Zapisz jako PDF

W jaki sposób możemy matematycznie opisać falę?
Jak wspominaliśmy na koniec poprzedniego rozdziału układy ciągłe powinniśmy opisywać za pomocą
funkcji falowej. Na początek ograniczmy nasze rozważania do układu jednowymiarowego, czyli fali
rozchodzącej się strunie elastycznej. Spoczywająca struna rozciąga się wzdłuż osi OZ. W takim
przypadku funkcja falowa ma postać:
Funkcja ta opisuje wychylenie struny z położenia równowagi w punkcie z w chwili czasu t. Załóżmy,
że koniec struny jest wprawiany w ruch harmoniczny:
. Zaburzenie to
rozchodzi się w strunie z pewną prędkością i do punktu z dojdzie po czasie
. Jeśli
powiniemy siły oporu to wychylenie struny z położenia równowagi w punkcie z będzie takie samo jak
końca struny ale przesunięte w czasie o , a zatem:
Wyrażenie to opisuje falę harmoniczną biegnącą w prawo (zgodnie ze zwrotem osi OZ) w strunie.
Często stosowane są inne zapisy:
We wzorze występują następujące wielkości opisujące ruch falowy:
— odległość między punktami ośrodka o tej samej fazie — długość fali,
— czas po którym wybrany punkt ośrodka będzie w tej samej fazie — okres drgań,
— prędkość przemieszczania się zaburzeń o tej samej fazie — prędkość fazowa,
— liczba falowa.
Następujące relacje zachodzą miedzy tymi wielkościami:
,
,
.
Powyżej podaliśmy wzór opisujący falę harmoniczną rozchodzącą się w strunie wzdłuż osi OZ w
prawo. Oczywiście analogiczna fala może się rozchodzić w przeciwnym kierunku, tj. w lewo, którą
opisujemy:
Fale harmoniczne powstają jeśli koniec struny wprawiany jest w ruch harmoniczny, ale zaburzenie
końca może być dowolne. W związku z tym ogólna postać funkcji falowej ma postać:
Możemy oczekiwać, że prędkość rozchodzenia się fali zależy od własności fizycznych ośrodka.
Spróbujmy zbadać ten problem.
Załóżmy, że struna jest naciągnięta siłą
(patrz rysunek Figure 1).
. Wydzielmy kawałek struny o bardzo małej długości
Siły działające na element
struny.
Wychylenie struny z położenia równowagi opisane jest funkcją falową:
działająca na element odkształconej struny wynosi:
Uwzględniając siłę naciągu nici:
Zbiegając z
oraz
. Wypadkowa siła
otrzymujemy:
do zera ostateczna postać wypadkowej siły działającej na element struny wynosi:
Masa elementu struny wynosi z kolei:
struny. Ponadto pamiętając, że
, gdzie
jest gęstością, a
jest wychyleniem struny w punkcie
jest prędkością (poprzeczną) struny w punkcie ,
w tym punkcie, otrzymujemy równanie:
A stąd po przekształceniach:
przekrojem poprzecznym
a
z położenia równowagi,
jej przyśpieszeniem
.
Jest to tzw. klasyczne równanie falowe.
Sprawdźmy, czy postulowana wyżej ogólna postać funkcji falowe spełnia to równanie?
oraz
Stąd wynika, że postulowana postać funkcji falowej spełnia klasyczne równanie falowe pod
warunkiem, że poszukiwana prędkość rozchodzenia sie fali wynosi:
Widzimy, że prędkość rozchodzenia się fali zależy od siły naciągu struny, jej przekroju i gęstości.
Możemy też powiedzieć, że kwadrat tej prędkość jest proporcjonalny do siły przywracającej strunę
(ośrodek) do równowagi, a odwrotnie proporcjonalny do „inercji” ośrodka „opierającej” się
powrotowi ośrodka do równowagi.
Na początku tego rozdziału mówiliśmy, że z falą wiąże się transport energii. Policzmy transport mocy
przez falę biegnącą w strunie. Moc ta wynosi:
Dla fali harmonicznej:
otrzymujemy:
,
gdzie: wielkość
nosi nazwę oporu falowego ośrodka (impedancji).
Wyrażenie na moc średnią jest następujące:
Używane jest też pojęcie natężenia fali
.
. Dla struny natężenie to wynosi zatem:
Rozpatrywana wyżej postać fali harmonicznej nosi nazwę fali biegnącej, fala rozchodzi sie w
określonym kierunku. Na strunie może się rozchodzić wiele różnych fal. Wychylenie struny z
położenia równowagi będzie efektem superpozycji wszystkich fal. Jeśli w strunie będą rozchodzić się
dwie fale o tej samej częstości i o takich samych amplitudach, ale w przeciwnych kierunkach to w
wyniku superpozycji otrzymamy:
.
Otrzymaliśmy postać fali, która nosi nazwę fali stojącej. Część zależna od położenia jest
rozseparowana od części zależnej od czasu. Możemy więc zapisać drgania struny następująco:
. Dla pewnych punktów struny amplituda drgań wynosi zero. Takie
punkty nazywamy węzłami fali stojącej. Natomiast punkty, których amplituda drgań jest największa
nazywamy strzałkami. Fale stojące powstają np. na skończonej strunie. Jeśli końce struny są sztywno
zamocowane w punkcie
, to w tych punktach wychylenie struny z położenia równowagi
wynosi oczywiście zero. Korzystając z tych warunków możemy łatwo znaleźć postacie fal stojących w
strunie o długości . Postacie fal o czterech najniższych częstościach pokazano na rysunku Figure 2.
Przykład fal stojących na
strunie o zamocowanych
obu końcach.
Funkcja falowa ma postać:
,
gdzie:
,
,
. Funkcje falową możemy też zapisać następująco:
.