Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 4 Chłodzenie laserowe

Warsztaty metod fizyki teoretycznej
Zestaw 4
Chłodzenie laserowe - cz. I
Adam Wojciechowski, Michał Heller
19.03.2009
1
Wprowadzenie
Wraz z nadejściem laserów otwarły się nowe możliwości dokonywania bardzo subtelnych pomiarów spektroskopowych, a wkrótce potem zaprzęgnięto lasery do chłodzenia próbek atomowych.
Zimne atomy oferują niezwykle atrakcyjne środowisko do badań spektroskopowych, z uwagi na dramatycznie spowolniony ruch atomów a zatem i brak poszerzenia Dopplerowskiego oraz przestrzenne uwięzienie wewnątrz pułapki magnetooptycznej (MOT). Z drugiej strony, chłodzenie laserowe jest powszechnie wykorzystywane w świecie jako pierwszy krok do wytworzenia kondensatu
Bosego-Einsteina (BEC). Za odkrycie metod laserowego chłodzenia i pułapkowania atomów komitet noblowski przyznał nagrodę Nobla w 1997 roku Stevenowi Chu, Claudowi Cohen-Tannoudji,
i Williamowi Phillipsowi. W naszym instytucie badaniami doświadczalnymi przy użyciu pułapek
magnetooptycznych zajmuje się Zakład Fotoniki oraz Zakład Optyki Atomowej. Ponadto, w Krajowym Laboratorium Fizyki Atomowej, Molekularnej i Optyki (KL FAMO) w Toruniu działa układ,
w którym wytwarzany jest kondensat.
2
Opis zjawiska
W 1933 roku Frisch przeprowadził eksperyment, w którym wykorzystał pęd fotonów do odchylenia wiązki atomów. Wiązka atomów sodu lecących wewnątrz aparatury próżniowej była w tym
ekserymencie oświetlana z boku, powodując zakrzywienie ruchu atomów. Można to wyjaśnić poprzez fakt, iż absorbcja wiąże się z przekazam pędu w jednym kierunku (wszystkie absorbowane
fotony mają ten sam pęd), zaś emisja spontaniczna jest izotropowa i przekaz pędu z nią związany
uśrednia się do zera. Eksperyment musiał być bardzo dobrze zaprojektowany, by był czuły na małe
odchylenia, bowiem proste rachunki pozwalają oszacować prędkość atomów na rzędu 102 − 103 m/s,
zaś zmiana prędkości atomów na skutek absorbcji fotonu jest rzędu 1 cm/s. Pamiętajmy przy tym,
że w tamtych czasach nie było jeszcze laserów.
Od połowy lat 70-tych ubiegłego wieku sprawy nabrały przyspieszenia. W 1975 Hänsch i Schawlow zaproponowali użycie laserów do chłodzenia atomów. Powstały prace teoretyczne opisujące chłodzenie laserowe, a także sposoby na pułapkowanie neutralnych atomów, np. [1]. Jednakże przejście
1
Rysunek 1: Schemat pułapki magnetooptycznej pokazujący trzy pary przeciwbieżnych wiązek oraz
cewki kwadrupolowe wytwarzające pole magnetyczne. Po prawej zdjęcie działającej pułapki z widoczną fluorescenją od wiązek MOT oraz chmury atomów w centrum pułapki. Obrazy zaczerpnięte
z [8].
od stosunkowo prostego spowalniania wiązki atomowej, do prawdziwego schładzania atomów o izotropowym rozkładzie prędkości zajęło jeszcze kilka lat. Pierwsze pułapki magnetooptyczne powstały
zatem dopiero w drugiej połowie lat 80-tych.
Obecnie, na całym świecie wykorzystuje się pułapki magnetooptyczne jako podstawę do dalszego chłodzenia atomów (dla kondensacji Bosego-Einsteina) lub też do budowy optycznych zegarów
atomowych. W obu tych przypadkach zimne atomy pozwalają na dokonywanie pomiarów z niespotykaną dotąd precyzją.
