimy się na przybliżeniu ograniczenia od góry liczby struktur minimalnych.
Potrzebne do tego będą: a) liczba różnych przyporządkowań m wejść m łukom
oraz b) liczba różnych przyporządkowań p wyjść m wejściom.
W przypadku a określiliśmy tę liczbę (w punkcie 2) jako m!, z zastrzeżeniem, niestety, istnienia powtarzalności.
Poprawione twierdzenia o liczbie struktur minimalnych systemów rzeczywistych
5
W przypadku b liczbę tę określi liczba funkcji od m-elementowego zbioru na pelementowy zbiór. Jest ona określona wzorem:
p
R(P) =
m
 p
i
∑ ( −1)  ( p − i) .
i=0
i
 
(2)
Stąd poprawione twierdzenie 10 ma następującą postać:
TWIERDZENIE 10. Jeśli stopień złożoności Z = m, to liczba L(m,n,p) możliwych
struktur minimalnych o danych liczbach m wejść, n stanów i p wyjść spełnia nierówność daną następującym wzorem:
L(m,n,p) < R(m,n) ⋅ m! ⋅ R(p),
a konkretniej,
(13)
p
 n2 + m − n
i p ( p − i)m .
 · m! ·
(
1
)
−
∑
i
 m − n +1 
 
i=0
L(m,n,p) < nn-1· 
(14)
LITERATURA
FLACHSMEYER, J. 1977. Kombinatoryka. PWN, Warszawa.
GERSTENKORN, T., ŚRÓDKA, T. 1972. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa. PWN,
Warszawa.
NOWAK, J.J. 2003. Struktury minimalne systemów rzeczywistych i ich modeli w symulacji
dyskretnej, [w]: Symulacja systemów gospodarczych (red. A. Balcerak, E. Radosiński, B.
Mielczarek), Prace Naukowe Instytutu Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej
nr 74, Wyd. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, ss 143-161.