3
Sformułowanie problemu
Chcemy opisać w sposób półklasyczny oddziaływanie wiązki światła laserowego na atom. Dla
uproszczenia posłużymy się modelem atomu dwupoziomowego oddziałującego z liniowo spolaryzowaną wiązką światła, dostrojoną w pobliże rezonansu. Rozszerzenie jednowymiarowego modelu
chłodzenia na przypadek 3D nie stanowi problemu, natomiast znacząco komplikuje rachunki.
Problem sprowadza się do rozwiązania optycznych równań Blocha, a następnie obliczeniu z ich
użyciem sił działających na atom. Rozwiązanie wzorowane jest na pracy [2], choć w wielu innych
pracach można znaleźć alternatywne obliczenia a część wyników można wyprowadzić ”na palcach”.
Zad. 1. Optyczne równania Blocha.
Należy wyprowadzić i rozwiązać optyczne równania Blocha dla elementów macierzy gęstości
atomu dwupoziomowego:
!
ρee ρeg
ρ=
,
(1)
ρge ρgg
gdzie używamy oznaczeń e dla stanu wzbudzonego i g dla stanu podstawowego.
Zacznij od zapisania Hamiltonianu uwzględniającego oddziaływanie z polem elektrycznym H 0 =
~ =
−D · E, gdzie d - elektryczny moment dipolowy atomu. Załóż postać pola elektrycznego E
−iωt
E0 êz (e
+ c.c)/2, zaś energię stanu wzbudzonego: Ee = h̄ω0 . Następnie zapisz równania na po-
2
chodne czasowe elementów macierzy gęstości:
i
dρ/dt = − [H, ρ] + L(ρ),
h̄
(2)
gdzie przez L(ρ) oznaczamy macierz uwzględniającą relaksację w układzie (w ogólności nie koniecznie hermitowską). Relaksacja koherencji ρeg następuje z szybkością równą średniej arytmetycznej
szybkości relaksacji stanu wzbudzonego i podstawowego. Zastanów się jak powinna wyglądać ta
macierz, jeśli zakładamy, że stan podstawowy nie relaksuje.
W następnym kroku użyj przybliżenia fali wirującej (Rotating Wave Approximation, RWA), tj.
wprowadź σeg = ρeg e−iωt , a następnie przyrównaj pochodne czasowe do zera, tzw. przybliżenie stanu
stacjonarnego (Steady State Approximation).
Zad. 2. Siła działająca na atom w spoczynku.
~ ·E
~ i pola elektrycznego fali biegnącej (płaskiej)
Wychodząc od postaci Hamiltonianu H 0 = −D
−i(ωt−kz)
~
E = E0 êz (e
+c.c)/2 wyprowadź wzór na półklasyczną siłę działającą na atom: F~ = −d~p/dt.
Skorzystaj przy tym z ogólnego wzoru na pochodną czasową operatora A: dA/dt = i/h̄[H, A] oraz
wzoru na wartość średnią operatora A: < A >= T r[ρA]. Wyraź ostateczny wzór na siłę poprzez
populację stanu wzbudzonego ρee (skorzystaj z zad. 1).
Jaka jest maksymalna wartość tej siły? Zastanów się nad ”fizyczną” interpretacją wyprowadzonego wzoru.
Zad. 3. Uwzględnienie ruchu atomów.
Przeanalizuj oddziaływanie atomu o pędzie h̄K z fotonem o pędzie h̄k. Zastanów się jak pogodzić
zasady zachowania energii i pędu? Znajdź różnicę między energią przejścia, a energią potrzebną do
wzbudzenia atomu. Rozpoznaj człon odpowiedzialny za efekt Dopplera i energię odrzutu.
To zadanie polega na uwzględnieniu ruchu atomów poprzez wprowadzenie dwóch przeciwbieżnych wiązek świetlnych i wprowadzenie zależności rozwiązań równań Blocha od prędkości atomów.
Zastanów się czemu odpowiada uzyskana postać siły?
Zad. 4. Pułapkowanie atomów.
W podobny do poprzedniego zadania sposób można również uzwględnić wpływ pola magnetyczuzyskuje
nego na chłodzenie laserowe. Pokaż, że dodając do odstrojenia człon gz, gdzie g = gµh̄B dB
dz
się efekt pułapkowania atomów. Czemu odpowiada taka postać siły? Czy można się spodziewać
oscylacji w pseudopotencjale pułapki?
Zad. 5. Temperatura graniczna.
Uśredniony przekaz pędu atomów na skutek absorbcji fotonów z wiązek pułapki MOT wynosi
0 (przeciwbieżne wiązki), zatem wartość < p~ > jest stała. Rozmycie wartości pędów < p~2 > jest
zmniejszane na skutek chłodzenia ale równocześnie zwięsza się na skutek przypadkowych zmian
pędu zachodzących podczas aktów emisji spontanicznej. Znajdź temperaturę TD dla której < p~2 >
osiąga wartość równowagową. Porównaj TD dla 87 Rb (λ = 780nm) z temperaturą odrzutu Trecoil ,
odpowiadającą energii odrzutu.
3
Literatura
[1] A. Ashkin, Trapping of Atoms by Resonance Radiation Pressure, Phys. Rev. Lett. 40, 12 (1978).
Liczba cytowań: ponad 200.
[2] H. J. Metcalf, P. van der Straten, Laser Cooling and Trapping of Neurtal Atoms., The Optics
Encyclopedia, str. 975-1014, Wiley-VCH, Weinheim, Niemcy, 2004. Liczba cytowań: ponad 770.
[3] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu i F. Laloe, Quantum Mechanics, tom. 1, Hermann, Paryż, Francja,
1977.
[4] S. Chu, Nobel Lecture: The manipulation of neutral particles, Rev. Mod. Phys. 70, 685 (1998)
[5] C. Cohen-Tannoudji, Nobel Lecture: Manipulating atoms with photons, Rev. Mod. Phys. 70, 707
(1998)
[6] W. Phillips, Nobel Lecture: Laser cooling and trapping of neutral atoms, Rev. Mod. Phys. 70,
721 (1998)
[7] W. Gawlik, Fizyka zimnych atomów: temperatury niższe niż w kosmosie, Postępy Fizyki 53D,
54 (2002)
[8] J. Zachorowski, T. Pałasz, W. Gawlik, Krakowska pułapka magnetooptyczna, Postępy Fizyki
49, 338 (1998)
4
4
Rozwiązania
Zad. 1.
W modelu atomu dwupoziomowego, w którym nie uwzględniamy tuchu atomu, możemy zapisać
hamiltonian układu jako macierz:
!
Ee 0
H0 =
,
(3)
0 Eg
gdzie zakładamy, że stanowi górnemu odpowiada energia Ee , zaś dolnemu Eg . Można od razu
założyć energię stanu podstawowgo równą zeru, co tylko ograniczy ogólność rozwiązań.
Postać macierzy momentu dipolowego można w dość prosty sposób przewidzieć. Klasycznie dipol
odpowiada rozsunięciu ładunku q na odległość ~r. Analogicznie w mechanice kwantowej operator
momentu dipolowego dˆ jest proporcjonalny do ~r. Wynika stąd iż elementy diagonalne macierzy
momentu dipolowego:
Z
Dnn ∝ ψn∗ (~r)~rψn (~r)d3 r
(4)
są równe zeru, gdyż funkcja podcałkowa jest nieparzystą funkcją położenia ~r. Zauważ, że dla n 6= m
parzystość ψn (~r) może być różna od parzystości ψm (~r), a zatem funkcja podcałkowa w ogólności
może mieć dowolną parzystość względem ~r. Otrzymujemy zatem macierz:
D=
0 deg
dge 0
!
,
(5)
gdzie możemy wprowadzić dge = deg = d. Wtedy hamiltonian oddziaływania możemy zapisać jako:
0
H = −E0 cos(ωt)
0 d
d 0
!
.
(6)
Warto w tym miejscu zastanowić się jak wygląda macierz momentu dipolowego dla bardziej
skomplikowanych układów. Ponieważ indukowana polaryzacja nie musi być równoległa do kierunku
pola elektrycznego, to w ogólności należałoby rozważać moment dipolowy jako wielkość tensorową. Dodatkową komplikacją jest konieczność obliczenia wielu całek dla poszczególnych elementów
macierzowych. Sprawę można sobie znacząco uprościć znając tzw. reguły wyboru dla przejść elektrycznych dipolowych. Mówią one, które z przejść są dozwolone i gdzie trzeba obliczyć element
macierzowy, a którym elementom można od razu przypisać wartość zero.
Przejdźmy teraz do zapisania równań ruchu na elementy macierzy gęstości. Skorzystamy przy
tym z równania Master:
i
(7)
dρ/dt = − [H, ρ]1 + L(ρ)
h̄
Na początek załóżmy brak jakiejkolwiek relaksacji, co odpowiada położeniu L(ρ) ≡ 0. Istotne
równania przyjmują wtedy postać:
i
i
2
ρ̇ee = − (−Ed)(ρge − ρeg ) = Ed(ρ∗eg − ρeg ) = Ed=(ρeg )
h̄
h̄
h̄
Ee − Eg
i
i
ρ̇eg = −i
ρeg − (−Ed)(ρgg − ρee ) = −iωeg ρeg + Ed(1 − 2ρee ).
h̄
h̄
h̄
1
(8)
(9)
Proszę zwrócić uwagę, że w treści zestawu wydrukowanego na zajęciach brakowało znaku ”-” przed komutatorem.
5
Nie jest konieczne rozwiązanie pozostałych równań, gdyż mamy:
ρee + ρgg = 1 ⇒ ρ̇ee + ρ̇gg = 0
ρeg = ρ∗ge ⇒ ρ̇ge = ρ̇∗eg ,
(10)
(11)
co pozwala na łatwe obliczenie pozostałych elementów macierzy gęstości, czy też ich równań ruchu.
Uwzględnijmy teraz relaksację. W przypadku braku pola elektromagnetycznego atomy pozostają
w stanie podstawowym, a macierz gęstości układu dąży do macierzy:
0 0
0 1
ρ → ρ0 =
!
.
(12)
Macierz L(ρ) odpowiadająca za relaksację powinna być proporcjonalna do różnicy ρ − ρ0 . Dopiszemy zatem do równań (8 - 9) człony odpowiedzialne za zanik odpowiednich elementów:
i
Ed(ρ∗eg − ρeg ) − Γ(ρee − 0)
h̄
Γ
i
ρ̇eg = −iωeg ρeg + Ed(1 − 2ρee ) − (ρeg − 0),
h̄
2
a naszą macierz relaksacji możemy zatem zapisać jako:
ρ̇ee =
L(ρ) =
−Γ(ρee − 0) −Γ/2(ρeg − 0)
−Γ/2(ρge − 0) −Γ(ρgg − 1)
!
=
−Γρee −Γ/2ρeg
−Γ/2ρge
Γρee
(13)
(14)
!
,
(15)
gdzie przyjęliśmy relaksację stanu podstawowego jako Γ, i relaksację koherencji z szybkością Γ/2.
Mając wszystkie elementy równań ruchu można już przystąpić do ich rozwiązywania. Problemem
jest obecność w równaniach czynnika cos(ωt). Aby ułatwić rozwiązanie zadania zapiszmy cos(ωt) =
1 iωt
(e + e−iωt )) i wprowadzimy nową zmienną σeg , równą:
2
σeg = ρeg eiωt .
(16)
Odpowiada to fizycznie pzejściu do układu w którym faza koherencji wiruje z częstością ω, natomiast
elementy diagonalne macierzy gęstości pozostają niezmienione (nie są one wrażliwe na globalną
zmianę fazy!). Dostajemy zatem następujące równania:
iE0 d iωt
∗ −iωt
(e + e−iωt )(σeg
e
− σeg eiωt ) − Γρee
2h̄
iE0 d iωt
Γ
= −iωeg σeg e−iωt +
(e + e−iωt )(1 − 2ρee ) − σeg e−iωt ,
2h̄
2
ρ̇ee =
(σ̇eg − iω)σeg e−iωt
co po przekształceniach i podstawieniu ωeg = ω0 oraz Ω =
E0 d
2h̄
(17)
(18)
daje:
∗
ρ̇ee = iΩ(σeg
(1 + e−2iωt ) − σeg (1 + ei2ωt )) − Γρee
σ̇eg = i(ω − ω0 )σeg + iΩ(1 + e−i2ωt )(1 − 2ρee ) −
(19)
Γ
σeg .
2
(20)
Następnie zaniedbujemy wyrazy szybko oscylujące e±i2ωt , jako uśredniające się do zera. Interesuje
nas stan stacjonarny, do jakiego dochodzi cały układ, więc możemy również położyć lewe strony
równań (pochodne czasowe) jako równe zeru. Otrzymamy wtedy następujący układ równań:
∗
0 = iΩ(σeg
− σeg ) − Γρee
Γ
0 = i(ω − ω0 + i )σeg + iΩ(1 − 2ρee ),
2
6
(21)
(22)
co po dalszym przekształceniu daje nam układ sprzężonych równań:
∗
− σeg )
Γρee = iΩ(σeg
Γ
(ω − ω0 + i )σeg = −Ω(1 − 2ρee )
2
(23)
(24)
który można już łatwo rozwiązać algebraicznie. Wprowadźmy jeszcze odstrojenie δ ≡ ω − ω0 i
zamieńmy kolejność równań:
σeg
δ − i Γ2
1
= −Ω(1 − 2ρee )
=
−Ω(1
−
2ρ
)
ee
2
δ + i Γ2
δ 2 + ( Γ4 )
ρee
Ω ∗
Ω2
= i (σeg
− σeg ) = −i (1 − 2ρee )
Γ
Γ
δ − i Γ2
2
δ 2 + Γ4
!∗
!
(25)
δ − iΓ
Ω2
− 2 Γ22 ) = (1 − 2ρee ) 2 Γ2 , (26)
δ + 4
δ + 4
!
teraz pozostaje już tylko przekształcić nieco drugie z równań, by dostać koncowy wynik:
ρee
Ω2
1 + 2 2 Γ2
δ + 4
!
=
Ω2
Ω2
⇒
ρ
=
.
ee
2
2
δ 2 + Γ4
δ 2 + Γ4 + 2Ω2
Wprowadzając teraz parametr nasycenia, równy S =
8Ω2
Γ2
(27)
dostaniemy:
2
(S/2) Γ
S/2
=
.
ρee = 2 Γ2 4
(2δ/Γ)2 + 1 + S
δ + 4 (1 + S)
(28)
Postać równania 28 pokazuje, że populacja stanu wzbudzonego wykazuje zależność od odtrojenia
δ w postaci funkcji Lorenza, wyśrodkowanej dla δ = 0, czyli dla dostrojenia świałta do rezonansu
(ω = ω0 ). Ponadto szerokość rezonansu jest zadana dla małych natężeń światła (małego Ω albo
S 1) poprzez szybkość relaksacji stanu wzbudzonego, co jest konsystentne z założeniami. Dla
większych natężeń światła, czyli S = 1 obserwuje się rezonans o szerokości ”poszerzonej przez moc”,
równej 2Γ, zaś interesujący jest przypadek S 1. Wtedy populacja górnego poziomu zmierza do:
1
ρee → ,
2
(29)
co także jest zgodne z intuicją, gdyż maksymalne obsadzenie górnego poziomu może wynosić 1/2.
Gdybyśmy otrzymali wyższą wartość oznaczałoby to inwersję obsadzeń w układzie, a taki stan nie
może być stanem stacjonarnym.
Zad. 2-5.
Zadania 2-5 pojawią się w nowym zestawie, zatem nie publikujemy teraz ich rozwiązań.
7